В предыдущих подразделах мы рассмотрели вопрос об оценке неизвестного параметра а одним числом. Такая оценка называется «точечной». В ряде задач требуется не только найти для параметра а подходящее численное значение, но и оценить его точность и надежность. Требуется знать, к каким ошибкам может привести замена параметра а его точечной оценкой а и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы?

Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений, когда точечная оценка а в значительной мере случайна и приближенная замена а на а может привести к серьезным ошибкам.

Чтобы дать представление о точности и надежности оценки а ,

в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Пусть для параметра а получена из опыта несмещенная оценка а. Мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность р (например, р = 0,9, 0,95 или 0,99) такую, что событие с вероятностью р можно считать практически достоверным, и найдем такое значение s, для которого

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене а на а , будет ± s; большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью а = 1 - р. Перепишем (14.3.1) в виде:

Равенство (14.3.2) означает, что с вероятностью р неизвестное значение параметра а попадает в интервал

При этом необходимо отметить одно обстоятельство. Ранее мы неоднократно рассматривали вероятность попадания случайной величины в заданный неслучайный интервал. Здесь дело обстоит иначе: величина а не случайна, зато случаен интервал / р. Случайно его положение на оси абсцисс, определяемое его центром а ; случайна вообще и длина интервала 2s, так как величина s вычисляется, как правило, по опытным данным. Поэтому в данном случае лучше будет толковать величину р не как вероятность «попадания» точки а в интервал / р, а как вероятность того, что случайный интервал / р накроет точку а (рис. 14.3.1).

Рис. 14.3.1

Вероятность р принято называть доверительной вероятностью , а интервал / р - доверительным интервалом . Границы интервала If. а х =а- s и а 2 = а + а называются доверительными границами.

Дадим еще одно истолкование понятию доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра а, совместимых с опытными данными и не противоречащих им. Действительно, если условиться считать событие с вероятностью а = 1-р практически невозможным, то те значения параметра а, для которых а - а > s, нужно признать противоречащими опытным данным, а те, для которых |а - а a t na 2 .

Пусть для параметра а имеется несмещенная оценка а. Если бы нам был известен закон распределения величины а , задача нахождения доверительного интервала была бы весьма проста: достаточно было бы найти такое значение s, для которого

Затруднение состоит в том, что закон распределения оценки а зависит от закона распределения величины X и, следовательно, от его неизвестных параметров (в частности, и от самого параметра а).

Чтобы обойти это затруднение, можно применить следующий грубо приближенный прием: заменить в выражении для s неизвестные параметры их точечными оценками. При сравнительно большом числе опытов п (порядка 20...30) этот прием обычно дает удовлетворительные по точности результаты.

В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале для математического ожидания.

Пусть произведено п X, характеристики которой - математическое ожидание т и дисперсия D - неизвестны. Для этих параметров получены оценки:

Требуется построить доверительный интервал / р, соответствующий доверительной вероятности р, для математического ожидания т величины X.

При решении этой задачи воспользуемся тем, что величина т представляет собой сумму п независимых одинаково распределенных случайных величин X h и согласно центральной предельной теореме при достаточно большом п ее закон распределения близок к нормальному. На практике даже при относительно небольшом числе слагаемых (порядка 10...20) закон распределения суммы можно приближенно считать нормальным. Будем исходить из того, что величина т распределена по нормальному закону. Характеристики этого закона - математическое ожидание и дисперсия - равны соответственно т и

(см. главу 13 подраздел 13.3). Предположим, что величина D нам известна и найдем такую величину Ер, для которой

Применяя формулу (6.3.5) главы 6, выразим вероятность в левой части (14.3.5) через нормальную функцию распределения

где - среднее квадратичное отклонение оценки т.

Из уравнения

находим значение Sp:

где arg Ф* (х) - функция, обратная Ф* (х), т.е. такое значение аргумента, при котором нормальная функция распределения равна х.

Дисперсия D, через которую выражена величина а 1П, нам в точности не известна; в качестве ее ориентировочного значения можно воспользоваться оценкой D (14.3.4) и положить приближенно:

Таким образом, приближенно решена задача построения доверительного интервала, который равен:

где gp определяется формулой (14.3.7).

Чтобы избежать при вычислении s p обратного интерполирования в таблицах функции Ф* (л), удобно составить специальную таблицу (табл. 14.3.1), где приводятся значения величины

в зависимости от р. Величина (р определяет для нормального закона число средних квадратических отклонений, которое нужно отложить вправо и влево от центра рассеивания для того, чтобы вероятность попадания в полученный участок была равна р.

Через величину 7 р доверительный интервал выражается в виде:

Таблица 14.3.1

Пример 1. Проведено 20 опытов над величиной X; результаты приведены в табл. 14.3.2.

Таблица 14.3.2

Требуется найти оценку от для математического ожидания от величины X и построить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности р = 0,8.

