Глава 1. ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Введение
Факторный анализ (ФА) принадлежит к числу таких методов, которые будучи разработанными в рамках запросов одной науки, впоследствии приобрели более широкое междисциплинарное значение. Заслугой можно считать разработку именно такого метода. Исторически возникший в лоне психометрики, ФА в настоящее время приобрел статус общенаучного метода и широко распространен не только в психологии, но и в нейрофизиологии, социологии, политологии, экономике и статистике. Поэтому не стоит удивляться, если на вопрос к математику, что такое ФА, вы получите ответ, что этот метод понижения размерности корреляционной матрицы, а экономист добавит, что ФА используется им как средство визуализации многопараметрического объекта экономического анализа.

ФА как общенаучный метод, получивший к настоящему времени солидное математико-статистическое обоснование, имеет непростую историю, начиная с полного отказа математиков признать ценность используемого психологами в известной степени нестрогого и зависящего от мастерства исследователя алгоритма до обязательного включения различных вариантов ФА в любую сколько-нибудь известную компьютерную статистическую программу. Основные идеи ФА (впрочем, как и других методов многомерного анализа данных) были заложены в трудах известного английского психолога и антрополога Ф. Гальтона (1822-1911), основателя евгеники, внесшего также большой вклад в исследование индивидуальных различий. В разработку ФА внесли вклад многие ученые и только на русском языке опубликовано более 10 монографий, посвященных непосредственно ФА, однако психологи должны быть особенно признательны трем своим коллегам, с именами которых связаны разработка и внедрение ФА в психологию - это Ч . Спирмен (1904, 1927, 1946), Л . Терстоун (1935, 1947, 1951) и Р . Кеттел (1946, 1947, 1951). Кроме того, нельзя не упомянуть еще трех ученых - английского математика и философа К. Пирсона , в значительной степени развившего идеи Ф. Гальтона, американского математика Г. Хоттелинга , разработавшего современный вариант метода главных компонент , и известного английского психолога Г. Айзенка , широко использовавшего ФА для разработки психологической теории личности.

Необходимо отметить, что в силу профессиональных установок авторов в литературе на русском языке (К. Иберла, 1980; Г. Харман, 1972) ФА чаще всего излагается как один из методов математической статистики, а ориентированное на психологов изложение - скорее исключение, чем правило (Дж. Ким, Ч. Мьюллер, 1989; Я. Окунь, 1972). В данной главе ФА будет излагаться как один из методов психологического шкалирования и многомерного анализа данных. Кроме того, в отличие от других авторов, в силу ряда причин описывавших преимущественно центроидный метод ФА, мы уделим особое внимание более современным и компьютеризованным процедурам применения ФА. По возможности мы будем исключать экскурсы в математические основы той или иной процедуры, а сосредоточимся на описании основных этапов работы с эмпирическими данными и их трансформацией в ходе ФА. В силу специфики курса “Психологические измерения” в Общем психологическом изложение материала будет сопровождаться иллюстрациями использования 2-х статистических программ - “Stadia” и SPSS.

§ 1. Область применения факторного анализа
Необходимость применения ФА в психологии как одного из методов многомерного количественного описания (измерения, анализа) наблюдаемых переменных в первую очередь следует из многомерности объектов, изучаемых нашей наукой. Сразу же определим, что под многомерным представлением объекта мы будем понимать результат его оценивания по нескольким различным и существенным для его описания характеристикам-измерениям, т.е. присвоение ему сразу нескольких числовых значений. Из этого вполне естественно следуют два очень важных вопроса: насколько существенны и различны эти используемые характеристики. Первый вопрос связан с всесторонностью и полнотой описания объекта психологического измерения, а второй (в большей степени) - с выбором некоторого минимально разумного количества этих характеристик. Поясним сказанное выше на примере. Чем отличается хороший, профессионально сделанный психологический опросник от многочисленных “полупродуктов-полушуток”, во множестве публикуемых в периодической печати для широкой публики или в книгах непрофессионалов-дилетантов? Прежде всего тем, что в первом случае объект психологического измерения (конструкт) описывается разносторонне и полно, и, кроме того, в нем не содержится лишних, не относящихся к делу (т.е. “не работающих” на ту или иную шкалу) вопросов. Таким образом, при использовании методов многомерных измерений психологических характеристик наиболее важны две проблемы - описать объект измерения всесторонне и, в тоже время, компактно . С известной долей обобщения можно сказать, что это одни из основных задач, решаемых ФА.

Понятно, что информативность многомерного описания объекта нашего изучения возрастает с увеличением количества используемых признаков или измерительных шкал. Однако очень трудно выбрать сразу и существенные, и независимые друг от друга характеристики. Этот выбор порой непрост и долог. Как правило, исследователь начинает с заведомо избыточного количества признаков, и в процессе работы (например, по созданию нового опросника или анализу экспериментальных данных) сталкивается с необходимостью адекватной интерпретации большого объема полученных данных и их компактной визуализации. Анализируя полученные данные, исследователь замечает тот факт, что оценки изучаемого объекта, полученные по некоторым шкалам, сходны между собой, а если оценить это сходство количественно и подсчитать коэффициент корреляции, то он может оказаться достаточно высоким. Другими словами, возникает вопрос о том, что многие характеристики (т.е. переменные, по которым производилось измерение нашего объекта), вероятно, в некоторой степени дублируют друг друга, а вся полученная информация в целом избыточна. Внимательный исследователь, даже незнакомый с основами ФА, сразу же может сообразить, что за связанными друг с другом (коррелирующими) переменными, по-видимому, стоит влияние некоторой скрытой, латентной переменной , с помощью которой можно объяснить наблюдаемое сходство полученных оценок. Очень часто эту гипотетическую латентную переменную называют фактором. Приблизительно такая логика заставила Чарлза Спирмена, психолога Оксфордского университета, в ходе анализа результатов тестирования способностей учеников английских школ предположить существование единого, генерального фактора интеллектуального развития человека, влияющего на многочисленные показатели разнообразных интеллектуальных тестов. Таким образом, давно известный метод научного познания - обобщение -приводит нас к возможности и необходимости выделения факторов как переменных более общего, более высокого порядка. Очень часто обобщение позволяет по-новому взглянуть на полученные данные, заметить те связи между исходными характеристиками (переменными), которые ранее были не очевидны, а после этого выйти на более высокий уровень понимания сущности измеряемого объекта.

Такого рода обобщение (т.е. сокращение размерности полученных данных) дает возможность использовать очень мощное средство научного анализа - графическое представление полученных данных. Понятно, что сокращение размерности результатов многомерного измерения какого-либо объекта до двух-трех позволит исследователю в очень наглядной и компактной форме представить весь объем полученных данных, выйдя за рамки логического анализа массы цифр, собранных в огромную таблицу. Имея в виду важное значение наглядно-образного мышления, трудно переоценить преимущества пространственного (графического) осмысления анализируемых данных. Таким образом, ФА может рассматриваться и как средство компактной визуализации данных.

Выделение в ходе анализа данных общего (для ряда переменных) фактора позволяет решать исследователю еще одну непростую задачу - оценивать некоторую скрытую от непосредственного наблюдения переменную (фактор) опосредованно, косвенно - через ее проявление (влияние) в ряде других, прямо измеряемых переменных. Подобным образом в психодиагностике личности были обнаружены, экстрагированы и измерены многие личностные конструкты, например: классический конструкт Айзенка импульсивность, оцениваемый в тесте EPI по ответам испытуемых на ряд вопросов, с разных сторон отражающих этот конструкт. Более того, ФА позволяет измерять не только прямо ненаблюдаемые (скрытые) переменные, но и оценивать определенные качества, которые могут намеренно скрываться и искажаться испытуемым при прямом их тестировании, однако проявляться (т.е. быть измеренными) косвенно через различные связанные с ними качества, оцениваемые прямо.

В ходе научного исследования ФА может выступать в двух ипостасях: как разведочный (эксплораторный) и как проверочный (конфирматорный) метод анализа данных. В первом случае ФА используется ex post factum, т.е. для анализа уже измеренных в эмпирическом исследовании переменных и, фактически, помогает исследователю их структурировать; на этом этапе совсем не обязательно делать априорные предположения о количестве факторов и их связях с наблюдавшимися переменными. Здесь главное значение ФА - структурировать связи между переменными, помочь сформулировать рабочие гипотезы (пусть иногда и очень умозрительные) о причинах обнаруженных связей. Как правило, такое использование ФА характерно для начальной, ориентировочной стадии работы, когда многое неявное кажется явным, непростое - простым, и наоборот. В отличие от разведочного, конфирматорный ФА используется на более поздних стадиях исследования, когда в рамках какой-либо теории или модели сформулированы четкие гипотезы, связи между переменными и факторами достаточно определены, и исследователь их может прямо указать. Тогда конфирматорный ФА выступает как средство проверки соответствия сформулированной гипотезы полученным эмпирическим данным.

Обобщая вышесказанное, выделим основные цели использования ФА:

1. Понижение размерности числа используемых переменных за счет их объяснения меньшим числом факторов. Обобщение полученных данных.

2. Группировка, структурирование и компактная визуализация полученных данных.

3. Опосредованное, косвенное оценивание изучаемых переменных в случае невозможности или неудобства их прямого измерения.

4. Генерирование новых идей на этапе разведочного анализа. Оценка соответствия эмпирических данных используемой теории на этапе ее подтверждения.
§ 2. Исходные принципы и предположения
Основные общенаучные идеи, лежащие в основе ФА, достаточно просты и могут быть, по мнению П. Благуша (1989), сформулированы так:

А) “сущность вещей заключена в их простых и вместе с тем многообразных проявлениях, которые могут быть объяснены с помощью комбинации нескольких основных факторов”, т.е. за наблюдаемой вариацией достаточно большого количества переменных стоит ограниченное число факторов;

Б) “общую сущность наблюдаемых вещей мы постигаем, совершая бесконечные приближения к ней”, т.е. поиск факторов - это длительный процесс познания посредством перехода к факторам все более высокого порядка.

