1

1 Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

В статье рассматривается задача выбора метода формирования весов критериев, предназначенных для оценки инновационных проектов в процессе экспертизы. Работа с инновационными проектами связана с риском, поэтому необходимо разрабатывать и использовать методы для управления ими с учетом особенностей этой деятельности. Корректная оценка соотношения важности критериев играет значительную роль в достоверности и показательности конечных результатов экспертизы, на основе которых принимается решение о принятии или отклонении проекта. Одним из популярных методов получения весов является метода анализа иерархий Т.Саати. Авторами предложено использование разработанной модификации данного метода, учитывающей особенности его применения в области управления инновационными проектами. Предлагаемая адаптация метода реализована с целью упрощения его практического использования. В основу модификации метода положено изменение шкалы оценки критериев.

инновационные проекты

экспертиза

метод анализа иерархий

критерий оценки

парное сравнение

2. Сидоренко Е. В., Тихомирова А. Н. Математические способы анализа массивов данных в целях принятия срочных управленческих решений. Пятый Международный конгресс «Роль бизнеса в трансформации российского общества - 2010», Москва, Московская финансово-промышленная академия, 12-16 апреля 2010 г.: Сборник тезисов Пятого Международного конгресса «Роль бизнеса в трансформации российского общества - 2010». - М.: ООО «Global Conferences», 2010. - С. 336-338.

3. Сидоренко Е. В., Тихомирова А. Н. Средства визуализации и отображения взаимосвязей финансовых показателей в системах поддержки принятия управленческих решений // Аудит и финансовый анализ. - 2010. - № 2. - С. 354-357.

4. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. - М.: Радио и связь, 1993. - 278с.

5. Саати Т. Принятие решений при зависимостях и обратных связях: аналитические сети. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. - 360с.

Введение

В настоящее время актуальной является проблема повышения эффективности управления инновационными проектами. Поскольку финансированием инновационных проектов в большинстве случаев занимаются различные инвестиционные компании, в каждой из которых есть свои особенности управления, поставленные задачи и история существования, для снижения рисков, связанных с вложением в инновационные проекты, изобретаются свои специфические средства и инструменты управления. Успешная работа по анализу инновационных проектов основана на применении многочисленных методов, применяющихся как при построении общей модели работы с проектами, так и на отдельных этапах процесса прохождения проекта внутри компании.

Одним из наиболее важных этапов работы с проектами в компании является экспертиза этих проектов. В процессе проведения экспертизы заявка, которая или будет отклонена, или станет финансируемым проектом, подвергается разносторонним исследованиям, в которых участвуют эксперты различного профиля.

Экспертиза, как правило, представляет собой процесс, в котором участвует группа высококвалифицированных и узкоспециализированных экспертов, результатом которого является набор экспертных заключений или одно сводное заключение.

Однако для получения информации от экспертов, которая достоверно отображает перспективы и недостатки анализируемого проекта, недостаточно просто найти хороших экспертов. Для получения корректных и показательных экспертных заключений необходимо определить критерии, по которым эксперты должны анализировать заявку.

Различие критериев у разных компаний может объясняться как разным финансовым положением, так и различными приоритетами и целями. По этой причине каждая организация должна самостоятельно формировать свой собственный список важных для нее критериев оценки проекта.

Однако после формирования этого списка перед всеми компаниями встает задача по определению относительной важности и значимости критериев. Для решения этой задачи можно использовать различные методы.

Наиболее распространенным методом является формирование балльной оценки, при котором каждому из критериев ставится определенный балл и относительную важность критериев можно оценить путем сравнения присвоенных им баллов. На сегодняшний день достаточно широкое распространение получил способ формирования весов критериев, построенный на методе анализа иерархии Т. Саати . Главная идея данного метода состоит в парном сопоставлении критериев. Все критерии, предназначенные для анализа проекта, оцениваются путем построения матрицы парных сравнений. Матрица парных сравнений представляет собой матрицу, в которой критерий, расположенный в строке, сравнивается со всеми критериями, указанными в столбцах матрицы (табл.1.). Например, если критерий №1 важнее критерия №2 в a 12 раз, то элемент (1, 2) матрицы равен a 12 . Исходя из этого, главная диагональ матрицы всегда заполнена единицами.

Таблица 1. Матрица парных сравнений

	Критерий 1	Критерий 2	Критерий 3
Критерий 1
Критерий 2
Критерий 3

Логично предположить, что если критерий №1 важнее критерия №2 в a 12 a 23 a 12 ·a 23 раз. Однако для матриц, заполняемых реальными людьми, это далеко не всегда так. Это связано с тем, что заполнение матрицы суждений осуществляется экспертом, который может допустить погрешность в определении относительной важности критериев по психологическим причинам. Одной из задач метода иерархии Т. Саати является стремление снизить влияние человеческого фактора на итоговый смысловой результат. Для определения степени корректности данных в заполненной матрице введено понятие меры согласованности матрицы. Для пояснения определения полностью согласованной матрицы приведен ее общий вид (табл.2.).

Таблица 2. Общий вид согласованной матрицы

Для обработки значений полученной матрицы сравнения вводится индекс согласованности, который показывает наличие логической связи между оцененными показателями. Для нахождения индекса согласованности положительной обратно симметричной матрицы (матрица парных сравнений обладает этими свойствами), необходимо найти максимальное собственное значение матрицы и ее размерность .

Индекс согласованности рассчитывается по формуле (1):

где - максимальное собственное значение,

n - размерность матрицы.

Если матрица согласована, то предположение о том, что если критерий №1 важнее критерия №2 в a 12 раз, а критерий №2 важнее критерия №3 в a 23 раз, то критерий №1 должен быть важнее критерия №3 ровно в a 12 · a 23 раз, всегда верно. Для такой матрицы ИС равняется нулю. Однако, как правило, при анализе данных, полученных экспертным путем, матрица не является полностью согласованной.

В разработанном Т. Саати методе анализа иерархий предлагается для парного сравнения критериев использовать шкалу оценки, которая содержит в себе числовые показатели от 1 до 9 и обратные им величины . Значения шкалы 1:9 отображают девять степеней превосходства одного критерия над другим, причем, пять значений являются основными (1,3,5,7,9) и четыре - промежуточными значениями (2,4,6,8). В случае, если рассматриваемый критерий является не более, а менее важным, чем тот, с которым его сравнивают, такое соотношение описывается также посредством девяти степеней сравнения, но представленных обратными величинами значений: 1, 1/2, 1/3, ..., 1/9.

При проведении процедуры сравнения критериев происходит заполнение экспертами соответствующих матриц. От каждого эксперта требуется заполнить только верхнюю часть матрицы (выше главной диагонали), поскольку при использовании данной методики предполагается, что если критериюi при сравнении с критериемj приписывается одно из чисел в диапазоне , то критерию j при сравнении с критериемi приписывается обратное значение.

После заполнения экспертом матрицы парных сравнений, необходимо провести проверку индекса согласованности матрицы. Для этого по формуле (1) рассчитывается ИС матрицы и сравнивается со средним индексом согласованности случайных матриц того же порядка. Соотношение этих индексов называется отношением согласованности (ОС).

На текущий момент для шкалы учеными рассчитаны случайные индексы согласованности (СИ) для обратно симметричных матриц размерностью от 1 до 15 (табл.3), взятые за основу при анализе полученных матриц на предмет согласованности. В своих работах Т. Саати считает приемлемым значение ОС меньшее или равное 0.10 .

Таблица 3. Средние случайные индексы согласованности для матриц разного порядка

Безусловно, использование для анализа важности критериев шкалы от 1 до 9 имеет свои преимущества. Однако, в ряде случаев, особенно, если это касается такого сложного аспекта, как анализ инновационных проектов, данная шкала не только является избыточной по своей сути, но и может стать причиной дополнительной погрешности в процессе выставления экспертом соответствующей оценки при парных сравнениях различных критериев.

На основе анализа мнения практикующих специалистов, работающих в области инноваций, которым приходится часто сталкиваться с проведением различного рода сравнений, выявлено, что целесообразным является использование более категоричной шкалы 1:5 (табл. 4). Это связано со спецификой области, для работы в которой производится адаптация метода анализа иерархий. В данной статье речь идет о сравнении инновационных проектов, при этом метод парного сравнения объектов Т. Саати применяется для определения весов критериев, по которым проекты впоследствии будут сравниваться. Поскольку сформированные веса критериев могут значительно повлиять на решение, принимаемое по проекту, необходимо, чтобы шкала, с помощью которой определяются в результате веса, была однозначной и конкретной.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что использование шкалы 1:5 является на практике более удобным, поскольку каждое численное значение имеет ярко выраженную смысловую трактовку. Кроме того, сравнение критериев посредством такой шкалы будет характеризоваться большей степенью уверенности эксперта. Это важный факт, так как в данном случае речь идет о работе с инновациями, а значит, ситуация осложняется различными рисками. При выборе каких-либо методов для организации работы с инновационными проектами, имеющими априори большую степень неопределенности, необходимо, во избежание накопления суммарной ошибки, выбирать методы, которые сами в себе имеют как можно меньшую степень неопределенности.