Решение. Имеем:

Выбрав за начало отсчета л: = 10, по третьей формуле (14.2.14) находим несмещенную оценку D :

По табл. 14.3,1 находим

Доверительные границы:

Доверительный интервал:

Значения параметра т, лежащие в этом интервале, являются совместимыми с опытными данными, приведенными в табл. 14.3.2.

Аналогичным способом может быть построен доверительный интервал и для дисперсии.

Пусть произведено п независимых опытов над случайной величиной X с неизвестными параметрами от и Л, и для дисперсии D получена несмещенная оценка:

Требуется приближенно построить доверительный интервал для дисперсии.

Из формулы (14.3.11) видно, что величина D представляет собой

сумму п случайных величин вида . Эти величины не являются

независимыми, так как в любую из них входит величина т, зависящая от всех остальных. Однако можно показать, что при увеличении п закон распределения их суммы тоже приближается к нормальному. Практически при п = 20...30 он уже может считаться нормальным.

Предположим, что это так, и найдем характеристики этого закона: математическое ожидание и дисперсию. Так как оценка D - несмещенная, то М[D] = D.

Вычисление дисперсии D D связано со сравнительно сложными выкладками, поэтому приведем ее выражение без вывода:

где ц 4 - четвертый центральный момент величины X.

Чтобы воспользоваться этим выражением, нужно подставить в него значения ц 4 и D (хотя бы приближенные). Вместо D можно воспользоваться его оценкой D . В принципе четвертый центральный момент тоже можно заменить его оценкой, например величиной вида:

но такая замена даст крайне невысокую точность, так как вообще при ограниченном числе опытов моменты высокого порядка определяются с большими ошибками. Однако на практике часто бывает, что вид закона распределения величины X известен заранее: неизвестны лишь его параметры. Тогда можно попытаться выразить ц 4 через D.

Возьмем наиболее часто встречающийся случай, когда величина X распределена по нормальному закону. Тогда ее четвертый центральный момент выражается через дисперсию (см. главу 6 подраздел 6.2);

и формула (14.3.12) дает или

Заменяя в (14.3.14) неизвестное D его оценкой D , получим: откуда

Момент ц 4 можно выразить через D также и в некоторых других случаях, когда распределение величины X не является нормальным, но вид его известен. Например, для закона равномерной плотности (см. главу 5) имеем:

где (а, Р) - интервал, на котором задан закон.

Следовательно,

По формуле (14.3.12) получим: откуда находим приближенно

В случаях, когда вид закона распределения величины 26 неизвестен, при ориентировочной оценке величины а /} рекомендуется все же пользоваться формулой (14.3.16), если нет специальных оснований считать, что этот закон сильно отличается от нормального (обладает заметным положительным или отрицательным эксцессом).

Если ориентировочное значение а /} тем или иным способом получено, то можно построить доверительный интервал для дисперсии аналогично тому, как мы строили его для математического ожидания:

где величина в зависимости от заданной вероятности р находится по табл. 14.3.1.

Пример 2. Найти приближенно 80%-й доверительный интервал для дисперсии случайной величины X в условиях примера 1, если известно, что величина X распределена по закону, близкому к нормальному.

Решение. Величина остается той же, что в табл. 14.3.1:

По формуле (14.3.16)

По формуле (14.3.18) находим доверительный интервал:

Соответствующий интервал значений среднего квадратичного отклонения: (0,21; 0,29).

14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону

В предыдущем подразделе мы рассмотрели грубо приближенные методы построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии. Здесь мы дадим представление о точных методах решения той же задачи. Подчеркнем, что для точного нахождения доверительных интервалов совершенно необходимо знать заранее вид закона распределения величины X, тогда как для применения приближенных методов это не обязательно.

Идея точных методов построения доверительных интервалов сводится к следующему. Любой доверительный интервал находится из условия, выражающего вероятность выполнения некоторых неравенств, в которые входит интересующая нас оценка а. Закон распределения оценки а в общем случае зависит от неизвестных параметров величины X. Однако иногда удается перейти в неравенствах от случайной величины а к какой-либо другой функции наблюденных значений Х п Х 2 , ..., X п. закон распределения которой не зависит от неизвестных параметров, а зависит только от числа опытов и и от вида закона распределения величины X. Такого рода случайные величины играют большую роль в математической статистике; они наиболее подробно изучены для случая нормального распределения величины X.

Например, доказано, что при нормальном распределении величины X случайная величина

подчиняется так называемому закону распределения Стъюдента с п - 1 степенями свободы; плотность этого закона имеет вид

где Г (х) - известная гамма-функция:

Доказано также, что случайная величина

имеет «распределение % 2 » с п - 1 степенями свободы (см. главу 7), плотность которого выражается формулой

Не останавливаясь на выводах распределений (14.4.2) и (14.4.4), покажем, как их можно применить при построении доверительных интервалов для параметров ти D .