Первым основным формально-математическим принципом, лежащим в основе классической модели ФА 1 , является постулат о линейной зависимости между психологическими характеристиками (наблюдаемыми переменными), с помощью которых оценивается какой-либо объект. Количественно степень этой зависимости (связи) может быть оценена с помощью коэффициента корреляции. Второе основное предположение состоит в том, что эти наблюдаемые переменные (предполагается, что их заведомо избыточное количество) могут быть представлены как линейная комбинация некоторых латентных переменных или факторов. Полагается, что ряд этих факторов являются общими для нескольких переменных, а другие, характерные факторы, специфическим образом связаны только с одной переменной. Поскольку последние ортогональны друг к другу, то, в отличие от общих факторов, они не вносят вклад в корреляцию (ковариацию) 2 между переменными. Таким образом, математическая модель ФА сходна с обычным уравнением множественной регрессии:
V i = A i,1 F 1 + A i,2 F 2 + ... + A i,k F k + U , (1)
где

V i - значение i-й переменной, которое выражено в виде линейной комбинации k общих факторов, A i,k - регрессионные коэффициенты, показывающие вклад каждого из k факторов в данную переменную; F 1...k - факторы, общие для всех переменных; U - фактор, характерный только для переменной V i .
Уравнение (1) выражает весьма простой смысл: каждая переменная может быть представлена в виде суммы вкладов каждого из общих факторов. С другой стороны, аналогичным образом, каждый из k факторов выражается в виде линейной комбинации наблюдаемых переменных:
F j = W j,1* V 1 + W j,2* V 2 + ... +W j,p* V p , (2)
где W j,i - нагрузки j-го фактора на i-ю переменную или факторные нагрузки; p - количество переменных.
На рис. 1 факторные нагрузки (w 1,1 ... w 2,6) обозначены различными стрелками, показывающими влияние фактора на конкретную переменную. Переменные v1, v2 и v3 преимущественно связаны с фактором F1, и только фактор F2 имеет небольшую нагрузку на первую переменную; для других трех переменных (v4, v5, v6) общим фактором является F2, и лишь на четвертую переменную F1 имеет незначительную нагрузку. Эмпирические оценки наблюдаемых переменных v1 ... v6 представлены в столбцах a, b, c, d, e, f, соответственно. Дугообразная стрелка, соединяющая факторы и коэффициент корреляции над ней, подчеркивают факт ортогональности (некоррелированности, линейной независимости) этих факторов, хотя в общем случае (об этом ниже) это предположение критично лишь на этапе выделения первоначальных факторов, а в дальнейшем, на этапе интерпретации факторного решения, при вращении факторной структуры допускается возможность корреляции между факторами. (Это один из многих парадоксов ФА, связанный с многозначностью получаемого факторного решения , которое не имеет строго однозначного математического обоснования.)

Рис.1. Гипотетическая модель с двумя общими факторами (F1 и F2) и шестью переменными (v1 ... v6)
Пользуясь схемой (рис. 1), еще раз обозначим основную задачу ФА: основываясь на эмпирических оценках (a, b, c, d,e, f) исследуемого объекта по каждой из шести переменных-характеристик (v1 ... v6), исследователь пытается объяснить взаимосвязь наблюдаемых переменных влиянием 2-х общих факторов, в которых находят свое отражение эти переменные.
§ 3. Основные этапы факторного анализа
В ходе исследования с использованием разведочного ФА можно выделить три различных этапа: 1) сбор эмпирических данных и подготовка корреляционной (ковариационной) матрицы; 2) выделение первоначальных (ортогональных) факторов; 3) вращение факторной структуры и содержательная интерпретация результатов ФА. Остановимся на них подробнее.
1. Сбор эмпирических данных в психологическом исследовании разведочного плана всегда опосредован использованием какой-либо измерительной процедуры, в ходе которой испытуемый оценивает измеряемый объект (стимул) по ряду предложенных исследователем характеристик. На этом этапе очень важно, чтобы исследователем был предложен достаточно большой набор характеристик, всесторонне описывающих измеряемый объект. Подбор важных и разнообразных характеристик и одновременно исключение лишних и несущественных - это достаточно трудное дело, требующее от исследователя опыта, знания литературы и, в известной степени, интуиции. Именно продуманный и удачный подбор оцениваемых характеристик определяет в конечном счете успех в выделении существенных и значимых факторов, стоящих за ними - это основное, о чем нельзя забывать на данном этапе. Иначе говоря, из случайного набора характеристик объекта невозможно выделить такие факторы, которые будут закономерно и содержательно определять его оценку испытуемыми. Понятно, что с первого раза, априорно бывает трудно подобрать нужные характеристики. Поэтому еще раз напомним, что разведочное исследование с помощью ФА - это длительный и интеративный процесс, когда результаты предыдущего анализа позволяют оценить допущенные ошибки и скорректировать процедуру последующего исследования.

Второе существенное замечание возникает в связи с постулатом линейности. В случае, когда связь между психологическими характеристиками оказывается существенно нелинейной, базисная размерность искомого факторного пространства возрастает, и это приводит к ложному решению. Преодоление этой трудности может идти двумя путями. Во-первых, можно использовать коэффициент криволинейной корреляции (по Пирсону, например), а во-вторых, следует избегать тех психологических переменных, которые имеют между собой явно нелинейные связи.

На данном этапе нельзя не коснуться вопроса о необходимом уровне измерения, поскольку он в первую очередь связан с использованием конкретного метода измерения. Вычислительные алгоритмы ФА требуют, чтобы измерения наблюдаемых переменных были проведены не ниже, чем по шкале интервалов . Это требование, к сожалению, выполняется далеко не всегда, что, впрочем, связано не столько с неосведомленностью исследователя, сколько с ограниченностью выбора измерительного метода и/или его адекватностью конкретной задаче или даже процедуре исследования. Реалии практики использования ФА в психологии таковы, что в подавляющем большинстве работ применяется один из вариантов метода балльной оценки, который, как известно, дает шкалу порядка . Налицо явное ограничение в использовании ФА. При решении данной проблемы следует иметь в виду следующее. Во-первых, стоит уделить максимальное внимание проработке процедурных моментов в использовании метода балльной оценки, чтобы выйти за установление только порядковых отношений и максимально “приблизиться” к шкале интервалов. Во-вторых, следует помнить, что математическая процедура ФА оказывается достаточно устойчивой к разного рода измерительным некорректностям при оценке коэффициентов корреляции между переменными. И наконец, в самой математической статистике существуют различные подходы к решению данной проблемы (Дж. Ким, Ч. Мьюллер,1989), и для более качественной (не строго метрической) трактовки результатов ФА указанное ограничение приобретает не слишком принципиальное значение.

Достаточно важен вопрос о количестве используемых переменных или, более операционально, о том, сколько переменных должно приходиться на один гипотетический фактор. Вслед за Терстоуном многие авторы считают, что в разведочном ФА на один фактор должно приходиться не менее трех переменных. Для конфирматорного ФА эта пропорция меньше и, как правило, исследователи ограничиваются двумя переменными. Если исследователя интересует оценка надежности получаемых факторных нагрузок, существуют и более строгие оценки количества необходимых переменных (Дж. Ким, Ч. Мьюллер, 1989).

Формальный итог первого этапа - получение матрицы смешения и на ее основе - корреляционной матрицы. Матрица смешения - это таблица, куда заносятся результаты измерения наблюдаемых переменных: в столбцах матрицы (по числу переменных) представлены оценки испытуемых (или одного испытуемого) каждой из переменной; строки матрицы - это различные наблюдения каждой переменной. Если задача исследователя - построить факторное пространство для одного испытуемого, то нужно обеспечить множественность таких наблюдений (например, повторить их несколько раз). В том случае, когда строится групповое факторное пространство, достаточно получить по одной оценке от каждого испытуемого. Для последующего расчета по этим данным корреляционной матрицы с достаточно достоверными коэффициентами корреляции следует обеспечить необходимое число наблюдений, т.е. количество строк в матрице смешения. Обычно не следует планировать менее 11-12 наблюдений.

Корреляционная матрица (матрица попарных корреляций между переменными) рассчитывается, как правило, с использованием коэффициента линейной корреляции Пирсона. Часто возникает вопрос о возможности и правомерности использовать другие меры сходства (сопряженнности) между переменными, основанные на ранговой (порядковой) статистике. Понятно, что данный вопрос возникает всегда, когда исследователь работает с номинальными или порядковыми данными. В строгом смысле ответ будет отрицательным. Однако следует принять во внимание два соображения. Во-первых, показано, что при достаточном числе наблюдений коэффициент линейной корреляции Пирсона достаточно устойчив к использованию при расчетах результатов порядковых измерений. Во-вторых, как было отмечено выше, если перед исследователем стоит задача не столько количественного, сколько качественного анализа данных, то такое эвристическое использование ФА считается вполне оправданным.

Еще один тонкий вопрос, связанный с построением матрицы попарных корреляций связан с тем, какую матрицу использовать в ФА - корреляционную или ковариационную? Для начала напомним соответствующие формулы.