Кроме того, более четкое определение признаков, которое дает шкала 1:5, позволяет конкретизировать ситуацию без значимой потери точности, с одной стороны, и со значительным повышением комфортности использования этой шкалы - с другой стороны. В связи с выявленной потребностью шкала от 1 до 9 была заменена шкалой от 1 до 5. Для данной шкалы были описаны значения каждого из выставляемых баллов (табл.4).

Таблица 4. Модифицированная шкала относительной важности

Интенсивность относительной важности	Определение	Объяснение
	Несравнимы	Эксперт затрудняется при сравнении
	Одинаковая важность	Равная степень важности критериев i иj
	Не существенная степень важность	Критерий i несущественно важнее критерия j
	Существенная степень важность	Критерий i существенно важнее критерия j
	Промежуточные значения между двумя соседними значениями шкалы	Ситуация, когда необходимо компромиссное решение, 2 - критерий i имеет слабое преимущество перед критерием j , 4 - критерий i имеет заметное преимущество перед критерием j
Обратные величины приведенных выше чисел	Если критерию i при сравнении с критерием j приписывается одно из приведенных выше чисел, то критерию j при сравнении с критериемi приписывается обратное значение	Обоснованное предположение

Для обеспечения более комфортных условий сравнения для экспертов был введен дополнительный пункт шкалы - нулевое значение. Эксперт имеет возможность поставить 0 при сравнении двух критериев, если считает, что критерии несравнимы или сравнение лично для него крайне затруднительно.

Большая комфортность при использовании шкалы 1:5 объясняется легкостью в различии оценок критериев (рис.1). Три значения шкалы: 1, 3 и 5 выступают в виде главных при оценке относительной важности, а 2 и 4 - являются компромиссными, промежуточными вариантами выбора.

Рис. 1. Ключевые деления шкалы 1:5

Поскольку шкала была изменена, для корректной проверки согласованности соответствующих матриц необходимо провести расчет индексов согласованности случайных матриц данного типа. Для решения этой задачи для выбранной шкалы было сгенерировано по 100 случайных матриц порядка 3, 4 и 5. Полученные в результате расчетов СИ обозначены в таблице 5.

Таблица 5. СИ по шкале оценки от 1 до 5

В качестве примера для расчета отношения согласованности для матриц порядка 3, сформированных по шкале 1:5, был проведен анализ допустимого уровня согласованности матриц. Пороговым значением для шкалы 1:9 является уровень в 10 %. Для установления порогового значения при использовании шкалы 1:5 было проведено моделирование, заключающееся в анализе значений ОС матрицы при различных отклонениях экспертных оценок от оценок, соответствующих полностью согласованной матрице.

В рамках моделирования проводился анализ матриц со следующими отклонениями:

• увеличение одной величины на 1 шаг;
• уменьшение одной величины на 1 шаг;
• увеличение двух величин на 1 шаг;
• уменьшение двух величин на 1 шаг;
• увеличение трех величин на 1 шаг;
• уменьшение трех величин на 1 шаг;
• увеличение одной и уменьшение другой величины на 1 шаг;
• увеличение двух величин и уменьшение одной величины на 1 шаг;
• увеличение одной и уменьшение двух величин на 1 шаг;
• увеличение 1 величины на 2 шага;
• уменьшение 1 величины на 2 шага.

Для каждой размерности матрицы был проведен аналогичный анализ для пяти различных исходных согласованных матриц. В результате проведенного моделирования было получено значение 12.7 %, которое соответствует максимальному отношению согласованности при отклонении мнения эксперта на один шаг от значения полностью согласованной матрицы. Значение 12.7 % было выбрано в качестве порогового значения допустимой согласованности матрицы, составленной по шкале 1:5.

Пороговое значение 12.7 % является обоснованным для матрицы размерностью 3. Для матриц другой размерности пороговое значение ОС должно быть рассчитано не только с учетом анализа отклонений матрицы от полностью согласованной, но и с учетом того, что при сравнении большего количества критериев ошибка эксперта может возрасти.

Таким образом, с учетом особенностей, присущих повседневной практической деятельности при оценке инновационных проектов, была проведена модификация метода Т. Саати. Основная цель модификации - повышение эффективности метода при его применении узкопрофильными специалистами для оценки перспективности и технической реализуемости инновационных проектов. Использование данной модификации метода определения относительной важности критериев при оценке проекта может повысить эффективность и достоверность такого этапа работы с инновационными проектами, как подготовка к проведению экспертизы. Данный момент является крайне важным, поскольку именно по установленным на этом этапе критериям происходит дальнейшая оценка проекта, а корректное соотношение критериев между собой по степени важности позволяет составить верное заключение по проекту.

Рецензенты:

• Киреев Сергей Васильевич, д.ф.-м.н., профессор, декан факультета повышения квалификации и переподготовки кадров, Министерство образования и науки Российской Федерации, Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ» (НИЯУ МИФИ), г. Москва.
• Гусева Анна Ивановна, д.т.н., профессор, профессор кафедры «Экономика и менеджмент в промышленности», Министерство образования и науки Российской Федерации, Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ» (НИЯУ МИФИ), г. Москва.

Библиографическая ссылка

Тихомирова А.Н., Сидоренко Е.В. МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ Т. СААТИ ДЛЯ РАСЧЕТА ВЕСОВ КРИТЕРИЕВ ПРИ ОЦЕНКЕ ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ // Современные проблемы науки и образования. – 2012. – № 2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=6009 (дата обращения: 27.03.2019). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Метод анализа иерархий (МАИ), предложенный Т.Л. Саати, основан на парных сравнениях альтернативных вариантов по различным критериям с использованием девятибалльной шкалы и последующим ранжированием набора альтернатив по всем критериям и целям. Взаимоотношения между критериями учитываются путем построения иерархии критериев и применением парных сравнений для выявления важности критериев и подкритериев.

К основным процедурам метода анализа иерархий относятся следующие:

Генерация множества альтернативных вариантов;

Формирование множества критериев для оценки альтернативных вариантов и представление его в виде иерархии;

Выявление предпочтений экспертов на множестве альтернатив по различным критериям;

Установление относительной важности влияния критериев на общую цель и другие критерии;

Получение ранжированных наборов альтернатив по всем критериям и целям.

Все оценки определяются экспертами. Сначала эксперты генерируется множество допустимых альтернатив, среди которых необходимо провести выбор лучшей альтернативы или упорядочивание всех элементов.

Вершиной иерархий обычно является глобальная цель, на следующих уровнях присутствуют критерии и на самом нижнем уровне - альтернативы.

Иерархическая структура критериев и целей является моделью знаний конкретной предметной области, которая изменяется и уточняется с течением времени.

Элементы одного уровня иерархии попарно сравниваются по силе их влияния на элементы более высокого уровня. Результаты заносятся в матрицу попарных сравнений. При сравнении элемента с самим собой имеем равную значительность «1», т.е. главная диагональ матрицы состоит из единиц. В МАИ используется 9-балльная шкала вида:

Интенсивности относительной важности	Определение	Объяснение
	Равная важность	Равный вклад двух объектов в достижении цели
	Умеренное превосходство одного над другим	Опыт и суждения дают легкое превосходство одному объекту над другим
	Существенное или сильное превосходство	Опыт и суждения дают сильное превосходство одному объекту над другим
	Значительное превосходство	Одному объекту дается настолько сильное превосходство над другим, что оно становится значимым
	Очень сильное превосходство	Очевидность превосходства одного объекта над другим подтверждается наиболее сильно
	Промежуточные значения между двумя соседними суждениями	Принимаются в компромиссных случаях
Обратные величины приведенных чисел	Если при сравнении одного объекта с другим получено одно из вышеуказанных чисел (например 3), то при сравнении второго объекта с первым получим обратную величину (т.е.1/3)

Следующий шаг состоит в вычислении вектора приоритетов по данной матрице. Существует несколько методов оценки этого вектора. Например, суммировать элементы каждой строки матрицы и нормировать делением каждой суммы на сумму всех элементов матрицы. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта, второй - второго объекта и т.д.

