ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО
Один из самых прикладных методов статистической оценки риска. К нему нужно отнестись с большим участием. В данной статье будет рассмотрен пример имитационного моделирования с использованием данного подхода.
Метод Монте-Карло получил своё название за то, что предназначен осуществить оценку предельно случайных событий. А что, как ни казино, которых в Монте-Карло много, связано со случайностью больше всего?
В процессе работы нам понадобится «генератор случайных чисел» из MS Excel и функция «Описательная статистика».
Оценка риска инвестиционного проекта
Есть следующие условия задачи:
Таким образом, нам нужно оценить три периода – за три года. Запишем все исходные данные в таблицу. Значения, полученные в ячейках D5-X5, имеют формулу для вычисления или есть в условиях задачи. Вы, как экономист, с формулами должны быть знакомы. Обратите внимание на заголовок, выделенный красным цветом на рисунке ниже – «Имитационная модель NCF1». Это говорит о том, что мы имитируем первый год, а всего их будет три на разных листах в MS Excel. На новый лист переключиться внизу окна программы.
Теперь в MS Excel переключаемся на «Данные» и выбираем пункт «Анализ данных».
В появившемся окне выбираем «Генерация случайных чисел». Выполняем генерацию с параметрами, продемонстрированными на картинке ниже, для пункта «Кол-во пользователей».
Параметры будут отталкиваться от среднего значения 250, оно есть в ожидаемых значениях в нашей таблице. Нужно выполнить 1000 генераций. Если вы знакомы со статистикой, то понимаете, что большее количество испытаний даёт более точную оценку. Используя метод Монте-Карло, можно имитировать и 10 000 значений для большей точности.
После мы имитируем все стохастические, то есть, меняющиеся значения по аналогии, как показано выше. Копируем формулы переменных или констант из ячеек D7-X7 под «Результаты имитации» с учетом имитированных значений. Получаем следующий результат.
Как видим, платежи по налогам за имущество, например, являются постоянным значением на весь год, поэтому это значение везде одинаковое, а другие меняются, потому что рассчитываются по формулам, и в эти формулы входят меняющиеся значение, имитированные нами. Не забывайте, что значений в каждом столбце должно быть по тысяче.
Теперь делаем то же самое, но для имитационной модели NCF2.
Это второй год работы проекта. Как видим, под «СКО» процентные соотношения увеличились. Об этом говорится в условии задачи, что налоги и зарплата должны расти каждый год.
Повторяем это действие в третий раз, увеличивая налоги и зарплаты, как говорит условие.
Наибольшую важность в оценке инвестиционного проекта имеет параметр NCF – чистый денежный поток. Копируем все значения NCF на четвертый лист с каждой из трёх предыдущих страниц.
Формула для расчета NPV есть вверху картинки. Используем её. Теперь точно так же заходим в «Данные», жмём на «Анализ данных» и выбираем там «Описательная статистика». Вот, что в появившемся окне вам нужно указать.
Во входном интервале выбирается 1000 полученных значений NPV. Выходной интервал можете выбрать произвольно. На выходе у вас будет таблица со статистическими данными.
Вы, как экономист, должны понимать, о чем говорит каждое значение, если нет, то нужно прочитать отдельную статью или главу учебника. Наша статья о том, метод Монте-Карло применяется с использованием функций MS Excel.
Заключение
Генерация случайных чисел – наше всё. Именно в оценке того, к чему может привести случайность, заключается статистический метод Монте-Карло. Это работает не только в экономике, но и везде, где есть случайность. Можете посмотреть, как это делается, применительно к зоологии в видео ниже.
Существует немало программ для моделирования методом Монте-Карло. С их обзором можно ознакомиться, например, в книге
| Инструмент | Кем разработан | Описание |
| @Risk | Palisade Corporation, Итака, штат Нью-Йорк | Достаточно совершенный инструмент для работы на основе Excel; описывает большое число распределений; широкая база пользователей, предоставляется техническая поддержка |
| AIE | Hubbard Decision Research, Глен-Эллин, штат Иллинойс | Набор макросов на основе Excel; также позволяет рассчитывать стоимость информации и оптимальный портфель; подчеркивает приоритетность методологии над инструментарием; предоставляются консалтинговые услуги по практическим вопросам внедрения |
| Crystal Ball | Decisioneering, Inc, Денвер, штат Колорадо | Еще один инструмент на базе Excel. Продукт, успешно конкурирующий с @Risk. Много пользователей, предоставляется техническая поддержка |
| Risk Solver Engine | Frontline Systems, Инклин-Вилладж, штат Невада | Уникальная платформа разработки на базе Excel, позволяющая выполнять моделирование методом Монте-Карло с беспрецедентной скоростью. Поддерживает форматы SIP и SLURPs, необходимые для управления вероятностями |
| SAS | SAS Corporation, Роли, штат Северная Каролина | Пакет программ высшей степени сложности, используемый многими профессиональными статистиками и далеко выходящий за рамки метода Монте-Карло |
| SPSS | SPSS Inc., Чикаго, штат Иллинойс | Также выходит за пределы метода Монте-Карло; весьма популярен среди ученых |
| XLSim | Профессор Стэнфордского университета Сэм Сэвидж, AnalyCorp | Недорогой пакет программ, предназначенный для легкого изучения, удобен в применении. Сэвидж проводит в организациях семинары по методу Монте-Карло |
Книга написана американским автором и вышла в США в 2007 г. Программа Crystal Ball, упомянутая в таблице сейчас принадлежит уже Oracle . Демо-версия программы доступна для скачивания с сайта компании. Описание базовых функциональных возможностей Crystal Ball я нашел на сайте Финансовое моделирование, бюджетирование, планирование .
Скачайте и установите Crystal Ball на ПК. Прежде чем запустить программу закройте все окна Excel. Запустите Crystal Ball. Сначала откроется Excel, а затем в нем появится закладка Crystal Ball (рис. 1).
Рис. 1. Запуск Crystal Ball сначала открывает Excel, а затем появляется закладка Crystal Ball
Воспользуемся примером Хаббарда, рассмотренным , и на его основе изучим основы работы в программе Crystal Ball.
Предположим, что вы хотите арендовать новый станок. Стоимость годовой аренды станка 400 000 дол., и договор нужно подписать на несколько лет. Поэтому, даже не достигнув , вы всё равно не сможете сразу вернуть станок. Вы собираетесь подписать договор, думая, что современное оборудование позволит сэкономить на трудозатратах и стоимости сырья и материалов, а также считаете, что материально-техническое обслуживание нового станка обойдется дешевле.