Коэффициент ковариации

Между двумя переменными x и y , а коэффициент корреляции:

r xy = Cov/s x s y , (4)

Где n - количество наблюдений; x i и y i - значения переменных x и y ;X и Y - средние арифметические значения переменных x и y по ряду наблюдений;  x и  y - средние квадратические отклонения переменных x и y по ряду наблюдений.
Таким образом очевидно, что коэффициент корреляции - это тот же коэффициент ковариации, только нормированный по среднему квадратическому отклонению или, как еще говорят, выраженный в единицах среднего квадратического отклонения переменных. Из этого следуют и “рецепты” по применению в ФА корреляционной или ковариационной матриц:

1) если все переменные выражены в одних и тех же единицах измерения, то нет большого различия, какую из матриц факторизовать;

2) если метрики переменных заметно отличаются (единицы измерения значительно неоднородны и дисперсии переменных заметно отличаются), то целесообразно использовать анализ корреляционной матрицы;

3) ковариационные матрицы предпочтительнее, когда необходимо провести сравнение результатов ФА (факторных структур) в двух различных выборках, полученных в одном и том же исследовании, например, когда требуется оценить повторяемость какого-либо интересного результата.
2. Следующий важнейший этап ФА - собственно факторизация матрицы корреляций (ковариаций) или выделение первоначальных (ортогональных) факторов. В настоящее время - это полностью компьютеризованная процедура, которую можно найти во всех современных статистических программах. Одним из первых, кто предложил формально-математическое решение проблемы возможности факторизации корреляционной матрицы, был Л. Терстоун. В матричной форме его известное уравнение выглядит следующим образом (подробнее см.: Я. Окунь, 1974, c. 43-49):

(5)

Где - редуцированная корреляционная матрица;

Редуцированная матрица факторных нагрузок;

Транспонированная матрица факторных нагрузок.
Поясним, что редуцированная корреляционная матрица - это матрица попарных корреляций наблюдаемых переменных, где на главной диагонали лежат не единицы (как в полной матрице корреляций), а значения, соответствующие влиянию только общих для этих переменных факторов и называемые общностями. Аналогичным образом, редуцированная матрица факторных нагрузок или факторная матрица (формальная цель ФА) представляет собой факторные нагрузки только общих факторов.

Основная проблема, стоящая при решении уравнения (3), заключается в том, что значения общностей в редуцированной корреляционной матрице неизвестны, а для начала вычислений их необходимо иметь. На первый взгляд неразрешимая проблема решается таким образом: до начала вычислений задаются некоторые приблизительные значения общностей (например, максимальный коэффициент корреляции по столбцу), а затем на последующих стадиях вычислений, когда уже имеются предварительные величины вычисленных факторных нагрузок, они уточняются. Таким образом, очевидно, что вычислительные алгоритмы ФА представляют собой последовательность итеративных 1 вычислений, где результаты каждого последующего шага определяются результатами предыдущих. С известной долей упрощения можно считать, что различные алгоритмы факторизации корреляционной матрицы в основном и отличаются тем, как конкретно решается данная проблема.

Для людей, неискушенных в проблемах математической статистики, но решающих с помощью ФА свою задачу, более важен основной смысл процедуры факторизации, заключающийся в переходах от матрицы смешения к корреляционной матрице и далее к матрице факторных нагрузок и построению факторных диаграмм (рис. 2).

Рис. 2. Основные этапы трансформации данных в ходе факторного анализа.
Пользуясь данным рисунком, еще раз подчеркнем важную особенность ФА - это способ понижения размерности, сжатия объема данных. Обратите внимание, что исходная матрица смешения достаточно, велика, например, при условии 20-ти наблюдений каждой переменной она содержит 20Њ6=120 измерений. Конечный результат анализа - это всего лишь 26=12 чисел или построенная по матрице факторных нагрузок компактная факторная диаграмма. Таким образом, при адекватном использовании ФА как метода многомерного измерения мы можем получить 10-кратную компрессию исходной информации и наглядность результатов ее анализа.

Напомним, что главная цель выделения первичных факторов в разведочном ФА состоит в определении минимального числа общих факторов, которые удовлетворительно воспроизводят (объясняют) корреляции между наблюдаемыми переменными. Основная стратегия при выделении факторов незначительно отличается в разных методах. Она заключается в оценке гипотезы о минимальном числе общих факторов, которые оптимально воспроизводят имеющиеся корреляции. Если нет каких-либо предположений о числе факторов (в ряде программ оно может быть задано прямо), то начинают с однофакторной модели. Эта гипотеза о достаточности одного фактора оценивается с помощью используемого критерия оптимальности соответствия данной однофакторной модели исходной корреляционной матрице. Если расхождение статистически значимо, то на следующем шаге оценивается модель с двумя факторами и т. д. Такой процесс подгонки модели под данные осуществляется до тех пор, пока с точки зрения используемого критерия соответствия расхождение не станет минимальным и будет оцениваться как случайное. В современных компьютерных статистических программах используются различные методы факторизации корреляционной матрицы. Нам представляется, что, хотя для исследователя данная проблема не представляет прямого интереса, тем не менее она важна, поскольку от выбора метода факторизации в определенной мере зависят результаты расчета факторных нагрузок. В силу специфики нашего изложения основ ФА мы ограничимся лишь перечислением этих методов, снабдив его очень краткими комментариями и отошлем читателя для более глубокого знакомства к специальной литературе, требующей некоторых познаний в математике (Дж. Ким, Ч. Мьюллер, 1989):

Метод главных факторов (или главных осей) - наиболее старый и часто используемый в различных предметных областях.

^ Метод наименьших квадратов сводится к минимизации остаточной корреляции после выделения определенного числа факторов и к оценке качества соответствия вычисленных и наблюдаемых коэффициентов корреляции по критерию минимума суммы квадратов отклонений.
^ Метод максимального правдоподобия: специфика данного метода состоит в том, что в случае большой выборки (большого количества наблюдений каждой переменной) он позволяет получить статистический критерий значимости полученного факторного решения.

^ Альфа-факторный анализ был разработан специально для анализа психологических данных, и поэтому его выводы носят в основном психометрический, а не статистический характер. В альфа-факторном анализе минимальное количество общих факторов оценивается по величинам собственных значений факторов и коэффициентов обобщенности  , которые должны быть больше 1 и 0, соответственно.

Факторизация образов (или анализ образов). В отличие от классического ФА в анализе образов предполагается, что общность каждой переменной определяется не как функция гипотетических факторов, а как линейная регрессия всех остальных переменных.

В табл. 1 представлены сравнительные результаты факторизации корреляционной матрицы (Дж. Ким, Ч. Мьюллер, 1989, с. 10), с использованием 4-х различных методов. Видно, что полученные результаты могут различаться, даже если не обращать внимание на знаки факторных нагрузок (об этом чуть ниже).
^ Таблица 1

Использование различных методов факторизации для получения двухфакторного решения

После компьютерного расчета матрицы факторных нагрузок наступает наиболее сложный, ответственный и творческий этап использования ФА - определение минимального числа факторов, адекватно воспроизводящих наблюдаемые корреляции, и содержательная интерпретация результатов ФА. Напомним, что максимальное количество факторов равно числу переменных. Кроме содержательных критериев решения вопроса о минимальном числе факторов существуют формально-статистические показатели достаточности числа выделенных факторов для объяснения корреляционной матрицы. Остановимся на двух основных показателях. После расчета факторных нагрузок для каждой переменной практически любая компьютерная программа распечатывает на экране следующую табл. 2.

Первый важный показатель в этой таблице (второй столбец) - это величина собственного значения каждого фактора; факторы расположены в таблице по убыванию этой величины. Не очень строго говоря, этот показатель характеризует вес , значимость каждого фактора в найденном факторном решении 2 . Из таблицы 2 видно, что от 1-го фактора к 10-му (всего было 10 переменных) величина собственного значения убывает более, чем в 100 раз. Естественно возникает вопрос о том, какая величина данного показателя свидетельствует о значимом, существенном вкладе соответствующего фактора, и каков критерий для отсечения незначимых, несущественных факторов. Достаточно часто в качестве такого критического значения используют величину собственного значения, равную 1.0. Таким образом, с определенной степенью уверенности предполагают, что те факторы, у которых этот показатель меньше 1.0, не вносят значительного вклада в объяснение корреляционной матрицы. Кроме анализа табличных величин бывает полезно визуально оценить динамику величины собственного значения по графику. Как правило, в большинстве статистических программ такая возможность пользователю предоставляется (см. рис. 3). Как предлагал в свое время Р. Кеттел (1965), выделение факторов заканчивается, когда после резкого падения величины собственного значения изменяются незначительно, и график фактически превращается в горизонтальную прямую линию. Несмотря на видимую простоту и ясность такого рецепта, следует отметить, что когда на графике имеется более чем один излом, то выделение горизонтального участка становится неоднозначным.

Таблица 2

Статистические показатели для определения минимального количества факторов

Рис. 3. Изменение величины собственного значения факторов: ось абсцисс - количество факторов; ось ординат - величина собственного значения
Другой не менее важный расчетный показатель значимости каждого фактора - процент объясняемой дисперсии переменных , содержащейся в корреляционной матрице (третий столбец в табл. 2). Естественно, что все 100% дисперсии будут объясняться только всеми десятью факторами. Однако не стоит забывать, что при любых измерениях (а особенно в разведочных, пилотажных исследованиях) имеют место разного рода случайные ошибки, и поэтому их вклад в общую дисперсию тоже может оказаться весьма значительным. Предполагается, что ряд выделенных факторов отражает влияние случайных процессов, никак не связанных с оценкой наблюдаемых переменных. Таким образом, формально задача заключается в том, чтобы, с одной стороны, выбрать некоторое минимальное количество факторов, которые бы, с другой стороны, объясняли достаточно большой процент всей дисперсии переменных. Ясно, что эти два требования в принципе взаимно противоречивы, и, следовательно, исследователь стоит перед выбором некоторой критической величины процента объясняемой дисперсии. К сожалению, никаких строго формальных рецептов по этому поводу не существует, но принято считать, что при хорошем факторном решении выбирают столько факторов, чтобы они в сумме (последний столбец таблицы) объясняли не менее 70-75%. В хорошо спланированных исследованиях с установленной факторной структурой этот суммарный процент может достигать 85-90 %.