В общем случае (при наличии более трех уровней) иерархия оценивается следующим образом:

1. Производится попарное сравнение элементов 2-го уровня по степени влияния на выполнение цели. Результаты заносятся в матрицу попарных сравнений A 1 ;

2. Производится попарное сравнение элементов 3-го уровня по степени влияния на каждый критерий 2-го уровня. Результаты заносятся в n 1 (n 1 - количество критериев) матриц попарных сравнений A 11 ...A n1 ;

3. Действия п.2 повторяются для всех оставшихся уровней (если они есть);

4. Для каждой матрицы вычисляется вектор приоритетов;

5. Каждый элемент вектора приоритетов 2-го уровня умножается на соответствующий элемент вектора приоритетов каждой из матриц (A 11 ...A n1). После сложения всех произведений получается вектор приоритетов 3-го уровня;

6. Действия п.5 выполняются для всех оставшихся уровней.

В результате получается вектор приоритетов n-го уровня по степени влияния на выполнение цели.

Уровень цели

5. Месторасположение

4. Коллектив

2. Интересно

Уровень критериев Вектор приоритетов (0,4; 0,15; 0,25; 0,1; 0,1)

Уровень альтернатив

Матрицы попарных сравнений альтернатив имеют вид (всего их 5 – по количеству критериев, для каждого критерия своя матрица):

Векторы приоритетов альтернатив:

По критерию 1 – (0,5; 0,3; 0,2)

По критерию 2 – (0,4; 0,4; 0,2)

По критерию 3 – (0,3; 0,3; 0,4)

По критерию 4 – (0,2; 0,3; 0,5)

По критерию 5 – (0,1; 0,3; 0,6)

По влиянию на цель – (0, 365; 0,315; 0,31) Выбирается альтернатива А

0,4×0,5+0,15×0,4 + 0,25×0,3 + 0,1×0,2 + 0,1×0,1 = 0,365

0,4×0,3+ 0,15×0,4+ 0,25×0,3+ 0,1×0.3+ 0,1×0,3 = 0,315

0,4×0,2+ 0,15×0,2+ 0,25×0,4+ 0,1×0,5+0,1×0,6 = 0,32

В рамках МАИ нет общих правил для формирования структуры модели принятия решения. Это является отражением реальной ситуации, поскольку всегда для одной и той же проблемы имеется целый спектр мнений. Метод позволяет учесть это обстоятельство с помощью построения дополнительной модели для согласования различных мнений, посредством определения их приоритетов . Таким образом, метод позволяет учитывать «человеческий фактор» при подготовке принятия решения. Это одно из важных достоинств данного метода перед другими методами принятия решений.

Формирование структуры модели принятия решения в МАИ достаточно трудоемкий процесс. Однако в итоге удается получить детальное представление о том, как именно взаимодействуют факторы, влияющие на приоритеты альтернативных решений, и сами решения. Как именно формируются рейтинги возможных решений и рейтинги, отражающие важность факторов.

В рамках МАИ нет средств для проверки достоверности данных. Этот недостаток ограничивает отчасти возможности применения метода. Однако метод применяется главным образом в тех случаях, когда в принципе не может быть объективных данных, а ведущими мотивами для принятия решения являются предпочтения людей.

Работа по подготовке принятия решений часто является слишком трудоемкой для одного человека. Однако применение метода позволяет разбить большую задачу, на ряд малых самостоятельных задач. Благодаря этому для подготовки принятия решения можно привлечь экспертов, работающих независимо друг от друга над локальными задачами.

Метод дает только способ рейтингования альтернатив, но не имеет внутренних средств для интерпретации рейтингов, т.е. считается, что ЛПР, зная рейтинг возможных решений, должен в зависимости от ситуации сам сделать вывод. Это следует признать недостатком метода.

Метод дает удобные средства учета экспертной информации для решения различных задач. Он отражает естественный ход человеческого мышления и дает не только способ выявления наиболее предпочтительного решения, но и позволяет количественно выразить степень предпочтительности по средством рейтингования. Это способствует полному и адекватному выявлению предпочтений ЛПР. Кроме того, оценка меры противоречивости использованных данных позволяет установить степень доверия к полученному результату.

Примечание. Упомянутая в 2.3.2 схема оценки альтернативы по совокупности оценок ее эффективности для множества частных критериев может использоваться в рамках других МПР как самостоятельный алгоритм принятия решения на основе линейной свертки оценок по частным критериям:

1. Для каждой допустимой альтернативы A 1 ,…,A n оценить степень удовлетворения ею каждого из частных критериев К 1 ,…,К m в единой балльной шкале. В результате получаем матрицу оценок вида

с 11 ,…,с 1 m

с n 1 ,…,с nm

где с ij , 1≤i≤n, 1≤j≤m – оценка степени выполнения критерия К j в случае выбора альтернативы A i

2. Оценить относительную важность (построить веса) критериев

3 Для каждой из альтернатив A i , i=1,…,n оценить степень удовлетворения ею общей цели ЗПР как взвешенное среднее вида

3 В качестве решения выбрать ту альтернативу, которой соответствует максимальная оценка

2.3.3 Нечеткое множество и функция принадлежности

Построение моделей автоматизации процесса принятия решений для задач управления на основе экспертной информации, имеющих нечеткое описание, базируется на понятиях «нечеткое множество» и «лингвистическая переменная».

2.3.3.1 Коротко остановимся на понятии лингвистической переменной. Не вдаваясь в тонкости, ее можно определить как переменную, значениями (термами) которой являются не числа, а слова или предложения естественного (или формального) языка. Например, лингвистическая переменная "возраст" может принимать следующие значения: очень молодой, молодой, среднего возраста, старый, очень старый и другие - в зависимости от требуемой степени детальности описания. Ясно, что переменная "возраст" будет обычной переменной, если ее значения - точные числа; лингвистической она становится будучи использована в нечетких рассуждениях человека.

Каждому терму лингвистической переменной соответствует определенное нечеткое множество со своей функцией принадлежности, которая описывает совместимость этого терма с различными числовыми значениями.

Пример возможного соответствия значений лингвистической переменной «оценка» количественным интервальным значениям

Более детально с понятием лингвистической переменной и многочисленными примерами можно познакомиться в книге Заде, Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к понятию приближенных решений / Л.А. Заде. – М.: Мир, 1976.

2.3.3.2 В обычной теории множеств существуют несколько способов задания множества. Одним из них является задание с помощью характеристической функции, определяемой следующим образом. Пусть U - так называемое универсальное множество, из элементов которого образованы все остальные множества, рассматриваемые в настоящей задаче, например множество всех целых или действительных чисел и т.д. Характеристическая функция подмножества A  U - это функция mA, значения которой указывают, является ли элемент x из U элементом множества A. В классической теории множеств эта функция принимает два значения: mA(х)=0 (х не является элементом А) и mA(х)=1 (х является элементом А).

С точки зрения характеристической функции нечеткие множества являются естественным обобщением обычных множеств, когда мы отказываемся от бинарного характера этой функции и предполагаем, что она может принимать любые значения из отрезка . В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности , а ее значение mA(x) - степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству A.

В результате нечеткое множество определяется набором пар {(x; mA(x))}, где mA - функция принадлежности

Например, запись A = {(a; 0), (b; 0,1), (c; 0,5), (d; 0,9), (e; 1)} может трактоваться следующим образом: элемент a не принадлежит множеству A, элемент b принадлежит ему в малой степени, элемент c более или менее принадлежит, элемент d принадлежит в значительной степени, e является элементом A.

Потребность в таких множествах часто возникает при рассмотрении плохоформализуемых свойств и понятий. Например, как формализовать понятие «молодой человек». Не будешь же людей младше 25 четко причислять к числу молодых, а людей старше 25 четко не причислять к молодым. Если через М обозначить множество молодых людей, то разумнее, например, принять градацию типа mМ(x)=1 для людей младше 25 лет, mМ(x)=0,8 для людей младше 30 лет, mМ(x)=0 для людей старше 50 лет и т.д.

Конкретный вид функций принадлежности определяется на основе различных дополнительных предположений о свойствах этих функций (симметричность, монотонность, непрерывность первой производной и т.д.) с учетом специфики имеющейся неопределенности, реальной ситуации на объекте и числа степеней свободы в функциональной зависимости. Вид данной функции носит в значительной мере субъективный характер. Уменьшить степень этой субъективности можно, используя метод экспертных оценок, суть которого состоит в том, что как вид функции принадлежности, так и значения соответствующих параметров являются результатом коллективного творчества группы специалистов в рассматриваемой области - экспертов.

