Г.А. КАЛАБУХОВ, заместитель руководителя Управления Федерального агентства кадастра объектов недвижимости по Воронежской области, кандидат экономических наук наук

Ю.Н. ГАЛКИНА, заместитель начальника отдела формирования, инвентаризации, организации ведения кадастра и оценки объектов недвижимости Управления Федерального агентства кадастра объектов недвижимости по Воронежской области, доцент кафедры экономика строительства Воронежского государственного архитектурно строительного университета, кандидат экономических наук

Процессы принятия решений в различных сферах деятельности бывают во многом аналогичны. Кроме того, во многом схожи и сопутствующие проблемы. Поэтому необходим метод, позволяющий по универсальным правилам оказывать поддержку принятия решений и соответствующий естественному ходу мышления лиц, принимающих решения. Обобщая опыт принятия решений в экономике, социальной сфере, на производстве и в других сферах человеческой деятельности , можно высказать ряд эмпирических требований к свойствам метода, призванного обеспечить поддержку процесса принятия решения.

1. Метод должен соответствовать естественному ходу человеческого мышления. Следует иметь в виду, что математические способы, положенные в основу метода, не должны заменять человеческий ум и опыт в интерпретации реального мира.

2. Метод должен служить универсальной систематической основой принятия решения, позволяющей ставить процесс принятия решений на поток.

3. Метод должен позволять решать проблему принятия решений с учетом ее реальной сложности и других сопутствующих проблем.

4. Метод должен предполагать обоснованный и понятийный способ рейтингования возможных решений. Иначе процесс принятия решений может носить неопределенный характер, а потенциальные возможности могут оказаться нереализованными.

5. Метод должен учитывать как имеющуюся количественную информацию, так и качественную информацию о предпочтениях лица принимающего решения, что чрезвычайно важно для экономики, управления, социальной сферы.

6. Метод должен учитывать тот факт, что часто (особенно для масштабных задач) имеется множество решений. Как следствие несистематический процесс принятия решений несет в себе неопределенность, сказывающуюся на качестве решений. Кроме того, для выбора лучшего решения далеко не всегда удается построить логическую цепочку рассуждений, когда из двух вариантов можно выбрать только один и компромиссы недопустимы. Поэтому для обеспечения ясности необходим механизм количественного ранжирования (установки приоритетов) для возможных решений.

7. Метод должен учитывать тот факт, что, как правило, имеется множество мнений и стилей принятия решения. В процессе выработки единого решения возможны конфликты. Поэтому нужны механизмы достижения согласия.

Для реального процесса подготовки принятия решения необходимо решить следующие задачи.

1. Выявить наиболее противоречивые этапы создания модели для поддержки принятия решения:

а) является ли рассматриваемый набор решений полным;

б) учтены ли все группы факторов, влияющих на выбор наиболее приоритетного решения;

в) определены ли существенные влияния главного критерия, факторов и альтернатив друг на друга;

г) известны ли сравнительные оценки того, как сильно влияют главный критерий, факторы и альтернативы друг на друга, имеются ли противоречия в оценках;

д) имеются ли альтернативные мнения по рассматриваемой проблеме, насколько они различаются.

2. Разбить большую задачу о принятии решения на ряд малых задач (провести анализ), что позволит распределить работу по подготовке принятия решения. Представить в понятной форме схему взаимодействия факторов, влияющих на формирование приоритетов решений, и самих решений (провести синтез), т. е. составить схему задачи принятия решения.

3. Оценить и минимизировать противоречивость данных, использующихся для определения приоритетов рассматриваемых решений.

4. Предварительно установить условия, при которых по найденному рейтингу приоритетов возможных решений можно сделать выбор лучшего решения.

5. Выяснить, все ли мыслимые варианты решений и факторов, влияющих на выбор решений, являются существенными или некоторые из них можно не рассматривать. Это весьма важно в ситуациях, когда рассматриваются проблемы большого масштаба или проблемы стратегического планирования.

6. Оценить устойчивость данных, полученных в результате применения метода анализа иерархий. В реальной ситуации практически невозможно гарантировать, что имеющиеся данные или представления о проблеме являются абсолютно точными. Поэтому необходимо проверить в какой мере изменяются приоритеты решений, если данные или схема принятия решения претерпят незначительные изменения.

7. Учесть, что обычно по рассматриваемой проблеме имеется множество мнений. Это приводит к необходимости выбора решения при наличии нескольких реальных схем принятия решения и нескольких наборов правдоподобных данных.

8. Организовать числовую обработку имеющейся качественной информации.

В рамках метода анализа иерархий нет общих правил для формирования структуры модели принятия решения. Это является отражением реальной ситуации принятия решения, поскольку всегда для одной и той же проблемы имеется спектр мнений. Метод позволяет учесть это обстоятельство с помощью построения дополнительной модели для согласования различных мнений, с помощью определения их приоритетов. Таким образом, метод позволяет учитывать человеческий фактор при подготовке принятия решений.

Формирование модели принятия решения в методе анализа иерархий - достаточно трудоемкий процесс. Сбор данных для поддержки принятия решения осуществляется главным образом с помощью процедуры парных сравнений. Результаты парных сравнений могут быть противоречивыми. Метод предоставляет большие возможности для выявления противоречий в данных. При этом возникает необходимость пересмотра данных для минимизации противоречий. Процедура парных сравнений и процесс пересмотра результатов сравнений часто являются трудоемкими. Однако в итоге лицо, принимающее решение, приобретает уверенность в том, что используемые данные и результаты являются вполне приемлемыми.

Схема метода совершенно не зависит от сферы деятельности, в которой принимается решение. Поэтому метод является универсальным, его применение позволяет организовать систему поддержки принятия решения. Модель, составляемая с помощью метода анализа иерархий, всегда имеет кластерную структуру. Метод позволяет разбить большую задачу на ряд малых самостоятельных задач. Благодаря этому для подготовки принятия решения можно привлечь экспертов, работающих независимо друг от друга над локальными задачами.

Данный метод предоставляет удобные средства учета экспертной информации для решения различных задач, в том числе для оценки земельных участков. Метод отражает естественный ход человеческого мышления. Он не только позволяет выявить наиболее предпочтительное решение, но и количественно выразить степень предпочтительности посредством рейтингового метода.

Условия обоснованного применения метода

1. Важным требованием, обеспечивающим обоснованность использования метода, является квалифицированность экспертов, принимающих участие в создании структуры модели принятия решения, подготовке данных и в интерпретации результатов, т. е. их способность давать правильную, непротиворечивую информацию. Эксперт должен быть осведомлен о степени развития земельного рынка, ориентироваться в ценовых приоритетах. Во многом обоснованность решения, принятого в результате оценки земельного участка с помощью иерархического анализа, связана:

а) с полнотой учета факторов, влияющих на формирование стоимости земельного участка;

б) с полнотой учета связей между целью оценки, факторами и возможными вариантами оценки;

в) с адекватностью формулировок критериев для парных сравнений тем целям, которые преследуют ся для построения модели оценки.