Подводя итог, укажем, что в данном случае оба статистических критерия вполне однозначно свидетельствуют о достаточности не более 3-х факторов, что и отмечено пунктирной горизонтальной линией. Тем не менее, стоит подчеркнуть, что главным критерием для выделения минимального количества будет содержательная интерпретация выделенных факторов, а к использованию формально-статистических критериев следует относиться с осторожностью.
3. Вращение факторной структуры и содержательная интерпретация результатов ФА. Одним из основных кажущихся парадоксов ФА как метода, обеспеченного весьма солидным и современным математическим аппаратом, является неоднозначность расчета факторных нагрузок по исходной корреляционной матрице. Фактически это означает следующее: любой алгоритм факторизации корреляционной матрицы дает какой-то один вариант расчета факторных нагрузок из целого множества эквивалентных. Это означает, что расчет факторных нагрузок выполняется с точностью до любого линейного преобразования в правой части уравнения (2), что эквивалентно возможности произвольного поворота факторных осей вокруг векторов-переменных. Поясним сказанное, используя геометрическую интерпретацию результатов ФА. На рис. 4 представлены три переменные (v1, v2 и v3) в пространстве двух ортогональных факторов (F1 и F2). Переменные изображены в виде векторов, а факторные нагрузки переменных на факторы геометрически представляют собой проекции данного вектора (переменной) на соответствующую координатную ось (фактор). Если мы осуществим произвольный поворот осей координат на какой-то угол, например, на 45 градусов вправо (новые оси - штрих-пунктирные линии на рис. 4), то расположение переменных в новой системе координат (F1" - F2" ) с математической точки зрения полностью эквивалентно исходному. Изменились лишь величины факторных нагрузок (сравните проекции переменной v1 на оси F1 и F1" , соответственно, до и после поворота). Таким образом, исходное факторное решение справедливо с точностью до любого угла поворота ортогональных факторных осей вокруг пучка векторов, образованного переменными v1, v2 и v3.

Рис.4. Факторное пространство 3-х переменных (v1, v2 и v3) в пространстве 2-х факторов: сплошные линии (F1, F2) - до поворота; пунктирные линии (F1" , F2" ) - после поворота
Естественно, возникает вопрос об оптимальном расположении переменных в пространстве факторных осей. Как было отмечено выше, эта проблема в принципе не имеет строгого математического решения. Она относится уже к содержательной интерпретации расположения переменных в факторном пространстве. Фактически суть проблемы состоит в следующем: какой набор факторных нагрузок (или какая геометрическая модель результатов ФА) будет более подходящим для интерпретации исследователем. Поскольку при повороте осей координат факторные нагрузки по одному фактору могут расти, а по другому - уменьшаться, то, соответственно, будет расти или уменьшаться вклад этих факторов в разные переменные. Из этого следует, что нужно искать такой вариант расположения переменных в факторном пространстве, который наилучшим образом соответствует ожиданиям исследователя, его предположениям о взаимосвязи и взаимозависимости исследуемых переменных. Как правило, при использовании ФА полагают, что существует одно оптимальное положение осей координат, соответствующее существенным для данного исследования и хорошо интерпретируемым факторам.

Описанный выше процесс поиска оптимальной факторной структуры получил название процедуры вращения факторов . По образному выражению Л. Терстоуна, цель исследователя заключается в поиске “простой структуры” или попытке объяснить большее число переменных меньшим числом факторов. С формальной точки зрения при поиске простой структуры следует иметь в виду следующее: целесообразно стремиться к получению для каждой переменной максимального числа больших факторных нагрузок по одним факторам и одновременно наибольшего количества минимальных факторных нагрузок по другим факторам . Следуя этому правилу, мы стремимся сделать так, чтобы одну группу переменных можно было в большей степени объяснить влиянием одних факторов, а другую - других. Таким образом, “простота” хорошего факторного решения заключается в том, что каждая переменная имеет наиболее простое факторное объяснение, т.е. характеризуется преобладающим влиянием некоторого одного фактора, и в меньшей степени связана с другими факторами. И наоборот: один фактор должен быть специфическим образом связан с одной группой переменных и не связан с другими переменными. В предельном случае самая простая структура получается тогда, когда все переменные располагаются на соответствующих факторных осях, т. е. имеют ненулевые факторные нагрузки только по одному фактору, а по остальным - нулевые. Возвращаясь к рис. 4, укажем на результат вращения: после поворота факторных осей на 45 градусов вправо, нагрузка переменной v1 по первому фактору резко уменьшилась и одновременно немного возросла по второму. Кроме того заметно уменьшились факторные нагрузки переменных v2 и v3 по второму фактору. Таким образом “простота” новой факторной структуры выразилась в доминирующем влиянии первого фактора на переменную v1, а второго фактора - на две других переменных.

Видимая простота решения проблемы вращения системы координат в двухмерном случае (это можно сделать и вручную) становится неочевидной при 3-х и более факторах. Пересчет системы координат вручную и построение факторных диаграмм становятся очень сложными. Исходя из общего принципа построения простой структуры, изложенного выше, во многих компьютерных программах предлагаются несколько способов решения проблемы оптимальности вращения системы координат. Кратко остановимся на основных способах вращения. Выделяют два класса методов вращения - методы ортогонального вращения, когда при повороте осей координат угол между факторами остается прямым (и, следовательно, остается верным предположение о некоррелированности факторов), и более общие методы косоугольного вращения, когда первоначальное ограничение о некоррелированности факторов снимается.
Методы ортогонального вращения: варимакс, квартимакс, эквимакс и биквартимакс.

Варимакс - наиболее часто используемый на практике метод, цель которого - минимизировать количество переменных, имеющих высокие нагрузки на данный фактор, что способствует упрощению описания фактора за счет группировки вокруг него только тех переменных, которые с ним связаны в большей степени, чем остальные.

Квартимакс в определенном смысле противоположен варимаксу, поскольку минимизирует количество факторов, необходимых для объяснения данной переменной; поэтому он усиливает интерпретабельность переменных. Квартимакс-вращение приводит к выделению одного из общих факторов с достаточно высокими нагрузками на большинство переменных.

^ Эквимакс и биквартимакс - это два схожих метода, представляющих собой своеобразную комбинацию варимакса, упрощающего описание факторов, и квартимакса, упрощающего описание переменных. Отметим, что выбор более подходящего метода вращения конечно же требует известного опыта использования ФА, однако специальные исследования Х. Кайзера (1958) при прочих равных условиях свидетельствуют в пользу преимущественного применения варимакса.

Методы косоугольного вращения также позволяют упростить описание факторного решения за счет введения предположения о коррелированности факторов и, следовательно, о возможности существования факторов более высокого порядка , объясняющих наблюдаемую корреляцию. Основное преимущество косоугольного вращения состоит в возможности проверки ортогональности получаемых факторов: если в результате вращения получаются действительно ортогональные факторы, то можно быть уверенным в том, что ортогональность им действительно свойственна, а не является следствием использования метода ортогонального вращения.

В статистических программах наибольшую популярность получил метод облимин, по своей сути эквивалентный методу эквимакс при ортогональном вращении. В расчетах с помощью облимина используется специальный параметр (называемый в разных программах  или  ), задающий степень косоугольности факторов при вращении. Большие отрицательные значения этого параметра соответствуют наиболее косоугольным решениям, а меньшие отрицательные значения - наиболее ортогональному решению. Подробнее об использовании метода облимин можно прочитать в книге Г. Хармана (1972) и руководствах к соответствующим статистическим пакетам.
Стоит особо отметить, что перед выполнением процедуры вращения следует указать количество факторов, в пространстве которых и производится вращение. Поэтому вопрос о минимальном количестве факторов следует решить (в первом приближении!) до того. После осуществления вращения и анализа факторных диаграмм можно еще раз вернуться к проблеме минимального количества факторов, чтобы затем еще раз выполнить вращение с другим количеством (меньшим или большим) факторов. Например, на основании использования ряда статистических критериев, описанных выше, мы начинаем проводить вращение с учетом наличия 4-х факторов, но в ходе анализа факторных диаграмм убеждаемся в избыточности третьего и четвертого факторов и окончательное вращение выполняем в 2-х факторном пространстве. Таким образом, вращение и анализ факторных диаграмм следует проводить несколько раз с учетом разного количества факторов, начиная, как правило, с избыточного количества.

Вместе с тем не следует думать, что получение простой геометрической модели факторного решения является основным критерием “хорошести” результатов ФА и, следовательно, единственности и оптимальности расположения исследуемых переменных в системе факторных координат. Безусловно, решение вопроса о минимальном количестве факторов и сравнительная оценка различных вариантов вращения должны основываться на серьезном содержательном анализе полученных результатов. Укажем на основные моменты в ходе содержательного анализа:

1. По возможности следует четко сформулировать ожидаемые результаты и после этого задать себе следующие вопросы: а) согласуются ли ваши данные с вашими ожиданиями и результатами ранее выполненных исследований? б) что общего и какие есть различия между вашим и другими подобными исследованиями?

2. Стоит вспомнить, использовался ли ФА в сходных исследованиях и какие факторы выделялись в таких работах.

3. И наконец, при интерпретации факторов и объяснении их влияния на исследуемые переменные, следует подумать о согласованности найденного вами факторного решения с теоретическими основаниями данной предметной области психологии.
§ 4. Дополнительные статистические показатели для оценки результатов факторного анализа
В начале предыдущего параграфа мы отмечали, что вычислительные алгоритмы ФА основываются на ряде математических допущений о характере эмпирических данных, подвергаемых ФА. Остановимся на ряде статистических показателей, которые помогают исследователю оценить степень соответствия данных этим допущениям.