Во многих практических ситуациях функция принадлежности должна быть оценена исходя из частичной информации о ней, скажем такой, как значения, принимаемые ею на конечном множестве опорных точек х 1 ,...,х n . В этом случае говорят, что она частично определена с помощью "поясняющего примера".

На рис. приведены все основные виды функций принадлежности, применяемые в теории нечетких множеств.

Рис.4.1. Примеры различных способов построения функций принадлежности.

Рисунок – Классификация методов построения функций принадлежности нечетких множеств

Прямые методы характеризуются тем, что эксперт непосредственно задает правила определения значений функции принадлежности μ А (х), характеризующей элемент х.

Эти значения согласуются с его предпочтениями на множестве элементов Х следующим образом:

1. Для любых х 1 , х 2 Î Х μ А (х 1) < μ А (х 2) тогда и только тогда, когда х 2 предпочтительнее х 1 , т.е. в большей степени характеризуется свойством А;

2. Для любых х 1 , х 2 Î Х μ А (х 1) = μ А (х 2) тогда и только тогда, когда х 1 и х 2 безразличны относительно свойства А.

Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Разновидностями прямых методов являются прямые групповые методы , когда, например, группе экспертов предъявляют конкретный объект, и каждый должен дать один из двух ответов: принадлежит или нет этот объект к заданному множеству. Тогда число утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение функции принадлежности объекта к данному нечеткому множеству.

Прямыми методами являются также непосредственное задание функции принадлежности таблицей, графиком или формулой.

Из анализа результатов исследований и решения практических задач, связанных с необходимостью обрабатывать информацию, известно, что прямые методы в основном используются в качестве вспомогательных, т. к. характеризуются большой долей субъективизма.

Косвенные методы построения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяются нечеткие множества.

В косвенных методах значения функции принадлежности выбираются таким образом, чтобы удовлетворить заранее сформулированным условиям . Экспертная информация является только исходной информацией для дальнейшей обработки. Дополнительные условия могут налагаться как на вид получаемой информации, так и на процедуру ее обработки. К таким методам относятся статистический метод, метод парных сравнений, метод экспертных оценок и ряд других. Например, метод построения функции принадлежности на основе парных сравнений основан на обработке матриц оценок, отражающих мнение эксперта об относительной принадлежности элементов множеству или степени выраженности у них свойства, формализуемого множеством. Метод статистических данных основан на обработке статистической информации. В качестве степени принадлежности элемента множеству принимается оценка частоты использования понятия, задаваемого нечетким множеством, для характеристики элемента.

На универсальной шкале необходимо разместить значения лингвистической переменной: ОЧЕНЬ МАЛО, МАЛО, СРЕДНЕ, МНОГО, ОЧЕНЬ МНОГО. Тогда степень принадлежности некоторого значения вычисляется как отношение числа экспериментов, в которых оно встречалось в определенном интервале шкалы, к максимальному для этого значения числу экспериментов по всем интервалам . Метод основывается на условии, что в каждый интервал шкалы попадает одинаковое число экспериментов. Это условие часто не соблюдается. В реальных случаях составляется эмпирическая таблица, в которой эксперименты могут быть распределены неравномерно по интервалам, а в некоторые интервалы могут вообще не попасть.

Данный метод может быть использован для формализации задачи выбора альтернатив, т. к. эксперты могут определить конкретное множество допустимых альтернатив и удалить не нужные. В данном случае оценки отдельных экспертов можно рассматривать как независимые реализации случайной величины.

Построение функции принадлежности на основе экспертных оценок - данный метод построения функций принадлежности основан на использовании нечетких чисел, приблизительно равных некоторому четкому числу, и приближенных интервальных оценок, отражающих мнения экспертов по рассматриваемому вопросу. Задача сводится к отысканию параметров заранее заданной (экспоненциальной) функции, при решении которой используются результаты экспертного опроса. Этот метод часто целесообразнее всего использовать при решении задач выработки и оценки альтернатив.

Построение функций принадлежности на основе интервальных оценок. Данный метод применяется для формализованного представления задач выбора, в которых отсутствует четкая грань между допустимым и недопустимым (в пространстве неуправляемых параметров) и между идеальным и неудовлетворительным состояниями (в пространстве критериев).

Изложение алгоритма МАИ приведем, следуя и , для наглядности совместив формальное описание с примером.

2.1. Основные положения

Метод анализа иерархий является систематической процедурой для иерархического представления компонентов, определяющих суть любой проблемы . Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений лица, принимающего решение (ЛПР), по парным сравнениям. В результате может быть выражена относительная степень взаимодействия элементов. Эти суждения затем выражаются численно. Метод анализа иерархии включает процедуры синтеза множественных суждений, выявления приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений. Полученные таким образом значения являются оценками в шкале отношений и соответствуют некоторым численным оценкам.

Решение проблемы – это процедура поэтапного установления приоритетов. На первом этапе выявляются наиболее важные компоненты проблемы, на втором – наилучший способ проверки наблюдений, испытания и оценка альтернатив; на следующем этапе вырабатывается решение и оценивается его качество. Процесс может быть проведен также над последовательностью иерархий: в этом случае результаты, полученные в одной из них, используются в качестве входных данных при изучении следующей. Метод многокритериального отбора систематизирует процесс решения такой многоступенчатой задачи.

Основные принципы метода анализа иерархий

1. Принцип идентичности и декомпозиции . Предусматривает структурирование проблем в виде иерархии или сети.

2. Принцип сравнительный суждений (парных сравнений). Предполагает, что элементы задачи (альтернативы и критерии) сравниваются попарно с позиции их воздействия на общую характеристику.

3. Принцип синтеза приоритетов. Предполагает формирование набора локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов на элемент примыкающего сверху уровня.

2.2. Постановка задачи (пример)

Целью задачи является строительство аэропорта . Необходимо выбрать лучшую площадку для строительства аэропорта с точки зрения выделенных критериев. Комиссия по выбору постройки аэропорта предварительно отобрала из нескольких возможных три альтернативных варианта площадок – А1, А2, А3 . Было выявлено три основных критерия, влияющих на принятие решения о выборе площадки для строительства: 1 – стоимость строительства, 2 – время в пути от аэропорта до центра города, 3 – количество жителей, подвергающихся шумовым воздействиям. При решении задачи используется МАИ для поддержки процесса принятия решений.

2.3. Этапы маи

Этап 1. Построение иерархической структуры задачи многомерного выбора.

В общем случае простейшей трехуровневой иерархии структура имеет вид Рис.1.

Рис. 1. Обобщенна иерархическая структура проблемы

Этап 1. Структуризация.

Структуру решаемой задачи можно представить в виде иерархической структуры, показанной на Рис. 2.

Рис. 2. Иерархическая структура проблемы

Этап 2. Выполнение попарных экспертных сравнений элементов каждого уровня иерархий.

Рассмотрим элементы С 1 , С 2 , …, С n некоторого зафиксированного уровня иерархи. Мы хотим определить веса ѡ 1 , ѡ 2 , …,ѡ n влияния этих элементов на некоторый элемент вышестоящего уровня. Основным инструментом оценки влияния является матрица чисел по шкале отношений 1, …, 9 (табл. 1), представляющих суждения о парных сравнениях. Для представления приоритетов в МАИ выбран собственный вектор, принадлежащий наибольшему собственному значению указанной матрицы А . Обозначим через число (бал), соответствующее значимости (предпочтения) элементаС i по сравнению с элементом С j данного уровня иерархии по влиянию С i , С j на фиксированный элемент вышестоящего уровня (например К1 на Рис. 2):

Матрица А с содержательной точки зрения будет согласованной по оценкам при введении условия

С математической точки зрения это условие наделяет матрицу А свойством обратносимметричной матрицы. На главой диагонали матрицы А стоят 1.

Если оценки попарных сравнений известны точно, т.е. оценки основаны на экспериментальных измерениях, то

т.е. веса влияния элементов известны.

Например, если взвешиваются два предмета: С 1 =305,2 и С 2 =244,2, тогда отношение означает, что предметС 1 в 1,25 раз тяжелее предмета С 2 .

Для случая экспериментального измерения весов ѡ 1 , ѡ 2 , …,ѡ i ,…, ѡ n сравниваемых элементов на уровне иерархии согласованность считается полной , естественно, с точностью до погрешности измерительных приборов или расчетных методик. При экспертной оценке отношений (7) согласованность суждений и соответственно матрицы А будет не полной . Значит нужно разработать некоторую числовую меру отклонения согласованности матрицы А от идеальной (см. ниже формулу отношения согласованности (9)).