Пусть произведено п независимых опытов над случайной величиной X, распределенной по нормальному закону с неизвестными параметрами тиО. Для этих параметров получены оценки

Требуется построить доверительные интервалы для обоих параметров, соответствующие доверительной вероятности р.

Построим сначала доверительный интервал для математического ожидания. Естественно этот интервал взять симметричным относительно т ; обозначим s p половину длины интервала. Величину s p нужно выбрать так, чтобы выполнялось условие

Попытаемся перейти в левой части равенства (14.4.5) от случайной величины т к случайной величине Т, распределенной по закону Стьюдента. Для этого умножим обе части неравенства |m-w?|

на положительную величину: или, пользуясь обозначением (14.4.1),

Найдем такое число / р, что Величина / р найдется из условия

Из формулы (14.4.2) видно, что (1) - четная функция, поэтому (14.4.8) дает

Равенство (14.4.9) определяет величину / р в зависимости от р. Если иметь в своем распоряжении таблицу значений интеграла

то величину / р можно найти обратным интерполированием в таблице. Однако удобнее составить заранее таблицу значений / р. Такая таблица дается в приложении (табл. 5). В этой таблице приведены значения в зависимости от доверительной вероятности р и числа степеней свободы п - 1. Определив / р по табл. 5 и полагая

мы найдем половину ширины доверительного интервала / р и сам интервал

Пример 1. Произведено 5 независимых опытов над случайной величиной X, распределенной нормально с неизвестными параметрами т и о. Результаты опытов приведены в табл. 14.4.1.

Таблица 14.4.1

Найти оценку т для математического ожидания и построить для него 90%-й доверительный интервал / р (т.е. интервал, соответствующий доверительной вероятности р = 0,9).

Решение. Имеем:

По таблице 5 приложения для п - 1 = 4 и р = 0,9 находим откуда

Доверительный интервал будет

Пример 2. Для условий примера 1 подраздела 14.3, предполагая величину X распределенной нормально, найти точный доверительный интервал.

Решение. По таблице 5 приложения находим при п - 1 = 19ир =

0,8 / р =1,328; отсюда

Сравнивая с решением примера 1 подраздела 14.3 (е р = 0,072), убеждаемся, что расхождение весьма незначительно. Если сохранить точность до второго знака после запятой, то доверительные интервалы, найденные точным и приближенным методами, совпадают:

Перейдем к построению доверительного интервала для дисперсии. Рассмотрим несмещенную оценку дисперсии

и выразим случайную величину D через величину V (14.4.3), имеющую распределение х 2 (14.4.4):

Зная закон распределения величины V, можно найти интервал / (1 , в который она попадает с заданной вероятностью р.

Закон распределения k n _ x {v) величины I 7 имеет вид, изображенный на рис. 14.4.1.

Рис. 14.4.1

Возникает вопрос: как выбрать интервал / р? Если бы закон распределения величины V был симметричным (как нормальный закон или распределение Стьюдента), естественно было бы взять интервал /р симметричным относительно математического ожидания. В данном случае закон к п _ х (v) несимметричен. Условимся выбирать интервал /р так, чтобы вероятности выхода величины V за пределы интервала вправо и влево (заштрихованные площади на рис. 14.4.1) были одинаковы и равны

Чтобы построить интервал / р с таким свойством, воспользуемся табл. 4 приложения: в ней приведены числа у} такие, что

для величины V, имеющей х 2 -распределение с г степенями свободы. В нашем случае г = п - 1. Зафиксируем г = п - 1 и найдем в соответствующей строке табл. 4 два значения х 2 - одно, отвечающее вероятности другое - вероятности Обозначим эти

значения у 2 и xl ? Интервал имеет у 2 , своим левым, а у ~ правым концом.

Теперь найдем по интервалу / р искомый доверительный интервал /|, для дисперсии с границами D, и D 2 , который накрывает точку D с вероятностью р:

Построим такой интервал / (, = (?> ь А), который накрывает точку D тогда и только тогда, когда величина V попадает в интервал / р. Покажем, что интервал

удовлетворяет этому условию. Действительно, неравенства равносильны неравенствам

а эти неравенства выполняются с вероятностью р. Таким образом, доверительный интервал для дисперсии найден и выражается формулой (14.4.13).

Пример 3. Найти доверительный интервал для дисперсии в условиях примера 2 подраздела 14.3, если известно, что величинаX распределена нормально.

Решение. Имеем . По таблице 4 приложения

находим при г = п - 1 = 19

По формуле (14.4.13) находим доверительный интервал для дисперсии

Соответствующий интервал для среднего квадратичного отклонения: (0,21; 0,32). Этот интервал лишь незначительно превосходит полученный в примере 2 подраздела 14.3 приближенным методом интервал (0,21; 0,29).

• На рисунке 14.3.1 рассматривается доверительный интервал, симметричный относительно а. Вообще, как мы увидим дальше, это необязательно.