Как правило, в любой программе по ФА предусмотрен расчет показателей описательной статистики по матрице смешения. Например в статистических системах “Stadia” и SPSS для каждой переменной вычисляются общее количество наблюдений, среднее арифметическое значение и среднее квадратичное отклонение (см. табл. 3). Эти достаточно простые показатели позволяют быстро сравнить между собой все анализируемые переменные, и уже на уровне анализа исходных данных попытаться найти возможные ошибки, связанные либо с проведенными измерениями, либо с вводом данных в компьютер. Например, если при сборе данных использовалась 7-балльная шкала, то наверное вас насторожит среднее значение по какой-то переменной, равное 0.87, или резко отличающаяся от других величина среднего квадратичного отклонения.

Коэффициент сферичности Бартлета используется для оценки “хорошести” корреляционной матрицы. Если этот коэффициент достаточно большой, а соответствующий ему уровень значимости мал (например, меньше 0.05 или 0.01), то это свидетельствует о надежности вычисления корреляционной матрицы. При высоком уровне значимости исследователю стоит задуматься об адекватности использования ФА с полученными данными.

Кроме того, для оценки надежности вычислений элементов корреляционной матрицы и возможности ее описания с помощью ФА во многих статистических программах применяется так называемая мера адекватности выборки Кайзера-Мейера-Олкина(КМО) . По мнению Г. Кайзера (1974), значения КМО около 0.9 оцениваются как “изумительные”, 0.8 - “достойные похвалы”, 0.7 - “средние”, 0.6 - “посредственные”, 0.5 - “плохие”, а ниже 0.5 - “неприемлемые”. Для оценки надежности вклада в корреляционную матрицу каждой переменной в отдельности также используют меру выборочной адекватности (например, коэффициент MSA i в системе SPSS). Вышеприведенные характеристики Г. Кайзера вполне справедливы и для оценки этих величин тоже. Исследование надежности каждой переменной позволяет исключить из расчетов одну или несколько переменных, и тем самым повысить результативность ФА.
Таблица 3

Данные описательной статистики для 9 переменных

Работая с различными данными, Г. Кайзер установил, что величина данного коэффициента адекватности повышается при: а) увеличении количества переменных, б) возрастании числа наблюдений каждой переменной, в) уменьшении числа общих факторов и г) увеличении абсолютных значений коэффициентов корреляций. По сути дела данный автор выделил те условия, при которых повышается адекватность данных, а следовательно, и информативность ФА.
§ 5. Несколько замечаний по поводу конфирматорного ФА
Как было отмечено выше, конфирматорный ФА используется для проверки и подтверждения теоретической модели факторного типа эмпирическими данными. Предполагается, что у исследователя есть достаточно строго сформулированная модель изучаемой им реальности (например, какие психологические факторы в межкультурном исследовании мотивации достижения у школьников являются общими для всех культур, а какие специфическим образом влияют на мотивационные переменные только в одной стране).

При использовании конфирматорного ФА исследователь (в рамках своей модели) четко формулирует гипотезу о числе общих и специфических факторов. Естественно, эта гипотеза должна основываться на серьезном анализе природы исследуемых переменных и лежащих в их основе факторов. Более того, проверяя свою модель на реальных данных, исследователь может делать и количественные предположения о величине корреляции между переменными, величинах факторных нагрузок для ряда исследуемых переменных и зависимости между факторами (ортогональными или косоугольными). Имея данные эмпирических измерений, с одной стороны, и набор разнообразных теоретических гипотез - с другой, психолог с помощью ФА фактически занимается проверкой сформулированных им гипотез о свойствах изучаемой (моделируемой) реальности.

Подробное изложение исследовательских стратегий с помощью конфирматорного ФА не входит в задачу настоящего учебного пособия, поскольку представляет собой особую и достаточно специфическую задачу. Тем не менее, укажем, что в настоящее время существуют достаточно удобные компьютерные программы, где реализованы современные подходы к анализу моделей с латентными переменными, частным случаем которых и является ФА. В качестве примера мы можем привести достаточно известный статистический пакет Lisrel 8 , который дает возможность обрабатывать данные методом моделирования с помощью линейных структурных уравнений . Для подробного знакомства с принципами конфирматорного ФА могут быть рекомендовано (Благуш, 1989), а также прекрасное описание статистического пакета Lisrel 8 1 .

«Факторный анализ»
Основная трудность при выполнении настоящего учебного задания - это, как ни странно, выбрать подходящий предмет для исследования, т.е. определить тот набор переменных, которые необходимо или интересно изучить с помощью ФА. При решении этой проблемы можно пойти двумя путями: либо взять заведомо подходящую задачу, которая ранее уже решалась с помощью ФА, либо придумать ее самому (последнее, естественно труднее, но интереснее). В принципе и то, и другое подходит для выполнения учебного задания. Достаточно стандартный вариант выполнения работы - это провести ФА какого-либо известного опросника, в котором уже содержатся шкалы (факторы) и отражающие их вопросы (переменные). Еще лучше взять какой-либо новый (например, только что переведенный), но еще не стандартизированный опросник и провести исследование с ним. В этом случае будет интересно подумать над интерпретацией результатов ФА, и хотя бы немного побыть в роли разработчика новых психодиагностических методик. Неплохой вариант, если вы найдете в литературе данные, которые можно обработать ФА, и подумаете над их интерпретацией в контексте обсуждаемых автором работы проблем.

Для ориентировки студентов в том, что же можно сделать, мы приводим ниже список названий работ по ФА, которые были выполнены студентами 2-го курса факультета психологии Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова в 1995-1996 гг.:

1. Оценка эмоционального состояния при прослушивании музыки разных жанров.

2. Личностные особенности деятелей тайных обществ первой трети XIX века.

3. Факторное пространство русских писателей XIX века.

4. Исследование факторов, определяющих положение человека в семье.

5. Изучение влияния различных типов стрессогенных ситуаций на интенсивность эмоционального переживания: определение специфики ситуаций для мужской и женской выборок.

6. Выделение скрытых факторов, обуславливающих привлекательность печатной рекламы.

7. Выявление факторов, оказывающих наибольшее влияние на выбор того или иного политического лидера при голосовании.

8. Факторы, способствующие заинтересованности человека той или иной пластинкой по виду ее конверта.

9. Характеристика человека, с которым мы хотим дружить.

10. Факторизация шкал опросника “16 PF”.

11. Оценка изучаемых предметов студентами 2-го курса.

12. Выявление факторной структуры шкал акцентуации характера по Леонгарду (тест Шмишека). Сравнение результатов факторизации на 2-х выборках испытуемых.

13. Исследование факторов, влияющих на выбор страны для зарубежной поездки.

14. Факторы, определяющие оценку идеального мужчины и идеальной женщины.

15. Исследование факторов, определяющих специфику национального характера.

После того, как уже выбрана адекватная исследовательская или практическая задача (предмет исследования), которая будет решаться с помощью ФА, и в основном определен набор оцениваемых переменных, стоит еще раз подумать о правильности их выбора. В первую очередь следует обратить внимание на то, чтобы переменные не повторяли друг друга, а разнообразно и всесторонне описывали предмет вашего исследования. В разведочном исследовании тщательный и вдумчивый подбор наблюдаемых переменных может обеспечить полноту описания изучаемой реальности. От этого и будет зависеть, сумеете ли вы выделить действительно важные факторы, влияющие на восприятие, оценку, понимание или действия человека в определенной ситуации, описываемой используемыми переменными. Например, если вы решили исследовать психологические факторы, которые определяют восприятие избирателями лидеров политических партий, то не следует ограничиваться оценкой только их личностных особенностей, безусловно стоит включить также и описательные характеристики их внешних данных, политических ориентаций и многое другое. Не следует забывать о том, что исследуемые вами факторы есть не более чем “экстракт” наблюдаемых переменных, и, следовательно, они не могут появиться из ничего.

Однако не стоит и чрезмерно увеличивать число используемых переменных путем включения нескольких однотипных. Если несколько выбранных вами переменных похожи друг на друга, то очевидно, что это приведет к появлению очень высоких коэффициентов корреляции между этими переменными и, таким образом, к избыточности и односторонности описания предмета вашего исследования.

В том случае, когда вы затрудняетесь или сомневаетесь в выборе необходимых переменных, полезно создать их заведомо избыточный список, а затем, воспользовавшись правилом “со стороны виднее”, попросить своих коллег поучаствовать в оценке этого списка в качестве экспертов.

^ Следующий важный этап в проведении исследования - сбор данных .

На этом этапе, как правило, сталкиваются с двумя вопросами: по какой группе испытуемых собирать данные и каким методом это делать? На первый вопрос ответить достаточно просто: чтобы получить статистически достоверные оценки коэффициентов корреляции, нужно по каждой переменной собрать не менее 12-15 наблюдений. Если задача состоит в построении факторного пространства для одного испытуемого, то нужно решить, каким образом лучше получить от него такое количество повторных данных.

При решении второго вопроса мы советуем обратиться к соответствующей главе настоящего пособия, посвященной методу балльной оценки. Какой процедурой сбора данных лучше воспользоваться, зависит от задачи вашего исследования, от условий, в которых проводится тестирование, от возраста и уровня образования испытуемых и т. д. При выборе конкретного варианта методики не стоит забывать и о простоте последующей обработки исходных данных, и об удобстве их считывания с бланка и ввода в компьютер.

^ Ввод данных и их обработка.

