Рассмотрим СМО с п каналами. На вход системы поступает простейший поток заявок с плотностью l . Время ожидания заявки в очереди Т ож распределено по показательному закону со средним значением . Время обслуживания показательное со средним значением . Параметр n полностью аналогичен параметрам l и m . Его можно интерпретировать, как плотность «потока уходов» заявки, стоящей в очереди.

Пусть максимальное число мест в очереди ограничено и равно т .

В этом случае система имеет т + n + 1 состояние. Размеченный граф состояний выглядит так:

Можно составить уравнения, аналогичные уравнениям Эрланга для предельного стационарного режима при t ® ¥ вероятности состояний, полученные из этих уравнений запишутся так:

, (6.1)

, (6.2)

где .

Параметры a и b выражают соответственно среднее число заявок и среднее число уходов заявки, стоящей в очереди, приходящиеся на среднее время обслуживания одной заявки. Данные формулы достаточно громоздки и требуют большой вычислительной работы. Поэтому их можно записать в другом виде:

(6.3)

(6.4)

Если d не является целым, то вычисление можно провести для двух ближайших к величине d целых числе и произвести между ними линейную интерполяцию.

Средне число занятых каналов определяем по формуле:

(6.5)

Вероятность обслуживания заявки Р обс = .

Если число мест в очереди не ограничено (т ® ¥), то формулы упрощаются с учетом того, то .

Если заявки, попавшие в очередь, не покидают ее, а терпеливо дожидаются обслуживания (n = 0, а значит, и b = 0), то формулы (6.1) и (6.2) превращаются в формулы (5.1), (5.2), которые мы рассматривали в § 5).

Если при этом длина очереди не ограничена (т ® ¥), то получим формулы (4.1), (4.2), мак как система превращается в чистую систему с ожиданием (см. § 4).

Задача 1 . В магазине обслуживают покупателей четыре продавца. Среднее время обслуживания одного покупателя 4 мин. Плотность потока покупателей около двух человек в минуту. В очереди могут ожидать одновременно не более 20 человек. В среднем покупатель, вставший в очередь, ожидает 10 мин., после чего он покидает магазин.



Определить: 1) среднее число занятых продавцов;

2) среднее число покупателей, ожидающих в очереди;

3) вероятность того, что все места в очереди будут заняты;

4) вероятность того, что покупатель будет обслужен;

5) среднее время пребывания в очереди;

6) среднее время, затачиваемое на всю процедуру (ожидание в очереди и обслуживание).

Решение . Работа магазина может быть представлена как работа СМО смешанного типа. Параметры этой системы следующие:

п = 4 – число каналов обслуживания;

т = 20 – максимальное число мест в очереди;

– среднее число покупателей, приходящих в магазин;

– среднее время обслуживания одного покупателя ;

– среднее время ожидания покупателя в очереди. После чего он покидает магазин ;

; ; – целое число.

1) Среднее число занятых продавцов:

то есть практически все продавцы будут заняты.

2) Среднее число покупателей, ожидающих в очереди:

3) Вероятность того, что все места в очереди будут заняты:

то есть все места в очереди будут заняты с вероятностью менее 1 %.

4) Вероятность обслуживания:

6) Среднее время, затачиваемое на всю процедуру:

Задача 2 . С целью увеличения дальности беспосадочного полета производится дозаправка самолетов горючим в воздухе. В районе дозаправки постоянно дежурят четыре самолета-дозаправщика. Если дозаправка началась, то она осуществляется до конца и длится в среднем 10 минут. Если все дозаправщики заняты, то самолет, нуждающийся в дозаправке, может некоторое время «ожидать» (совершать полет по кругу в районе дозаправки); среднее время ожидании 20 минут. Если самолет не дождался дозаправки в воздухе, он садится на запасной аэродром. Интенсивность полетов такова, что в среднем за час в район дозаправки прибывает 24 самолета. Число самолетов, ожидающих дозаправки в воздухе, не ограничено.

Определить: 1) вероятность Р об с того, что самолет будет дозаправлен;

2) среднее число занятых дозаправщиков;

3) вероятность того, что произвольно взятый дозаправщик будет занят;

4) среднее время простоя дозаправщика.

Решение . Рассматриваемая система может быть рассмотрена как СМО смешанного типа с параметрами:

число каналов обслуживания п = 4;

число мест в очереди не ограничено (т ® ¥);

плотность потока заявок ;

плотность потока обслуживаний ;

плотность потока уходов из очереди .

Отсюда – целое число.

По формуле (6.5) находим среднее число дозаправщиков, занятых обслуживанием самолетов:

где R (¥;8) = 1.

Вероятность тог, что самолет будет дозаправлен:

Среднее время простоя дозаправщика:

Задачи .

1. Гарантийная мастерская принимает заказы на ремонт по одному телефону. Среднее число заказов за 1 час – 2п . Среднее время оформления заявки т мин. Считается, что если клиент позвонил, а телефон занят, то он обратится в другую мастерскую (система без очереди). Найти основные характеристики СМО: 1) р 0 , р 1 ; 2) р обс ; 3) ; 4) . Проанализировать, как изменятся соответствующие показатели, если подключить второй телефон. С какой интенсивностью должны работать два работника, чтобы доля потерь заявок была менее 10 %? , менее 5 %?

