​ Критерий корреляции Пирсона – это метод параметрической статистики, позволяющий определить наличие или отсутствие линейной связи между двумя количественными показателями, а также оценить ее тесноту и статистическую значимость. Другими словами, критерий корреляции Пирсона позволяет определить, есть ли линейная связь между изменениями значений двух переменных. В статистических расчетах и выводах коэффициент корреляции обычно обозначается как r xy или R xy .

1. История разработки критерия корреляции

Критерий корреляции Пирсона был разработан командой британских ученых во главе с Карлом Пирсоном (1857-1936) в 90-х годах 19-го века, для упрощения анализа ковариации двух случайных величин. Помимо Карла Пирсона над критерием корреляции Пирсона работали также Фрэнсис Эджуорт и Рафаэль Уэлдон .

2. Для чего используется критерий корреляции Пирсона?

Критерий корреляции Пирсона позволяет определить, какова теснота (или сила) корреляционной связи между двумя показателями, измеренными в количественной шкале. При помощи дополнительных расчетов можно также определить, насколько статистически значима выявленная связь.

Например, при помощи критерия корреляции Пирсона можно ответить на вопрос о наличии связи между температурой тела и содержанием лейкоцитов в крови при острых респираторных инфекциях, между ростом и весом пациента, между содержанием в питьевой воде фтора и заболеваемостью населения кариесом.

3. Условия и ограничения применения критерия хи-квадрат Пирсона

1. Сопоставляемые показатели должны быть измерены в количественной шкале (например, частота сердечных сокращений, температура тела, содержание лейкоцитов в 1 мл крови, систолическое артериальное давление).
2. Посредством критерия корреляции Пирсона можно определить лишь наличие и силу линейной взаимосвязи между величинами. Прочие характеристики связи, в том числе направление (прямая или обратная), характер изменений (прямолинейный или криволинейный), а также наличие зависимости одной переменной от другой - определяются при помощи регрессионного анализа .
3. Количество сопоставляемых величин должно быть равно двум. В случае анализ взаимосвязи трех и более параметров следует воспользоваться методом факторного анализа .
4. Критерий корреляции Пирсона является параметрическим , в связи с чем условием его применения служит нормальное распределение сопоставляемых переменных. В случае необходимости корреляционного анализа показателей, распределение которых отличается от нормального, в том числе измеренных в порядковой шкале, следует использовать коэффициент ранговой корреляции Спирмена .
5. Следует четко различать понятия зависимости и корреляции. Зависимость величин обуславливает наличие корреляционной связи между ними, но не наоборот.

Например, рост ребенка зависит от его возраста, то есть чем старше ребенок, тем он выше. Если мы возьмем двух детей разного возраста, то с высокой долей вероятности рост старшего ребенка будет больше, чем у младшего. Данное явление и называется зависимостью , подразумевающей причинно-следственную связь между показателями. Разумеется, между ними имеется и корреляционная связь , означающая, что изменения одного показателя сопровождаются изменениями другого показателя.

В другой ситуации рассмотрим связь роста ребенка и частоты сердечных сокращений (ЧСС). Как известно, обе эти величины напрямую зависят от возраста, поэтому в большинстве случаев дети большего роста (а значит и более старшего возраста) будут иметь меньшие значения ЧСС. То есть, корреляционная связь будет наблюдаться и может иметь достаточно высокую тесноту. Однако, если мы возьмем детей одного возраста , но разного роста , то, скорее всего, ЧСС у них будет различаться несущественно, в связи с чем можно сделать вывод о независимости ЧСС от роста.

Приведенный пример показывает, как важно различать фундаментальные в статистике понятия связи и зависимости показателей для построения верных выводов.

4. Как рассчитать коэффициента корреляции Пирсона?

Расчет коэффициента корреляции Пирсона производится по следующей формуле:

5. Как интерпретировать значение коэффициента корреляции Пирсона?