Остановимся кратко на некоторых важных этапах работы со статистической программой, с помощью которой собственно и реализуется процедура ФА. Для этой цели мы рекомендуем использовать либо русскоязычную статистическую систему “Stadia” или англоязычную систему обработки и анализа данных SPSS. Эти две программы достаточно широко используются, соответственно, российскими и зарубежными психологами и ориентированы на пользователя-гуманитария. Для облегчения использования этих двух программ, мы остановимся на основных моментах работы с каждой из них.

Работа в системе “Stadia”. После вызова программы (stadia.exe) вы сразу же попадаете в редактор данных и, следовательно, можете начинать ввод данных в электронную таблицу. Закончив ввод данных, не забудьте их сохранить на жестком диске - F4 ; практика показывает, что несоблюдение этого правила для неопытного пользователя часто заканчивается повторным вводом данных. Кроме того, обязательно проверьте правильность ввода данных (лучше эту малоприятную процедуру выполнять вдвоем: один читает - другой проверяет). В том случае, если данные уже набраны в каком-либо текстовом редакторе, вы можете загрузить их в окно редактора с дискеты, для чего используйте функцию “Чтение” - F3.

Войдя в меню статистических методов (F9 ), выберите в разделе “Многомерные методы” опцию “Факторный анализ”. Первый запрос программы касается типа введенных данных - что это: матрица смешения (переменные объекты) или корреляционная матрица; как правило, вы начинаете работать с матрицей смешения. После рассчета корреляционной матрицы появляется вопрос: “Записать ли рассчитанные корреляции в матрицу данных?”; чаще всего в этом нет особой необходимости. Далее на экране распечатывается таблица с показателями описательной статистики и матрица корреляций. Эта уже та информация, которую стоит записать в файл результатов - F2 ; в качестве имени файла (без расширения!) целесообразно ввести первые 6-8 букв своей фамилии латинскими буквами. Если выводимая на экран информация не уместилась на одной экранной странице, нажмите клавишу “Enter”. После этого на экране распечатается таблица с величинами собственных значений и процентом объясняемой дисперсии факторов (не забудьте сохранить и ее!) и появляется вопрос: “Выдать собственные векторы и новые координаты объектов?”; поскольку анализ собственных векторов используется редко, ответьте - “нет”. А вот график собственных значений посмотреть весьма полезно, поэтому на следующий вопрос программы ответьте “да” и посмотрите его на экране . Затем производится расчет первичных факторных нагрузок и соответствующая матрица распечатывается на экране. Можно ее сохранить в файле и посмотреть факторные диаграммы, а можно ответить “нет” (чаще всего так и поступают) и, нажав “Enter”, сразу перейти к вращению осей координат. Для проведения вращения нужно обязательно указать число факторов, а затем выбрать метод вращения и ответить на вопрос “Нужна ли нормализация Кайзера?”. Нормализация факторных нагрузок Кайзера выполняется для того, чтобы исключить влияние тех переменных, которые имеют по сравнению с другими переменными значительно большие значения нагрузок общих факторов. После расчета факторных нагрузок производится расчет и распечатка коэффициентов общности и специфичности для каждого фактора и, конечно, матрицы факторных нагрузок после вращения. На этом этапе имеется возможность посмотреть факторную диаграмму переменных в осях “фактор 1 - фактор 2”. После просмотра факторных диаграмм можно еще раз вернуться к выполнению процедуры вращения с новым (большим или меньшим) количеством факторов и опять проанализировать факторные диаграммы. После принятия решения о количестве факторов не забудьте сохранить в файле результатов соответствующую матрицу факторных нагрузок - F2 . При необходимости любую факторную диаграмму можно распечатать на принтере или сохранить рисунок в виде файла.

Работа в системе “SPSS”. После вызова программы из Windows так же, как и при работе в “Stadia”, вы попадаете в электронную таблицу (окно редактора данных) и сразу же можете вводить данные в первую переменную (var00001). Если данные уже набраны в виде ASCII-файла, то их можно импортировать в SPSS (меню: File , подменю: Read ASCII Data ). В случае импорта данных следует указать путь к файлу данных и его имя, а также выбрать тип формата данных - Freefield . Далее, нажав на кнопку Define, вы переходите в режим определения переменных , в котором необходимо каждой переменной (их столько, сколько столбцов в вашем файле данных) присвоить имя - в окошке Name , и определить ее тип - Numeric . Ввод каждой переменной в общий список анализируемых переменных (Defined Variables) осуществляется нажатием клавиши со стрелкой. После окончания определения всех переменных нажмите на клавишу OK . SPSS автоматически перейдет в окно редактора данных и осуществит ввод вашего ASCII-файла.

Переход к процедуре факторного анализа осуществляется следующим образом: меню - Statistics , подменю - Data Reduction , а в нем - Factor... После вызова процедуры ФА в правом окне выделите мышкой нужные переменные и перенесите их в окно Variables , нажав на кнопку со стрелкой.
Следующий важный этап работы - выбор параметров (опций) работы процедуры ФА. Первая группа параметров - расчет необходимых коэффициентов описательной статистики (Descriptives ). В данном разделе стоит заказать расчет следующих показателей: Univariate descriptives (средние и стандартные отклонения для каждой переменной), Significance level (оценки достоверности получаемых коэффициентов корреляции), а также KMO and Bartlett‘s test of sphericity (соответственно, мера адекватности выборки Кайзера-Мейера-Олкина и коэффициент Бартлета).

Далее выбирают конкретный метод факторизации корреляционной матрицы - Extraction . В данном разделе сделайте следующий выбор: 1) в качестве метода укажите - Principal components (метод главных компонент); 2) в подразделе Extract (сколько факторов выделять) можно либо отметить критическую величину собственного значения фактора (Eigenvalues over), например: не меньше 1, либо задать некоторое ожидаемое число факторов (Number of factors); 3) в подразделе Display (какие результаты показывать) выберите пункт Scree plot, чтобы увидеть график изменения собственных значений.

После этого следует выбрать метод вращения осей координат - раздел Rotation . Выберите Varimax, а также закажите для вывода результатов ФА:Rotated solution (распечатка матрицы факторных нагрузок после вращения) и Loading plots (построение факторных диаграмм).

В разделах Scores и Options все параметры установлены оптимальным образом, поэтому никаких изменений делать не стоит. После установки всех параметров (в каждом разделе не забудьте нажимать кнопку Continue ! ) для начала выполнения процедуры ФА следует нажать кнопку OK .

Все текстовые результаты заносятся в окно Output, и их можно просмотреть, используя кнопки скролинга по вертикали ( и ). Графические результаты ФА находятся в окне Chart Carusel , куда можно попасть из головного меню (Window) или непосредственно щелкнуть мышью на соответствующей пиктограмме внизу экрана.
Литература
1. Благуш П. Факторный анализ с обобщениями. М.: Финансы и статистика, 1989. 248 с.

2. Иберла К. Факторный анализ. . М.: Статистика, 1980. 398 с.

3. Ким Дж.-О., Мьюллер Ч.У. Факторный анализ: статистические методы и практические вопросы // Факторный, дискриминантный и кластерный анализ. М.: Финансы и статистика, 1989. С. 5 - 77.

4. Окунь Я. Факторный анализ. М.: Статистика, 1974. 200 с.

5. Харман Г. Современный факторный анализ. . М.: Статистика, 1972. 486 с.

6. SPSS. SPSS Professional Statistics 6.1. Chapter 2. Factor Analysis. Maria J. Norusis: SPSS Inc., 1994. P. 47-82.

Факторный анализ (англ. factor analysis) - совокупность математических методов снижения размерности пространства наблюдаемых переменных с помощью линейного проектирования. Исходным материалом для применения Ф. а. служат матрицы расстояний между наблюдаемыми переменными (показателями разных тестов, показателями отдельных шкал тестов, измерениями к.-л. характеристик испытуемых); в классических вариантах Факторный анализ - это матрицы парных корреляций, в поздних модификациях - ненормированные аналоги корреляций или даже топологические меры расстояния. Основные алгоритмы факторного анализа: метод главных компонент и центроидный метод. Наибольшую сложность представляет интерпретация результатов Ф. а. Многие методы психодиагностики создавались с помощью факторного анализа.

О некоторых применениях Факторный анализ - см .: Большая пятерка , Метод семантического дифференциала , Первичные интеллектуальные способности .

Большая энциклопедия по психиатрии. Жмуров В.А.

Факторный анализ - общее название ряда статистических процедур, которые направлены на определение места меньшего числа измерений, кластеров или факторов в большем наборе независимых переменных или пунктов.

Психомоторика: cловарь-справочник. Дудьев В.П.

Факторный анализ (от лат. factor - делающий, производящий и греч. analysis - разложение, расчленение) - метод многомерной математической статистики, применяемый при исследовании статистически связанных признаков с целью выявления определенного числа скрытых от непосредственного наблюдения факторов

Неврология. Полный толковый словарь. Никифоров А.С.

нет значения и толкования слова

Оксфордский толковый словарь по психологии

Факторный анализ - этот термин в действительности не представляет собой единого понятия, скорее он служит общим названием для ряда статистических процедур, которые направлены на определение места меньшего числа измерений, кластеров или факторов в большем наборе независимых переменных или пунктов. Основной отличительный элемент факторного анализа – репозиция данных. Начиная с массива коэффициентов корреляций между всеми первичными переменными базы данных (число которых может быть очень велико, особенно если это пункты личностного опросника или теста интеллекта) с помощью методики факторного анализа выделяется малое число основных компонентов, которые могут рассматриваться как исходные переменные, объясняющие взаимосвязи, наблюдаемые в данных. Переменные, которые коррелируют друг с другом на высоком уровне, будут определяться как представляющие один фактор; переменные, которые не коррелируют друг с другом, определяются как представляющие ортогональные (или независимые) факторы. Идеальный факторный анализ выделил бы малое число факторов, каждый из которых был бы ортогональным друг другу; то есть в пространственных понятиях, которые располагались бы под прямым углом Друг к другу в графическом изображении. Обратите внимание , что все эти процедуры – строго статистические; факторы, которые выявляются в ходе анализа, еще должны быть субъективно исследованы, чтобы определить, представляют ли они наиболее яркие психологические измерения.