2. В мастерской по ремонту холодильников имеются 3 мастера. Мастер в среднем может отремонтировать 1 холодильник за 80 минут. Рабочий день составляет 8 часов. В мастерскую в среднем поступает 40 заявок на ремонт за рабочий день. В случае, если все мастера заняты, холодильник в ремонт не принимается (СМО с отказом). Заработная плата мастеров почасовая,

150 рублей в час. Клиент в среднем платит за ремонт 300 рублей (запчасти оплачиваются отдельно). Определить чистую прибыль мастерской за смену. Как изменится прибыль, если пригласить в мастерскую 4-го мастера? Определить количество мастеров, при котором прибыль мастерской максимальна.

3. В платной справочной телефонной службе имеется четыре телефонные линии. В справочную поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью 1 заявка в 2 минуты. Ответ на каждый вопрос длится в среднем 6 минут. За ответ на каждый вопрос клиент платит 10 руб.. Эксплуатация одного канала обслуживания составляет 30 руб./час, создание канала обслуживания требует расхода 8000 руб. Определить чистый доход за один час. Через сколько часов произойдет окупаемость системы?

4. Гарантийная мастерская принимает заказы на ремонт по одному телефону. Среднее число поступающих в течение часа заказов – 20, среднее время оформления заказа – 4 минуты. Определить показатели СМО:

1) вероятности состояний системы р 0 , р 1 ; 2) вероятность обслуживания заявки р обс ; 3) среднее число занятых каналов ; 4) вероятность занятости канала; 5) среднее время простоя канала. Проанализировать, как они изменятся, если подключить второй телефон.

5. Средний интервал между поступающими в прокатный пункт заявками и запросами на наличие определенных предметов составляет 5 мин. Принимают заявки два работника, каждый с интенсивностью 12 заявок в час. С какой интенсивностью должен работать один работник, выполняя работу двух, чтобы доля потерянных требований осталась на прежнем уровне? На сколько требуется повысить интенсивность обслуживания двум работникам, чтобы доля потерянных заявок была менее 10 %?

6. На диспетчерском пункте дежурят 4 приемщика заявок на ремонт телерадиоаппаратуры. Заявки принимаются по телефону. В диспетчерский пункт поступает простейший поток заявок с плотностью l = 3 (заявки в минуту). Вызов, поступивший в момент, когда все приемщики заняты, получает отказ. Средняя длительность оформления заявки 2 минуты. Найти все характеристики СМО: 1) вероятности состояний системы р 0 , р 1 ;

2) вероятность обслуживания заявки р обс ; 3)среднее число занятых каналов ; 4) вероятность занятости канала; 5) среднее время простоя канала.

С какой интенсивностью должны работать 2 работника, выполняя работу четырех, чтобы доля потерянных требований осталась на прежнем уровне?

7. Библиотека принимает заявки на книги по одному телефону. Среднее число поступающих в течение часа заявок – 70, среднее время оформления заявки – 2 минуты. Определить показатели СМО (задача 6). Найти, как изменятся параметры системы, если заявки будут приниматься по двум телефонам и при этом доля потерянных заявок уменьшится в 2 раза по сравнению с прежним уровнем. Как изменится время пребывания заявки в системе?

8. Пусть в СМО с отказом поступает в среднем 15 заявок в час. Среднее время обслуживания заявки составляет 12 мин. За обслуживание заявки клиент платит 80 рублей. Содержание одного канала обслуживания обходится 100 рублей в час. Определить число каналов обслуживания, при которых прибыль максимальна.

Литература

1. Венцель Е.С. Теория вероятностей. М., 1962.

2. Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. М., 1969.

3. Гнеденко Б.В. Лекции по теории массового обслуживания. Изд. КВИРТУ, 1960.

4. Н.Ш.Кремер Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник. 2-е издание. Москва, 2003, 2006 ЮНИТИ.

Расчетное время ожидания в очереди

Имея в своем распоряжении такой важный параметр, как расчетное время ожидания в очереди, можно в значительной мере повысить эффективность обслуживания вызовов за счет:

Объявления клиенту о том, сколько он может прождать в очереди (подробнее об этом мы говорили выше). Гораздо предпочтительнее, чтобы в случае резко возросшего расчетного времени ожидания в момент пиковой нагрузки (например, 3 минуты и более) клиенты вешали трубку и перезванивали позже, а не бесконечно «висели» на линии;

Прямого вмешательства супервизора,

Автоматической перенастройки системы.

Вручную супервизор может предупредить пиковые нагрузки следующим простым способом: увидев, что в одной из операторских групп расчетное время ожидания приближается к опасной черте, а в другой равно нулю или чрезвычайно мало, он может просто перебросить операторов из второй группы в первую и таким образом сократить время ожидания в проблемной группе. В небольшом Сall Center супервизор может также проверить, по какой причине его подчиненные ушли на перерыв, и, если это возможно, попросить их вернуться на рабочее место.

Конечно, приведенная картина весьма схематична, в жизни все гораздо сложнее (например, см. главу 5), но все же подход описан верно.

Гораздо эффективнее, если система сама сможет перенастраиваться, т. е. выбирать оптимальный алгоритм обслуживания в зависимости от расчетного времени ожидания. Например, она может сравнить несколько операторских групп по этому параметру и направить вызов в ту, у которой такое время минимально.