2. Модели, основанные на строгом иерархическом принципе, являются полилинейными и предполагают использование взвешенного суммирования для вычисления приоритетов в оценке земельного участка. При этом взаимная зависимость однотипных факторов, от которых зависят приоритеты решений, выясняется или путем парных сравнений, или не учитывается вовсе (например, доступность общественного транспорта или количество видов общественного транспорта для земель под жилую застройку). Таким образом, если учитываются сильно коррелирующие факторы, то соответствующая модель должна как минимум иметь обратные связи. Учет обратных связей позволяет установить опосредованные связи между однотипными факторами (через факторы других типов). Метод наиболее подходит для случаев, когда основная часть данных основана на предпочтениях лица, принимающего решения, т е. потенциального покупателя для данного земельного участка.

3. Результаты, полученные с помощью иерархических моделей (без обратных связей), являются статичными.

4. Сбор данных об оцениваемом и сравниваемых земельных участках и минимизация содержащихся в них противоречий могут подчас проводиться долго. При этом может оказаться, что в наборе данных не явно учитывается их разброс во времени (например, типичные земельные участки были проданы задолго до даты оценки). Это обстоятельство может привести к искажению результатов при моделировании быстро меняющихся ситуаций. Метод дает более реалистичные результаты при моделировании медленно меняющихся ситуаций, для принятия стратегических решений.

В методе анализа иерархий нет строгих правил создания моделей принятия решения. Вопрос о том, в какой мере модель соответствует ситуации принятия решения, остается открытым. Метод анализа иерархий позволяет лишь систематизировать процесс принятия решений, упорядочить процесс извлечения знаний из имеющейся информации. Поэтому для создания моделей принятия решения нужны опытные специалисты. Степень доверия к результатам, полученным с помощью метода анализа иерархии, часто совпадает со степенью доверия к экспертам, принимавшим участие в конструировании структуры модели, и сборе данных.

Существует следующая последовательность действий при оценке земельного участка с помощью метода анализа иерархий.

1. Определение набора возможных (альтернативных) решений и цели оценки (например, для продажи, для залога и т. п.).

2. Определение групп факторов, оказывающих влияние на формирование стоимости земельного участка.

3. Формирование уровней: первый (вершина) - главная цель (главный критерий) оценки; нижний - возможные варианты оценки (стоимости сравниваемых земельных участков); промежуточные - группы однотипных факторов, влияющих на оценку (месторасположение, транспортная доступность и т. п.). Сформированная многоуровневая структура модели дает предварительное представление о рейтинговом методе решений. На ней показаны узлы (цель, факторы, решения), сгруппированные по типам.

4. Выяснение структуры влияния между целью, факторами и решениями. При этом вначале необходимо выделить пары уровней, один из которых оказывает влияние на другой. Затем выяснить, между какими именно узлами выделенных уровней есть связи.

5. Анализ кластерной структуры модели принятия решения. При необходимости внесение корректив: добавление/удаление узлов и связей.

6. Внесение данных для кластеров: проведение сравнения для узлов каждого кластера и для кластеров, имеющих общую вершину или введение соответствующих векторов приоритетов.

7. Оценка качества данных (достаточность, согласованность, достоверность). При необходимости корректирование данных.

Если оказывается, что в масштабе модели данные недостаточно согласованы или недостаточно достоверны, целесообразно провести выборочное корректирование данных.

После того, как построена схематическая структура модели, отражающая ситуацию оценки, необходимо провести анализ структуры. При этом главным образом рассматриваются всевозможные пути, образованные связями. Эти пути, как правило, направлены от вершины модели (цель оценки) через узлы промежуточных уровней (через факторы, влияющие на стоимость земельного участка) к узлам нижнего уровня (к альтернативам). Т. е. каждый путь соответствует отдельной логической цепочке выбора альтернативы.

После того, как сформирована, проанализирована и откорректирована структура модели принятия решения, она наполняется данными. Готовая структура модели (все узлы, сгруппированные в уровни, и направленные связи между ними) всегда рассматривается как система кластеров. В соответствии с этим существуют два вида данных: данные для узлов кластера, данные для кластеров, подчиненных одному узлу (имеющих общую вершину). Оба вида данных можно получить, задав напрямую соответствующие векторы приоритетов, или с помощью парных сравнений. В последнем случае по результатам парных сравнений методом собственного вектора рассчитываются векторы приоритетов. Таким образом, подготовка данных связана с выбором того или иного способа получения данных. Каждый из них имеет свои достоинства и недостатки. Процедуры сравнения для кластеров с общей вершиной и для узлов одного кластера не имеют принципиальных различий.

Схема процедуры сравнений

1. Дан ряд однотипных земельных участков (кластеры с общей вершиной или узлы одного кластера).

2. Задан критерий сравнения объектов (формулировка критериев для парных сравнений связана с названием вершины, в нашем случае, по стоимости).

3. Подбор шкал для проведения сравнений.

4. Выбор способа сравнений.

5. Подбор определенного количества пар объектов. В градациях выбранной шкалы для каждой пары необходимо отметить, в какой мере один узел предпочтительнее другого по заданному критерию сравнения. Независимо от вида шкалы результаты парных сравнений имеют числовое выражение. Числовой результат парного сравнения двух объектов интерпретируется как экспертная оценка отношения их приоритетов (весов).

6. При необходимости парным сравнениям ставится в соответствие процентная оценка достоверности.

7. На основе результатов сравнений построение матрицы сравнений.

8. Соблюдение условия , или вычисление вектора приоритетов сравниваемых объектов. В результате применения традиционного способа сравнений оказывается заполненной наддиагональная часть матрицы (i≤j). Поддиагональную часть матрицы сравнений заполняем отношениями обратной симметрии вида

9. В результате применения способа сравнения обычно оказывается, что в матрице заполнена первая строка (известны элементы i-го вида). Построение первого столбца матрицы сравнений осуществляется способом отношений обратной симметрии. Деление каждого элемента полученного столбца на сумму его элементов и получение искомого вектора приоритетов.

10. Вычисление среднего значения достоверности проведенных сравнений и относительной согласованности сравнений, характеризующей степень их противоречивости.

11. Если сравнения признаны недостаточно согласованными или недостаточно достоверными, то проводится корректирование сравнений.

Показатели согласованности для системы в целом

Допустим, пронумерованы все уровни и узлы каждого уровня. Тогда каждому узлу можно поставить в соответствие пару натуральных чисел (i, j), где i - номер уровня, которому принадлежит данный узел; j - порядковый номер данного узла в уровне. Каждому кластеру можно поставить в соответствие три натуральных числа (i, j, k), где i - номер уровня, которому принадлежит вершина кластера; j - порядковый номер узла вершины данного кластера в уровне; k - номер уровня, в котором находится кластер. В этом случае вершине модели соответствует значение (1,1). Обозначим: - индекс согласованности для кластера (i, j, k), ( = 0, если для кластера (i, j, k) вектор приоритетов получен без проведения сравнений или с помощью способа сравнений с эталоном); &ndash случайный индекс для кластера (i, j, k).

Относительная согласованность для кластера (i, j, k) (если - индекс согласованности узла (i, j) без учета его приоритета в модели. Вклад набора данных для кластера (i, j, k) определяется показателями . Эти показатели можно использовать для определения кластеров, которые вносят наибольший вклад в противоречивость данных в масштабах всей модели. После этого проведение процедуры согласования можно построить по выборочному принципу. Уменьшение при изменении данных (например, при реализации процедуры согласования) свидетельствует об уменьшении противоречий в данных. При этом: а) повышается устойчивость результатов по отношению к малым изменениям данных или к незначительным изменениям структуры модели, б) уменьшаются искажения, возникающие при вычислении методом собственного вектора приоритетов узлов кластеров.