Например, в тестах на Ю значения по ряду пунктов могут оказаться высоко коррелирующими друг с другом и определяться как статистический фактор, например, исследование этих пунктов может показать, что все они содержат математические элементы, и таким образом это может привести к предположению о существовании математического фактора. Имеется тенденция, особенно когда методы факторного анализа применяются к личностным опросникам, определять выявляемые факторы как черты. Строго говоря, фактор – не черта; черта выводится из фактора, он представляет регулярность, лежащую в основе базы данных, и эти два термина не должны рассматриваться как синонимы. Установление валидной черты требует дополнительных выводов; для обсуждения использования и сопутствующих проблем см. черта.

Факторный анализ является важным инструментом в тех областях психологии, в которых основные компоненты предполагаются, но трудно различимы, например, тестирование интеллекта, оценки личности, Семантика и т.п. Сами эти процедуры довольно сложны, и для того чтобы понимать и использовать их, требуется владение в некоторой степени математическими знаниями. Во многих последующих статьях даются основные понятия концептуальной базы факторного анализа; для того чтобы познакомиться с математическими основами и методами применения, читателю следует обратиться к книгам по факторному анализу.

предметная область термина

ОБРАТНЫЙ ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ - см. факторный анализ, обратный.

ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ (FACTOR ANALYSIS) - набор техник, предназначенных для выявления переменных, которые могли бы частично описывать связи внутри большого числа переменных.

ИНВЕРТИРОВАННЫЙ ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ - см. обратный факторный анализ.

В отличие от представителей естественных наук (физиков, химиков, биологов, медиков), озабоченных измерением веса (молекулы, атома, планеты, живой клетки, человека), давления (газа, пара или крови), температуры (в атомном реакторе или у больного), использующих для этого приборы (линейку, тонометр, термометр) и получающих данные в соответствующих единицах (граммах, миллиметрах или градусах), психологи чаще всего должны осмысливать (понимать, описывать, измерять) какие-то более общие, абстрактные характеристики, часто ими самими придуманные, существующие гипотетически: интроверсия, альтруизм, интеллект. Как, например, можно измерить степень любви одного человека к другому? С помощью какого прибора? По какой шкале? В каких единицах?

С точки зрения психолога-психометрика любовь - это латентная (глубинная) характеристика, которую нельзя увидеть как таковую, но можно оценить на основе измерения явно выраженных (наблюдаемых) переменных. Например, можно выделить некоторые акты поведения и интерпретировать их как проявления любви. Если кто-то кому-то дарит цветы, интересуется его проблемами, читает его записки, смеется над его шутками, жертвует чем-то ради него и т.д., то можно допустить, что в данном случае переменную «любовь» следует «оценить со знаком плюс». Точно так же можно подобрать простые наблюдаемые характеристики для изучения альтруизма, понимания и т.д. Вообще идентификация глубинных измерений по наблюдаемым характеристикам (поступкам) происходит в психологических исследованиях любого уровня: индивида (например, выраженность нейротизма), личности (/Q), межличностного взаимодействия (лидерство), общества в целом (идеология, моральные нормы).

При этом исходят из гипотезы, что абстрактные понятия можно описать через более простые (наблюдаемые), поскольку эти абстрактные понятия объясняют наблюдаемые корреляции между простыми переменными. Например, постулат о существовании чего-то такого, называемого «любовью», определяет корреляции между поступками в различных ситуациях, связываемых с проявлениями любви. Стоит обратить внимание на выделенное слово «связываемых»: кем, где, когда, как? Задумав измерить какую-либо латентную переменную, исследователь (психолог-экспериментатор) составляет список характеристик (наблюдаемых переменных), свидетельствующих о проявлениях латентной переменной. Этот список чаще всего составляется на основании его гипотезы (например, о том, что чувство любви проявляется в каких-то очевидных и общепринятых поступках). Тут необходимо, конечно же, учитывать социокультурный контекст, ибо «узаконенные» (нормативные) способы проявления тех или иных чувств в разных обществах совершенно различны (достаточно вспомнить до сих пор бытующую русскую поговорку: «Бьет, значит любит»). Поскольку для оценки используются измерения по нескольким переменным-параметрам, то говорят о латентном конструкте - факторе.

Понятие «конструкт» ввел Дж.Келли (1955), рассматривавший персональные (личностные) конструкты не только как форму упорядочения опыта, но и как образование, опосредствующее восприятие и осознание действительности. Этот термин применяется и к общественному сознанию, впитавшему в себя личностные конструкты (например, на уровне идеологии, морали, общественных норм, определяющих функционирование и развитие всего общества в целом). Можно говорить о групповых конструктах, присущих представителям какой-то специальности и связанных с определенной профессиональной картиной мира.

Для обработки данных, полученных в ходе эксперимента, широко используются различные методы многомерной статистики. Наиболее распространенный из них - факторный анализ - статистическая процедура, используемая для выявления относительно небольшого количества глубинных (явно не наблюдаемых) конструктов, которые можно использовать для представления отношений между многочисленными наблюдаемыми переменными.

Точный момент возникновения метода факторного анализа определить достаточно трудно. Если отсчитывать его историю от изобретения Ф.Гальтоном коэффициента корреляции, то это середина 1880-х гг. Работая с антропометрическими данными, Пирсон в 1901 г. выдвинул идею «главных осей», но рождение факторного анализа как метода исследования связывают с публикацией в 1904 г. статьи Спирмэна «Объективное определение и измерение общего интеллекта». На основе статистического анализа тестов Спирмэн выдвинул двухфакторную теорию интеллекта, описываемого в терминах одного общего (генерального) фактора, присущего всем измерениям интеллекта, и целой серии специфических факторов, привносимых каждым из используемых тестов. Однако концепция одного генерального фактора оказалась несостоятельной, и дальнейшее развитие теории привело к появлению многофакторного анализа Тэрстоуна, т.е. к тому, что мы называем факторным анализом сегодня. Теперь общепринято рассматривать баллы в батареях тестов способностей (наблюдаемые переменные) как линейные комбинации факторов, выражающих вербальные навыки, математические способности и скорость восприятия.

Во время Второй мировой войны факторный анализ широко применялся различными военными службами США в связи с решением проблем квалификационных проверок, классификации и распределения личного состава. Довольно скоро появились работы, посвященные применению факторного анализа в исследовании темперамента (Guilford, Zimmerman, 1956), должностной морали (Roebuck, 1958), в разработке методик клинической терапии (Lorr, McNair, 1964; McNair, 1964), при выявлении психологических особенностей «public relations» (Schubert, 1962; Thurstone, Began, 1951; Voiers, 1964; подробнее об этом см.: Харман, 1972).

Факторный анализ довольно быстро превратился в достаточно сложную математическую систему, сочетающую методы теории вероятности и математической статистики, линейной алгебры и функционального анализа, развиваемую американскими математиками и статистиками для американских психологов и этими американскими психологами главным образом используемую. Практически все книги по факторному анализу, доступные русскоязычному читателю, - это переводы. И ссылки в них, иллюстрирующие применение этого метода в психологии, относятся исключительно к англоязычной литературе.

В нашей стране обсуждение основ факторного анализа началось еще в 1930-х гг. Однако в основном это были критические выступления, соответствующие духу эпохи и приведшие к тезису о «крайнем упрощенчестве метафизического характера, возникающем при разложении свойства на сумму составляющих» (Мандрыка, 1931). Такая позиция существенно затормозила дальнейшее распространение и использование факторного анализа во всех областях советской науки.

Новый этап развития этого метода в СССР начался в 1950-х гг. в антропологии (Игнатьев, 1957). В работе В.П.Чтецова (1960) была изложена общая схема факторного анализа и рассмотрены некоторые работы зарубежных антропологов. Необходимость использования факторного анализа в физкультурной антропологии была показана в статье П.Н.Башкирова (1960), послужившей «мостиком» между антропологией и науками о спорте, тесно соприкасающимися с наукой о высшей нервной деятельности человека - областью интересов Б.М. Теплова и В.Д. Небылицина (подробнее об этом см.: Небылицын, 1960; Докторов, 1969).

Статья Небылицына (1960) по тем временам была достаточно смелой (не будем забывать про активную борьбу с буржуазными веяниями в советской биологии, генетике, математике и т.д.). Осторожно называя факторный анализ скорее искусством, предоставляющим немалый простор для субъективных интерпретаций и выводов, автор все же предлагает психологам познакомиться с теорией, основными предпосылками, логикой и техникой этого метода, а также выражает надежду на скорое превращение его в строгую логическую схему, дающую единственное решение.

Теплов (1967) обращает внимание на две различные, но не противоречащие друг другу задачи факторного анализа: формально-математическую (статистическую, связанную с экономным описанием полученных данных) и научно-содержательную (интерпретационную, позволяющую подтвердить или отбросить гипотезы, касающиеся природы изучаемых процессов). Эти две задачи тесно взаимосвязаны: для решения второй (научно-содержательной) задачи надо прежде всего решить первую - математическую. Описывая математическую модель факторного анализа и приводя примеры из исследований руководимой им лаборатории, Теплов говорит о том, что факторный анализ будет ценным орудием в любой области, где можно предположить наличие некоторых основных параметров, функций, свойств, образующих структуру. В настоящее время во всех монографиях по факторному анализу указываются области применения его в психологии. Стоит отметить, что свое окончательное название на русском языке метод факторного анализа получил именно в этой работе Теплова (ранее наряду с термином «факторный» использовался термин «факториальный»).