Значения коэффициента корреляции Пирсона интерпретируются исходя из его абсолютных значений. Возможные значения коэффициента корреляции варьируют от 0 до ±1. Чем больше абсолютное значение r xy – тем выше теснота связи между двумя величинами. r xy = 0 говорит о полном отсутствии связи. r xy = 1 – свидетельствует о наличии абсолютной (функциональной) связи. Если значение критерия корреляции Пирсона оказалось больше 1 или меньше -1 – в расчетах допущена ошибка.

Для оценки тесноты, или силы, корреляционной связи обычно используют общепринятые критерии, согласно которым абсолютные значения r xy < 0.3 свидетельствуют о слабой связи, значения r xy от 0.3 до 0.7 - о связи средней тесноты, значения r xy > 0.7 - о сильной связи.

Более точную оценку силы корреляционной связи можно получить, если воспользоваться таблицей Чеддока :

Оценка статистической значимости коэффициента корреляции r xy осуществляется при помощи t-критерия, рассчитываемого по следующей формуле:

Полученное значение t r сравнивается с критическим значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы n-2. Если t r превышает t крит, то делается вывод о статистической значимости выявленной корреляционной связи.

6. Пример расчета коэффициента корреляции Пирсона

Целью исследования явилось выявление, определение тесноты и статистической значимости корреляционной связи между двумя количественными показателями: уровнем тестостерона в крови (X) и процентом мышечной массы в теле (Y). Исходные данные для выборки, состоящей из 5 исследуемых (n = 5), сведены в таблице.

Введение. 2

1. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью f-критерия Стьюдента. 3

2. Расчет значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью f-критерия Стьюдента. 6

Заключение. 15

После построения уравнения регрессии необходимо сделать проверку его значимости: с помощью специальных критериев установить, не является ли полученная зависимость, выраженная уравнением регрессии, случайной, т.е. можно ли ее использовать в прогнозных целях и для факторного анализа. В статистике разработаны методики строгой проверки значимости коэффициентов регрессии с помощью дисперсионного анализа и расчета специальных критериев (например, F-критерия). Нестрогая проверка может быть выполнена путем расчета среднего относительного линейного отклонения (ё), называемого средней ошибкой аппроксимации:

Перейдем теперь к оценке значимости коэффициентов регрессии bj и построению доверительного интервала для параметров регрессионной модели Ру (J=l,2,..., р).

Блок 5 - оценка значимости коэффициентов регрессий по величине ^-критерия Стьюдента. Расчетные значения ta сравниваются с допустимым значением

Блок 5 - оценка значимости коэффициентов регрессий по величине ^-критерия. Расчетные значения t0n сравниваются с допустимым значением 4,/, которое определяется по таблицам t - распределения для заданной вероятности ошибок (а) и числа степеней свободы (/).

Кроме проверки значимости всей модели, необходимо провести проверки значимости коэффициентов регрессии по /-критерию Стюдента. Минимальное значение коэффициента регрессии Ьг должно соответствовать условию bifob- ^t, где bi - значение коэффициента уравнения регрессии в натуральном масштабе при i-ц факторном признаке; аь. - средняя квадратическая ошибка каждого коэффициента. несопоставимость между собой по своей значимости коэффициентов D;

Дальнейший статистический анализ касается проверки значимости коэффициентов регрессии. Для этого находим значение ^-критерия для коэффициентов регрессии. В результате их сравнения определяется наименьший по величине ^-критерий. Фактор, коэффициенту которого соответствует наименьший ^-критерий, исключается из дальнейшего анализа.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стъюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Но о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью f-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии с помощью /-критерия Стьюдента сводится к вычислению значения

Качество труда - характеристика конкретного труда, отражающая степень его сложности, напряженности (интенсивности), условия и значимость для развития экономики. К.т. измеряется посредством тарифной системы, позволяющей дифференцировать заработную плату в зависимости от уровня квалификации (сложности труда), условий, тяжести труда и его интенсивности, а также значимости отдельных отраслей и производств, районов, территорий для развития экономики страны. К.т. находит выражение в заработной плате работников, складывающейся на рынке труда под воздействием спроса и предложения рабочей силы (конкретные виды труда). К.т. - сложная по структуре

Полученные баллы относительной значимости отдельных экономических, социальных и экологических последствий осуществления проекта дают далее основу для сравнения альтернативных проектов и их вариантов с помощью "комплексного балльного безразмерного критерия социальной и эколого-экономической эффективности" проекта Эк, рассчитываемого (в усредненных баллах значимости) по формуле

Внутриотраслевое регулирование обеспечивает различия в оплате труда работников данной отрасли промышленности в зависимости от значимости отдельных.видов производства данной отрасли, от сложности и условий труда, а также от применяемых форм оплаты труда.