Оценка стоимости земельного участка методом иерархий относится к одной из разновидностей массовой оценки, в основе которой лежит принцип сравнения заданного земельного участка с типичными, уже проданными земельными участками.

Оценка какого-либо конкретного земельного участка - очень трудоемкая работа. Для определения стоимости методом анализа иерархий выбраны шесть незастроенных земельных участков, предоставленных для индивидуального жилищного строительства из земель поселений. Шесть земельных участков были проданы в период с 8 по 15 января 2005 г. Данные для расчета стоимости незастроенного земельного участка приведены в таблице 1.

Таблица 1

Исходные данные для расчета стоимости незастроенного земельного участка методом иерархий

Цель - определение стоимости предложенного земельного участка. Каждый из вариантов имеет свои преимущества и недостатки. Прежде всего рассматривается сочетание стоимости и комфорта. Следовательно, главными критериями первой иерархии являются стоимость и комфорт. Приоритеты между критериями устанавливаются по степени их влияния на выбор варианта. В данном случае предполагается, что стоимость и комфорт имеют равные приоритеты. Выбор можно представить в виде иерархии, которая состоит из уровней: выбор, критерии, варианты. Стрелки (связи) означают влияние одного узла на узел в другом уровне (рисунок 1).

Рисунок 1 – Основная иерархия оцениваемого варианта

Внешний комфорт жилого помещения, которое будет построено на данном земельном участке, складывается из престижности района, доступности общественного транспорта и близости остановки, расположения дома. Поэтому внешний комфорт для земельного участка можно представить в виде иерархии (рисунок 2).Рисунок 7 – Иерархия числа видов транспорта

Рисунок 8 – Иерархия общего числа маршрутов

Иерархия стоимости земельных участков представлена на рисунке 9.

Рисунок 9 – Иерархия стоимости земельных участков

Приоритеты между критериями устанавливаются по степени их влияния на выбор варианта. Развитость инфраструктуры можно представить в виде следующей иерархии (рисунок 10).

Рисунок 10 – Иерархия развитости инфраструктуры

На основе заданных характеристик земельных участков строим матрицу сравнений или вычисляем вектор приоритетов сравниваемых земельных участков. В результате применения традиционного способа сравнений оказывается заполненной наддиагональная часть матрицы (i≤j). Поддиагональную часть матрицы сравнений заполняем по способу отношений обратной симметрии. Первый столбец матрицы сравнений строим таким же образом. Затем делим каждый элемент полученного столбца на сумму его элементов и получаем искомый вектор приоритетов.

В итоге, после проведенных расчетов выполняется процедура сравнений. Результатом расчетов являются итоговые приоритеты для иерархии лучший вариант для покупателя и иерархии стоимость (таблица 2).

где - стоимость каждого из сравниваемых земельных участков; - итоговые приоритеты (коэффициенты).

Таблица 2

Расчет стоимости незастроенного земельного участка

Основные выводы

Имеется три стандартных метода оценки недвижимости: затратный, доходный и сравнения продаж, которые не дают возможности провести однозначную оценку недвижимости, поэтому в работе была предпринята попытка построения синтетического метода оценки недвижимости на базе метода анализа иерархий. Основное применение метода - поддержка принятия решений посредством иерархической композиции задачи и рейтингового метода альтернативных решений. Имея в виду это обстоятельство, можно перечислить возможности данного метода. Метод позволяет:

• унифицировать и заменить работу экспертов-оценщиков, а также понизить издержки на выплату заработной платы высококвалифицированным специалистам в риэлторских конторах, агентствах недвижимости;
• строить модели экспертного консилиума для оценки недвижимости, а также дополнительные иерархии для оценки компетентности экспертов;
• решать многокритериальные задачи оценки, устанавливать различные веса приоритетов и находить общую целевую функцию оцениваемого объекта;
• использовать процедуру для вычисления таких сложных характеристик, как отношение выгоды к затратам.

Таким образом, в методическом отношении наибольший интерес представляет массовая оценка всей территории города или крупной его части, процедурно предшествующая индивидуальной оценке и осуществляемая с помощью тех средств, которыми располагает коллектив специалистов, выполняющий массовую оценку. Индивидуальная оценка должна проводиться на основе массовой оценки. В ней принимает участие большое число специалистов, выполняющих оценочные работы по каждому земельному участку в отдельности (в крупном городе таких участков несколько десятков тысяч).

Список литературы

1. Гасилов В.В., Галкина Ю.Н. Моделирование процессов формирования рынка земельных ресурсов в Воронежской области. Современные сложные системы управления// Материалы междунар. науч. конф. - Старый Оскол, 2002. - С. 311.
2. Саати Т.Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий. - М.: Радио и связь, 1993. - 511 с.
3. Саати Т.Л., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем. - М.: Радио и связь, 1991. - 256 с.
4. Эллерман Д. Математические методы в оценке недвижимости. - Ин-т экономич. развития, Всемирный банк. - Апрель 1994. - С. 35.

Практическое изучение метода анализа иерархий

1. Теоретические сведения

Метод анализа иерархий, разработанный и опубли­ко­ванный в 1970 году аме­ри­канским ма­те­матикомСаати , относится к классу критериальных . Он по­лу­­чил очень ши­ро­кое распро­странение и в настоящее время продолжает ак­ти­в­но применяться - см., например, (задача составления оптимального про­изводственного плана нефтепереработки), (задача оценки недвижимости).

На первом этапе применения метода предусматривается структу­рирование про­­блемы в ви­де иерархии или сети . Иерархия строится с вершины (целей - с точки зрения управ­ле­ния), через промежуточные уровни (критерии, от которых зависят последующие уровни) к самому низкому уровню (который обычно является пе­речнем вариантов выбора).

Иерархия считается полной , если каждый элемент заданного уровня функци­о­нирует как критерий для всех эле­мен­тов нижестоя­щего уровня. В против­ном случае иерархия - не­полная . Нетрудно понять процесс определения ве­сов в случае не­полной иерархии, так как используются приоритеты соотве­тс­т­ву­ю­щего элемента, по отношению к которому произ­во­дится оценка, т. е. ие­рархия может быть разделена на подиерархии , имеющие общим са­мый вер­хний элемент.

Для объяснения метода анализа иерархий рассмотрим пример, ил­люстриру­ю­щий иерар­хи­ческое пре­дставление задачи. Предположим, что перед нами сто­­­ит задача выбора авто­мо­биля из со­вокупности, члены которой (модели ав­то­мобилей) обозначаются как А, Б, В и Г.

Определив на первом (высшем) уровне общую цель - «Автомобиль» - н­а вто­ром уровне на­хо­дя­т­ся пять факторов или критериев, уточ­няю­щих цель, и на третьем (нижнем) уровне нахо­дятся четыре автомобиля - кан­ди­дата, кото­рые должны быть оценены по отношению к критериям вто­рого уровня.

В качестве критериев, определяющих наш выбор, используются такие критерии:

Вместительность салона и багажника

Экономичность (расход горючего)

Ходовые качества

1. Стоимость

Следующим шагом метода после выполнения шага иерархического или сете­во­го во­спро­изведения проблемы производится установление приоритетов кри­­териев и оценка каждого вариантов альтернативы по критериям. В методе анализа иерархий элементы задачи срав­ниваются попарно по отношению к их воздействию («весу», или «интенсивности») на об­щую для них характе­ри­стику. Проведем парные сравнения, приводящие к мат­ричной фор­ме. Сра­в­ни­вая набор составляющих проблемы друг с другом, полу­чаем следующую ква­д­­ра­т­­ную матрицу:

Очевидно, что эта матрица имеет свойства обратной симметрич­ности, т. е.