Причем заметьте: и супервизор, и система анализируют не реальное, текущее, а расчетное, предполагаемое время ожидания. Таким образом, возникает очень ценная возможность проактивных, а не реактивных действий. Иными словами, можно не ждать возникновения проблем, а попытаться их предотвратить.

Но именно в том, что приходится оперировать не реальным, а только предполагаемым временем ожидания, и заключается вся сложность. Ведь длительность ожидания в очереди в каждый момент зависит от множества труднопредсказуемых составляющих: поведения вызывающих абонентов, длительности разговоров, даже, наконец, поведения и производительности операторов (хотя как раз в последнем случае прогноз сделать легче).

Существуют три основных подхода к определению расчетного времени ожидания:

На основе анализа хронологических данных;

На основе анализа текущей производительности;

На основе комбинирования оперативных и хронологических данных.

Расчет времени ожидания на основе хронологических данных

Методы, основанные на анализе хронологических данных за какой-то интервал времени, например за последние полчаса, оперируют такими показателями, как средняя скорость ответа, заданный уровень обслуживания и т. п. Давайте рассмотрим подробнее распространенный метод Average Speed of Answer (ASA), основанный на определении средней скорости ответа за какой-либо отрезок времени, чаще всего – за последние полчаса. Схематично это выглядит так.

Предположим, в операторский центр поступил вызов определенного типа. Система определяет, что среднее время ожидания для вызовов данного типа за последние полчаса составило 2 минуты, поэтому она экстраполирует этот показатель и на вновь поступивший вызов и прогнозирует, что он тоже прождет 2 минуты. Через каждые полчаса показатель ASA снова пересчитывается.

Такая схема вполне работоспособна, но лишь в случае постоянной равномерной нагрузки. Однако, как мы уже не раз говорили, для операторского центра такое положение вещей – идеальное и потому недостижимое. А как только происходит скачкообразное нарастание потока вызовов, любой метод, основанный на анализе не текущей, а уже прошедшей ситуации, начинает буксовать. Ведь оперативная ситуация резко изменилась и оказалась достаточно далека от той, что была 10, а тем более 20 минут назад. И чем дальше, тем больше расчетное время ожидания расходится с реальным.

Схематично данный процесс показан на рисунке 3.4.

Рис. 3.4. Графики реального и расчетного времени ожидания, определенные по методу ASA

Из приведенного графика видно, сколь неточно работает данная методика. Например, уже для 30-го звонка предполагаемое время ожидания, рассчитанное по методу ASA, может составить 3 минуты, в то время как в действительности оно будет равно 13 минутам. Разве можно принимать адекватные решения, базируясь на такой недостоверной информации?

Расчет времени ожидания на основе оперативной ситуации

При использовании методов, основанных на анализе производительности в данный момент времени, оперируют такими показателями, как число вызовов в очереди, время, которое провел в очереди самый ранний вызов, и т. п. Метод, построенный на анализе времени ожидания самого раннего вызова (Oldest Call Waiting, OCW), является наиболее популярным. Давайте рассмотрим его подробнее.

Предположим, в операторский центр поступил вызов определенного типа. Система определяет, что к данному моменту самый ранний вызов этого типа уже ожидает в очереди 2 минуты, поэтому она экстраполирует данный показатель и на вновь прибывший вызов, прогнозируя, что он тоже прождет 2 минуты.

На первый взгляд неплохая схема, но тоже лишь в случае равномерной нагрузки. Если она становится пиковой, использование этого метода дает неточные результаты.

Дело в том, что он основан на следующем предположении: вызов, стоящий в очереди самым последним, будет ждать обслуживания столько же, сколько и самый первый. Но за то время, пока этот последний вызов доберется до начала очереди, может произойти множество изменений, например в числе работающих операторов, количестве вызовов в очереди, времени обслуживания вызова и т. д. Поэтому чем длиннее очередь, тем хуже работает метод OCW.

Схематично данный процесс показан на рисунке 3.5.

Рис. 3.5. Графики реального и расчетного времени ожидания, определенные по методу OCW

Из приведенного графика видно, что хотя метод, основанный на анализе оперативной ситуации, работает немного лучше, чем построенный на анализе хронологических данных (например, для 30-го вызова соотношение между предполагаемым и реальным временем ожидания составит 6,5 против 13 минут вместо 3 против 13 минут по методу ASA), все равно его точности не хватает для эффективного управления операторским центром.

Расчет времени ожидания на основе одновременного анализа хронологических и оперативных данных

Как следует из двух предыдущих разделов, анализ оперативных и хронологических данных по отдельности не дает сколько-нибудь пригодного результата для расчета предполагаемого времени ожидания в очереди, а следовательно, и оснований для того, чтобы предпринять адекватные действия по перенастройке операторского центра и его адаптации к изменению нагрузки. Возникает естественный вопрос: а что, если эти два подхода скомбинировать? Сделать это очень непросто, потому что надо принять во внимание как минимум следующие факторы:

Число работающих операторов;

Время обработки вызовов;

Частоту поступления вызовов с учетом их приоритетности;

Параметры потерянных вызовов (их количество и время, после которого абоненты вешают трубку, не дождавшись ответа);

Возможность постановки вызовов в очередь в несколько групп одновременно;

Возможность работы операторов в нескольких группах одновременно и др.