Теперь рассмотрим подробнее содержательный смысл требования согласованности в МАИ.

В МАИ под согласованностью суждений подразумевается не просто традиционное требование транзитивности предпочтений : если например, для индивидуума яблоки предпочтительнее апельсинов, а апельсины предпочтительнее бананов, то яблоки должны быть предпочтительнее бананов.

Схематически это можно записать так:

– знак предпочтения элемента в отношении двух элементов; ∩ – знак пересечения множеств (совместности).

В МАИ транзитивность наделяется количественными отношениями. Например, если яблоки в 2 раза предпочтительнее апельсин (по цене), а апельсины предпочтительнее бананов в 3 раза, то яблоки должны быть в 6 раз предпочтительнее бананов. Именно это автор МАИ Саати называет числовой (кардинальной) согласованностью предпочтений. Несогласованность означает отсутствие пропорциональности, которое может нарушить транзитивность.

МАИ не только показывает наличие несогласованности отдельных сравнений, но и дает численную оценку того, как сильно нарушена согласованность для всей рассматриваемой задачи.

Замечание. В простейшей версии МАИ считается, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем, кластером, стратой) независимы между собой, но все они влияют на каждый элемент другого (вышестоящего) уровня. Таким образом, общая задача многокритериального выбора сводится к задаче оценки влияния уровней иерархи (снизу-вверх либо сверху-вниз).

Теперь обратимся к расчетам для нашего примера.

Зафиксируем нижний (третий) уровень иерархи Рис. 2, содержащий элементы А1, А2, А3 альтернативных площадок для строительства аэропорта. Зафиксируем также один элемент К1 – стоимость строительства на уровне 2 иерархии.

Примечание: в МАИ можно формировать матрицу парных сравнений на основе любой шкалы отношений, применяемой для измеряемых свойств сравниваемых объектов. В этом случае экспертная оценка заменяется отношением двух соответствующих измерений. Новая шкала (собственный вектор), которая выводится из матрицы парных сравнений, содержащий оценки реальных измерений, будет эквивалентна той, которую можно получить путем нормирования соответствующих измерений.

Таблица 1

Шкала относительной важности

Матрица экспертных оценок влияния элементов А1, А2, А3 на элемент К1 второго уровня иерархии показана в таблице 2 (выделено темным цветом). В таблице 2 приведены также расчетные величины для определения максимального собственного значения и главного собственного вектораполученной матрицыА (алгоритм расчета этих величин описан в этапе 3 алгоритма в таблице 6).

Аналогично получены матрицы парных сравнений элементов А1, А2, А3 относительно критерия К2 (таблица 3) и критерия К3 (таблица 4).

Таблица 2

Матрица А С.1 парных сравнений альтернатив по первому критерию

Стоимость производства К1				W1
Сумма по столбцу СВ
λmax=3,44; ИС=0,22; ОС=0,379.

Таблица 3

Матрица А С.2 парных сравнений альтернатив по второму критерию

Стоимость производства К2				Компоненты собственного вектора W2	Нормализованные компоненты собственного вектора приоритетов
Сумма по столбцу СВ
λmax=3,04; ИС=0,22; ОС=0,03.

Таблица 4

Матрица А С.3 парных сравнений альтернатив по третьему критерию

Стоимость производства К3				Компоненты собственного вектора W3	Нормализованные компоненты собственного вектора приоритетов
Сумма по столбцу СВ
λmax=3,37; ИС=0,18; ОС=0,31.

Аналогично строиться матрица парных сравнений для второго уровня иерархий, элементами которого являются критерии К1, К2, К3 . Эта матрица показана в таблице 5 (выделено темным цветом).

Таблица 5

Матрица А С.4 парных сравнений критериев

				Компоненты собственного вектора W 4	Компоненты нормализованного собственного вектора приоритетов элементов второго уровня (критериев)
λmax=3,297; ИС=0,15; ОС=0,26.

Этап 3 . Определение вектора приоритетов.

В качестве вектора приоритетов для каждого уровня иерархии принят нормализованный главный собственный вектор матрицы попарных сравнений. Для расчета этих векторов используется приближенный метод 4 из оценки через средние геометрические.

Собственный вектор обеспечивает упорядочение приоритетов. Чем больше i -я компонента СВ, тем больше влияние i -го элемента в комплексе всех элементов анализируемого уровня иерархии на выделенный элемент С вышестоящего уровня.

Для нижнего уровня альтернатив (площадок для строительства А1, А2, А3 ) алгоритм расчета собственного вектора, относящийся к матрице парных сравнений из таблицы 2, показан в таблице 6. В таблице 2 показан также результат расчета – нормализованный собственный вектор .

Аналогично рассчитывается нормализованные собственные векторы для матриц парных сравнений А с.2 и А с.3 из таблиц 3 и 4.

Получены оценки: ;, которые отражены в таблицах 3 и 4.

Для второго уровня иерархии, включающего критерии К1, К2 и К3 , оценка нормализованного собственного вектора, характеризующие его приоритеты этого уровня по влиянию на единственный элемент верхнего (первого) уровня, т.е. цель выбора, производится по описанному выше алгоритму. Для матрицы парных сравнений А с.4 из таблицы 5, получены данные расчета: .

Таким образом, все векторы приоритетов для второго и третьего уровней иерархии получены.

Этап 4. Определение максимальных собственных значений и степени согласованности матриц парных сравнений.

Прежде чем перейти к синтезу оптимальной альтернативы с учетом всех элементов второго и третьего уровней иерархии, нужно убедиться в достаточном уровне согласованности всех матриц суждений А с.1 , А с.2 , А с.2 , А с.4 . Для этого нужно вычислить максимальные собственные значения этих матриц. В теории МАИ приводится следующий алгоритм расчета. Сначала суммируется каждый столбец суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца – на вторую компоненту и т.д. Затем полученные числа суммируются:

где k – номер матрицы парных сравнений (суждений); – вектор-строка столбцовых сумм матрицы суждений с номеромk ; – нормализованный собственный главный вектор матрицы сужденийА с. k , принадлежащий наибольшему собственному значению .

Таблица 6

Матрица парных сравнений альтернатив по первому критерию К1

К1	А1	А2	А3	Компоненты собственного вектора	Компоненты нормализованного вектора приоритетов
А1
А2
А3
Сумма по столбцам

В (8) умножение производится по правилу скалярного произведения векторов.

Например, для матрицы суждений А с.1 из таблицы 2 получим:

Максимальные собственные значения всех матриц суждения ,,,приведены соответственно в таблицах 2, 3, 4 и 5.

Этап 5 . Определение индексов согласованности и отношений согласованности для матриц суждений.

В общем случае под согласованностью понимается то, что при наличии основного (базового) массива необработанных данных все другие данные логически могут быть получены из них. Или другими словами, отношения элементов всей матрицы А не должны быть противоречивыми.

Из теории МАИ известно, что идеальная согласованность положительной обратносимметричной матрицы эквивалентна требованию

Заметим, что всегда верно, поэтому

Тогда степень согласованности матрицы суждений можно оценить мерой, называемой индексом согласованности (ИС)

Знаменатель – это число всех возможных парных сравнений данного элементав фиксированной строкеi для квадратной матрицы n -го порядка.

Следовательно, ИС имеет смысл отклонения от абсолютной согласованности, приходящегося на одно парное сравнение.

Вводится критерий, называемый отношением согласованности (ОС):

где СС – индекс случайной согласованности (СС).

СС определяется путем задания оценок по шкале отношений для случайно выбранных суждений при парных сравнениях и соответствующих им обратных величин для матрицыА. Значения СС в теории МАИ заранее вычислены и представлены в таблице 7.

Таблица 7

Случайная согласованность для случайных матриц

Приемлемая величина ОС – порядка 10% или менее. Если ОС выходит из этих пределов, то ЛПР должно провести более глубокие исследования задачи и проверить свои суждения, т.е. назначение величин в матрице парных сравнений.

В качестве примера приведем оценки для матрицы суждений А с.1 из таблицы 2:

Величины значения индекса согласованности и отношений согласованности для матриц суждений А с.1 , А с.2 , А с.3 , А с.4 показаны соответственно в таблицах 2, 3, 4 и 5.

Замечание. Формально отношения согласованности ОС 1 =0,378 для матрицы А с.1 , ОС 3 =0,31 для матрицы А с.3 и ОС 4 =0,26 для матрицы А с.4 являются неприемлемыми, т.е. уровень их согласованности очень мал. Требуется, чтобы ОС было меньше 0,1. Однако исправление указанных матриц суждения, а значит и всей задачи мы делать не будем, поскольку рассматриваемая задача носит учебный характер.