где индексы i и j относятся к строке и столбцу соответственно.

Пусть А 1 , А 2 , А з , ..., А n - множество из n элементов и w 1 , w 2 w 3 , ..., w n - со­от­ветственно их веса, или интен­сив­ности. С исполь­зованием метода анализа ие­рархий вес, или интенси­в­ность, каждого элемента сравниваются с весом, или интенсивностью, любого другого эле­­мента множества по отношению к об­щему для них свойству или цели. Сравнение весов можно представить ква­дратной таблицей, в которой числа могут быть расположены сле­дующим образом

Если w 1 , w 2 , w 3 ..., w n неизвестны заранее, то попарные сравнения элементов про­из­во­дя­тся с ис­пользованием субъективных суждений, оцениваемых чи­сле­нно по некоторой шка­ле, а вслед за чем решается проблема нахождения ком­понент w .

Для фиксации результата сравнения пары альтернатив может использоваться, в частности, шкала, предложенная автором метода:

1 - равноценность

3 - умеренное превосходство

5 - сильное превосходство

7 - очень сильное превосходство

9 - высшее (крайнее) превосходство

Значения 2,4,6,8 используются для обозначения промежуточной между пере­численными значениями степени превосходства.

Если элемент i важ­нее элемента j , то в клетку заносится положительное це­лое (от 1 до 9); в противном случае - обратное число (дробь). Относи­тель­ная важность любого элемента, сра­вниваемого с самим собой, равна 1; поэ­то­му диагональ матрицы (элементы от ле­вого верхнего угла до нижнего пра­вого) содержит только единицы. Симметричные клет­ки за­по­лняются обрат­ны­ми величинами, т. е. если элемент А воспринимается как «слегка более ва­жный» (3 на шкале) относительно элемента Б, то считаем, что элемент Б «сле­­г­ка менее важен» (1/3 на шкале) относительно элемента А.

Когда проблемы представлены иерархически, матрица состав­ляется для сра­в­не­ния от­но­сительной важности кри­териев на вто­ром уровне по отношению к общей цели на первом уровне. Подоб­ные матрицы должны быть по­ст­ро­ены для парных сравнений каж­дого ва­рианта альтернативы на третьем уровне по отношению к критериям второго уро­вня. Ма­трица составляется, если запи­сать сравнивае­мую цель (или критерий) вверху и пере­чи­слить сравни­вае­мые эле­менты слева и сверху.

В примере потребуется построить шесть таких матриц.

Одна матрица создается для второго уровня иерархии, например,

и пять матриц - для третьего уровня, например,

Вместительность:

Экономичность:

Ходовые качества:

Дизайн:

Стоимость:

Сравниваемые попарно элементы - это воз­можные варианты выбора авто­мо­биля. Срав­ни­вается, насколько более жела­телен или хорош тот или иной ав­томобиль для удов­ле­т­во­рения каж­дого критерия второго уровня. Получаем пять мат­риц суждений размерностью 4х4, по­ско­льку имеется пять критериев на вто­ром уровне и четыре автомобиля, которые по­парно сра­вниваются по каждо­му из критериев.

Из группы матриц парных сравнений формируется набор ло­кальных при­о­ри­те­тов, ко­то­рые выражают относи­те­льное влияние множества элементов на эле­мент примыкающего сверху уровня. Находим относительную силу, ве­ли­чину, ценность, желательность или ве­ро­ят­ность каждого отдельного объекта че­рез «решение» мат­риц, каждая из которых об­ла­дает обратно­сим­мет­рич­ны­ми свойст­вами. Для этого нужно вычислить множество собст­ве­н­ных ве­к­то­­ров для каждой матрицы, а затем нормализовать результат к еди­нице, по­лу­чая тем самым вектор приоритетов. Вычисление собственных векторов за­ме­ня­ется более про­стым приближенным вычислением прио­ритетов каждого критерия в виде сред­него геомет­ри­че­с­кого. Для этого элементы в каждой стр­оке перемножаются и из каждого произве­де­ния изв­ле­­­кается корень n -й степени, где n - число элементов (вариантов альте­рна­тивы). Полу­че­н­ный та­ким образом столбец чисел нормализуется деле­нием каждого числа на сум­му всех чисел. Таким образом, можно определить не только порядок приори­те­тов каждого отдель­ного элемента, но и величину его приоритета. Для нашего примера имеем:

Для матриц третьего уровня:

Вместительность:

Экономичность:

Ходовые качества:

Дизайн:

Стоимость:

Приоритеты синтезируют­ся, начиная со второго уровня вниз. Локальные при­­­о­ритеты пе­ре­­множаются на приоритет соответствующего критерия на вы­ше­стоя­щем уровне и сум­ми­руются по каждому элементу в соответствии с кри­териями, на которые воздействует этот элемент. Это дает составной, или гло­бальный, приоритет того элемента, который затем ис­пользуется для взве­ши­вания локальных приоритетов элементов, сравниваемых по отно­ше­нию к нему как, к критерию и расположенных уровнем ниже. Таким образом, для вы­чи­сле­­­ния веса каждого варианта на третьем уровне необходимо найти сум­му произ­ве­дений веса каждого варианта по каждому критерию на величину приоритета данного критерия:

В условиях рассматриваемого примера имеем:

Весьма важным является так на­зываемый индекс согласованности , который дает ин­фор­ма­цию о степени нарушения численной (кардинальной, ) итран­зити­вной (поряд­ковой) согласованности. Для улучше­ния согла­сованности рекомендуется произве­сти по­иск дополнительной ин­фо­р­ма­ции и пересмотр данных, использованных при пост­ро­ении шка­лы. В дру­гих процедурах построения шкал отношения нет структурно порож­ден­ного ин­де­к­са. Вместо традиционно исполь­зуемых при построении ординальных шкал (при использовании значений 0,1,2 для выражения предпоч­те­ний), как уже было отмечено выше, в матрицах парных сравнений метода ис­поль­зуются обратные величины.

Индекс согласованности в каждой матрице и для всей иерархии может быть при­­ближенно получен вычислениями вручную. Сначала суммируются эле­ме­н­­ты каждого столбца суж­дений, затем сумма первого столбца умножается на ве­личину первой компоненты нор­ма­лизо­ванного ве­­ктора приоритетов, сум­ма второго столбца - на вторую компоненту и т. д. Затем по­лу­ченные чи­сла суммируются. Если обозначить эту сумму как , то для ин­дек­са со­гла­со­ва­нности (ИС) имеем:

где n - число срав­ниваемых элементов.

Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном вы­­боре коли­че­с­твенных суждений из шкалы 1/9, 1/8, 1/7,..., 1,2, ...,9. Средние со­гласованности для слу­чай­ных матриц (CC - случайная согласованность) имеют такие значения:

Отношение согла­сованности (ОС) получим, разделив ИС на число, соответ­с­т­­вующее случайной согла­сованности матрицы того же порядка.