Ваши калиброванные специалисты по оценке дали следующие интервалы значений ожидаемой экономии и годового объема производства (в таблице приведены 90%-ные доверительные интервалы):
Шаг. 1. Формирование модели. Разместим исходные данные на листе Excel. Они будут включать названия параметров и их средние значения, а также формулу для расчета годовой экономии (рис. 2)
Рис. 2. Исходные данные
Таким образом, суть нашей модели – расчет годовой экономии от использования нового станка. Годовая экономия (зависимая переменная) есть функция трех видов экономии и объема производства (итого, четырех влияющих переменных).
Шаг. 2. Задание параметров распределения влияющих переменных. Встаньте в ячейку В2 и на вкладке Crystal Ball щелкните Define Assumption. В открывшемся окне выберите Normal и нажмите Ok
Рис. 3. Выбор нормального распределения для первого параметра «Экономия на материально-техническом обслуживании»
Задайте среднее значение – Mean и стандартное отклонение – Std. Dev. (рис. 4). Поскольку исходные данные сформулированы в терминах 90%-ного доверительного интервала (CI), формулы для расчета следующие:
Среднее (Mean) = (Верхняя граница 90%-ного CI + Нижняя граница 90%-ного С I)/2;
Стандартное отклонение (Std. Dev.) = (Верхняя граница 90%-ного CI – Нижняя граница 90%-ного С I)/3,29
а наша таблица, приспособленная для работы в Crystal Ball примет вид:
| Параметр | Границы 90%-ного доверительного интервала | Среднее | Стандартное отклонение |
| экономия на материально-техническом обслуживании | от 10 до 20 дол. на единицу продукции | 15 | 3,04 |
| экономия на трудозатратах | от «–2» до 8 дол. на единицу продукции | 3 | 3,04 |
| экономия на сырье и материалах | от 3 до 9 дол. на единицу продукции | 6 | 1,82 |
| объем производства | от 15 000 до 35 000 единиц продукции в год | 25 000 | 6 079 |
| годовая экономия | (MS + LS + RMS) х PL |
Рис. 4. Выбор параметров нормального распределения
Последовательно вставая курсором в ячейки В3:В5 выберите вид и параметры распределения для всех четырех влияющих переменных. После задания параметров ячейки окрашиваются в зеленый цвет.
Шаг 3. Выбор зависимой переменной. Встаньте в ячейку В6, содержащую формулу расчета годовой экономии, и щелкните Define Forecast. В открывшемся окне в поле «Units» укажите ссылку на ячейку (рис. 5).
Рис. 5. Выбор зависимой переменной
Шаг. 4. Выбор условий моделирования. Этот шаг не является обязательным, так как система предложит параметры моделирования по умолчанию. Учитывая, что наша модель довольно простая, можно увеличить число итераций (по умолчанию оно равно 1000). Щелкните Run Preferences, и выберите 10 000 (рис. 6). Чем больше итераций, тем надежней результаты моделирования!
Рис. 6. Выбор числа итераций
Шаг. 5. Запуск моделирования. Щелкните Start, и наслаждайте результатом вашего первого моделирования в Crystal Ball 🙂 После 10 000 итераций программа выведет результаты в графическом виде (рис. 7).
Рис. 7. Результаты моделирования – распределение годовой экономии
В будущем вы всегда можете увидеть результаты моделирования, если щелкните View Charts (рис. 8)
Рис. 8. Вывод диаграммы с результатами моделирования на экран монитора
Вы также можете создать отчет о моделировании (в отдельном файле Excel), если щелкните на Create Report (рис. 9).
Рис. 9. Фрагмент отчета.
Обратите внимание на величину стандартного отклонения прогнозного значения «Годовая экономия». Вспомним, что среднее значение и стандартное отклонение однозначно задают верхнюю и нижнюю границы 90%-ного доверительного интервала, и вычислим эти границы:
Нижняя граница = среднее – стандартное отклонение * 3,29 / 2 = 600 127 – 189 495 * 3,29 /2 = 288 408
Верхняя граница = среднее + стандартное отклонение * 3,29 / 2 = 600 127 + 189 495 * 3,29 /2 = 911 846
Видно, что не весь 90%-ный доверительный интервал «Годовой экономии» превышает точку безубыточности – 400 000 долл. То есть, существует вероятность того, что точка безубыточности достигнута не будет…
Заметим, что моделирование в Crystal Ball дало те же результаты, что и моделирование в Excel с помощью функции СЛЧИС (рис. 10).
Рис. 10. Результаты моделирования в Excel с помощью функции СЛЧИС
См. главу 5 упоминавшейся книги Дугласа Хаббарда
Мы разработаем симуляцию Монте-Карло с использованием Microsoft Excel и игра в кости. Моделирование Монте-Карло - математический численный метод, который использует случайные ничьи для выполнения вычислений и сложных проблем. Сегодня он широко используется и играет ключевую роль в различных областях, таких как финансы, физика, химия, экономика и многие другие.
Моделирование Монте-Карло
Метод Монте-Карло был изобретен Николаем Метрополисом в 1947 году и направлен на решение сложных проблем с использованием случайных и вероятностных методов. Термин «Монте-Карло» происходит от административного района Монако, широко известного как место, где европейские элиты играют в азартные игры. Мы используем метод Монте-Карло, когда проблема слишком сложна и сложна при непосредственном вычислении. Большое количество итераций позволяет моделировать нормальное распределение.
Метод моделирования методом Монте-Карло вычисляет вероятности для интегралов и решает уравнения в частных производных, тем самым вводя статистический подход к риску в вероятностном решении. Несмотря на то, что существует множество современных статистических инструментов для создания симуляций Монте-Карло, проще моделировать нормальный закон и единообразный закон с использованием Microsoft Excel и обходить математические основы.
Для моделирования Монте-Карло мы выделяем ряд ключевых переменных, которые контролируют и описывают результат эксперимента и назначают распределение вероятности после выполнения большого количества случайных выборок. Давайте возьмем игру в кости как модель.
Игра в кости
Вот как игра в кости играется:
Игрок бросает три кости, которые имеют 6 сторон 3 раза.
Если общее количество 3 бросков составляет 7 или 11, игрок выигрывает.