Цель – научить студентов алгоритмам вычисления доверительных интервалов статистических параметров.

При статистической обработке данных вычисленные средняя арифметическая, коэффициент вариации, коэффициент корреляции, критерии различия и другие точечные статистики должны получить количественные границы доверия, которые обозначают возможные колебания показателя в меньшую и большую стороны в пределах доверительного интервала.

Пример 3.1 . Распределение кальция в сыворотке крови обезьян, как было установлено ранее, характеризуется следующими выборочными показателями: = 11,94 мг%;= 0,127 мг%;n = 100. Требуется определить доверительный интервал для генеральной средней () при доверительной вероятностиP = 0,95.

Генеральная средняя находится с определенной вероятностью в интервале:

, где – выборочная средняя арифметическая;t – критерий Стьюдента; – ошибка средней арифметической.

По таблице «Значения критерия Стьюдента» находим значение при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы k = 100-1 = 99. Оно равно 1,982. Вместе со значениями среднего арифметического и статистической ошибки подставляем его в формулу:

или 11,69
12,19

Таким образом, с вероятностью 95%, можно утверждать, что генеральная средняя данного нормального распределения находится между 11,69 и 12,19 мг%.

Пример 3.2 . Определите границы 95%-ного доверительного интервала для генеральной дисперсии () распределения кальция в крови обезьян, если известно, что
= 1,60, приn = 100.

Для решения задачи можно воспользоваться следующей формулой:

Где – статистическая ошибка дисперсии.

Находим ошибку выборочной дисперсии по формуле:
. Она равна 0,11. Значениеt - критерия при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы k = 100–1 = 99 известно из предыдущего примера.

Воспользуемся формулой и получим:

или 1,38
1,82

Более точно доверительный интервал генеральной дисперсии можно построить с применением (хи-квадрат) - критерия Пирсона. Критические точки для этого критерия приводятся в специальной таблице. При использовании критериядля построения доверительного интервала применяют двусторонний уровень значимости. Для нижней границы уровень значимости рассчитывается по формуле
, для верхней –
. Например, для доверительного уровня= 0,99= 0,010,= 0,990. Соответственно по таблице распределения критических значений, при рассчитанных доверительных уровнях и числе степеней свободыk = 100 – 1= 99, найдем значения
и
. Получаем
равно 135,80, а
равно70,06.

Чтобы найти доверительные границы генеральной дисперсии с помощью воспользуемся формулами: для нижней границы
, для верхней границы
. Подставим данные задачи найденные значенияв формулы:
= 1,17;
= 2,26. Таким образом, при доверительной вероятностиP = 0,99 или 99% генеральная дисперсия будет лежать в интервале от 1,17 до 2,26 мг% включительно.

Пример 3.3 . Среди 1000 семян пшеницы из поступившей на элеватор партии обнаружено 120 семян зараженных спорыньей. Необходимо определить вероятные границы генеральной доли зараженных семян в данной партии пшеницы.

Доверительные границы для генеральной доли при всех возможных ее значениях целесообразно определять по формуле:

,

Где n – число наблюдений; m – абсолютная численность одной из групп; t – нормированное отклонение.

Выборочная доля зараженных семян равна
или 12%. При доверительной вероятностиР = 95% нормированное отклонение (t -критерий Стьюдента при k =
)t = 1,960.

Подставляем имеющиеся данные в формулу:

Отсюда границы доверительного интервала равны= 0,122–0,041 = 0,081, или 8,1%;= 0,122 + 0,041 = 0,163, или 16,3%.

Таким образом, с доверительной вероятностью 95% можно утверждать, что генеральная доля зараженных семян находится между 8,1 и 16,3%.

Пример 3.4 . Коэффициент вариации, характеризующий варьирование кальция (мг%) в сыворотке крови обезьян, оказался равным 10,6%. Объем выборки n = 100. Необходимо определить границы 95%-ного доверительного интервала для генерального параметра Cv .

Границы доверительного интервала для генерального коэффициента вариации Cv определяются по следующим формулам:

и
, гдеK промежуточная величина, вычисляемая по формуле
.

Зная, что при доверительной вероятности Р = 95% нормированное отклонение (критерий Стьюдента при k =
)t = 1,960, предварительно рассчитаем величину К:

.

или 9,3%

или 12,3%

Таким образом, генеральный коэффициент вариации с доверительной вероятностью 95% лежит в интервале от 9,3 до 12,3%. При повторных выборках коэффициент вариации не превысит 12,3% и не окажется ниже 9,3% в 95 случаях из 100.

Вопросы для самоконтроля:

Задачи для самостоятельного решения.