Для матрицы первого уровня данного примера имеем:

ИС=(5,29-5)/4=0,07

ОС=0,07/1,12=0,066

Для матриц третьего уровня:

Приемлемой считается величина ОС порядка 10% или менее. В некоторых слу­чаях можно допус­тить 20%, но не более. Если ОС выходит из этих преде­лов, то нужно повторно ис­сле­довать задачу и проверить свои суждения.

Расчётно-графическая работа

по дисциплине

«Теория систем и системный анализ»

ПРИМЕР ИЕРАРХИЧЕСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ПРИОРИТЕТОВ

Задача о выборе школы

Выполнила: студентка 1 курса ЭФ группы ПИб-11 Смирнова С.Ю.

Проверила: канд. физ.-мат. наук, доцент Пайзерова Ф.А.

Йошкар-Ола

Введение. 3

ПРИМЕР ИЕРАРХИЧЕСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ПРИОРИТЕТОВ.. 5

Критерии выбора школы.. 6

Метод анализа иерархии Саати. 7

Заключение. 20

Список литературы.. 23

Введение

В данной расчетно-графической работе будем рассматривать метод анализа иерархий.Цель метода анализа иерархий - разработка теории и методологии для моделирования неструктурированных задач в экономике, науке управления и социальных наука.

Метод анализа иерархий представляется более обоснованным путем решения многокритериальных задач в сложной обстановке с иерархическими структурами, включающими как осязаемые, так и неосязаемые факторы, чем подход, основанный на линейной логике. Применяя дедуктивную логику, исследователи проходят трудный путь построения тщательно осмысленных логических цепей только для того, чтобы в итоге, полагаясь на одну лишь интуицию, объединить различные умозаключения, полученные из этих дедуктивных посылок. Кроме того, подход, основанный на логических цепях, может не привести к наилучшему решению, так как в данном случае может быть потеряна возможность принятия компромиссов между факторами, лежащими в разных цепях логического мышления.

Метод анализа иерархий является замкнутой логической конструкцией, обеспечивающей с помощью простых правил анализ сложных проблем во всем их разнообразии и приводящей к наилучшему ответу. К тому же, применение метода позволяет включить в иерархию все имеющееся у исследователя по рассматриваемой проблеме знание и воображение. Это, с моей точки зрения, является балансированным путем решения трудной проблемы: оставить математику простой и позволить богатству структуры нести бремя сложности. Никакая математика не может заменить человеческий ум и опыт интерпретации реального мира. Независимо от того, насколько сложной может быть математика, она всё же не будет отражать все те элементы в проблеме, которые явно существенны для нас.

Сам метод заключается в декомпозиции проблемы на более простые составляющие части и поэтапном установлении приоритетов оцениваемых компонентов с использованием попарных сравнений. На первом этапе выделяются наиболее важные элементы проблемы, на втором – наилучший способ проверки наблюдений испытания и оценки элементов, на третьем – осуществляется выработка способа применения решения и оценка его качества. Весь процесс подвергается проверке и осмыслению до тех пор, пока не будет уверенности, что процесс охватил все важные характеристики, необходимые для предоставления проблемы и ее решения.

ПРИМЕР ИЕРАРХИЧЕСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ПРИОРИТЕТОВ

Задача о выборе школы

Был проведен анализ трех школ A , B и C на предмет их желательности с точки зрения ученика 10 класса. Для сравнения были выбраны семь независимых характеристик: учеба, друзья, школьная жизнь, профессиональное обучение, подготовка к ВУЗУ, школьные кружки и питание

На первом уровне – цель – школа.

На втором уровне – 7 критериев, уточняющих цель.

На третьем уровне – 3 альтернативы (разные школы ).

Критерии выбора школы:

1) Учеба (выбор класса с уклоном по желанию: гуманитарный, социально-экономический, универсальный, биолого-химический, информационный и т.д.)

2) Друзья (хорошие отношения с одноклассниками, с друзьями по школе и т.п.)

3) Школьная жизнь (активное участие в жизни класса и школы, активная общественная деятельность, участие в школьном научном обществе)

4) Дополнительное обучение (художественная школа, школа начинающих фотографов, школа начинающих программистов, вождение, курсы повара и многое другое)

5) Подготовка к ВУЗу (элективные курсы, факультативы, центр довузовской подготовки)

6) Школьные кружки (швейный кружок, круг любителей животных, кружок экологов и т.д.)

7) Питание (хорошее питание, столовая, буфет).

После иерархического изображения проблемы возникает вопрос: как установить приоритеты критериев и оценить каждую из альтернатив по критериям, выявив самую важную из них. Когда проблема представлена иерархически составляется матрица для сравнения относительной важности критериев на втором уровне к общей цене на первом. Составим матрицу попарных сравнений для 2 уровня.

Метод анализа иерархии Саати

Целью построений является получение приоритетов элементов на последнем уровне, наилучшим образом отражающих относительное воздействие на вершину иерархии.

После иерархического или сетевого воспроизведения проблемы возникает вопрос: как установить приоритеты критериев и оценить каждую из альтернатив по критериям, выявив самую важную из них?

В МАИ элементы задачи сравниваются попарно по отношению к их взаимодействию на общую для них характеристику. Когда проблемы представлены иерархически, составляется матрица для сравнения относительной важности критериев на втором уровне по отношению к общей цели на первом уровне. Подобные матрицы должны быть построены для парных сравнений каждой альтернативы на третьем уровне по отношению к критериям второго уровня.

Для проведения субъективных парных суждений разработана шкала. Эта шкала оказалась эффективной не только во многих приложениях, ей правомочность доказана теоретически при сравнении со многими другими шкалами.

Шкала относительной важности

Интенсивность относительной важности	Определение	Объяснение
	Равная важность	Равный вклад двух видов деятельности в цель
	Умеренное превосходство одно­го над другим	Опыт и суждения дают легкое превосходство одному виду деятельности над другим
	Существенное или сильное превосходство	Опыт и суждения дают сильное превосходство одному виду дея­тельности вал другим
	Значительно превосходство	Одному виду деятельности дает­ся настолько сильное превос­ходство, что оно становится практически значительным
	Очень сильное превосходство	Очевидность превосходства од­ного вида деятельности над другим подтверждается наиболее сильно
2, 4, 6, 8	Промежуточные решения меж­ду двумя соседними суждения­ми	Применяются в компромиссном случае
Обратные величины, приведенных выше чисел	Если при сравнении одного ви­да деятельности с другим по­лучено одно из вышеуказанных чисел (например 3). то при сравнении второго вида дея­тельности с первым получим обратную величину (т е. 1/3)

Для заполнения матриц по критериям для школ А, Б, В дадим их характеристики:

Теперь перейдем к парным сравнениям элементов на нижнем уровне. Сравниваемые попарно элементы - это воз­можные варианты выбора места отдыха. Получаем семь матриц суждений размерностью 3X3, поскольку имеется семь критериев на вто­ром уровне и три дома, которые попарно сравниваются по каждо­му из критериев. Матрицы вновь содержат суждения студентки. Для того чтобы понять суждения, дадим краткое описание мест отдыха.

Для выявления меры удовлетворения кандидата школой сначала следует перечислить важнейшие критерии, характеризующие школы, и вычислить сравнительную желательность этих критериев для кандидата. Желательность будет меняться от одного кандидата к другому.

Школа А – эта школа для получения качественного образования и хорошей подготовки для поступления в высшее учебное заведение. В школе существует 5 классов с различным уклоном. Меню в столовой предполагает двухразовое питание учащихся. В школе множество различных кружков и секций, что создает в школе дружескую атмосферу и возможность проявить свои таланты в творчестве и спорте.