Если общее количество 3 бросков: 3, 4, 5, 16, 17 или 18, проигрыватель проигрывает.
Если общий результат - любой другой результат, игрок снова играет и повторно свертывает штамп.
Когда игрок снова бросает кубик, игра продолжается таким же образом, за исключением того, что игрок выигрывает, когда сумма равна сумме, определенной в первом раунде.
Шаг 1: События прокатки в кости
Сначала мы разрабатываем ряд данных с результатами каждого из 3 кубиков для 50 рулонов. Для этого предлагается использовать функцию «RANDBETWEEN (1. 6)». Таким образом, каждый раз, когда мы нажимаем F9, мы генерируем новый набор результатов каротажа. Ячейка «Результат» - это сумма итогов трех рулонов.
Шаг 2: Диапазон результатов
Затем нам нужно разработать ряд данных для определения возможных результатов для первого раунда и последующих раундов. Ниже приведен диапазон данных с тремя столбцами.В первом столбце у нас есть числа от 1 до 18. Эти цифры представляют собой возможные результаты после того, как катятся кости 3 раза: максимум составляет 3 * 6 = 18. Вы заметите, что для ячеек 1 и 2 результаты N / A, так как невозможно получить 1 или 2, используя 3 кости. Минимальное значение равно 3.
Во втором столбце включены возможные выводы после первого раунда. Как указано в первоначальном заявлении, либо игрок выигрывает (выигрывает), либо проигрывает (проигрывает), либо повторяет его (Re-roll), в зависимости от результата (всего 3 кубика).
В третьей колонке регистрируются возможные выводы для последующих раундов. Мы можем достичь этих результатов, используя функцию «If. «Это гарантирует, что если полученный результат будет эквивалентен результату, полученному в первом раунде, мы выиграем, иначе мы будем следовать первоначальным правилам первоначальной игры, чтобы определить, будем ли мы повторно бросать кости.
Шаг 3: Выводы
На этом этапе мы определяем результат 50 кубиков. Первый вывод можно получить с помощью индексной функции. Эта функция выполняет поиск возможных результатов первого раунда, вывод, соответствующий полученному результату. Например, при получении 6, как это имеет место на рисунке ниже, мы снова играем.
Можно получить результаты других рулонов кости, используя функцию «Or» и функцию индекса, вложенную в функцию «If». Эта функция сообщает Excel: «Если предыдущий результат -« Выиграть или проиграть », перестаньте бросать кости, потому что как только мы выиграли или проиграли, мы закончили. В противном случае мы переходим к столбцу следующих возможных выводов, и мы определяем вывод результата.
Шаг 4: Количество рулонов кости
Теперь мы определяем количество бросков кубиков, необходимых до проигрыша или выигрыша. Для этого мы можем использовать функцию «Countif», которая требует, чтобы Excel подсчитывал результаты «Re-Roll» и добавлял номер 1 к ней. Он добавляет один, потому что у нас есть один дополнительный раунд, и мы получаем окончательный результат (выигрываем или проигрываем).
Шаг 5: Моделирование
Мы разрабатываем диапазон для отслеживания результатов различных симуляций. Для этого мы создадим три столбца. В первом столбце одна из приведенных цифр - 5 000. Во второй колонке мы будем искать результат после 50 кубиков. В третьем столбце, в заголовке столбца, мы будем искать количество бросков кубиков, прежде чем получить окончательный статус (выиграть или проиграть).
Затем мы создадим таблицу анализа чувствительности с использованием данных характеристик или таблицы данных таблицы (эта чувствительность будет вставлена во вторую таблицу и в третьи столбцы). В этом анализе чувствительности номера событий 1 - 5, 000 должны быть вставлены в ячейку A1 файла. Фактически, можно было выбрать любую пустую ячейку. Идея состоит в том, чтобы просто произвести перерасчет каждый раз и таким образом получить новые броски кубиков (результаты новых симуляций), не повредив формулы на месте.
Шаг 6: Вероятность
Мы можем, наконец, вычислить вероятности выигрыша и проигрыша. Мы делаем это с помощью функции «Countif».Формула подсчитывает количество «выигрышей» и «проиграет», а затем делит на общее количество событий, 5, 000, чтобы получить соответствующую долю одного и другого. Наконец, мы видим, что вероятность получить выигрыш составляет 73. 2%, а результат Lose - 26,8%.
В этой статье было адаптировать в Microsoft Excel анализа и моделирования бизнес по Wayne Winston l..
Кто использует Monte Карло?
Что происходит при вводе в ячейку =RAND() ?
Мы предлагаем точно оценить вероятностей уверены события. Например в каком вероятность того, что нового продукта денежных потоков будет иметь положительное чистой приведенной стоимости (ЧПС)? Что такое фактору риска степень нашей портфолио инвестиций? Monte Карло позволяет нам модели ситуаций, в которых представления неопределенности и воспроизводить их на компьютере тысячи раз.
Примечание: Имя Monte Карло поступает из моделирования компьютера, выполненных в течение 1930-х и 1940-х годах, чтобы оценить вероятность того, что реакция цепочки, необходимых для механизм atom для detonate будет работать успешно. Physicists, участвующие в этой работы были большая вентиляторов азартных игр, поэтому предоставил моделирования Monte Carlo имя кода.
В последующие пять главы вы увидите примеры того, как использовать Excel для выполнения Monte Карло.
Кто использует Monte Карло?
Многие компании используют Monte Карло как важные части процесс принятия решений. Ниже приведены некоторые примеры.
Общие моторов, Proctor и Gamble, Pfizer, Squibb бристольский Сидоров и Eli Lilly использовать моделирование для оценки среднее возврата и фактору риска степень новых продуктов. В GM эта информация используется генеральный Директор, чтобы определить, какие продукты поставляются на рынок.
Моделирование GM использует мероприятий, например прогнозирование чистый доход для своей организации, прогнозирование структурные и закупок затрат и определение его зависимость от различные виды риска (например, изменения процентная ставка и колебания курс).
Для определения оптимального завода емкость для каждого фармацевтическая Lilly использует моделирование.
Proctor и Gamble использует моделирование для моделирования и оптимально живая изгородь риск чужой exchange.
Sears использует моделирование, чтобы определить, сколько единиц каждую строку продукта должен быть упорядочены из поставщиков - например, количество пар trousers Dockers, которые должны быть упорядочены в этом году.