1. Средний процент жира в молоке за лактацию коров холмогорских помесей был следующим: 3,4; 3,6; 3,2; 3,1; 2,9; 3,7; 3,2; 3,6; 4,0; 3,4; 4,1; 3,8; 3,4; 4,0; 3,3; 3,7; 3,5; 3,6; 3,4; 3,8. Установите доверительные интервалы для генеральной средней при доверительной вероятности 95% (20 баллов).

2. На 400 растениях гибридной ржи первые цветки появились в среднем на 70,5 день после посева. Среднее квадратическое отклонение было 6,9 дня. Определите ошибку средней и доверительные интервалы для генеральной средней и дисперсии при уровне значимости W = 0,05 и W = 0,01 (25 баллов).

3. При изучении длины листьев 502 экземпляров садовой земляники были получены следующие данные: = 7,86 см; σ = 1,32 см, =± 0,06 см. Определите доверительные интервалы для средней арифметической генеральной совокупности с уровнями значимости 0,01; 0,02; 0,05. (25 баллов).

4. При обследовании 150 взрослых мужчин средний рост был равен 167 см, а σ = 6 см. В каких пределах находится генеральная средняя и генеральная дисперсия с доверительной вероятностью 0,99 и 0,95? (25 баллов).

5. Распределение кальция в сыворотке крови обезьян характеризуется следующими выборочными показателями: = 11,94 мг%, σ = 1,27, n = 100. Постройте 95%-ный доверительный интервал для генеральной средней этого распределения. Рассчитайте коэффициент вариации (25 баллов).

6. Было изучено общее содержание азота в плазме крови крыс-альбиносов в возрасте 37 и 180 дней. Результаты выражены в граммах на 100 см 3 плазмы. В возрасте 37 дней 9 крыс имели: 0,98; 0,83; 0,99; 0,86; 0,90; 0,81; 0,94; 0,92; 0,87. В возрасте 180 дней 8 крыс имели: 1,20; 1,18; 1,33; 1,21; 1,20; 1,07; 1,13; 1,12. Установите доверительные интервалы для разницы с доверительной вероятностью 0,95 (50 баллов).

7. Определите границы 95%-ного доверительного интервала для генеральной дисперсии распределения кальция (мг%) в сыворотке крови обезьян, если для этого распределения объем выборки n = 100, статистическая ошибка выборочной дисперсии s σ 2 = 1,60 (40 баллов).

8. Определите границы 95%-ного доверительного интервала для генеральной дисперсии распределения 40 колосков пшеницы по длине (σ 2 = 40, 87 мм 2). (25 баллов).

9. Курение считают основным фактором, предрасполагающим к обструктивным заболеваниям легких. Пассивное курение таким фактором не считается. Ученые усомнились в безвредности пассивного курения и исследовали проходимость дыхательных путей у некурящих, пассивных и активных курильщиков. Для характеристики состояния дыхательных путей взяли один из показателей функции внешнего дыхания – максимальную объемную скорость середины выдоха. Уменьшение этого показателя – признак нарушения проходимости дыхательных путей. Данные обследования приведены в таблице.

	Число обследованных	Максимальная объемная скорость середины выдоха, л/с
			Стандартное отклонение
Некурящие
работают в помещении, где не курят
работают в накуренном помещении
Курящие
выкуривающие небольшое число сигарет
выкуривающие среднее число сигарет
выкуривающие большое число сигарет

По данным таблицы найдите 95% доверительные интервалы для генеральной средней и генеральной дисперсии для каждой из групп. В чем заключаются различия между группами? Результаты представьте графически (25 баллов).

10. Определите границы 95%-ного и 99%-ного доверительного интервала для генеральной дисперсии численности поросят в 64 опоросах, если статистическая ошибка выборочной дисперсии s σ 2 = 8, 25 (30 баллов).

11. Известно, что средняя масса кроликов составляет 2,1 кг. Определите границы 95%-ного и 99%-ного доверительного интервала для генеральной средней и дисперсии при n = 30, σ = 0,56 кг (25 баллов).

12. У 100 колосьев измеряли озерненность колоса (Х ), длину колоса (Y ) и массу зерна в колосе (Z ). Найти доверительные интервалы для генеральной средней и дисперсии при P 1 = 0,95, P 2 = 0,99, P 3 = 0,999, если = 19, = 6,766 см, = 0,554 г; σ x 2 = 29, 153, σ y 2 = 2, 111, σ z 2 = 0, 064. (25 баллов).

13. В отобранных случайным образом 100 колосьях озимой пшеницы подсчитывалось число колосков. Выборочная совокупность характеризовалась следующими показателями: = 15 колосков и σ = 2,28 шт. Определите, с какой точностью получен средний результат () и постройте доверительный интервал для генеральной средней и дисперсии при 95% и 99% уровнях значимости (30 баллов).

14. Число ребер на раковинах ископаемого моллюска Orthambonites calligramma :

Известно, что n = 19, σ = 4,25. Определите границы доверительного интервала для генеральной средней и генеральной дисперсии при уровне значимости W = 0,01 (25 баллов).