Давайте посмотрим теперь, что получится. Назовем такой комбинированный метод просто Expected Wait Time (EWT). На рисунке 3.6 показаны графики реального и предполагаемого времени ожидания, рассчитанного по методам ASA, OCW и EWT. Эти графики свидетельствуют о том, что метод, основанный на комбинированном анализе хронологических и оперативных данных, работает точнее всего.

Рис. 3.6. Графики реального и расчетного времени ожидания, определенные по методам ASA, OCW, EWT

И это вполне объяснимо. Пользуясь хронологическими методами расчета (типа ASA), вы можете понять, что у вас только что были проблемы. Пользуясь методами расчета на основе оперативных данных (типа OCW), вы можете понять, что у вас сейчас есть проблемы . Пользуясь комбинированным методом, вы можете понять, что у вас могут возникнуть проблемы . Ну а кто предупрежден, тот вооружен!

Целесообразность использования расчетного времени ожидания

К сожалению, несмотря на высокую точность определения расчетного времени ожидания, а также на важность его использования для маршрутизации вызовов и оповещения абонентов, метод EWT имеет некоторые ограничения.

Так, его нецелесообразно использовать при малом числе вызовов (так как при этом время ожидания чаще всего просто равно нулю, ибо нет никакой очереди) и при малом числе операторов. EWT следует применять, когда одновременно работают не меньше 15, а еще лучше – 20 операторов. В противном случае пострадает точность расчета EWT. Во-первых, будет не хватать чисто статистической «пищи». Во-вторых, очень большое значение приобретут различные субъективные характеристики поведения как вызывающих абонентов, так и операторов.

Вообще, как и в любом статистическом методе, чем больше число работающих операторов, тем точнее рассчитывается предполагаемое время ожидания в очереди.

Кроме того, поскольку EWT определяется на основе как оперативной, так и хронологической информации, могут возникнуть трудности при первоначальном вводе системы в эксплуатацию или при добавлении новой операторской группы. Дело в том, что в этих случаях будет некоторое время «хромать» хронологическая составляющая, поскольку ей просто еще неоткуда взяться. Точно так же негативное влияние на точность показателя EWT будут оказывать крупные реорганизации операторских групп. Кстати, на эти обстоятельства следует обратить особое внимание, если для расчета предполагаемого времени ожидания вы пользуетесь хронологическими методами типа рассмотренного выше способа расчета на основе средней скорости ответа ASA.

Расчетное время ожидания на уровне группы и на уровне вызова

Расчетное время ожидания может быть определено:

На уровне каждого отдельного вызова;

На уровне отдельной операторской группы.

Это могут быть два совершенно разных значения, хотя иногда они могут и совпадать. EWT на уровне операторской группы означает время, в течение которого новый вызов будет ожидать в очереди, чтобы получить ответ оператора, входящего в эту конкретную группу. EWT на уровне вызова означает время, в течение которого данный конкретный вызов будет ожидать в очереди.

Поясним нашу мысль. Предположим, есть две операторские группы: № 1 и № 2. Расчетное время ожидания для первой группы (EWT1) составляет 2 минуты, для второй (EWT2) – 1,5 минуты. Это означает, что если бы сейчас в группу № 1 поступил новый вызов, то он прождал бы ответа ее оператора 2 минуты. Соответственно, если бы вызов поступил в группу № 2, то он прождал бы 1,5 минуты.

Теперь предположим, что вызов, о котором мы столько говорили, наконец поступил. Какое у него будет расчетное время ожидания? Здесь возможны три варианта:

Если этот вызов может быть обслужен только операторами из группы № 1, то его расчетное время будет равно расчетному времени ожидания именно для этой группы, т. е. 2 минутам;

Если этот вызов может быть обслужен только операторами из группы № 2, то его расчетное время будет равно расчетному времени ожидания именно для этой группы, т. е. 1,5 минутам;

Если же этот вызов может быть обслужен операторами из обеих групп, то его расчетное время будет равно минимальному EWT для каждой группы. Таким образом, поскольку EWT2 < EWT1, то в качестве EWT вызова будет выбрано значение EWT2, т. е. 1,5 минуты.

Влиять на EWT вызова супервизор, естественно, не может, в то время как на EWT группы – вполне.

Факторы, влияющие на расчетное время ожидания

Начнем, как водится, с хорошего – с уменьшения EWT. На уменьшение расчетного времени ожидания могут влиять следующие факторы (некоторые из них вполне очевидны, а некоторые не очень):

Уменьшение числа вызовов в очереди;

Увеличение числа операторов;

Сокращение времени разговора;

Увеличение числа потерянных вызовов (на первый взгляд выглядит странно, но если немного подумать, то понятно);

Уменьшение доли вызовов с самым высоким уровнем приоритета;

Уменьшение числа вызовов, пропущенных операторами.

Теперь перейдем к факторам, негативно влияющим на EWT, т. е. вызывающим его увеличение. В принципе, тут существует обратная зависимость:

Увеличение числа вызовов в очереди;

Уменьшение числа операторов (по любой причине: кто-то вышел из системы, кто-то ушел на перерыв и т. п.);

Увеличение времени разговора;

Сокращение числа потерянных вызовов;

Увеличение доли вызовов с самым высоким уровнем приоритета;

Увеличение числа вызовов, пропущенных операторами.