Если попросить любого отечественного психолога назвать имена коллег, наиболее часто использующих факторный анализ сегодня, то бесспорными лидерами такого рейтинга станут «отцы-основатели» психосемантического направления - В.Ф.Петренко (1983, 1988, 1997) и А.Г.Шмелев (1983). Это действительно так. Факторный анализ (наряду с другими методами многомерной статистики - кластерным и дискриминантным анализом, многомерным шкалированием) входит в рабочий арсенал психосемантики. И если Е.Ю.Артемьева (1980, 1999), развивая психосемантический подход, пыталась избежать обработки данных, связанной с громоздкими вычислениями, из-за определенных трудностей использования больших ЭВМ и отсутствия персональных (отсюда ее семантические коды и пр.), то в настоящее время снятие этих барьеров позволяет «выжать» из полученных данных гораздо больше информации методами многомерной статистики. Конечно же, использование факторного анализа не ограничивается областью одной только психосемантики, хотя развитие последней в значительной степени способствует развитию общей математической культуры отечественных психологов. Достаточно просмотреть психологические журналы за последние два-три года, чтобы убедиться, что практически не осталось областей общей или прикладной психологии, где бы не проводились исследования с помощью метода факторного анализа.

Если на первых этапах факторно-аналитические процедуры выполнялись в основном «вручную», что требовало от исследователя владения теорией и методами расчета, то в настоящее время подавляющее большинство психологов, использующих факторный анализ для обработки своих данных, имеет очень туманное представление о сложных конструкциях, обосновывающих вычисления, а соответствующие компьютерные программы (как правило, созданные американскими программистами) воспринимает как «черный ящик», в который можно ввести свою матрицу данных, а на выходе получить матрицу факторов или какие-то графики. Конечно же, некоторые знания в области теории факторного анализа позволят исследователю более свободно чувствовать себя не только при обработке данных (выбор методов, статистических критериев, математического обоснования оптимального решения), но и на этапе планирования эксперимента (какие переменные включить, какого математического решения ожидать), а также при интерпретации полученного результата и осознании того, почему получилось именно это решение и можно ли его улучшить, выбрав другие методы факторного анализа. Все это повышает уровень исследований.

Однако все мы знаем, что ездить на автомобиле вполне можно и без знания его внутреннего устройства: выучил правила дорожного движения, познакомился с принципами движения машины, вспомнил школьные уроки физики - ив дорогу. Если что-то сломалось в пути, вовсе не обязательно лезть под капот, а можно обратиться за помощью к специалисту. Наверное, то же самое должно происходить, когда психолог садится за компьютер, включает программу факторного анализа и начинает обрабатывать свои данные. Здесь в качестве помощников выступают «Руководство пользователя» по применению программы факторного анализа и общая математическая культура, полученная в школе, а потом в институте (не случайно же курс математики считается необходимым для студента-психолога). Главная цель предлагаемого пособия - по возможности просто объяснить психологу (или студенту), как использовать мощь факторного анализа в своих целях. Однако, вспоминая аналогию с вождением автомобиля и учитывая то, что автосервис в настоящий момент развит гораздо лучше, чем обслуживание ученых-психологов специалистами по теории факторного анализа (последних просто очень мало), а также вероятность того, что психолог сам захочет (или будет вынужден) разбираться в формулах и теоремах этой теории, мы даем некоторые математические основы факторного анализа, а более продвинутому читателю рекомендуем дополнительную литературу.

Факторный анализ принадлежит к числу таких методов, которые, будучи разработанными в рамках запросов одной науки, впоследствии приобрели более широкое междисциплинарное значение. Заслугой психологии можно считать разработку именно такого метода.

Основные идеи факторного анализа были заложены в трудах известного английского психолога Ф. Гальтона (1822-1911), основателя евгеники, внесшего большой вклад в исследование индивидуальных различий. Дальнейшая разработка и внедрение факторного анализа (ФА) в психологию связаны с именами Ч. Спирмена, Р. Кеттелла, Л. Терстоуна.

Необходимость применения ФА в психологии как одного из методов многомерного количественного описания наблюдаемых переменных в первую очередь следует из многомерности объектов, изучаемых данной наукой. Под многомерным представлением объекта понимается результат его оценивания по нескольким различным и существенным для его описания характеристикам - измерениям, т. е. присвоение ему сразу нескольких числовых значений.

Информативность многомерного описания объекта изучения возрастает с увеличением количества используемых признаков или измерительных шкал. Однако очень трудно выбрать сразу и существенные, и независимые друг от друга характеристики. Как правило, исследователь начинает с заведомо избыточного количества признаков и в процессе работы сталкивается с необходимостью адекватной интерпретации большого объема полученных данных и их компактной визуализации. Анализируя полученные данные, исследователь замечает тот факт, что оценки изучаемого объекта, полученные по некоторым шкалам, сходны между собой. Другими словами, возникает вопрос о том, что многие характеристики, по которым производилось измерение нашего объекта, вероятно, в некоторой степени дублируют друг друга, а вся полученная информация в целом избыточна. За связанными друг с другом пере­менными, по-видимому, стоит влияние некоторой скрытой, латентной переменной, с помощью которой можно объяснить наблюдаемое сходство полученных оценок. Очень часто эту переменную называют фактором.

Таким образом, метод научного познания - обобщение - приводит нас к возможности и необходимости выделения факторов как переменных более общего, более высокого порядка. Обобщение позволяет заметить те связи между исходными характеристиками, которые ранее не были очевидными, а после этого выйти на более высокий уровень понимания сущности измеряемого объекта.

Существует несколько статистических методов, которые позволяют исследовать отношения между переменными, не определяя, какие из них являются зависимыми, а какие - независимыми. Для этих методов все переменные оказываются в равном положении - ни одна из них не является более важной, чем другая. Первый метод, который мы рассмотрим, метод главных компонент, объясняет наибольшую вариативность в терминах наименьшего количества линейных комбинаций переменных. Второй метод, факторный анализ, объясняет отношения между переменными с помощью нескольких факторов, которые не могут быть прямо измерены. Оба метода равного количеству исходных переменных. Однако факторы, определяемые в результате факторизации, как правило, не равноценны по своему значению.

Коэффициенты, определяющие новую переменную, выбираются таким образом, чтобы новые переменные (главные компоненты, факторы) описывали максимальное количество вариативности данных и не коррелировали между собой. Они представляют собой коэффициент корреляции между исходной переменной и новой переменной (фактором). Коэффициенты называются факторными нагрузками. Обычно они представляются в виде таблицы, где факторы располагаются в виде

Факторный анализ широко используется в психологии в раз­ных направлениях, связанных с решением как теоретических, так и практических проблем.

В теоретическом плане использование факторного анализа связано с разработкой так называемого факторно-аналитическо­го подхода к изучению структуры личности, темперамента и способностей. Использование факторного анализа в этих сферах основано на широко принятом допущении, согласно которому наблюдаемые и доступные для прямого измерения показатели являются лишь косвенными и/или частными внешними прояв­лениями более общих характеристик. Эти характеристики, в от­личие от первых, являются скрытыми, так называемыми латен­тными переменными, поскольку они представляют собой поня­тия или конструкты, которые не доступны для прямого измере­ния. Однако они могут быть установлены путем факторизации корреляционных связей между наблюдаемыми чертами и выде­лением факторов, которые (при условии хорошей структуры) можно интерпретировать как статистическое выражение иско­мой латентной переменной.

Хотя факторы имеют чисто математический характер, пред­полагается, что они репрезентируют скрытые переменные (тео­ретически постулируемые конструкты или понятия), поэтому

названия факторов нередко отражают сущность изучаемого гипо­тетического конструкта. Так, факторный анализ, который был разработан в начале XX века Ч. Спирменом для исследования структуры способностей, позволил ввести в психологию понятие общего фактора способностей - фактора g. Впоследствии Л. Тер-стоун выдвинул и экспериментально апробировал модель, кото­рая включала 12 факторов способностей. Факторно-аналитичес­кие исследования темперамента и личности в зарубежной психо­логии охватывают целый ряд теорий прошлого и настоящего, включая теории Г. Олпорта, Р. Кэттелла, Г. Айзенка и других.

В отечественной психологии факторный анализ наиболее ши­роко использовался в дифференциальной психологии и психо­физиологии при изучении свойств нервной системы человека в работах Б.М. Теплова и его школы. Теплов придавал большое значение этому виду статистической обработки данных, подчер­кивая, что факторный анализ - ценное орудие в любой облас­ти, где можно хотя бы в виде предварительной гипотезы пред­положить наличие некоторых основных параметров, функций, свойств, образующих «структуру» данной области явлений.

В настоящее время факторный анализ широко используется в дифференциальной психологии и психодиагностике. С его помо­щью можно разрабатывать тесты, устанавливать структуру связей между отдельными психологическими характеристиками, измеря­емыми набором тестов или заданиями теста (см. Приложение 2).

Еще один аспект использования факторного анализа заключа­ется в так называемой «редукции» данных или «концептуальной чистке» большого количества тестов, разработанных с различных теоретических позиций для измерения личностных особенностей. В результате факторизации матрицы корреляций, полученной на большой выборке испытуемых при использовании различных лич­ностных тестов, можно более точно выявить структуру личност­ных особенностей, определяемых используемыми тестами.

Факторный анализ используется также для стандартизации тестовых методик, которая проводится на репрезентативной вы­борке испытуемых.

Для более подробного ознакомления с различными вариан­тами применения факторного анализа в психологии рекоменду­ем следующую литературу (4, 12, 15, 25, 39).