Полученная рейтинговая оценка анализируемого предприятия по отношению к предприятию-эталону без учета значимости отдельных показателей является сравнительной. При сравнении рейтинговых оценок нескольких предприятий наивысший рейтинг имеет предприятие с минимальным значением полученной сравнительной оценки.

Понимание качества товара как меры его полезности ставит практически важный вопрос об её измерении. Его решение достигается изучением значимости отдельных свойств в удовлетворении определенной потребности. Значимость даже одного и того же свойства может быть неодинаковой в зависимости от условий потребления продукта. Следовательно, и полезность товара в разных обстоятельствах её использования различна.

Второй этап работы - изучение статистических данных и выявление взаимосвязи и взаимодействия показателей, определение значимости отдельных факторов и причин изменения общих показателей.

Все рассматриваемые показатели сводятся в один таким образом, что в результате получается комплексная оценка всех анализируемых сторон деятельности предприятия с учетом условий его деятельности, с учетом степени значимости отдельных показателей для различных типов инвесторов:

Коэффициенты регрессии показывают интенсивность влияния факторов на результативный показатель. Если проведена предварительная стандартизация факторных показателей, то Ь0 равняется среднему значению результативного показателя в совокупности. Коэффициенты Ь, Ь2 ..... Ьл показывают, на сколько единиц уровень результативного показателя отклоняется от своего среднего значения, если значения факторного показателя отклоняются от среднего, равного нулю, на одно стандартное отклонение. Таким образом, коэффициенты регрессии характеризуют степень значимости отдельных факторов для повышения уровня результативного показателя. Конкретные значения коэффициентов регрессии определяют по эмпирическим данным согласно методу наименьших квадратов (в результате решения систем нормальных уравнений).

2. Расчет значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью f-критерия Стьюдента

Рассмотрим линейную форму многофакторных связей не только как наиболее простую, но и как форму, предусмотренную пакетами прикладных программ для ПЭВМ. Если же связь отдельного фактора с результативным признаком не является линейной, то производят линеаризацию уравнения путем замены или преобразования величины факторного признака.

Общий вид многофакторного уравнения регрессии имеет вид:

где k - число факторных признаков.

Чтобы упростить систему уравнений МНК, необходимую для вычисления параметров уравнения (8.32), обычно вводят величины отклонений индивидуальных значений всех признаков от средних величин этих признаков.

Получаем систему k уравнений МНК:

Решая эту систему, получаем значения коэффициентов условно-чистой регрессии b. Свободный член уравнения вычисляется по формуле

Термин «коэффициент условно-чистой регресии» означает, что каждая из величин bj измеряет среднее по совокупности отклонение результативного признака от его средней величины при отклонении данного фактора хj от своей средней величины на единицу его измерения и при условии, что все прочие факторы, входящие в уравнение регрессии, закреплены на средних значениях, не изменяются, не варьируют.

Таким образом, в отличие от коэффициента парной регрессии коэффициент условно-чистой регрессии измеряет влияние фактора, абстрагируясь от связи вариации этого фактора с вариацией остальных факторов. Если было бы возможным включить в уравнение регрессии все факторы, влияющие на вариацию результативного признака, то величины bj. можно было бы считать мерами чистого влияния факторов. Но так как реально невозможно включить все факторы в уравнение, то коэффициенты bj. не свободны от примеси влияния факторов, не входящих в уравнение.

Включить все факторы в уравнение регрессии невозможно по одной из трех причин или сразу по ним всем, так как:

1) часть факторов может быть неизвестна современной науке, познание любого процесса всегда неполное;

2) по части известных теоретических факторов нет информации либо таковая ненадежна;

3) численность изучаемой совокупности (выборки) ограничена, что позволяет включить в уравнение регрессии ограниченное число факторов.