Коротко о главном

Основной принцип организации очереди – обрабатывать как можно большее число вызовов как можно меньшим числом операторов без ухудшения качества обслуживания и перегрузки сотрудников ЦОВ.

Очередь – нормальное явление в колл-центре. Однако необходимо эффективно управлять ее длиной за счет правильного планирования ресурсов, соблюдения дисциплины и реализации эффективных алгоритмов обслуживания вызовов.

В случае возникновения перегрузки лучше воспользоваться сигналом «занято», чем речевой почтой.

При оценке эффективности обслуживания не следует полагаться на усредненные показатели типа средней скорости ответа ASA. Важно исследовать уровень обслуживания, максимальные задержки с ответом и профиль вызовов.

Расчетное время ожидания – важнейший параметр, благодаря которому можно в значительной мере повысить эффективность обслуживания вызовов.

Существуют три основных метода определения расчетного времени ожидания: на основе анализа хронологических данных, на основе анализа текущей производительности и на основе комбинирования оперативных и хронологических данных.

Наиболее точно расчетное время ожидания определяется по методу, основанному на анализе одновременно хронологических и оперативных данных.

Система массового обслуживания называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал.

Если время ожидания заявки в очереди ничем не ограничено, то система называется «чистой системой с ожиданием». Если оно ограничено какими-то условиями, то система называется «системой смешанного типа». Это промежуточный случай между чистой системой с отказами и чистой системой с ожиданием.

Для практики наибольший интерес представляют именно системы смешанного типа.

Ограничения, наложенные на ожидание, могут быть различного типа. Часто бывает, что ограничение накладывается на время ожидания заявки в очереди; считается, что оно ограничено сверху каким-то сроком , который может быть как строго определенным, так и случайным. При этом ограничивается только срок ожидания в очереди, а начатое обслуживание доводится до конца, независимо от того, сколько времени продолжалось ожидание (например, клиент в парикмахерской, сев в кресло, обычно уже не уходит до конца обслуживания). В других задачах естественнее наложить ограничение не на время ожидания в очереди, а на общее время пребывания заявки в системе (например, воздушная цель может пробыть в зоне стрельбы лишь ограниченное время и покидает ее независимо от того, кончился обстрел или нет). Наконец, можно рассмотреть и такую смешанную систему (она ближе всего к типу торговых предприятий, торгующих предметами не первой необходимости), когда заявка становится в очередь только в том случае, если длина очереди не слишком велика. Здесь ограничение накладывается на число заявок в очереди.

В системах с ожиданием существенную роль играет так называемая «дисциплина очереди». Ожидающие заявки могут вызываться на обслуживание как в порядке очереди (раньше прибывший раньше и обслуживается), так и в случайном, неорганизованном порядке. Существуют системы массового обслуживания «с преимуществами», где некоторые заявки обслуживаются предпочтительно перед другими («генералы и полковники вне очереди»).

Каждый тип системы с ожиданием имеет свои особенности и свою математическую теорию. Многие из них описаны, например, в книге В. В. Гнеденко «Лекции по теории массового обслуживания».

Здесь мы остановимся только на простейшем случае смешанной системы, являющемся естественным обобщением задачи Эрланга для системы с отказами. Для этого случая мы выведем дифференциальные уравнения, аналогичные уравнениям Эрланга, и формулы для вероятностей состояний в установившемся режиме, аналогичные формулам Эрланга.

Рассмотрим смешанную систему массового обслуживания с каналами при следующих условиях. На вход системы поступает простейший поток заявок с плотностью . Время обслуживания одной заявки - показательное, с параметром . Заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания; время ожидания ограничено некоторым сроком ; если до истечения этого срока заявка не будет принята к обслуживанию, то она покидает очередь и остается необслуженной. Срок ожидания будем считать случайным и распределенным по показательному закону

где параметр - величина, обратная среднему сроку ожидания:

; .

Параметр полностью аналогичен параметрам и потока заявок и «потока освобождений». Его можно интерпретировать, как плотность «потока уходов» заявки, стоящей в очереди. Действительно, представим себе заявку, которая только и делает, что становится в очередь и ждет в ней, пока не кончится срок ожидания , после чего уходит и сразу же снова становится в очередь. Тогда «поток уходов» такой заявки из очереди будет иметь плотность .

Очевидно, при система смешанного типа превращается в чистую систему с отказами; при она превращается в чистую систему с ожиданием.

Заметим, что при показательном законе распределения срока ожидания пропускная способность системы не зависит от того, обслуживаются ли заявки в порядке очереди или в случайном порядке: для каждой заявки закон распределения оставшегося времени ожидания не зависит от того, сколько времени заявка уже стояла в очереди.

Благодаря допущению о пуассоновском характере всех потоков событий, приводящих к изменениям состояний системы, процесс, протекающий в ней, будет марковским. Напишем уравнения для вероятностей состояний системы. Для этого, прежде всего, перечислим эти состояния. Будем их нумеровать не по числу занятых каналов, а по числу связанных с системой заявок. Заявку будем называть «связанной с системой», если она либо находится в состоянии обслуживания, либо ожидает очереди. Возможные состояния системы будут:

Ни один канал не занят (очереди нет),

Занят ровно один канал (очереди нет),

Занято ровно каналов (очереди нет),

Заняты все каналов (очереди нет),

Заняты все каналов, одна заявка стоит в очереди,

Заняты все каналов, заявок стоят в очереди,

Число заявок , стоящих в очереди, в наших условиях может быть сколь угодно большим. Таким образом, система имеет бесконечное (хотя и счетное) множество состояний. Соответственно, число описывающих ее дифференциальных уравнений тоже будет бесконечным.