Школа Б – эта школа активно участвует во всех общественных делах, проводит мероприятия в рамках города. Есть столовая. В этой школе 2 класса с уклонами. Есть кружок экологов. Средняя подготовка к ВУЗу. Нет возможности получить дополнительное образование.

Школа В – эта обычная школа, где можно получить среднее образования, по окончании которого выдается аттестат. Школа участвуют во всех проводимых мероприятиях. Есть столовая. Созданы условия, чтобы классы были дружными. В данной школе нет профильного разделения и все классы универсальные.

Индекс согласованности для каждой матрицы и для всей иерархии можно приближенно вычислить следующим образом:

1) Сначала суммируется каждый столбец суждений.

2) Сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов.

3) Полученные числа суммируются.

Таким образом, получим величину λ max . Для индекса согласованности имеем формулу ИС = , где n - число сравниваемых элементов.

Запишем таблицу средних значений согласованности для случайных матриц разного порядка:

Из группы матриц парных сравнений формируем набор локальных приоритетов, которые выражают относительные влияние множества элементов. Каждая из этих матриц обладает свойством обратной симметричности. Для каждой матрицы необходимо вычислить собственные вектора. Затем нормализовать их к единице, тем самым будет получен вектор приоритетов.

Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для каждой матрицы:

1) Для первой матрицы УЧЁБА мы нашли:

Учёба	А	Б	В	Вектор	Ср.геом.	λ	ИС:	ОС:
А				0,6370	2,4662	3,0385	0,0193	0,0332
Б	1/3			0,2583	1,0000
В	1/5	1/3		0,1047	0,4055
Cумма S:	1,5333	4,3333	9,0000	1,0000	3,8717

Среднее геометрическое находится по формуле:

А: a= = =2,4662

Б: = =1

В: c = = =0,4055

S(cр.геом.)= a+b+c =2,4662+1+0,4055=3,8717

Вектор находится по формуле:

х1 =a/S=2,4662/3,8717=0,6370

x2=b/S=1/3,8717=0,2583

x3=c/S=0,4055/3,8717=0,1047

1 .

Проверим:

х1+ х2+ х3=0,6370+0,2583+0,1047=1

Чтобы найти λ, нужно сумму столбца А умножить на соответствующий вектор А, сумму столбца Б умножить на соответствующий вектор Б и сумму столбца В умножить на с вектор В:

λ=1,5333* 0,6370+4,3333* 0,2583+0,1047*9=3,0385

ИС = = = =0,0193

n =3- число сравниваемых элементов

ОС = = =0,0332=3%

Чтобы найти случайную согласованность, нужно воспользоваться таблицей. Случайная согласованность, для n=3 равна 0,58.

Остальные матрицы вычисляются аналогично первой матрице.

2) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы для второй матрицы ДРУЗЬЯ :

Друзья	А	Б	В	Вектор	Ср.геом.	λ	ИС:	ОС:
А				0,7450	3,3019	3,0536	0,0268	0,0462
Б	1/6			0,1564	0,6934
В	1/6	1/2		0,0986	0,4368
Cумма S:	1,3333	7,5000	9,0000	1,0000	4,4321

λ= 3,0536

3) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицыШКОЛЬНАЯ ЖИЗНЬ:

Школьная жизнь	А	Б	В	Вектор	Ср.геом.	λ	ИС:	ОС:
А		1/3		0,2906	1,1006	3,1356	0,0678	0,1169
Б				0,6046	2,2894
В	1/4	1/4		0,1048	0,3969
Cумма S:	4,2500	1,5833	9,0000	1,0000	3,7869

λ= 3,1356

4) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ:

Дополни- тельное обучение	А	Б	В	Вектор	Ср.геом.	λ	ИС:	ОС:
А				0,7504	3,4760	3,0999	0,0500	0,0861
Б	1/7		1/3	0,0782	0,3625
В	1/6			0,1713	0,7937
Cумма S:	1,3095	11,0000	7,3333	1,0000	4,6322

λ= 3,0999

5) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы ПОДГОТОВКА К ВУЗу:

Подготовка к ВУЗу	А	Б	В	Вектор	Ср.геом.	λ	ИС:	ОС:
А				0,0953	0,3816	3,0183	0,0091	0,0158
Б	1/3			0,2499	1,0000
В	1/6	1/3		0,6548	2,6207
Cумма S:	10,000	4,333	1,500	1,000	4,002

λ= 3,0183

6) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы ПИТАНИЕ:

Питание	А	Б	В	Вектор	Ср.геом.	λ	ИС:	ОС:
А				0,7396	3,2711	3,0142	0,0071	0,0122
Б	1/5			0,1666	0,7368
В	1/7	1/2		0,0938	0,4149
Cумма S:	1,3429	6,5000	10,0000	1,0000	4,4228

λ= 3,0142

7) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы ШКОЛЬНЫЕ КРУЖКИ:

Школьные кружки	А	Б	В	Вектор	Ср.геом.	λ	ИС:	ОС:
А				0,6738	2,7144	3,0858	0,0429	0,0739
Б	1/5		1/3	0,1007	0,4055
В	1/4			0,2255	0,9086
Cумма S:	1,4500	9,0000	5,3333	1,0000	4,0285

λ= 3,0858

И найдем результаты для последней матрицы n=7

λ= 7,8108

ИС=(7,8108-7)/6=0,1351

ОС=0,1351/1,32=0,1023=10%

Среднее геометрическое находится по формуле в Excel ->функция

f(x)->СРГЕОМ, выделяем каждую строку матрицы и задаем эту функцию, получится результат:

a+b+c+d+e+f+g=9,71

Вектор находится по формуле:

В сумме векторов должна получиться 1 .

n =7- число сравниваемых элементов

CC находим по таблице случайной согласованности, где для n=7 СС=1,32.

Явным лидером по критерию учеба являетсяшкола А .

По критериюшкольная жизнь превосходит остальные учебные заведения школа Б.

Школа В – обычная школа, во многом уступающая от школ А и Б.

Следующим этапом является применение принципа синтеза. Для определения главных приоритетов в матрице локальные приоритеты располагаются по отношению к каждому критерию. Каждый столбец векторов умножается на приоритет соответствующего критерия, и результат складывается вдоль каждой строки.

ШКОЛА	Учёба	Друзья	Школь-ная жизнь	Профес-сиональное обучение	Подго- товка к ВУЗу	Школьные кружки	Пита-ние
	0,4495	0,179	0,1288	0,0693	0,0823	0,0453	0,0458
А	0,637	0,745	0,2906	0,7504	0,0953	0,6738	0,7396
Б	0,2583	0,1564	0,6046	0,0782	0,2499	0,1007	0,1666
В	0,1047	0,0986	0,1048	0,1713	0,6548	0,2255	0,0938

Для школы А имеем : 0,4495*0,637+0,745*0,179+0,2906*0,1288+ +0,7504*0,0693+0,0953*0,0823+0,6738*0,0453+0,7396*0,0458=0,578

Для школы Б имеем : 0,4495*0,2583+0,1564*0,179+0,6046*0,1288+ +0,0782*0,0693+0,2499*0,0823+0,1007*0,0453+0,1666*0,0458=0,262

Для школы В имеем: 0,4495*0,1047+0,0986*0,179+0,1048*0,1288+ +0,1713*0,0693+0,6548*0,0823+0,2255*0,0453+0,0938*0,0458=0,161

Проанализировав данные 3 школ, пришли к выводу, что наиболее перспективной школой для ученика 10 класса является школа А, т.к. эта школа является образцовым для получения качественного образования и хорошей подготовки для поступления в высшее учебное заведение, чем школы Б и В. Хотя школа

Школа А, которая была наименее желательна с точки зрения школьной жизни, оказалась победителем. Именно туда ученик 10 класса и пойдет учиться.