Коэффициенты условно-чистой регрессии bj. являются именованными числами, выраженными в разных единицах измерения, и поэтому несравнимы друг с другом. Для преобразования их в сравнимые относительные показатели применяется то же преобразование, что и для получения коэффициента парной корреляции. Полученную величину называют стандартизованным коэффициентом регрессии или?-коэффициентом.

Коэффициент при факторе хj, определяет меру влияния вариации фактора хj на вариацию результативного признака у при отвлечении от сопутствующей вариации других факторов, входящих в уравнение регрессии.

Коэффициенты условно-чистой регрессии полезно выразить в виде относительных сравнимых показателей связи, коэффициентов эластичности:

Коэффициент эластичности фактора хj говорит о том, что при отклонении величины данного фактора от его средней величины на 1% и при отвлечении от сопутствующего отклонения других факторов, входящих в уравнение, результативный признак отклонится от своего среднего значения на ej процентов от у. Чаще интерпретируют и применяют коэффициенты эластичности в терминах динамики: при увеличении фактора х.на 1% его средней величины результативный признак увеличится на е. процентов его средней величины.

Рассмотрим расчет и интерпретацию уравнения многофакторной регрессии на примере тех же 16 хозяйств (табл. 8.1). Результативный признак - уровень валового дохода и три фактора, влияющих на него, представлены в табл. 8.7.

Напомним еще раз, что для получения надежных и достаточно точных показателей корреляционной связи необходима более многочисленная совокупность.

Таблица 8.7

Уровень валового дохода и его факторы

Номера хозяйств	Валовой доход, руб./ra у	Затраты труда, чел.-дни/га х1	Доля пашни,	Надой молока на 1 корову,

Таблица 8.8 Показатели уравнения регрессии

Dependent variable: у
	Regression coefficient
Constant-240,112905
Std. error оf est. = 79,243276

Решение проведено по программе «Microstat» для ПЭВМ. Приведем таблицы из распечатки: табл. 8.7 дает средние величины и средние квадратические отклонения всех признаков. Табл. 8.8 содержит коэффициенты регрессии и их вероятностную оценку:

первая графа «var» - переменные, т. е. факторы; вторая графа «regression coefficient» - коэффициенты условно-чистой регрессии bj; третья графа «std. errror» - средние ошибки оценок коэффициентов регрессии; четвертая графа - значения t-критерия Стьюдента при 12 степенях свободы вариации; пятая графа «prob» - вероятности нулевой гипотезы относительно коэффициентов регрессии;

шестая графа «partial r2» - частные коэффициенты детерминации. Содержание и методика расчета показателей в графах 3-6 рассматриваются далее в главе 8. «Constant» - свободный член уравнения регрессии a; «Std. error of est.» - средняя квадратическая ошибка оценки результативного признака по уравнению регрессии. Было получено уравнение множественной регрессии:

у= 2,26x1 - 4,31х2 + 0,166х3 - 240.

Это означает, что величина валового дохода на 1 га сельхозугодий в среднем по совокупности возрастала на 2,26 руб. при увеличении затрат труда на 1 ч/га; уменьшалась в среднем на 4,31 руб. при возрастании доли пашни в сельхозугодиях на 1% и увеличивалась на 0,166 руб. при росте надоя молока на корову на 1 кг. Отрицательная величина свободного члена вполне закономерна, и, как уже отмечено в п. 8.2, результативный признак - валовой доход становится нулевым задолго до достижения нулевых значений факторов, которое в производстве невозможно.

Отрицательное значение коэффициента при х^ - сигнал о существенном неблагополучии в экономике изучаемых хозяйств, где растениеводство убыточно, а прибыльно только животноводство. При рациональных методах ведения сельского хозяйства и нормальных ценах (равновесных или близких к ним) на продукцию всех отраслей, доход должен не уменьшаться, а возрастать с увеличением наиболее плодородной доли в сельхозугодиях - пашни.