Очевидно, первые дифференциальных уравнений ничем не будут отличаться от соответствующих уравнений Эрланга:

Отличие новых уравнений от уравнений Эрланга начнется при . Действительно, в состояние система с отказами может перейти только из состояния ; что касается системы с ожиданием, то она может перейти в состояние не только из , но и из (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди).

Составим дифференциальное уравнение для . Зафиксируем момент и найдем - вероятность того, что система в момент будет в состоянии . Это может осуществиться тремя способами:

1) в момент система уже была в состоянии , а за время не вышла из него (не пришла ни одна заявка и ни один из каналов не освободился);

2) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (пришла одна заявка);

3) в момент система была в состоянии (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди), а за время перешла в (либо освободился один канал и стоящая в очереди заявка заняла его, либо стоящая в очереди заявка ушла в связи с окончанием срока).

Вычислим теперь при любом - вероятность того, что в момент все каналов будут заняты и ровно заявок будут стоять в очереди. Это событие снова может осуществиться тремя способами:

1) в момент система уже была в состоянии , а за время это состояние не изменилось (значит, ни одна заявка не пришла, ни один капал не освободился и ни одна из стоящих в очереди заявок не ушла);

2) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (т. е. пришла одна заявка);

3) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (для этого либо один из каналов должен освободиться, и тогда одна из стоящих в очереди заявок займет его, либо одна из стоящих в очереди заявок должна уйти в связи с окончанием срока).

Следовательно:

Таким образом, мы получили для вероятностей состояний систему бесконечного числа дифференциальных уравнений:

(19.10.1)

Уравнения (19.10.1) являются естественным обобщением уравнений Эрланга на случай системы смешанного типа с ограниченным временем ожидания. Параметры в этих уравнениях могут быть как постоянными, так и переменными. При интегрировании системы (19.10.1) нужно учитывать, что хотя теоретически число возможных состояний системы бесконечно, но на практике вероятности при возрастании становятся пренебрежимо малыми, и соответствующие уравнения могут быть отброшены.

Выведем формулы, аналогичные формулам Эрланга, для вероятностей состояний системы при установившемся режиме обслуживания (при ). Из уравнений (19.10.1), полагая все постоянными, а все производные - равными нулю, получим систему алгебраических уравнений:

(19.10.2)

К ним нужно присоединить условие:

Найдем решение системы (19.10.2).

Для этого применим тот же прием, которым мы пользовались в случае системы с отказами: разрешим первое уравнение относительно подставим во второе, и т. д. Для любого , как и в случае системы с отказами, получим:

Перейдем к уравнениям для . Тем же способом получим:

,

,

и вообще при любом

. (19.10.5)

В обе формулы (19.10.4) и (19.10.5) в качестве сомножителя входит вероятность . Определим ее из условия (19.10.3). Подставляя в него выражения (19.10.4) и (19.10.5) для и , получим:

,

. (19.10.6)

Преобразуем выражения (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6), вводя в них вместо плотностей и «приведенные» плотности:

(19.10.7)

Параметры и выражают соответственно среднее число заявок и среднее число уходов заявки, стоящей в очереди, приходящиеся на среднее время обслуживания одной заявки.

В новых обозначениях формулы (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6) примут вид:

; (19.10.9)

. (19.10.10)

Подставляя (19.10.10) в (19.10.8) и (19.10.9), получим окончательные выражения для вероятностей состояний системы:

; (19.10.11)

. (19.10.12)

Зная вероятности всех состояний системы, можно легко определить другие интересующие нас характеристики, в частности, вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной. Определим ее из следующих соображений: при установившемся режиме вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной, есть не что иное, как отношение среднего числа заявок, уходящих из очереди в единицу времени, к среднему числу заявок, поступающих в единицу времени. Найдем среднее число заявок уходящих из очереди в единицу времени. Для этого сначала вычислим математическое ожидание числа заявок, находящихся в очереди:

. (19.10.13)

Чтобы получить , нужно умножить на среднюю «плотность уходов» одной заявки и разделить на среднюю плотность заявок , т. е. умножить на коэффициент

Будем использовать далее следующие обозначения для среднего значения времени ожидания в очереди требований из приоритетного класса p - W p , и среднего времени пребывания в системе для требований этого класса - T p :

Основное внимание будем уделять системам с относительным приоритетом. Рассмотрим процесс с момента поступления некоторого требования из приоритетного класса p . Будем далее называть это требование меченым. Первая составляющая времени ожидания для меченого требования связана с требованием, которое оно застает в сервере. Эта составляющая равна остаточному времени обслуживания другого требования. Обозначим теперь и будем использовать это обозначение и далее, среднюю задержку меченого требования, связанную с наличием другого требования на обслуживании W 0 . Зная распределение времени между соседними поступлениями входных требований для каждого приоритетного класса, можно всегда вычислить эту величину. В нашем предположении пуассоновского закона для потока заявок каждого класса можно записать

.