Этап 6. Синтез приоритетов уровней.

В математической теории иерархий разработан метод оценки воздействия уровня на соседний вышестоящий уровень путем композиции соответствующего вклада (приоритетов) элементов данного уровня по отношении к каждому элементу соседнего верхнего уровня. Композиция распространяется снизу-вверх. В принципе, можно рассматривать также распространение композиции сверху-вниз.

Математически «композиция» отображается оператором умножения. Как известно , в математической логике операция умножения отображает совместное действие сомножителей.

Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты (приоритеты альтернатив А 1 , А 2 , А 3 по каждому критерию) перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии критериями на которые воздействует этот элемент. Процедура продолжается до самого нижнего уровня. В формализованном виде процедура синтеза приоритетов имеет следующий вид.

Общий вектор приоритетов взаимного влияния уровня 3 альтернатив (А 1 , А 2 , А 3) и уровня 2 критериев (К1, К2, К3) на общую цель (уровень 1) равен:

где В – матрица компонент нормированных векторов приоритетов альтернатив первого снизу уровня (см. таблицы 2, 3 и 4); – нормированный вектор приоритета критериев второго уровня (таблица 5).

В (11) умножение производится по правилам умножения матрицы на вектор:

Для нашего примера:

Этап 7 . Выбор оптимально альтернативы.

Алгоритм оптимального выбора прост:

Таким образом, алгоритм оптимального многокритериального выбора приводит к выбору площадки А 1 для строительства аэропорта, так как ей соответствует наибольшее значение компоненты вектора общего приоритета

Достоинством метода анализа иерархий является направленность на сравнение реальных альтернатив. Метод может применятся в тех случаях, когда эксперты не могут дать абсолютной оценки альтернатив по критериям, а пользуются более слабыми сравнительными измерениями.

Метод анализа иерархий, МАИ -- разработан Т. Саати и является методом измерения взаимозависимости в системе, систематической процедурой для иерархического представления элементов доминантной, прямой или обратной иерархии, системно описывающих проблему. В рамках данного метода взаимозависимость измеряется (оценивается) путем сравнения вкладов в вышестоящие узлы иерархии нижестоящих видов деятельности или критериев (подиерархии). Метод предполагает последовательное осуществление процедур:

• -- декомпозиции проблемы на части (элементы);
• -- получения экспертных заключений по парным сравнениям, синтеза множества суждений;
• -- определения относительной степени (интенсивности) взаимодействия элементов в иерархии;
• -- определения численного выражения интенсивности взаимодействия.

В этом методе предусматривается декомпозиция проблемы на части, ее структурирование и выделение иерархии, содержащей различные главные цели, подцели, критерии или уровней мероприятий, альтернатив, подлежащих оценке и дальнейшая обработка последовательности суждений ЛПР по попарным сравнениям. Данный метод включает процедуры синтеза множественных суждений, оценку приоритетности факторов (критериев) и нахождения альтернативных стратегий (решений) Преимуществом МАИ над большинством существующих методов оценивания стратегических альтернатив является четкое выражение суждений экспертов и лиц, принимающих решения, а также ясное представление структуры проблемы: элементов и взаимозависимостей между ними. Метод анализа иерархий опирается на достаточно простые элементы, которые оцениваются в шкале МАИ в виде суждений экспертов. А затем на основании обработки экспертных оценок определяется относительная степень их взаимного влияния в иерархии.

Для анализа стоимость-эффективность необходимо построить две иерархии: одну для издержек, другую для выгод с одними и теми же альтернативами на нижнем уровне. Критерии для выгод и для издержек не обязательно должны быть противоположными друг другу, но они должны различаться.

Главная цель проблемы является высшим уровнем иерархии. За целью следует уровень наиболее важных критериев. Каждый из критериев может разделяться на субкритерии. За субкритериями следует уровень альтернатив, число которых может быть достаточно большим.

Методика МАИ включает парные сравнения, разработку шкалы для преобразований суждений в числовые значения, использование обратно симметричных отношений, гомогенную кластеризацию иерархических уровней, иерархическую композицию проблемы .

Порядок применения Метода Анализа Иерархий:

• 1. Построение качественной модели проблемы в виде иерархии, включающей цель, альтернативные варианты достижения цели и критерии для оценки качества альтернатив.
• 2. Определение приоритетов всех элементов иерархии с использованием метода парных сравнений.
• 3. Синтез глобальных приоритетов альтернатив путем линейной свертки приоритетов элементов на иерархии.
• 4. Проверка суждений на согласованность.
• 5. Принятие решения на основе полученных результатов.
• 1. Первый шаг МАИ -- построение иерархической структуры, объединяющей цель выбора, критерии, альтернативы и другие факторы, влияющие на выбор решения. Построение такой структуры помогает проанализировать все аспекты проблемы и глубже вникнуть в суть задачи.. Декомпозиция предусматривает структурирование задачи в виде иерархии. В наиболее простом виде иерархия строится с вершины (цель), через промежуточные уровни (критерии) к самому низкому уровню, который обычно является перечнем альтернативных решений. Число уровней иерархии, описывающих конкретную задачу, может быть различно и зависит от специфики задачи. Каждый элемент верхнего уровня является «направляющим» для элементов нижнего уровня иерархии. Это означает, что важность (весовой коэффициент) критериев в описываемой альтернативе рассматривается относительно цели выбора альтернатив. При бинарном сравнении критериев каждый из них оценивается относительно поставленной цели и соответственно определяет уровни взаимного предпочтения.
• 2. Затем определяется вес элементов на первом уровне иерархии. Для каждого из этих элементов строится матрица векторов-столбцов элементов, находящихся на следующем уровне иерархии. Векторы весов элементов этого уровня используются для взвешивания собственных векторов-столбцов. Перемножением матрицы векторов на вектор-столбец весов рассчитывают общий вектор весов элементов нижнего уровня.

Расчеты необходимо проводить в матричной форме. При этом должно соблюдаться свойство обратной симметрии.

3. Сущность попарных сравнений заключается в сравнении элементов задачи (критерии, альтернативы) попарно по отношению к их воздействию (весу, интенсивности) на общую для них характеристику. Парные сравнения критериев и альтернатив проводятся в терминах доминирования одного из элементов над другим. Эти суждения в шкале МАИ выражаются в целых числах. Если элемент А доминирует над элементом В, то клетка квадратичной матрицы, соответствующая строке А и столбцу В, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке В и столбцу А, - обратным ему числом. Если А и В эквивалентны, то в обе позиции записывается 1.

Опыт показал, что при проведении попарных сравнений в основном ставятся следующие вопросы. При сравнении элементов А и Б:

• · Какой из них важнее или имеет большее воздействие?
• · Какой из них более вероятен?
• · Какой из них предпочтительнее?

Относительная сила, величина или вероятность каждого отдельного объекта в иерархии определяется оценкой соответствующего ему элемента собственного вектора матрицы приоритетов, нормализованного к единице.

Процедура определения собственных векторов матриц поддается приближению с помощью вычисления геометрической средней.

Пусть: A 1 ...A n - множество из n элементов; W 1 ...W n - соотносятся следующим образом:

Таблица 4 - Парные сравнения

Для получения каждой матрицы требуется n(n - 1)/2 суждений, где n - число критериев, если сравнение проводится среди них, или число альтернатив, если они сравниваются по каждому критерию. При бинарном сравнении альтернатив, особенно при близких оценках их показателей, возможны случаи нарушения требований транзитивности или других ошибок в суждениях, поэтому МАИ предусматривает специальный механизм определения согласованности оценок.

4. Обработка результатов в методике МАИ осуществляется на базе методов матричного анализа с использованием специальных процедур оценки субъективных суждений на основании шкалы сравнений.

Для обоснования шкалы МАИ учитывается, что способность человека производить количественные разграничения можно представить пятью определениями: а) равный; б) слабый; в) сильный; г) очень сильный; д) абсолютный. Можно принять компромиссные определения между отмеченными соседними, когда нужна большая точность. В целом

требуется девять значений, выносимых при сравнении объектов суждений. Использование единицы в начале шкалы соответствует отношению значимости объекта относительно самого себя.

Для определения значений суждений следует начинать сравнение с левого элемента матрицы постановкой вопроса: насколько он важнее каждого из элементов, расположенных вверху (какой более вероятен или какой более предпочтителен). Если сравниваемый элемент важнее того, с которым он сравнивается, то в соответствующую позицию матрицы заносится целое число из шкалы относительной важности; в противном случае берется обратная величина. При сравнения элемента с самим собой отношение равно единице.