15. Для определения удоев молока на молочно-товарной ферме ежедневно определялась продуктивность 15 коров. По данным за год каждая корова давала в среднем в сутки следующее количество молока (л): 22; 19; 25; 20; 27; 17; 30; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. Постройте доверительные интервалы для генеральной дисперсии и средней арифметической. Можно ли ожидать, что среднегодовой удой на каждую корову составит 10000 литров? (50 баллов).

16. С целью определения урожая пшеницы в среднем по агрохозяйству были проведены укосы на пробных участках площадью 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 и 2 га. Урожайность (ц/га) с участков составила 39,4; 38; 35,8; 40; 35; 42,7; 39,3; 41,6; 33; 42; 29 соответственно. Постройте доверительные интервалы для генеральных дисперсии и средней арифметической. Можно ли ожидать, что в среднем по агрохозяйству урожай составит 42 ц/га? (50 баллов).

Построим в MS EXCEL доверительный интервал для оценки среднего значения распределения в случае известного значения дисперсии.

Разумеется, выбор уровня доверия полностью зависит от решаемой задачи. Так, степень доверия авиапассажира к надежности самолета, несомненно, должна быть выше степени доверия покупателя к надежности электрической лампочки.

Формулировка задачи

Предположим, что из генеральной совокупности имеющей взята выборка размера n. Предполагается, что стандартное отклонение этого распределения известно. Необходимо на основании этой выборки оценить неизвестное среднее значение распределения (μ, ) и построить соответствующий двухсторонний доверительный интервал .

Точечная оценка

Как известно из , статистика (обозначим ее Х ср ) является несмещенной оценкой среднего этой генеральной совокупности и имеет распределение N(μ;σ 2 /n).

Примечание : Что делать, если требуется построить доверительный интервал в случае распределения, которое не является нормальным? В этом случае на помощь приходит , которая гласит, что при достаточно большом размере выборки n из распределения не являющемся нормальным , выборочное распределение статистики Х ср будет приблизительно соответствовать нормальному распределению с параметрами N(μ;σ 2 /n).

Итак, точечная оценка среднего значения распределения у нас есть – это среднее значение выборки , т.е. Х ср . Теперь займемся доверительным интервалом.

Построение доверительного интервала

Обычно, зная распределение и его параметры, мы можем вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение из заданного нами интервала. Сейчас поступим наоборот: найдем интервал, в который случайная величина попадет с заданной вероятностью. Например, из свойств нормального распределения известно, что с вероятностью 95%, случайная величина, распределенная по нормальному закону , попадет в интервал примерно +/- 2 от среднего значения (см. статью про ). Этот интервал, послужит нам прототипом для доверительного интервала .

Теперь разберемся,знаем ли мы распределение, чтобы вычислить этот интервал? Для ответа на вопрос мы должны указать форму распределения и его параметры.

Форму распределения мы знаем – это нормальное распределение (напомним, что речь идет о выборочном распределении статистики Х ср ).

Параметр μ нам неизвестен (его как раз нужно оценить с помощью доверительного интервала ), но у нас есть его оценка Х ср, вычисленная на основе выборки, которую можно использовать.

Второй параметр – стандартное отклонение выборочного среднего будем считать известным , он равен σ/√n.

Т.к. мы не знаем μ, то будем строить интервал +/- 2 стандартных отклонения не от среднего значения , а от известной его оценки Х ср . Т.е. при расчете доверительного интервала мы НЕ будем считать, что Х ср попадет в интервал +/- 2 стандартных отклонения от μ с вероятностью 95%, а будем считать, что интервал +/- 2 стандартных отклонения от Х ср с вероятностью 95% накроет μ – среднее генеральной совокупности, из которого взята выборка . Эти два утверждения эквивалентны, но второе утверждение нам позволяет построить доверительный интервал .

Кроме того, уточним интервал: случайная величина, распределенная по нормальному закону , с вероятностью 95% попадает в интервал +/- 1,960 стандартных отклонений, а не+/- 2 стандартных отклонения . Это можно рассчитать с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР((1+0,95)/2) , см. файл примера Лист Интервал .

Теперь мы можем сформулировать вероятностное утверждение, которое послужит нам для формирования доверительного интервала :
«Вероятность того, что среднее генеральной совокупности находится от среднего выборки в пределах 1,960 «стандартных отклонений выборочного среднего» , равна 95%».

Значение вероятности, упомянутое в утверждении, имеет специальное название , который связан с уровнем значимости α (альфа) простым выражением уровень доверия =1 -α. В нашем случае уровень значимости α=1-0,95=0,05 .

Теперь на основе этого вероятностного утверждения запишем выражение для вычисления доверительного интервала :

где Z α/2 – стандартного нормального распределения (такое значение случайной величины z , что P (z >=Z α/2 )=α/2 ).