Вторая составляющая времени ожидания для меченого требования определяется тем, что перед меченым требованием обслуживаются другие требования, которые меченое требование застало в очереди. Обозначим далее число требований из класса i , которое застало в очереди меченое требование (из класса p ) и которые обслуживаются перед ним N ip . Среднее значение этого числа будет определять величину среднего значения этой составляющей задержки

Третья составляющая задержки связана с требованиями, поступившими после того как пришло меченое требование, однако получившими обслуживание раньше его. Число таких требований обозначим M ip . Среднее значение этой составляющей задержки находится аналогично и составляет

Складывая все три составляющие, получаем, что среднее время ожидания в очереди для меченого требования определяется формулой

Очевидно, что независимо от дисциплины обслуживания число требований, N ip и M ip в системе не может быть произвольным, поэтому существует некоторый набор соотношений, связывающий между собой задержки для каждого из приоритетного класса. Важность этих соотношений для СМО позволяет называть их ЗАКОНАМИ СОХРАНЕНИЯ. Основой законов сохранения для задержек является тот факт, что незаконченная работа в любой СМО в течение любого интервала времени занятости не зависит от порядка обслуживания, если система является консервативной (требования не исчезают внутри системы и сервер не простаивает при непустой очереди).

Распределение времени ожидания существенно зависит от порядка обслуживания, но если дисциплина обслуживания выбирает требования независимо от времени их обслуживания (или любой меры, зависящей от времени обслуживания), то распределение числа требований и времени ожидания в системе инвариантно относительно порядка обслуживания.


Для СМО типа M/G/1 можно показать, что для любой дисциплины обслуживания должно выполняться следующее важное равенство

Это равенство означает, что взвешенная сумма времен ожидания никогда не изменяется, независимо от того, насколько сложна или искусно подобрана дисциплина обслуживания. Если удается сократить задержку для одних требований, то она немедленно возрастет для других.

Для более общей системы с произвольным распределением времени поступления требований G/G/1 закон сохранения может быть записан в виде

.

Общий смысл этого соотношения таков: взвешенная сумма времен задержки остается постоянной. Просто в правой части стоит разность средней незавершенной работы и остаточного времени обслуживания. Если предположить пуассоновский характер входного потока, то выражение для незавершенной работы можно записать в виде

Подставляя его в предыдущее выражение, сразу получается приведенный ранее закон сохранения для СМО типа M/G/1.

Рассмотрим теперь расчет среднего времени ожидания для СМО с обслуживанием в порядке приоритета, задаваемого приоритетной функцией

На рис.1 приведена схема функционирования СМО с такой дисциплиной обслуживания: поступающее требование ставится в очередь слева от требования с равным или большим приоритетом.

Рис. 1 СМО с обслуживанием в порядке приоритета.

Воспользуемся формулой для W p . Исходя из механизма функционирования, можно сразу выписать

Все требования более высокого, чем у меченого приоритета будут обслужены раньше. Из формулы Литтла число требований класса i находящихся в очереди, будет равно:

Требования более высокоприоритетных классов, поступившие в систему после меченого требования, пока оно находится в очереди, также будут обслужены перед ним. Так как меченое требование будет находиться в очереди в среднем W p секунд, то число таких требований будет равно

Непосредственно из формулы (*) получаем:

Эта система уравнений может быть решена рекуррентно, начиная с W 1 ,W 2 и т.д.

Полученная формула позволяет рассчитывать характеристики качества обслуживания для всех приоритетных классов. На рисунке 7.2. показано, как изменяется нормированная величина времени ожидания в очереди для СМО с пятью приоритетными классами с равной интенсивностью потока требований каждого приоритетного класса и равным средним временем обслуживания требований каждого класса (нижний рисунок детализирует кривые при значениях малой нагрузки).

Рисунок 2.Обслуживание в порядке приоритетов в случае относительных приоритетов (Р=5, l Р = l/5, ).

Особую задачу представляет определение законов распределения времени ожидания.

Рассмотрим теперь систему с абсолютными приоритетами и обслуживанием в порядке приоритета с дообслуживанием. Применим подход полностью аналогичный рассмотренному ранее. Средняя задержка в системе меченого требования также состоит из трех составляющих: первая составляющая- это среднее время обслуживания, вторая – это задержка из-за обслуживания тех требований равного или более высокого приоритета, которые меченое требование застало в системе. Третья составляющая средней задержки меченого требования представляет собой задержку за счет любых требований, поступающих в систему до ухода меченого требования и имеющих строго больший приоритет. Расписывая все эти три составляющие общего времени нахождения в системе, получим

.

Весьма интересной задачей является выбор приоритетов для заявок различных классов. Поскольку имеет место закон сохранения, оптимизация имеет смысл только при рассмотрении некоторых дополнительных атрибутов каждого класса требований. Предположим, что можно оценить каждую секунду задержки заявки приоритетного класса p некоторой стоимостью C p . Тогда средняя стоимость секунды задержки для системы может быть выражена через среднее число требований каждого класса, находящихся в системе

Решим задачу нахождения дисциплины обслуживания с относительными приоритетами для системы M/G/1, которая минимизирует среднюю стоимость задержки C . Пусть имеется P приоритетных классов заявок с заданной интенсивностью поступления и средним временем обслуживания. Перенесем в левую часть постоянную сумму и выразим правую часть через известные параметры

Задача состоит в минимизации суммы в правой части этого равенства путем выбора соответствующей дисциплины обслуживания, т.е. выбора последовательности индексов p .