При анализе можно убедиться, что исход не был удивительным, если принять во внимание тот факт, что Школа А превосходила остальные школы по пяти из семи критериев.

Заключение

Конечно, есть моменты, когда могут действовать политические пристрастия, скрытые «домашние заготовки», раскол и другие мотивы. В этом случае взаимодействие и сотрудничество в группе затрудняются. Мы сталкивались с такими пробле­мами на практике при использовании метода анализа иерархии (МАИ). Наше заклю­чение таково, что МАИ является мощным средством для тех, кто хочет оценить как свои стратегии, так и стратегии своих оппонентов. Тех, кто не желает участвовать в процессе, нельзя заставить, однако их иногда можно убедить. Процесс движется быстрее, если участники имеют общие цели, долговременный близкий контакт, работу в климате социального одобрения и одинаковый статус.

Последним замечанием является то, что взаимодействие не похоже на брак, о котором люди склонны иметь романтические представления, однако после вступления в него они сталкиваются с множеством трений, ссор и разногласий. Тем не ме­нее, в общем, жизнь продолжается, и имеются фундаментальные точки согласия и общие потребности, которые удерживают людей друг с другом. Поэтому входить в процесс группового взаимодействия никто не должен со слишком большими надеж­дами и сильным предрасположением к правильности и порядку.

Метод анализа иерархий успешно применялся во многих облас­тях, в частности: при разработке плана распределения энергии в промышленности или проектировании транспортной системы для Судана, в планировании будущего корпорации и измерении фак­торов окружающей среды на ее развитие; при построении сцена­риев высшего образования в США; при выдвижении кандидатов и в процессах выборов.

К сильным сторонам МАИ можно отнести то, что при определении иерархии обычно важную роль также играют знания лиц, производящих суждения для парных сравнений.

Оказалось, что использование МАИ стимулировало повышение уровня знаний о специфических проблемах планирования даже среди людей, которые имеют достаточно обширные познания и опыт в данной конкретной ситуации. Более того, проблема еще больше раскрывается, и накапливаются дополнительные знания.

Подход к измерениям с помощью МАИ допускает определенную степень несогласованности. Группа людей может принять решение при допустимой степени несогласованности для каждого из членов группы. В этом случае они не будут чувствовать, что их предпочте­ния были в значительной степени нарушены.

Метод анализа иерархий основан на следующих аксиомах: парных сравнений, обоснованной шкалы для перевода суждений в числа с помощью парных сравнений и обратносимметричных отношений, гомогенной кластеризации иерархических уров­ней, иерархической композиции путем взвешивания и сложения и, наконец, на аксиоме ожидании, которая отражает соответствие заложенных в иерархию элементов ожидаемым результатам. Из этих аксиом получено несколько теорем, которые превращают МАИ в математически обоснованный подход для получения шкал отно­шений при решении сложных проблем.

Список литературы

1. Саати Т., Керис К. Аналитическое планирование. Организация систем: Пер. с англ – М. Радио и связь, 1991 – 224 с: ил. – ISBN 5-256-0038-1

2. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993 – 278 c.

Одним из наиболее эффективным методов решения слабоструктурированных задач управления является метод анализа иерархий (МАИ), разработанный Т. Саати. Этот метод оказывается полезным при принятии решений на основе как формализованных, так и неформализованных факторов.

Главной чертой МАИ является то, что он отражает естественное мышление человека, принимающего решение независимо от широты спектра проблемы.

МАИ состоит в декомпозиции проблемы на простые части и элементы, которые оцениваются в шкале МАИ в виде суждений ЛПР (экспертов). А затем на основании обработки совокупности суждений методом матричной алгебры получаются конечные оценки в решении рассматриваемой проблемы. При этом определяется относительная степень взаимного влияния в иерархии.

Цель, факторы показательного оценивания и альтернативы образуют иерархическую структуру (рис. 7).

Рис. 7 Дерево целей МАИ: f1,f2,f3 - факторы (показатели), определяющие описание альтернатив; a1,a2,...an - множество альтернатив

Рассмотрение этой схемы (рис. 7) позволяет сформулировать ряд положений, отражающих сущность метода «анализа иерархий».

1. Число уровней иерархии, описывающих конкретную прикладную задачу, может быть различно и зависит от специфики задачи. Каждый элемент верхнего уровня является «направляющим» для элементов нижнего уровня иерархии. Это означает, что важность (весовой коэффициент факторов описываемой альтернативы) рассматривается относительно цели выбора альтернатив. Поэтому при бинарном сравнении факторов каждый из них оценивается относительно поставленной цели выбора и соответственно определяет уровни взаимного предпочтения.

2. Попарные сравнения факторов осуществляются в терминах доминирования одного из элементов над другим. Эти суждения в шкале МАИ выражаются в целых числах. Если элемент А доминирует над элементом В, то клетка квадратичной матрицы, соответствующей строке А и столбцу В, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке B и столбцу A, заполняется обратным к нему числом. Если A и B эквивалентны, то в обе позиции записывается 1.

3. Для получения каждой матрицы требуется n×(n-1)/2 суждений, где n – число факторов, если сравнение проводится среди них, или n – число альтернатив, если они сравниваются по каждому фактору.

4. При бинарном сравнении альтернатив, в особенности при близких оценках их показателей, возможны случаи нарушения требований транзитивности или других ошибок в суждениях, поэтому МАИ предусматривает специальный механизм определения согласованности оценок.

Обработка результатов осуществляется на базе методов матричного анализа с использованием ряда специальных процедур оценки предпочтений ЛПР на основании шкалы МАИ (табл. 18).

Таблица 18

Шкала отношений МАИ

В начале 1970 года американский математик Томас Саати разработал процедуру поддержки принятия решений, которую назвал "Analityc hierarchy process" (AHP). Авторы русского издания перевели это название как "Метод анализа иерархий" (см. книгу: Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. - М.: Радио и Связь, 1993). Этот метод относится к классу критериальных и занимает особое место, благодаря тому, что он получил исключительно широкое распространение и активно применяется по сей день, особенно в США. По этой причине он заслуживает подробного описания в отдельном разделе. Не следует думать, что его выдающаяся популярность объясняется какими-либо важными преимуществами этого метода, по сравнению с другими. Я думаю, что здесь мы сталкиваемся с известным психологическим феноменом: продукт, появившийся первым и удачно удовлетворяющий определенную потребность, захватывает рынок. Более поздние продукты, зачастую более совершенные, часто оказываются неспособны вытеснить удачливого первенца.

На основе этого метода разработаны достаточно серьезные системы поддержки принятия решений, например "Expert choice"

Описание метода выполним на конкретном примере выбора автомобиля.

Альтернативы:

• Жигули
• Москвич
• Волга

Критерии:

• стиль
• надежность
• экономия топлива

В основе АНР все та же линейная свертка, но оценки альтернатив и веса критериев получаются особым образом. Его мы сейчас и рассмотрим.