Olive Oil и фармацевтическая компании используют моделирование в значение «реальные параметры», например значение параметра развертывания, контракт или отложить проекта.
Финансовые планировщики Monte Карло использовать для определения оптимального инвестиций стратегии пенсионных своих клиентов.
Что происходит при вводе в ячейку =RAND()?
При вводе в ячейку формулы =RAND() получить номер, который одинаково вероятнее всего, предполагающие значения от 0 до 1. Таким образом около 25% от времени, вы должны получить число меньше или равно 0,25; около 10 процентов времени должно появиться число, которое по крайней мере 0.90 и т. д. Чтобы показать, как работает функция СЛЧИС, ознакомьтесь со статьей файл Randdemo.xlsx, показанный на рисунке 60-1.
На рисунке 60-1 демонстрации функция СЛЧИС
Примечание: При открытии файла Randdemo.xlsx не появляется же случайные числа показан на рисунке 60-1. Функция RAND всегда автоматически пересчитывает числами, которые он приводит к возникновению ошибки при открытии листа или при вводе новой информации в лист.
Во-первых скопируйте в ячейке C3 C4:C402 формулы =RAND() . Задайте имя диапазона C3:C402 данных . Затем в столбце F можно отслеживать среднего значения 400 случайных чисел (ячейка F2) и используйте функцию СЧЁТЕСЛИ для определения дроби, которые находятся в диапазоне от 0 и 0,25, 0,25 и 0,50, 0,50 и 0,75 и 0,75 и 1. При нажатии клавиши F9 пересчитываются случайные числа. Обратите внимание на то, что среднего значения чисел 400 всегда является примерно 0,5, а что около 25% от результатов в интервалы 0,25. Эти результаты согласованы с определением случайное число. Также Обратите внимание, что значениями, созданными в разных ячейках СЛЧИС независимым. Например если создается случайное число в ячейке C3 большим числом (например, 0,99), он сообщает нам ничего о значениях других случайные числа создаваемых.
Как можно имитировать значения отдельных случайная величина?
Предположим, что потребность в календаре регламентируется ниже отдельных случайная величина:
|
Требование |
Вероятность |
Как добавить Excel воспроизвести или имитировать, это требование календарей много раз? Для этого достаточно будет связана с возможных запросу календарей для каждого возможного значения функция RAND. Следующие назначения гарантирует возникать 10 процентов времени требование 10 000 и т. д.
Чтобы продемонстрировать моделирование запросу, просмотрите файл Discretesim.xlsx, показанный на рисунке 60-2 на следующей странице.
На рисунке 60-2 имитация отдельных случайная величина
Ключ на наш моделирование - использовать случайное число, чтобы начать подстановки из диапазона таблицы F2:G5 (так называемый подстановок ). Случайные числа больше или равно 0 и меньше, чем 0.10 вернет требование 10 000; случайные числа больше или равно 0.10 и меньше, чем 0,45 вы добьетесь требование 20 000; случайные числа больше или равно 0,45 и менее 0,75 вернет требование 40 000; и случайные числа больше или равно 0,75 вернет требование 60 000. Создание 400 случайных чисел путем копирования из C3 C4:C402 формулы RAND() . Создании 400 число_испытаний или итераций спроса календаря путем копирования из ячейки B3 B4:B402 VLOOKUP(C3,lookup,2) формулу. Эта формула гарантирует, что любой случайное число меньше 0,10 приводит к возникновению ошибки требование 10 000, любой случайное число между 0.10 и 0,45 создает запросу 20 000 и т. д. В F8:F11 диапазон ячеек используйте функцию СЧЁТЕСЛИ для определения доля нашей 400 итераций, возвращая каждого запросу. Мы нажмите клавишу F9, чтобы пересчитать случайные числа, имитацию вероятностей при близко нашей вероятностей предполагаемой запросу.
Как можно имитировать значения обычный случайная величина?
Если вы введете в любую ячейку формулы NORMINV(rand(),mu,sigma) , вы создадите имитацию значение Обычный случайная величина возникли среднюю "среднее" и стандартным отклонением "стандартное_откл" . В этой процедуре показано в файле Normalsim.xlsx, показанный на рисунке 60-3.
На рисунке 60-3 имитация обычный случайная величина
Предположим, что нам нужно смоделировать 400 число_испытаний или итераций в обычном случайная величина с среднее 40 000 и стандартное отклонение равно 10 000. (Можно введите следующие значения в ячейки E1 и E2 и присвойте имя этих ячеек в виду и сигм .) Копирование формулы =RAND() с C4 C5:C403 создает 400 различные случайные числа. При копировании из B4 B5:B403 NORMINV(C4,mean,sigma) формула создает 400 различные значения пробной версии из обычный случайная величина с среднее 40 000 и стандартное отклонение равно 10 000. Когда мы нажмите клавишу F9, чтобы пересчитать случайных чисел, среднее остается близко 40 000 и стандартным отклонением близко 10 000.
По сути случайное число x формулы NORMINV(p,mu,sigma) создает p ю процентиль обычный случайная величина с среднюю "среднее" и "стандартное_откл" стандартное отклонение. Например случайное число в ячейке C4 0,77 (просмотреть рисунке 60-3) приводит к возникновению ошибки в ячейке B4 примерно 77th процентиль обычный случайная величина с среднее 40 000 и стандартное отклонение равно 10 000.
Как определить сколько карт для получения поздравительной открытки компании?
В этом разделе вы увидите, как моделирование методом Монте Карло может использоваться как средство принятия решений. Предположим, что потребность в карточку Валентина регламентируется ниже отдельных случайная величина:
|
Требование |
Вероятность |
Поздравительная открытка продаваемых для $4,00, и переменной стоимости создания каждой карточке $1,50. Оставшиеся карты должен быть удален из оплачивается $0,20 на карта. Следует ли печатать сколько карт
По сути мы имитировать каждого количество возможных производства (10 000, 20 000, 40 000 или 60 000) много раз (например, итераций 1000). Затем мы определить, какое количество заказа дает максимальное Средняя прибыль за итераций 1000. Данные можно найти в файле Valentine.xlsx, показанный на рисунке 60-4 этого раздела. Присвоить имя диапазона в ячейках B1:B11 C1:C11 ячеек. Диапазон ячеек G3:H6 назначается имя подстановки . Наш цена продажи и параметров стоимости введены в C4:C6 ячеек.