5. Для объединения суждений целесообразно найти среднегеометрическое значение путем перемножения соответствующих числовых значений в каждой строке матрицы суждений и извлечении корня степени, равной числу оцениваемых элементов. В результате получаем значение компонент собственного вектора.

Таблица 5 - Синтез локальных приоритетов критериев

				Компоненты вектора приоритета	Нормативный вектор
				х1=а /s
					х2=b /s
					х3=c /s
	s =а +b +с

• 1) суммировать элементы каждой строки и нормализовать делением каждой суммы на суммы всех элементов. Сумма полученных результатов равна 1. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта (в данном случае первого фактора) и т. д.;
• 2) суммировать элементы каждого столбца и получить обратные элементы этих сумм. Нормализовать их так, чтобы сумма равнялась единице, разделив каждую обратную величину на сумму всех обратных величин;
• 3) разделить элементы каждого столбца на сумму элементов этого столбца, т. е. нормализовать столбец. Затем сложить элементы каждой полученной строки и разделить эту сумму на число элементов в строке - усреднение по нормализованным столбцам;
• 4) умножить п элементов каждой строки и извлечь из произведения корень п-й степени. Нормализовать полученные числа.

В общем случае, когда матрица М[п] содержит элементы согласованности суждений, указанные способы дают различные результаты векторов приоритетов

• (факторов взвешивания).
• 6. Синтез приоритетов заключается в разработке глобального критерия оценки альтернативных вариантов решения на базе системы локальных приоритетов. Система локальных приоритетов - это совокупность векторов приоритетов по каждой матрице попарных сравнений. Один вектор приоритетов показывает значимость критериев и определяется по матрице попарных сравнений критериев. Остальные векторы приоритетов показывают значимость (результаты сравнения) вариантов по соответствующему критерию. Вектор приоритетов представляет собой нормализованный собственный вектор матрицы попарных сравнений.

Таблица 6 - Синтез локальных приоритетов альтернатив

				Компоненты вектора приоритета	Нормативный вектор
	s= а+в+с

7. После определения вектора приоритетов находят оценки согласованности мнений экспертов. Для этого определяется отношение согласованности локальных критериев. Расчет показателей согласованности выполняется следующим образом.

Определяется приближенная оценка главного собственного значения матрицы суждений. Для этого определяется сумма по каждому столбцу суждений, а затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца - на вторую компоненту и т. д. Полученные числа суммируются, таким образом, получаемая величина лmах называется оценкой максимума (главного значения матрицы М). Это приближение используется для оценки согласованности суждений эксперта. Чем ближе лmах к n, тем более согласованным является представление в матрице М[n] суждений. Отклонение от согласованности называют индексом согласованности (ИС):

Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из нашей шкалы, и образовании обратно симметричной матрицы. Ниже даны средние согласованности для случайных матриц разного порядка.

Таблица 7 - Определение случайной согласованности

Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, получим отношение согласованности (ОС). Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях допускается ОС до 20%, но не более, иначе надо проверить свои суждения.

8. После проверки согласованности локальных приоритетов определяется глобальный критерий для каждого возможного варианта решений. Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня и вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия (взвешиваются) вышестоящего уровня и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует этот элемент. Это удобно представить в виде матрицы глобальных приоритетов.

Таблица 8 - Матрица глобальных приоритетов

Обобщенные веса или приоритетность объекта при их выборе равны сумме произведений локальных приоритетов каждого объекта по каждому критерию на значимость этого критерия.

Сравнивая полученные значения глобальных приоритетов, определяют рейтинг для всех стратегий. Высокий рейтинг будет соответствовать наибольшему значению глобального вектора приоритета или наиболее предпочтительной альтернативной стратегии. Оценить полезность вариантов выбора конкурентных стратегий можно с помощью нечеткой статистической теории принятия решений.

Основные этапы формирования и выбора конкурентной стратегии организации с использованием аналитических и процедурных методов, в частности, метода анализа иерархий, положенные в основу разработанной методики, представлены на рис. 5.

Достоинством предлагаемой методики выбора конкурентной стратегии является то, что метод МАИ в отличие от других экспертных дает возможность оценивать сразу и качественные, и количественные характеристики посредством перехода к безразмерным показателям. С помощью этого метода можно осуществлять поиск оптимальной конкурентной стратегии в любой рыночной ситуации, так как он позволяет сравнивать все факторы одновременно, определяя значимость путем сравнения попарно каждого с каждым. В результате определяется относительная степень (интенсивность) взаимодействия элементов в иерархии. При этом другие методы позволяют одновременно сравнивать, как правило, только по два фактора.

Рисунок 5 - Этапы формирования и выбора стратегии организации методом анализа иерархий (МАИ)

Введение

Метод анализа иерархий является замкнутой логической конструкцией, которая обеспечивает с помощью простых и хорошо обоснованных правил, решение многокритериальных задач, включающих как качественные, так и количественные факторы, причем количественные факторы могут иметь разную размерность. Метод основан на декомпозиции задачи и представлении ее в виде иерархической структуры, что позволяет включить в иерархию все имеющиеся у лица, принимающего решение знания по решаемой проблеме и последующей обработке суждений лиц, принимающих решения. В результате может быть выявлена относительная степень взаимодействия элементов в иерархии, которые затем выражаются численно. Метод анализа иерархий включает процедуры синтеза множественных суждений, получения приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений.

Весь процесс решения подвергается проверке и переосмыслению на каждом этапе, что позволяет проводить оценку качества полученного решения.

Метод анализа иерархий представляет собой систематическую процедуру для иерархического представления элементов, которые определяют суть задачи принятия решений.

Актуальность данной темы обусловлена широким применением метода анализа иерархий, на основе этого метода разработаны достаточно серьезные системы поддержки принятия решений возрастанием закона единства анализа и синтеза. В научной литературе подробно рассматривается метод анализа иерархий и его применение в различных областях.

Цель исследования - изучение закона единства анализа и синтеза, как в природе, так и в конкретной организации.

Объект исследования - компания, занимающаяся разработкой и продвижением программно-технологических решений для комплексной автоматизации управления предприятиями.

Предмет исследования - метод анализа иерархий.

Задачи исследования:

1) понятие и применение метода анализа иерархий;

2) исследование особенности метода анализа иерархий;

3) определение достоинств и недостатков метода анализа иерархий.

Данная работа состоит из введения, двух глав, включающих в себя по три части, заключения и списка использованной литературы.

Особенности применения метода анализа иерархий, его преимущества и недостатки

Понятие и характеристика метода анализа иерархий

В настоящее время существует множество информационных технологий, позволяющих предельно облегчить жизнь и помочь в решении проблем, связанных с процессами принятия решений в различных предметных областях. В частности, очень распространены сейчас системы поддержки принятия решений на основе Метода Анализа Иерархий (МАИ). Оценка вариантов решений с использованием МАИ осуществляется как на основе объективной, так и субъективной исходной информации.

В начале 1970 года американский математик Томас Саати разработал процедуру поддержки принятия решений, которую назвал "Analityc hierarchy process" (AHP). Авторы русского издания перевели это название как "Метод анализа иерархий" - (Книга "Принятие решений. Метод анализа иерархий".

Этот метод относится к классу критериальных и занимает особое место, благодаря тому, что он получил исключительно широкое распространение и активно применяется по сей день, особенно в США. Не следует думать, что его выдающаяся популярность объясняется какими-либо важными преимуществами этого метода, по сравнению с другими. Здесь можно столкнуться с известным психологическим феноменом: продукт, появившийся первым и удачно удовлетворяющий определенную потребность, захватывает рынок. Более поздние продукты, зачастую более совершенные, часто оказываются неспособны вытеснить удачливого первенца.

На основе этого метода разработаны достаточно серьезные системы поддержки принятия решений, например "Expert choice".

Структура модели принятия решения в методе анализа иерархий представляет собой схему (граф), которая включает:

1) набор альтернативных решений;

3) набор групп однотипных факторов, влияющих на рейтинг;

4) множество направленных связей, указывающих на влияния решений, критерия и факторов друг на друга.

Структура модели отражает результат анализа ситуации принятия решения.

Первая группа понятий связана с описанием возможных структур моделей принятия решения.

Для вычисления приоритетов альтернативных решений к структуре необходимо добавить информацию о силе влияний решений, критерия и факторов друг на друга.

Вторая группа понятий связана с описанием данных для моделей принятия решения.