Примечание : Верхний α/2-квантиль определяет ширину доверительного интервала в стандартных отклонениях выборочного среднего. Верхний α/2-квантиль стандартного нормального распределения всегда больше 0, что очень удобно.

В нашем случае при α=0,05, верхний α/2-квантиль равен 1,960. Для других уровней значимости α (10%; 1%) верхний α/2-квантиль Z α/2 можно вычислить с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР(1-α/2) или, если известен уровень доверия , =НОРМ.СТ.ОБР((1+ур.доверия)/2) .

Обычно при построении доверительных интервалов для оценки среднего используют только верхний α /2-квантиль и не используют нижний α /2-квантиль . Это возможно потому, что стандартное нормальное распределение симметрично относительно оси х (плотность его распределения симметрична относительно среднего, т.е. 0 ). Поэтому, нет нужды вычислять нижний α/2-квантиль (его называют просто α/2-квантиль ), т.к. он равен верхнему α /2-квантилю со знаком минус.

Напомним, что, не смотря на форму распределения величины х, соответствующая случайная величина Х ср распределена приблизительно нормально N(μ;σ 2 /n) (см. статью про ). Следовательно, в общем случае, вышеуказанное выражение для доверительного интервала является лишь приближенным. Если величина х распределена по нормальному закону N(μ;σ 2 /n), то выражение для доверительного интервала является точным.

Расчет доверительного интервала в MS EXCEL

Решим задачу.
Время отклика электронного компонента на входной сигнал является важной характеристикой устройства. Инженер хочет построить доверительный интервал для среднего времени отклика при уровне доверия 95%. Из предыдущего опыта инженер знает, что стандартное отклонение время отклика составляет 8 мсек. Известно, что для оценки времени отклика инженер сделал 25 измерений, среднее значение составило 78 мсек.

Решение : Инженер хочет знать время отклика электронного устройства, но он понимает, что время отклика является не фиксированной, а случайной величиной, которая имеет свое распределение. Так что, лучшее, на что он может рассчитывать, это определить параметры и форму этого распределения.

К сожалению, из условия задачи форма распределения времени отклика нам не известна (оно не обязательно должно быть нормальным ). , этого распределения также неизвестно. Известно только его стандартное отклонение σ=8. Поэтому, пока мы не можем посчитать вероятности и построить доверительный интервал .

Однако, не смотря на то, что мы не знаем распределение времени отдельного отклика , мы знаем, что согласно ЦПТ , выборочное распределение среднего времени отклика является приблизительно нормальным (будем считать, что условия ЦПТ выполняются, т.к. размер выборки достаточно велик (n=25)).

Более того, среднее этого распределения равно среднему значению распределения единичного отклика, т.е. μ. А стандартное отклонение этого распределения (σ/√n) можно вычислить по формуле =8/КОРЕНЬ(25) .

Также известно, что инженером была получена точечная оценка параметра μ равная 78 мсек (Х ср). Поэтому, теперь мы можем вычислять вероятности, т.к. нам известна форма распределения (нормальное ) и его параметры (Х ср и σ/√n).

Инженер хочет знать математическое ожидание μ распределения времени отклика. Как было сказано выше, это μ равно математическому ожиданию выборочного распределения среднего времени отклика . Если мы воспользуемся нормальным распределением N(Х ср; σ/√n), то искомое μ будет находиться в интервале +/-2*σ/√n с вероятностью примерно 95%.

Уровень значимости равен 1-0,95=0,05.

Наконец, найдем левую и правую границу доверительного интервала .
Левая граница: =78-НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*8/КОРЕНЬ(25)= 74,864
Правая граница: =78+НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*8/КОРЕНЬ(25)=81,136

Левая граница: =НОРМ.ОБР(0,05/2; 78; 8/КОРЕНЬ(25))
Правая граница: =НОРМ.ОБР(1-0,05/2; 78; 8/КОРЕНЬ(25))

Ответ : доверительный интервал при уровне доверия 95% и σ =8 мсек равен 78+/-3,136 мсек.

В файле примера на листе Сигма известна создана форма для расчета и построения двухстороннего доверительного интервала для произвольных выборок с заданным σ и уровнем значимости .

Функция ДОВЕРИТ.НОРМ()

Если значения выборки находятся в диапазоне B20:B79 , а уровень значимости равен 0,05; то формула MS EXCEL:
=СРЗНАЧ(B20:B79)-ДОВЕРИТ.НОРМ(0,05;σ; СЧЁТ(B20:B79))
вернет левую границу доверительного интервала .

Эту же границу можно вычислить с помощью формулы:
=СРЗНАЧ(B20:B79)-НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*σ/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B20:B79))

Примечание : Функция ДОВЕРИТ.НОРМ() появилась в MS EXCEL 2010. В более ранних версиях MS EXCEL использовалась функция ДОВЕРИТ() .

Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знание на деле. (Аристотель)

Доверительные интервалы

Общий обзор

Взяв выборку из популяции, мы получим точечную оценку интересующего нас параметра и вычислим стандартную ошибку для того, чтобы указать точность оценки.

Однако, для большинства случаев стандартная ошибка как такова не приемлема. Гораздо полезнее объединить эту меру точности с интервальной оценкой для параметра популяции.

Это можно сделать, используя знания о теоретическом распределении вероятности выборочной статистики (параметра) для того, чтобы вычислить доверительный интервал (CI - Confidence Interval, ДИ - Доверительный интервал) для параметра.

Вообще, доверительный интервал расширяет оценки в обе стороны некоторой величиной, кратной стандартной ошибке (данного параметра); два значения (доверительные границы), определяющие интервал, обычно отделяют запятой и заключают в скобки.

Доверительный интервал для среднего

Использование нормального распределения

Выборочное среднее имеет нормальное распределение, если объем выборки большой, поэтому можно применить знания о нормальном распределении при рассмотрении выборочного среднего.

В частности, 95% распределения выборочных средних находится в пределах 1,96 стандартных отклонений (SD) среднего популяции.

Когда у нас есть только одна выборка, мы называем это стандартной ошибкой среднего (SEM) и вычисляем 95% доверительного интервала для среднего следующим образом:

Если повторить этот эксперимент несколько раз, то интервал будет содержать истинное среднее популяции в 95% случаев.

Обычно это доверительный интервал как, например, интервал значений, в пределах которого с доверительной вероятностью 95% находится истинное среднее популяции (генеральное среднее).

Хотя это не вполне строго (среднее в популяции есть фиксированное значение и поэтому не может иметь вероятность, отнесённую к нему) таким образом интерпретировать доверительный интервал, но концептуально это удобнее для понимания.

Использование t- распределения

Можно использовать нормальное распределение, если знать значение дисперсии в популяции. Кроме того, когда объем выборки небольшой, выборочное среднее отвечает нормальному распределению, если данные, лежащие в основе популяции, распределены нормально.

Если данные, лежащие в основе популяции, распределены ненормально и/или неизвестна генеральная дисперсия (дисперсия в популяции), выборочное среднее подчиняется t-распределению Стьюдента .

Вычисляем 95% доверительный интервал для генерального среднего в популяции следующим образом:

Где - процентная точка (процентиль) t- распределения Стьюдента с (n-1) степенями свободы, которая даёт двухстороннюю вероятность 0,05.

Вообще, она обеспечивает более широкий интервал, чем при использовании нормального распределения, поскольку учитывает дополнительную неопределенность, которую вводят, оценивая стандартное отклонение популяции и/или из-за небольшого объёма выборки.

Когда объём выборки большой (порядка 100 и более), разница между двумя распределениями (t-Стьюдента и нормальным) незначительна. Тем не менее всегда используют t- распределение при вычислении доверительных интервалов, даже если объем выборки большой.

Обычно указывают 95% ДИ. Можно вычислить другие доверительные интервалы, например 99% ДИ для среднего.

Вместо произведения стандартной ошибки и табличного значения t- распределения, которое соответствует двусторонней вероятности 0,05, умножают её (стандартную ошибку) на значение, которое соответствует двусторонней вероятности 0,01. Это более широкий доверительный интервал, чем в случае 95%, поскольку он отражает увеличенное доверие к тому, что интервал действительно включает среднее популяции.

Доверительный интервал для пропорции

Выборочное распределение пропорций имеет биномиальное распределение. Однако если объём выборки n разумно большой, тогда выборочное распределение пропорции приблизительно нормально со средним .

Оцениваем выборочным отношением p=r/n (где r - количество индивидуумов в выборке с интересующими нас характерными особенностями), и стандартная ошибка оценивается:

95% доверительный интервал для пропорции оценивается:

Если объём выборки небольшой (обычно когда np или n(1-p) меньше 5 ), тогда необходимо использовать биномиальное распределение для того, чтобы вычислить точные доверительные интервалы.

Заметьте, что если p выражается в процентах, то (1-p) заменяют на (100-p) .

Интерпретация доверительных интервалов

При интерпретации доверительного интервала нас интересуют следующие вопросы:

Насколько широк доверительный интервал?

Широкий доверительный интервал указывает на то, что оценка неточна; узкий указывает на точную оценку.

Ширина доверительного интервала зависит от размера стандартной ошибки, которая, в свою очередь, зависит от объёма выборки и при рассмотрении числовой переменной от изменчивости данных дают более широкие доверительные интервалы, чем исследования многочисленного набора данных немногих переменных.

Включает ли ДИ какие-либо значения, представляющие особенный интерес?

Можно проверить, ложится ли вероятное значение для параметра популяции в пределы доверительного интервала. Если да, то результаты согласуются с этим вероятным значением. Если нет, тогда маловероятно (для 95% доверительного интервала шанс почти 5%), что параметр имеет это значение.