Моделирование карточки 60 рис Валентина
Для ввода количества пробной производства (40 000 в данном примере) в ячейке C1. Теперь создайте случайное число в ячейке C2 с формулы =RAND() . Как было описано выше имитировать потребность в карточку в ячейке C3 с формулы VLOOKUP(rand,lookup,2) . (В формулу ВПР, функция rand является ячейку имя, присвоенное ячейке C3, функция RAND не.)
Число проданных единиц меньше количества производства и запросу. В ячейках C8 вычисления нашим дохода с формулой MIN (производимый, запросу) * unit_price . В ячейке C9 вычислить стоимость общее производства с использованием формулы произведено * unit_prod_cost .
Если мы получаем больше карт, чем в запросу, количество единиц оставшиеся производства равно минус запросу; в противном случае остались без единицы. Наш стоимости реализации в ячейку C10 с формулой, мы можем рассчитать unit_disp_cost * IF (произведено > запросу, подготовленные - запросу, 0) . И, наконец в ячейке C11, мы можем рассчитать наша прибыль как выручки - total_var_cost-total_disposing_cost .
Мы предлагаем эффективный способ нажмите клавишу F9, сколько раз (например, 1000) для каждого количества производства и перечень наша ожидаемые прибыль для каждого количества. Эта ситуация входит в котором двумерная таблица данных приходит нашей помощь. (Читайте в статье главе 15 «Чувствительности анализа с помощью таблицы данных,» подробные сведения о таблицах данных). Таблица данных, используемые в этом примере показан на рисунке 60-5.
На рисунке 60-5 двумерная таблица данных для имитации поздравительных открыток
В диапазоне ячеек A16:A1015 введите номера 1 – 1000 (соответствующий нашей число_испытаний 1000). Простой способ создать эти значения - начать путем ввода в ячейке A16 1 . Выделите ячейку, а затем на вкладке Главная в группе " Редактирование ", нажмите кнопку заполнить и выберите ряд , чтобы отобразить диалоговое окно ряда . В диалоговом окне рядов , показанный на рисунке 60-6 введите значение шага 1 и остановить значение 1000. В области В серии выберите параметр столбцы и нажмите кнопку ОК . Номера 1 – 1000 будут введены в столбце открывающая в ячейке A16.
60-рис используется ряд диалоговое окно для заполнения пробная версия число от 1 до 1000
Далее мы введите нашей количества возможных производства (10 000, 20 000, 40 000, 60 000) в ячейках B15:E15. Нам нужно рассчитать прибыль для каждого номера пробной версии (от 1 до 1000) и каждого количества производства. Мы ссылаются формулы для прибыли (вычисляемые в ячейку C11) в левую верхнюю ячейку нашей таблицы данных (A15), введя = C11 .
Мы теперь готовы обмана Excel в имитации итераций 1000 спроса для каждого количества производства. Выделите диапазон ячеек таблицы (A15:E1014) и нажмите кнопку Анализ What, если в группе Работа с данными на вкладке "данные", затем выберите таблица данных. Чтобы настроить двумерная таблица данных, выберите нашей количества производства (ячейка C1) как ячейки ввода строки и выберите любую пустую ячейку (мы выбрали ячейку I14) в качестве входных данных ячейки столбца. После нажатия кнопки ОК, Excel имитирует 1000 запросу значения для каждого количество заказа.
Чтобы понять, почему это работает, рассмотрите возможность помещены в таблице данных в диапазоне ячеек C16:C1015 значения. Для каждого из этих ячеек Excel будет использовать значение 20 000 в ячейке C1. В C16 значение столбца Подставлять значения по строкам 1 помещается в пустую ячейку и случайное число в ячейке C2 пересчитывается. Выберите соответствующий отчет о прибылях указан в ячейке C16. Затем входного значения ячейки столбца 2 помещается в пустую ячейку и еще раз пересчитывает случайное число в ячейке C2. В ячейке C17 вводится соответствующих profit.
Путем копирования ячейки B13 C13:E13 AVERAGE(B16:B1015) формулу, мы можем рассчитать Средняя прибыль имитацию для каждого количества производства. Путем копирования из ячейки B14 C14:E14 формула STDEV(B16:B1015) стандартное отклонение нашей имитацию доходов для каждого заказа количество вычислять. Каждый раз, мы нажмите клавишу F9, итераций 1000 спроса являются имитации для каждого количество заказа. Создание 40 000 карточек всегда дает наибольшее ожидаемые прибыль. Таким образом изменяется создания карты 40 000 правильности соответствующие решения.
Влияние риска в нашей решения Если мы произведено 20 000 вместо 40 000 карточек, наша ожидаемые прибыль удаляет около 22%, но наши риска (, определяемый стандартное отклонение прибыль) удаляет почти 73 процентов. Таким образом Если Приносим превышении к снижению возможных с риском, создавая 20 000 карточек может быть правильное решение. Кстати создания карты 10 000 всегда имеет стандартное отклонение равно 0 карт так, как если мы получаем 10 000 карточек, будут всегда продается некоторые из них без любой leftovers.
Примечание: В этой книге пересчета присвоено Автоматически, кроме таблиц . (Воспользуйтесь командой вычислений в группе вычисления на вкладке "формулы"). Это обеспечит нашей таблице данных пересчитываются Если мы нажмите клавишу F9, которая лучше поскольку большие объемы данных таблицы замедлится свою работу, если он будет пересчитываться всякий раз вы введете слова на лист. Обратите внимание, что в этом примере при нажатии клавиши F9, среднюю прибыль изменится. Это происходит потому, что каждый раз при нажатии клавиши F9, другой последовательности 1000 случайных чисел используется для создания требования количество каждого заказа.
Доверительный интервал для означает прибыли Естественные вопрос в этом случае: в каких интервал адаптация и убедиться, что ИСТИНА среднюю прибыль будет находиться в интервале 95%? Этот интервал называется 95 процентов доверительный интервал для среднего profit . 95 процентов доверительный интервал для среднего выходные данные моделирование вычисляется по следующей формуле:
Супермаркет выплатой $1,00 для каждой копии людей и продаваемых для $1.95. Каждой Непроданное копии могут быть возвращены для $0,50. Сколько копий Пользователи должны хранилище порядке?