В модели АНР вместо критериальной таблицы принята иерархия. Представим ее следующим образом:

Уровень 0: Цель - выбрать автомобиль.

Уровень 1: Критерии -

– надежность

– экономичность

Уровней может быть сколько угодно. Например, критерий 1-го уровня "надежность" можно раскрыть уровнем 2 как: 1) надежность двигателя, 2) надежность кузова, 3) надежность ходовой части. Надежность ходовой части можно далее раскрыть уровнем 3, например, как а) надежность тормозной системы, б) надежность подвески и т.д. Мы же, для простоты объяснения, ограничимся Уровнем 1.

Теперь нужно получить оценки каждой альтернативы по каждому критерию. Если существуют объективные оценки, то они просто выписываются и нормируются таким образом, чтобы их сумма была равна единице. Например, если бы нас интересовал критерий "максимальная скорость" и имелись бы соответствующие данные по каждому автомобилю, то нужно было бы составить следующую таблицу.

А как быть с таким критерием как "стиль", для которого не существует объективных оценок? В этом случае процедура Саати рекомендует использовать парные сравнения. Для фиксации результата сравнения пары альтернатив может использоваться, например, шкала следующего типа:

Лицо, принимающее решение (ЛПР), просят попарно сравнить альтернативы. Результат парных сравнений альтернатив для критерия "стиль" записывается в виде таблицы

Простые дроби в клетках трактуются следующим образом. Например, на пересечении строки "Москвич" и столбца "Жигули" записана дробь 4/1. Это выражает мнение ЛПР о том, что "стильность" Москвича" в 4 раза выше, чем "стильность" Жигулей. Здесь вместо приведенной выше шкалы превосходства использовалось понятие "быть лучше в N раз", что также допустимо. Далее простые дроби переводятся в десятичные. Получается такая таблица.

Эта таблица есть не что иное, как таблица результатов парных сравнений (см. раздел "Некритериальное структурирование множества альтернатив"). Поступим с ней так же, как мы поступали в указанном разделе - посчитаем строчные суммы .

	Жигули	Москвич	Иж	Волга	Сумма по строке
Жигули	1,00	0,25	4,00	0,17	5,42
Москвич	4,00	1,00	4,00	0,25	9,25
Иж	0,25	0,25	1,00	0,20	1,70
Волга	6,00	4,00	5,00	1,00	16,00
				Сумма	32,37

Теперь, в отличие от прежнего, нормируем суммы таким образом, чтобы их сумма в свою очередь была равна 1. Для этого просто разделим сумму каждой строки на 32,37 (сумма последнего столбца, т.е. сумма самих строчных сумм). Получим:

	Жигули	Москвич	Иж	Волга	Сумма
Жигули	1,00	0,25	4,00	0,17	0,116
Москвич	4,00	1,00	4,00	0,25	0,247
Иж	0,25	0,25	1,00	0,20	0,060
Волга	6,00	4,00	5,00	1,00	0,577
				Сумма	1,00

В методе Саати полученные таким образом нормированные суммы принимаются в качестве оценок альтернатив по критерию "стильность". Отметим, что полученные оценки отражают исключительно точку зрения конкретного ЛПР. На самом деле, вместо строчных сумм Саати рекомендует использовать собственный вектор матрицы парных сравнений, считая его более точной оценкой. Мы же для простоты ограничимся строчными суммами, которые допустимы, но, с точки зрения Саати, менее точны.

Аналогичным образом получаются веса критериев. Предположим, конкретное ЛПР сравнило попарно критерии с точки зрения их сравнительной важности. Запишем результаты сравнений в виде таблицы.

Как и прежде, утверждение типа "надежность в 2 раза важнее стиля" записывается в виде дроби 2/1.

Применяя к этой таблице описанную выше процедуру, получим веса критериев:

w 1 = 0,32 (стиль), w 2 = 0,56 (надежность), w 3 = 0,12 (экономичность).

Таким образом, мы можем получить как веса критериев, так и оценки альтернатив по критериям:

Жигули - 0,306;
Москвич - 0,272;
Иж - 0,094;
Волга - 0,328.

Затем производится анализ отношения стоимость/эффективность. Используется отношение полученной интегральной оценки к нормированной стоимости. Наилучшей считается альтернатива, для которой указанное отношение максимально .

В рамках нашего примера, сведем все необходимые данные в следующую таблицу:

	Стоимость в $	Стоимость нормированная	Функция полезности	Отношение
Жигули	4 000	0,24	0,306	1,28
Москвич	3 000	0,18	0,272	1,51
Иж	2 500	0,15	0,094	0,63
Волга	7 000	0,43	0,328	0,76
Сумма	16 000	1,00	1,00

Таким образом, учитывая предпочтения данного конкретного ЛПР, процедура АНР рекомендует ему выбрать Москвич.

Несколько заключительных замечаний

Как я уже отметил в начале этого раздела, исключительно широкий опыт практического использования АНР придал процедуре этакий магический ореол. Не смотря на это, я попробую, по возможности объективно, отметить ее достоинства и недостатки.

Главным достоинством процедуры я считаю тот факт, что веса критериев и оценки по субъективным критериям не назначаются прямым волевым методом (как чаще всего пытаются делать, не сильно задумываясь о корректности такого волюнтаризма), а на основе парных сравнений. При этом, на мой взгляд, остается неопределенным (интуитивным) понятие "превосходство в N раз", но все равно - это большой шаг вперед. Нельзя не отметить, что сравнительно недавно Подиновским сделана попытка точно определить, что означает количественное превосходство одного критерия над другим (см. журнал "Автоматика и телемеханика" №5 за 2000 год).

Другое достоинство - представление критериев в виде иерархии (дерева). Такая структура, если вдуматься, внутренне присуща самому понятию "критерий", т.е. критерии по своей природе иерархичны. Используя одну критериальную таблицу, мы по сути дела упрощаем ситуацию, выполняя оценку либо для верхних уровней дерева критериев, либо для самых нижних (как говорят математики "для листьев дерева"). Большой беды в этом нет, но при оценке сложных альтернатив полезнее мыслить в терминах дерева критериев.

Теперь о недостатках. Первый касается шкалы превосходства. Напомню, что Саати предлагает следующую шкалу:

Теперь представим ситуацию, когда одновременно справедливы следующие 2 утверждения: а) "альтернатива А1 очень сильно превосходит альтернативу А2" и б) "альтернатива А2 очень сильно превосходит альтернативу А3". Что можно сказать о превосходстве альтернативы А1 над альтернативой А3? Логично было бы сделать заключение, что альтернатива А1 превосходит альтернативу А3 в 49 раз (7 умножить на 7)!? Но этот вывод явно не укладывается в рамки заданной шкалы. Как же быть? Процедура АНР не дает ответа на этот каверзный вопрос. Скорее всего, придется удовлетвориться утверждением типа: "альтернатива А1 имеет высшее превосходство над альтернативой А3" и в дальнейшем использовать градацию шкалы "9".

Основной недостаток, на мой взгляд, заключается в том, что парные сравнения используются для получения количественных значений. Серьезные исследования последнего десятилетия приводят к выводу, что корректнее и надежнее использовать парные сравнения для получения только качественных заключений, типа: "критерий К1 важнее критерия К2", не уточняя на сколько важнее.