После того как сформирована структура и собраны все данные, модель принятия решения готова, т.е. в ней могут быть получены рейтинги приоритетов решений и факторов. Знание приоритетов используется для поддержки принятия решения.

Третья группа понятий связана с описанием результатов, получаемых в моделях принятия решения.

Четвертая группа понятий связана с пояснением того, как организованы вычисления. Знание этих понятий необходимо лишь для понимания математических обоснований метода. Для применения метода знание этих понятий необязательно.

Метод анализа иерархий представляет собой междисциплинарную область науки.

Обоснование вычислительных процедур метода проводится с помощью теории неотрицательных матриц.

Основным инструментом для сбора данных, благодаря которому метод практически не имеет аналогов при работе с качественной информацией, является процедура парных сравнений. Психологические обоснования шкал сравнений основаны на результатах исследований стимулов и реакций.

Анализ структуры модели, которой оперирует метод анализа иерархий, проводится с помощью процедур, разработанных в теории графов.

При проведении процедуры согласования и при решении обратной задачи используются методы оптимизации (нелинейного программирования).

Метод анализа иерархий представляется более обоснованным путем решения многокритериальных задач в сложной обстановке с иерархическими структурами, включающими как осязаемые, так и неосязаемые факторы, чем подход, основанный на линейной логике. Применяя дедуктивную логику, исследователи проходят трудный путь построения тщательно осмысленных логических цепей только для того, чтобы в итоге, полагаясь на одну лишь интуицию, объединить различные умозаключения, полученные из этих дедуктивных посылок. Кроме того, подход, основанный на логических цепях, может не привести к наилучшему решению, так как в данном случае может быть потеряна возможность принятия компромиссов между факторами, лежащими в разных цепях логического мышления.

Иерархия является основным способом, с помощью которого исследователь может подразделить всю совокупность исследуемых данных на кластеры и подкластеры. Основной задачей МАИ является оценка высших уровней иерархии, исходя из взаимодействия различных уровней, а не из непосредственной зависимости от элементов на этих уровнях. Применение МАИ для определения влияния инновационных управляющих воздействий (автоматизированная обучающая среда; интерактивное сетевое взаимодействие; направляемая самостоятельная познавательная деятельность; выездная сессия; автоматизированный документооборот) на результат учебной деятельности и вклад влияния каждого управляющего воздействия на итоговый результат, позволит повысить качество подготовки специалистов. Основной задачей является оценка значимости рассматриваемых управляющих воздействий.

Процессы принятия решений в различных сферах деятельности во многом аналогичны. Поэтому необходим универсальный метод поддержки принятия решений, соответствующий естественному ходу человеческого мышления.

Часто экономические, медицинские, политические, социальные, управленческие проблемы имеют несколько вариантов решений. Зачастую, выбирая одно решение из множества возможных, лицо, принимающее решение, руководствуется только интуитивными представлениями. Вследствие этого принятие решения имеет неопределенный характер, что сказывается на качестве принимаемых решений.

С целью придания ясности процесс подготовки принятия решения на всех этапах сопровождается количественным выражением таких категорий как "предпочтительность", "важность", "желательность" и т.п.

Требуется каждой альтернативе поставить в соответствие приоритет (число) - получить рейтинг альтернатив. Причем чем более предпочтительна альтернатива по избранному критерию, тем больше ее приоритет.

Принятие решений основывается на величинах приоритетов.

Метод анализа иерархий - методологическая основа для решения задач выбора альтернатив посредством их многокритериального рейтингования.

Метод анализа иерархий вырос в настоящее время в обширный междисциплинарный раздел науки, имеющий строгие математические и психологические обоснования и многочисленные приложения.

Основное применение метода - поддержка принятия решений посредством иерархической композиции задачи и рейтингования альтернативных решений. Имея в виду это обстоятельство, перечислим возможности метода.

1) Метод позволяет провести анализ проблемы. При этом проблема принятия решения представляется в виде иерархически упорядоченных:

б) нескольких групп (уровней) однотипных факторов, так или иначе влияющих на рейтинг;

в) группы возможных решений;

г) системы связей, указывающих на взаимное влияние факторов и решений. иерархия синтез операционный

Предполагается, так же, что для всех перечисленных "узлов" проблемы указаны их взаимные влияния друг на друга (связи друг с другом).

2) Метод позволяет провести сбор данных по проблеме.

В соответствие с результатами иерархической декомпозиции модель ситуации принятия решения имеет кластерную структуру. Набор возможных решений и все факторы, влияющие на приоритеты решений, разбиваются на относительно небольшие группы - кластеры. Разработанная в методе анализа иерархий процедура парных сравнений позволяет определить приоритеты объектов, входящих в каждый кластер. Для этого используется метод собственного вектора. Итак, сложная проблема сбора данных разбивается на ряд более простых, решающихся для кластеров.

3) Метод позволяет оценить противоречивость данных и минимизировать ее.

С этой целью в методе анализа иерархий разработаны процедуры согласования. В частности, имеется возможность определять наиболее противоречивые данные, что позволяет выявить наименее ясные участки проблемы и организовать более тщательное выборочное обдумывание проблемы.

4) Метод позволяет провести синтез проблемы принятия решения.

После того, как проведен анализ проблемы и собраны данные по всем кластерам, по специальному алгоритму рассчитывается итоговый рейтинг - набор приоритетов альтернативных решений. Свойства этого рейтинга позволяют осуществлять поддержку принятия решений. Например, принимается решение с наибольшим приоритетом. Кроме того, метод позволяет построить рейтинги для групп факторов, что позволяет оценивать важность каждого фактора.

5) Метод позволяет организовать обсуждение проблемы, способствует достижению консенсуса.

Мнения, возникающие при обсуждении проблемы принятия решения, сами могут в данной ситуации рассматриваться в качестве возможных решений. Поэтому метод анализа иерархии можно применить для определения важности учета мнения каждого участника обсуждения.

6) Метод позволяет оценить важность учета каждого решения и важность учета каждого фактора, влияющего на приоритеты решений.

В соответствии с формулировкой задачи принятия решения величина приоритета напрямую связана с оптимальностью решения. Поэтому решения с низкими приоритетами отвергаются как несущественные. Как отмечено выше, метод позволяет оценивать приоритеты факторов. Поэтому, если при исключении некоторого фактора приоритеты решений изменяются незначительно, такой фактор можно считать несущественным для рассматриваемой задачи.

7) Метод позволяет оценить устойчивость принимаемого решения.

Метод анализа иерархий имеет аналогии с различными теориями.

1. Метод анализа иерархий имеет аналогии с теорией вероятностей.

Приоритеты альтернатив (это положительные числа, их сумма равна единице) можно отождествить с вероятностями выбора альтернатив. Приоритеты факторов, влияющих на рейтинг альтернатив, можно считать вероятностями гипотез. При таком подходе способ вычисления приоритетов альтернатив аналогичен применению формулы полной вероятности.

При работе с моделями, учитывающими наличие обратных связей, можно установить многочисленные терминологические и идеологические соответствия между методом анализа иерархий и марковскими случайными процессами с дискретным набором состояний и дискретным временем (марковскими цепями).

2. Метод анализа иерархий имеет аналогии с теорией графов.

Структура ситуации принятия решения представляется в методе анализа иерархий в виде направленного графа. Узлами графа служат: альтернативы, главный критерий рейтингования альтернатив, факторы, влияющие на рейтинг альтернатив. Направленными дугами графа являются связи, указывающие на влияния одних узлов, на приоритеты других узлов.

3. Метод анализа иерархий имеет аналогии с теорией неотрицательных матриц.

4. Метод анализа иерархий имеет аналогии с экспертными системами.

Технологии принятия решения с помощью экспертных систем, основанных на байесовском способе логического вывода, являются частным случаем применения метода анализа иерархий.

5. Метод анализа иерархий имеет аналогии с идеологией искусственных нейронных сетей.

В частности, обратная задача в методе анализа иерархий по способу решения и проведение процедуры согласования аналогичны обучению нейронной сети.

6. Метод анализа иерархий имеет аналогии с синергетикой.

Модели, строящиеся в методе анализа иерархий, имеют кластерную структуру. Кластеры, по сути, являются элементарными иерархическими структурами. В пределах кластеров метод оперирует понятием вектора приоритетов. При соединении кластеров в систему рейтинг альтернатив конструируется на основе векторов приоритетов в отдельных кластерах. Сложные модели часто демонстрируют "голографический" эффект. Даже при удалении части структуры итоговый рейтинг в целом сохраняется.