Продавец GMC считает нормально распределенным потребность делегатов 2005 с 200 средним и стандартным отклонением 30. Получение о представителе его стоимость составляет $25000 и он продаваемых о представителе за 40 000 рублей. Половина всех делегатов, не проданных по полной цены могут быть проданы за 30 000. Он учет порядком 200, 220, 240, 260, 280 или 300 делегатов. Сколько должны он заказать?
Небольшой Супермаркет пытается определить, сколько копий люди журнала они должны заказать еженедельно. Они уверенность в том, что их потребность пользователям регламентируется ниже отдельных случайная величина:
|
Требование |
Вероятность |
Дополнительные сведения
Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community , попросить помощи в сообществе Answers community , а также предложить новую функцию или улучшение на веб-сайте
Глава 2. Примеры использования метода Монте-Карло 8
2.1 Простейший пример использования метода Монте-Карло 8
2.2 Вычисление числа Пи методом Монте-Карло 8
2.2.1 Постановка задачи для нахождения числа Пи методом Монте-Карло 10
2.2.2 Листинг программы для нахождения числа Пи методом Монте-Карло 10
2.3 Решение задачи аналитически и методом Монте-Карло 12
Глава 3. Генерация случайных чисел 17
Заключение 20
Список литературы 21
Введение
Методы Монте-Карло – это общее название группы методов для решения различных задач с помощью случайных последовательностей. Эти методы (как и вся теория вероятностей) выросли из попыток людей улучшить свои шансы в азартных играх. Этим объясняется и тот факт, что название этой группе методов дал город Монте-Карло – столица европейского игорного бизнеса (казино), где играют в рулетку – одно из простейших устройств для получения случайных чисел, на использовании которых основан этот метод.
ЭВМ позволяют легко получать так называемые псевдослучайные числа (при решении задач их применяют вместо случайных чисел); это привело к широкому внедрению метода во многие области науки и техники (статистическая физика, теория массового обслуживания, теория игр и др.).
Глава 1. Предыстория и определение метода Монте-Карло
Создателями метода статистических испытаний (метода Монте-Карло) считают американских математиков Д. Неймана и С. Улама. В 1944 году, в связи с работами по созданию атомной бомбы Нейман предложил широко использовать аппарат теории вероятностей для решения прикладных задач с помощью ЭВМ. Первая работа, где этот вопрос систематически излагался, принадлежит Метрополису и Уламу.
Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались малопригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию. К разделам науки, где все в большей мере используется метод Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, задачи теории игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений при наличии помех и ряд других.
Аналитические методы дают решение задачи либо в виде формулы, либо в виде разложения в ряды или интегралы по полному набору собственных функций какого-нибудь оператора.
Классические численные методы дают приближенную схему решения задачи, связанную, обычно с разбиением пространства на строго определенные клетки и заменой интегрирования суммированием и дифференцирования – конечными разностями.
Основными недостатками аналитических методов являются:
Недостаточная универсальность основных способов решения. Например, способ разложения в ряд по собственным функциям практически не работают для тех дифференциальных уравнений в частных производных, где переменные не разделяются, и так далее.
Крайне ограниченный набор геометрических условий, для которых возможно решение задачи. Даже сочетание простых, но разнотипных поверхностей делает задачу неразрешимой.
Невозможность расчета физического процесса, вероятностное описание которого известно, но выражение в виде уравнения крайне затруднительно.
Классические численные методы исправляют часть этих недостатков, но зато добавляют свои собственные. Они не страшатся сложной геометрии задач, однако:
Они чрезвычайно громоздки. Объем промежуточной информации трудно вместить даже в память современного компьютера.
Оценка погрешности решения представляет намного более трудную процедуру, чем сам процесс решения. Зачастую она просто невозможна.
Метод статистических испытаний свободен от всех этих недостатков.
Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайной величины с целью вычисления характеристик их распределений. Это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.
Задача метода Монте-Карло после получения ряда реализаций интересующей нас случайной величины заключается в получении некоторых сведений о ее распределении, т.е. является типичной задачей математической статистики.
Итак, сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величинуX , математическое ожидание которой равно а:
М(Х)= A .
Практически же поступают так: производят N испытаний, в результате которых получают N возможных значений X, вычисляют их среднее арифметическое и принимают его в качестве оценки (приближенного значения) A ’ искомого числа A .
Как правило, составляется программа для осуществления одного случайного испытания. Погрешность вычислений, как правило, пропорциональна , где D – некоторая постоянная.
Это значит, что N должно быть велико, поэтому метод существенно опирается на возможности ЭВМ. Ясно, что добиться таким путем высокой точности невозможно. Это один из недостатков метода. Во многих задачах удается значительно увеличить точность, выбрав способ расчета, которому соответствует значительно меньшее D .
Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину X, как найти ее возможные значения.
Отыскание возможных значений случайной величины Х (моделирование) называют «разыгрыванием случайной величины».
Метод Монте-Карло позволяет моделировать любой процесс, на протекание которого влияют случайные факторы. Для многих математических задач, не связанных с какими-либо случайностями, можно искусственно придумать вероятностную модель, которая в некоторых случаях является более выгодной.
В отличие от аналитических методов, ищущих решение в виде ряда по собственным функциям, методы Монте-Карло ищут решения в виде статистических сумм. Для их применения достаточно описания вероятностного процесса и не обязательна его формулировка в виде интегрального уравнения; оценка погрешности чрезвычайно проста, их точность слабо зависит от размерности пространства.
Главный недостаток метода Монте-Карло заключается в том, что, являясь в основном численным методом, он не может заменить аналитические методы при расчете существенно новых явлений, где, прежде всего, нужно раскрытие качественных закономерностей.
Преимущество метода Монте-Карло состоит в том, что он способен “сработать” там, где не справляются другие методы.
Аналитические методы исследования позволяют существенно уменьшить погрешность метода Монте-Карло и могут поднять его до уровня получения качественных закономерностей. Синтез аналитических и статистических методов может свести D к очень малой величине, следовательно, уменьшить погрешность.
Приведем примеры задач, решаемых методом Монте-Карло:
расчет системы массового обслуживания;
расчет качества и надежности изделий;
теория передачи сообщений;
вычисление определенного интеграла;
задачи вычислительной математики;
задачи нейтронной физики и другие.
Глава 2. Примеры использования метода Монте-Карло
2.1 Простейший пример использования метода Монте-Карло
П
редположим, что нам нужно определить площадь плоской фигуры, расположенной внутри единичного квадрата, т.е. квадрата, сторона которого равна единице (рис. 1). Выберем внутри квадрата наугад
N
точек. Обозначим через M
количество точек, попавших при этом внутрь фигуры. Тогда площадь фигуры приближенно равна отношению 
. Отсюда, чем больше N
, тем больше точность такой оценки.