Обозначим

В этих обозначениях задача выглядит так: нужно минимизировать сумму произведений при условии

Условие независимости суммы функций g p от выбора дисциплины обслуживания определяется законом сохранения. Иначе говоря задача состоит в минимизации площади под кривой произведения двух функций, при условии, что площадь под кривой одной из них постоянна.

Решение состоит в том, что сначала упорядочим последовательность значений f p : .

А затем выберем для каждого f p свое значение g p , так, чтобы минимизировать сумму их произведений. Интуитивно ясно, что оптимальная стратегия выбора состоит в подборе наименьшего значения g p для наибольшего f p , далее для оставшихся значений следует поступать тем же образом. Поскольку g p =W p r p , то минимизация сводится к минимизации значений средней задержки. Таким образом, решение рассматриваемой задачи оптимизации состоит в том, что из всех возможных дисциплин обслуживания с относительным приоритетом минимум средней стоимости обеспечивает дисциплина с упорядоченными приоритетами в соответствие с неравенствами

.

Пери Куклин (Perry Kuklin)

Каждый владелец бизнеса со всеми своими менеджерами хотел бы ежедневно и еженощно видеть не только растущие прибыли, но и счастливых, полностью удовлетворённых покупателей. Один из путей достижения этой цели - создание в грядущем 2014 году лучших условий для ожидающих в очереди клиентов. Вот пять простых способов:

1. Развлеките посетителей

Скопившихся в очереди покупателей надо чем-то отвлечь. А поскольку сегодняшняя культура настроена на все виды экранного действа, занятие ваших очередей созерцанием дисплеев займёт всё внимание посетителей и в их памяти не отложатся связанные с ожиданием отрицательные эмоции.

2. Вперёд, в виртуальность

Электронная очередь – вот на чём всё ещё спотыкаются многие компании. Как такая «куча мала» может сработать в вашу пользу, если вы всё время были зависимы от классической очереди типа «кто последний, я за вами»?

Никогда не забывайте, что большинство людей высоко ценят своё время и свободу действий. Создание электронной очереди глушит в посетителях чувство потери времени и дискомфорт от вынужденного выстраивания в ряд. При наличии электронной очереди клиенты могут присесть, заняться чем-то, кроме утомительного ожидания, да просто насладиться возможностью делать что угодно, без необходимости топтаться в очереди.

3. Следите за очередями

Разрешение проблемы очередей не только в создании более комфортных условий для покупателей; рассмотрите вопрос с точки зрения менеджмента – в конечном итоге это принесёт выгоду вам и удовлетворение покупателям.

Отслеживание движения очереди в реальном времени позволяет ответственным за это менеджерам в любое мгновение держать руку на пульсе каждой из очередей. Для информирования менеджера торгового зала о том, что где-то произошёл сбой, можно настроить любую форму извещения (текстовое сообщение, электронное письмо и пр.). Так он сразу узнает, что персонал компании тормозит, очереди движутся слишком медленно и т.д.

Отслеживание очередей позволяет также фиксировать рекордные показатели скорости их движения, что является бесценной информацией для менеджеров. На её основе они могут прогнозировать периоды пиков и спадов нагрузки, соответственно маневрируя персоналом и количеством работающих кассовых терминалов.

4. Добавьте немного мобильности

Общайтесь с покупателями в очереди самым доступным сегодня способом – через смартфоны. В электронную очередь можно привнести элемент мобильности, позволяющий клиентам через телефон регистрировать своё место в очереди и общаться с персоналом в текстовом режиме, когда их очередь уже подходит.

Развлекательному элементу, описанному выше, тоже не лишне придать мобильности. На экраны смартфонов можно выводить информацию о том, как клиентам улучшить свой покупательский опыт (подписка на купоны, дисконтные карты, грядущие промо-акции и, разумеется, оставшееся время ожидания в очереди).

5. Совместите трансляцию на смартфоны с мерчендайзингом

В розничной торговле решение проблемы очередей воистину элементарно. Клиенты могут увидеть товар и отметить его преимущества самостоятельно, но если представить им изделие в действии, то можно укрепить их стремление к покупке, которое до этого момента могло быть не слишком уверенным. Подумайте вот о чём: в интернет-торговле для увеличения конверсии и уровней продаж широко используются видеоматериалы. Что мешает применять эту технику в оффлайн торговле?

Воспользуйтесь тем, что у покупателя в руках дивайс, который может служить вашей витриной. Предложите клиенту посмотреть видеоролик с хорошо распродающимся товаром, рассказывающий о его особенностях; или даже видеозапись одобрительных высказываний о нём довольных покупателей. Доводя до томящихся в очереди людей такого рода информацию, да ещё с одновременной её прокруткой на больших дисплеях в зоне видимости, вы заботитесь об удовлетворении двух крайне важных потребностей: развлечение клиентов и увеличение продаж компании.

Ожидание в очереди становится последним впечатлением покупателя о вашем бизнесе (представьте себе розничный магазин), а последние слова разговора запоминаются лучше всего – это аксиома. В ряде случаев это вообще основа клиентского опыта (представьте себе аэропорт). Всегда найдутся пути улучшить взаимодействие с людьми, которые пользуются услугами вашего бизнеса, при этом одна из лучших точек для старта – изменение организации очередей.

Перевод Леонида Пеленицына