На основе данных предпоследних двух строк табл. 8.7 и табл. 8.8 рассчитаем р-коэффициенты и коэффициенты эластичности согласно формулам (8.34) и (8.35).

Как на вариацию уровня дохода, так и на его возможное изменение в динамике самое сильное влияние оказывает фактор х3 - продуктивность коров, а самое слабое - х2 - доля пашни. Значения Р2/ будут использоваться в дальнейшем (табл. 8.9);

Таблица 8.9 Сравнительное влияние факторов на уровень дохода

Факторы хj

Итак, мы получили, что?-коэффициент фактора хj относится к коэффициенту эластичности этого фактора, как коэффициент вариации фактора к коэффициенту вариации результативного признака. Поскольку, как видно по последней строке табл. 8.7, коэффициенты вариации всех факторов меньше коэффициента вариации результативного признака; все?-коэффициенты меньше коэффициентов эластичности.

Рассмотрим соотношение между парным и условно-чистым коэффициентом регрессии на примере фактора -с,. Парное линейное уравнение связи у с х, имеет вид:

y = 3,886x1 – 243,2

Условно-чистый коэффициент регрессии при x1, составляет только 58% парного. Остальные 42% связаны с тем, что вариации x1 сопутствует вариация факторов x2 x3, которая, в свою очередь, влияет на результативный признака. Связи всех признаков и их коэффициенты парных регрессий представлены на графе связей (рис. 8.2).

Если сложить оценки прямого и опосредованного влияния вариации х1 на у, т. е. произведения коэффициентов парных регрессий по всем «путям» (рис. 8.2), получим: 2,26 + 12,55·0,166 + (-0,00128)·(-4,31) + (-0,00128)·17,00·0,166 = 4,344.

Эта величина даже больше парного коэффициента связи x1 с у. Следовательно, косвенное влияние вариации x1 через не входящие в уравнение признаки-факторы - обратное, дающее в сумме:

1 Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 2008,– 311с.

2 Джонстон Дж. Эконометрические методы. - М.: Статистика, 1980,. – 282с.

3 Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: ИНФРА-М, 2004, – 354с.

4 Дрейер Н., Смит Г., Прикладной регрессионный анализ. - М.: Финансы и статистика, 2006,– 191с.

5 Магнус Я.Р., Картышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс.-М.: Дело, 2006, – 259с.

6 Практикум по эконометрике/Под ред. И.И.Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2004, – 248с.

7 Эконометрика/Под ред. И.И.Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2004, – 541с.

8 Кремер Н., Путко Б. Эконометрика.- М.:ЮНИТИ-ДАНА,200, – 281с.

Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 2008,–с. 23.

Кремер Н., Путко Б. Эконометрика.- М.:ЮНИТИ-ДАНА,200, –с.64

Дрейер Н., Смит Г., Прикладной регрессионный анализ. - М.: Финансы и статистика, 2006,– с57.

Практикум по эконометрике/Под ред. И.И.Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2004, –с 172.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

ОЦЕНКА ДОСТОВЕРНОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ

Коэффициент линейной корреляции, исчисленный по выборочным данным является случайной величиной. Полученный из выборки коэффициент корреляции r является оценкой коэффициента корреляцииr в генеральной совокупности. С уменьшением числа наблюдений надежность коэффициента корреляции падает. Оценка существенности (значимости) линейного коэффициента корреляции основана на сопоставлении значения r с его средней квадратической ошибкой :

При оценке значимости коэффициента корреляции обычно рассматриваются следующие ситуации.

1. Если число наблюдений достаточно велико (обычно свыше 30), а значение коэффициента корреляции не превышает 0.9, распределение коэффициента корреляции r можно считать приближенно нормальным со средней квадратической ошибкой

При достаточно большом числе наблюдений r должен превышать свою среднюю ошибку не менее, чем в три раза: . Если это неравенство не выполняется, то существование связи между признаками нельзя считать доказанным.

Задавшись определенной вероятностью, можно построить доверительные границы r:

Так, например, при вероятности 0,95, для которой t = 1,96, доверительные границы составят

,

При вероятности 0,997, для которой коэффициент доверия t = 3, доверительные границы составят

Поскольку значение r не может превышать единицу, то в случае, если > 1, следует указать только нижний предел, то есть утверждать, что реальный r не меньше, чем .