Рисунок 1. Площадь фигуры приближенно равна, отношению числа точек попавших в фигуру к числу всех точек.
2.2 Вычисление числа Пи методом Монте-Карло
Попробуем построить метод Монте-Карло для решения задачи о вычислении числа Пи. Для этого рассмотрим четверть круга единичного радиуса (рис. 2). Площадь круга равна 
, очевидно, площадь четверти круга равна:
.
Зная, что радиус круга равен 1, получим:
X
Рисунок 2. Нахождение числа Пи методом Монте-Карло.
Площадь же всего единичного квадрата OABC
равна 1. Будем случайным образом выбирать точки внутри квадрата OABC
. Координаты точек должны быть, 
и 
. Теперь подсчитаем количество точек таких, что 
, т.е. те точки, которые попадают внутрь круга.
Пусть всего было испытано N точек, и из них M попало в круг. Рассмотрим отношение количества точек, попавших в круг, к общему количеству точек (M /N ). Очевидно, что чем больше случайных точек мы испытаем, тем это отношение будет ближе к отношению площадей четверти круга и квадрата. Таким образом, имеем, что, для достаточно больших N , верно равенство:
.
Из полученного равенства:
Итак, мы построили метод Монте-Карло для вычисления числа Пи. Опять перед нами стоит вопрос о том, какое именно количество точек N нужно испытать для того, чтобы получить Пи с предсказуемой точностью? Вопрос о точности вычислений с помощью методов Монте-Карло рассматривается в традиционных курсах теории вероятностей, и мы не будем останавливаться на нем подробно. Можно отметить лишь, что точность вычислений очень сильно зависит от качества используемого генератора псевдослучайных чисел. Другими словами, точность тем выше, чем более равномерно случайные точки распределяются по единичному квадрату.
2.2.1 Постановка задачи для нахождения числа Пи методом Монте-Карло
Для проверки формулы , была написана программа в среде программирования Турбо Паскаль. В программе нужно ввести число K – количество испытаний и число N – количество испытываемых точек. Для координат точек (X, Y) используется генератор случайных чисел. Результаты всех испытаний усредняются.
2.2.2 Листинг программы для нахождения числа Пи методом Монте-Карло
K, {количество испытаний}
N, {количество точек}
i, j: word; {для циклов}
s, {сумма всех Пи}
P: real; {среднеарифметическое значение Пи}
{функция возвращает число Пи}
FUNCTION raschet: real;
x, y: word; {координаты точек}
M: word; {число точек попавших в окружность}
for i:=1 to N do
x:=random(2); {x, y – случайные числа}
if sqr(x)+sqr(y)<=1 then inc(M); {точка с координатами x, y попала в круг}
raschet:=4*M/N; {из формулы }
write("Введите количество испытаний: ");
write("Введите количество испытываемых точек: ");
for j:=1 to K do s:=s+raschet;
writeln("Число Пи, рассчитанное методом Монте-Карло равно:");
writeln("Точное число Пи равно:");
writeln(Pi:1:6);
Итак, с помощью этой программы была проверена верность формулы . В результате получилось число Пи равное: 3.000808 , при количестве испытаний 500 раз с количеством точек 5000. Точное число Пи равно: 3.141593 .
Как и говорилось выше более точный ответ можно получить при очень большом количестве проведенных опытов, при испытании большего количества точек и при использовании качественного генератора псевдослучайных чисел.
2.3 Решение задачи аналитически и методом Монте-Карло
Рассмотрим задачу:
Система контроля качества продукции состоит из трех приборов. Вероятность безотказной работы каждого из них в течение времени Т
равна 5/6. Приборы выходят из строя независимо друг от друга. При отказе хотя бы одного прибора вся система перестает работать. Найти вероятность 
того, что система откажет за время Т.
Аналитическое решение.
Событие А
– выход из строя хотя бы одного из трех приборов за время Т и событие 
– ни один из трех приборов не выйдет из строя за время Т, противоположные. Вероятность 
– искомая вероятность. Отсюда:
Теперь решим задачу методом Монте-Карло.
Напомним, что при использовании данного метода возможны два подхода: либо непосредственно проводят эксперименты, либо имитируют их другими экспериментами, имеющими с исходными одинаковую вероятностную структуру. В условиях данной задачи «натуральный» эксперимент – наблюдение за работой системы в течение времени Т. Многократное повторение этого эксперимента может оказаться трудноосуществимым или просто невозможным. Заменим этот эксперимент другим.
Для определения того, выйдет или не выйдет из строя за время Т отдельный прибор, будем подбрасывать игральную кость. Если выпадет одно очко, то будем считать, что прибор вышел из строя; если два, три, четыре, пять, шесть очков, то будем считать, что прибор работал безотказно. Вероятность того, что выпадет одно очко, так же как и вероятность выхода прибора из строя, равна 1/6, а вероятность того, что выпадет любое другое число очков, как и вероятность безотказной работы прибора, равна 5/6.
Чтобы определить, откажет или нет вся система за время Т, будем подбрасывать три игральные кости. Если хотя бы на одной из трех костей выпадет одно очко, то это будет означать, что система отказала.
Повторим испытание, состоящее в подбрасывании трех игральных костей, много раз подряд и найдем отношение числа M – отказов системы к общему числу N – проведенных испытаний. Вероятность отказа будет равна:
Для проверки формулы , которая основана на методе Монте-Карло, я решил написать программу в среде программирования Турбо Паскаль. Дело в том, что если бы вероятность безотказной работы приборов была не , а например , имитировать другими экспериментами, имеющими с исходными одинаковую вероятностную структуру, без использования ЭВМ было бы затруднительно.
Данная программа рассчитана на любые подобные задачи. В конце расчетов программа выдает два ответа. Первый – полученный методом Монте-Карло по формуле . Второй – полученный аналитическим методом по формуле .
В программе нужно ввести: B – количество приборов; вероятность в виде дроби; N – количество проведенных опытов.