2. Для малого объема выборки, с распределением r далеким от нормального, применяются другие методы оценки значимости коэффициента корреляции. При небольшом числе наблюдений (n< 30), средняя ошибка линейного коэффициента корреляции находится по формуле:

а значимость проверяется на основе t критерия Стьюдента. При этом выдвигается гипотеза о равенстве коэффициента корреляции нулю, то есть об отсутствии связи между y и x в генеральной совокупности. Для этого используется статистика:

,

расчетное значение которой сопоставляется с табличным, из таблиц распределения Стьюдента. Если нулевая гипотеза верна, то есть r =0, то распределение t - критерия подчиняется закону распределения Стьюдента сn-2 степенями свободы и принятым уровнем значимости (обычно 0,05). В каждом конкретном случае по таблице распределения t -критерия Стьюдента находится табличное (критическое) значение t , которое допустимо при справедливости нулевой гипотезы, и с ним сравнивается фактическое (расчетное) значение t . Если t расч. > t табл . , то нулевая гипотеза отклоняется и линейный коэффициент считается значимым, а связь между x и y – существенной. И наоборот.

3. При малом числе наблюдений в выборке и высоком коэффициенте корреляции (распределение r отличается от нормального) для проверки гипотезы о наличии корреляционной связи, а также построения доверительного интервала применяется z-преобразование Фишера.

Для этого рассчитывается величина

Распределение z приближается к нормальному. Вариация z выражается формулой

Рассчитаем zкритерий для примера 1, поскольку в этом случае мы имеем небольшое число наблюдений и высокий коэффициент корреляции.

.

Чтобы не вычислять значения логарифмов, можно воспользоваться специальными таблицами Z-преобразований (Ефимова М.Р. стр. 402, Шмойлова Р.А. стр.446, Елисеева И.И. стр.473). Находим, что коэффициенту корреляции 0,94 соответствуетZ=1,74.

Отношение Z к средней квадратической ошибке равно 3. Таким образом, мы можем полагать действительное наличие связи между величиной выпуска продукции и расходом электроэнергии для всей совокупности предприятий.

Расчет коэффициентов корреляции произведем в программе STATISTICA.

Рисунок 1 – Корреляционная матрица.

Корреляция определяет степень, с которой значения двух переменных «пропорциональны» друг другу. Пропорциональность означает просто линейную зависимость . Корреляция высокая, если на графике зависимость «можно представить» прямой линией (с положительным или отрицательным углом наклона). Таким образом, это простейшая регрессионная модель, описывающая зависимость одной переменной от одного фактора.

Отметим основные характеристики этого показателя.

Он может принимать значения от –1 до +1. Знак «+» означает, что связь прямая (когда значения одной переменной возрастают, значения другой переменной также возрастают), «–» означает, что связь обратная.

Чем ближе коэффициент к 1, величине коэффициента корреляции менее 0,3 связь оценивается как слабая, от 0,31 до 0,5 – умеренная, от 0,51 до 0,7 – значительная, от 0,71 до 0,9 – тесная, 0,91 и выше – очень тесная.

Если все значения переменных увеличить (уменьшить) на одно и то же число или в одно и то же число раз, то величина коэффициента корреляции не изменится.

Коэффициент корреляции – это показатель, оценивающий тесноту линейной связи между признаками.

При r = ±1 корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость. При этом все наблюдаемые значения располагаются на общей прямой. Ее еще называют линией регрессии. При r = 0 линейная корреляционная связь отсутствует. При этом групповые средние переменных совпадают с их общими средними, а линии регрессии параллельны осям координат.

Равенство r = 0 говорит лишь об отсутствии линейной корреляционной зависимости (некоррелированности переменных), но не вообще об отсутствии корреляционной, а тем более, статистической зависимости.

Основываясь на коэффициентах корреляции, мы не можем строгодоказать причинной зависимости между переменными, однако можетеопределить ложные корреляции, т. е. корреляции, которые обусловленывлияниями «других», остающихся вне вашего поля зрения переменных.

Основная проблема ложной корреляции состоит в том, что мы не знаем,

кто является еѐ носителем. Тем не менее, если мы знаем, где искать, то

можно воспользоваться частные корреляции, чтобы контролировать (частично исключѐнное) влияние определѐнных переменных.

Рисунок 2 – Диаграммы рассеяния.

Следует отметить, что истинным показателем степени линейной связи переменных является теоретический коэффициент корреляции , который рассчитывается на основании данных всей генеральной совокупности (т.е. всех возможных значений показателей):

где - теоретический показатель ковариции , который вычисляется как математическое ожидание произведений отклонений СВ
иот их математических ожиданий.

Как правило, теоретический коэффициент корреляции мы рассчитать не можем. Однако из того, что выборочный коэффициент не равен нулю
не следует, что теоретический коэффициент также
(т.е. показатели могут быть линейно независимыми). Т.о. по данным случайной выборки нельзя утверждать, что связь между показателями существует.

Выборочный коэффициент корреляции является оценкой теоретического коэффициента, т.к. он рассчитывается лишь для части значений переменных.

Всегда существует ошибка коэффициента корреляции . Эта ошибка - расхождение между коэффициентом корреляции выборки объемом и коэффициентом корреляции для генеральной совокупности определяется формулами:

при
; и
при
.

Проверка значимости коэффициента линейной корреляции означает проверку того, насколько мы можем доверять выборочным данным.

С этой целью проверяется нулевая гипотеза
о том, что значение коэффициента корреляции для генеральной совокупности равно нулю, т.е.в генеральной совокупности отсутствует корреляция . Альтернативной является гипотеза
.

Для проверки этой гипотезы рассчитывается - статистика (-критерий) Стьюдента:

.

Которая имеет распределение Стьюдента с
степенями свободы 1 .

По таблицам распределения Стьюдента определяется критическое значение
.

Если рассчитанное значение критерия
, то нуль-гипотеза отвергается, то есть вычисленный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля с вероятностью
.

Если же
, тогда нулевая гипотеза не может быть отвергнута. В этом случае не исключается, что истинное значение коэффициента корреляции равно нулю, т.е. связь показателей можно считать статистически незначимой.

Пример 1 . В таблице приведены данные за 8 лет о совокупном доходе и расходах на конечное потребление.

Изучить и измерить тесноту взаимосвязи между заданными показателями.

Тема 4. Парная линейная регрессия. Метод наименьших квадратов

Коэффициент корреляции указывает на степень тесноты взаимосвязи между двумя признаками, но он не дает ответа на вопрос, как изменение одного признака на одну единицу его размерности влияет на изменение другого признака. Для того чтобы ответить на этот вопрос, пользуются методами регрессионного анализа.

Регрессионный анализ устанавливает форму зависимости между случайной величиной и значениями переменной величины
, причем, значения
считаются точно заданными.

Уравнение регрессии – это формула статистической связи между переменными.

Если эта формула линейна, то речь идет о линейной регрессии. Формула статистической связи двух переменных называется парной регрессией (нескольких переменных – множественной ).

Выбор формулы зависимости называется спецификацией уравнения регрессии. Оценка значений параметров выбранной формулы называется параметризацией .

Как же оценить значения параметров и проверить надёжность сделанных оценок?

Рассмотрим рисунок

На графике (а) взаимосвязь х и у близка к линейной, прямая линия 1 здесь близка к точкам наблюдений и последние отклоняются от неё лишь в результате сравнительно небольших случайных воздействий.

На графике (б) реальная взаимосвязь величин х и у описывается нелинейной функцией 2, и какую бы мы ни провели прямую линию (например, 1), отклонения точек от неё будут неслучайными.

На графике (в) взаимосвязь между переменными х и у отсутствует, и результаты параметризации любой формулы зависимости будут неудачными.

Начальным пунктом эконометрического анализа зависимостей обычно является оценка линейной зависимости переменных. Всегда можно попытаться провести такую прямую линию, которая будет «ближайшей» к точкам наблюдений по их совокупности (например, на рисунке (в) лучшей будет прямая 1, чем прямая 2).