B, {количество приборов}
S, D: byte; {вероятность P(A)=S/D}
N, {количество опытов}
i, j, {для циклов}
summa: word; {суммарное число отказов}
P_M, P_A: real; {полученная вероятность}
{функция возвращает количество отказов за одно испытание}
FUNCTION otkaz: word;
for i:=1 to B do
R:=random(D+1)+1; {случайное число >=1 и <=D}
if R<=D-S then inc(o); {выпал "отказ"}
write("Введите количество приборов: ");
writeln("Введите вероятность безотказной работы (в виде дроби):");
write(" числитель – ");
write(" знаменатель – ");
readln(D); {т.е. P=S/D}
write("Введите количество опытов: ");
{расчет методом Монте-Карло}
for j:=1 to N do summa:=summa+otkaz;
{расчет аналитическим методом}
for i:=1 to B-1 do P_A:=P_A*S/D; {возведение в степень}
writeln("* * * Ответ * * *");
writeln("Методом Монте-Карло: ", P_M:1:6);
writeln("Аналитическим методом: ", P_A:1:6);
Итак, проверив формулу с помощью своей программы со значениями: количество приборов – 3; вероятность безотказной работы ; количество опытов – 50000, я получил два ответа. Решение задачи методом Монте-Карло – 0.429420 . Решение задачи аналитическим методом – 0.421296 . Отсюда вывод – вероятность, полученная разными методами сходна.
Глава 3. Генерация случайных чисел
В строго детерминированном мире процессорных кодов внесение в программу элемента случайности – не такая простая задача, как может показаться на первый взгляд. В этом мы убедились, получив значение числа Пи в программе, приведенной в главе 2. Наиболее часто встречающиеся приложения, в которых необходимо использование случайных чисел – это численное моделирование методом Монте-Карло и создание компьютерных игр.
Итак, дадим определение этих чисел. Обозначим через R непрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале (0, 1).
Случайными числами называют возможные значения r j непрерывной случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (0, 1).
В действительности пользуются не равномерно распределенной случайной величиной R , возможные значения которой имеют бесконечное число десятичных знаков, а квазиравномерной случайной величиной R’, возможные значения которой имеют конечное число знаков. В результате замены R на R ’ разыгрываемая величина имеет не точно, а приближенно заданное распределение.
Случайная величина R’ обладает свойством: вероятность попадания ее в любой интервал, принадлежащий интервалу (0; 1) равна длине этого интервала.
Получение случайных чисел – важная стадия компьютерного эксперимента, которой не всегда уделяется должное внимание. Используемые на практике численные алгоритмы приводят к получению псевдослучайных чисел, особенностями которых являются ограниченность и повторяемость последовательности.
Исчерпание этой последовательности при большом числе циклов Монте-Карло или размере системы снижает ее фактический размер до:
N – размер системы (количество частиц);
P – период последовательности псевдослучайных чисел;
k – количество случайных чисел, используемых для определения состояния одной частицы;
n – суммарное количество циклов Монте-Карло, необходимое для стабилизации системы и расчета ее характеристик.
Например, при моделировании системы Изинга, состоящей из 2000 частиц требуется, как правило, не менее 500 циклов МК, т.е. необходимо не менее 10 5 случайных чисел. Если используемый генератор является 16-ти разрядным и не может произвести последовательность, состоящую из более чем 2 16 (65536) псевдослучайных чисел, то фактический размер системы по формуле будет порядка 1000 частиц.
С играми ситуация еще более трагическая: например, колода из 52 карт может быть упорядочена 52! способами. Это примерно 8e67 или 2 226 . Значит для того, чтобы в процессе игры мог возникнуть любой расклад, создателю полноценной карточной игры типа «21» необходим 256 разрядный генератор случайных чисел. Если колода состоит из 36 карт, то соответствующие числа равны 4e41 и 2 138 , т.е. без суперкомпьютера опять не обойдешься. В карточной игре «преферанс» количество вариантов раздач равно 32!/10! или 2 96 , что тоже не мало. Несмотря на несравнимость этих чисел с реальными возможностями 32-х разрядного процессора, необходимо, конечно, использовать его возможности максимально, ведь только так можно приблизиться к разнообразию реальности.
Заключение
В отличие от аналитических методов, ищущих решение в виде ряда по собственным функциям, методы Монте-Карло ищут решения в виде статистических сумм. Для их применения достаточно описания вероятностного процесса и не обязательна его формулировка в виде интегрального уравнения; оценка погрешности чрезвычайно проста, их точность слабо зависит от размерности пространства. В этом мы убедились, проведя опыты для решения двух простых задач. Результаты опытов показали свою точность, поэтому с помощью метода Монте-Карло решаются многие сложные задачи, которые очень сложно или невозможно решить другими методами.
Задачи, решаемые методом Монте-Карло: расчет системы массового обслуживания; расчет качества и надежности изделий; теория передачи сообщений; вычисление определенного интеграла; задачи вычислительной математики; задачи нейтронной физики; моделирования дискретных и непрерывных случайных величин; моделирования случайных процессов и полей; вычисления многомерных интегралов и другие.
Список литературы
И.М.Соболь «Метод Монте-Карло», М., 1985
Интернет-ресурс «Предыстория и определение метода Монте-Карло» /GIS/Learning/Monte-Carlo_2/Page01.htm
/~gene/probset/prob13.koi8.html
Интернет-ресурс «Метод Монте-Карло» /Exponenta_Ru/educat/systemat/boziev/13.asp.htm
Интернет-ресурс «Вундеркинд» /2001/leto/stend/Vynderkind.htm
Интернет-ресурс «Метод Монте-Карло» /docs/TViMS/NP/lekziitv/lekziya17.htm
Документ
Предыдущих главах настоящей работы. Такая модификация позволила сделать метод Монте -Карло более... 78 до 0,95. Пример одной из таких связей... точками (при использовании метода Монте -Карло ). Основным недостатком первого метода является недостаточная...
Потапов виктор николаевич разработка радиометрических систем и методов полевых и дистанционных измерений радиоактивного загрязнения
Автореферат диссертации... использованием метода Монте -Карло для условий реальной геометрии спектрометрического измерения. Метод Монте -Карло ... расчетов. Глава III. Спектрометрические методы определения... разделе 4.2 приведены примеры использования прибора при измерениях...
Глава 11 эконометрические информационные технологии
ДокументИтоговой процедуры можно рассчитать (см. примеры в главе 13). В результате итоговую процедуру нельзя... использовании метода сценариев (см. главу 12). При имитационном моделировании часто используется метод статистических испытаний (Монте -Карло ...