Теоретическое уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

,

где
называютсятеоретическими параметрами (теоретическими коэффициентами ) регрессии; -случайным отклонением (случайной ошибкой ).

В общем виде теоретическую модель будем представлять в виде:

.

Для определения значений теоретических коэффициентов регрессии необходимо знать все значения переменных Х и Y , т.е. всю генеральную совокупность, что практически невозможно.

Задача состоит в следующем: по имеющимся данным наблюдений
,
необходимо оценить значения параметров
.

Пусть а – оценка параметра
,b – оценка параметра .

Тогда оценённое уравнение регрессии имеет вид:
,

где
теоретические значения зависимой переменнойy , - наблюдаемые значения ошибок. Это уравнение называетсяэмпирическим уравнением регрессии . Будем его записывать в виде
.

В основе оценки параметров линейной регрессии лежит Метод Наименьших Квадратов (МНК) – это метод оценивания параметров линейной регрессии, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от искомой линейной функции.

Функция Q является квадратичной функцией двух параметров a и b . Т.к. она непрерывна, выпукла и ограничена снизу (
), поэтому она достигает минимума. Необходимым условием существования минимума является равенство нулю её частных производных поa и b :

.

Разделив оба уравнения системы на n , получим:

или

Иначе можно записать:

и  средние квадратические отклонения значений тех же признаков.

Т.о. линия регрессии проходит через точку со средними значениями х и у
, акоэффициент регрессии b пропорционален показателю ковариации и коэффициенту линейной корреляции.

Если кроме регрессии Y на X для тех же эмпирических значений найдено уравнение регрессии X на Y (
, где
), то произведение коэффициентов
:

.

Коэффициент регрессии  это величина, показывающая, на сколько единиц размерности изменится величина при изменении величинына одну единицу ее размерности. Аналогично определяется коэффициент.

Этап 3. Нахождение взаимосвязи между данными

Линейная корреляция

Последний этап задачи изучения связей между явлениями – оценка тесноты связи по показателям корреляционной связи. Этот этап очень важен для выявления зависимостей между факторными и результативными признаками, а следовательно, для возможности осуществления диагноза и прогноза изучаемого явления.

Диагноз (от греч. diagnosis распознавание) – определение существа и особенностей состояния какого-либо объекта или явления на основе его всестороннего исследования.

Прогноз (от греч. prognosis предвидение, предсказание) – всякое конкретное предсказание, суждение о состоянии какого-либо явления в будущем (прогноз погоды, исхода выборов и т.п.). Прогноз – это научно обоснованная гипотеза о вероятном будущем состоянии изучаемой системы, объекта или явления и характеризующие это состояние показатели. Прогнозирование – разработка прогноза, специальные научные исследования конкретных перспектив развития какого-либо явления.

Вспомним определение корреляции:

Корреляция – зависимость между случайными величинами, выражающаяся в том, что распределение одной величины зависит от значения другой величины.

Корреляционная связь наблюдается не только между количественными, но и качественными признаками. Существуют различные способы и показатели оценки тесноты связей. Мы остановимся лишь на линейном коэффициенте парной корреляции , который используется при наличии линейной связи между случайными величинами. На практике часто возникает необходимость определить уровень связи между случайными величинами неодинаковой размерности, поэтому желательно располагать какой-то безразмерной характеристикой этой связи. Такой характеристикой (мерой связи) является коэффициент линейной корреляции r xy , который определяется по формуле

где , .

Обозначив и , можно получить следующее выражение для расчета коэффициента корреляции

.

Если ввести понятие нормированного отклонения , которое выражает отклонение коррелируемых значений от среднего в долях среднего квадратического отклонения:

то выражение для коэффициента корреляции примет вид

.

Если производить расчет коэффициента корреляции по итоговым значениям исходных случайных величин из расчетной таблицы, то коэффициент корреляции можно вычислить по формуле

.

Свойства коэффициента линейной корреляции:

1). Коэффициент корреляции – безразмерная величина.

2). |r | £ 1 или .

3). , a,b = const, – величина коэффициента корреляции не изменится, если все значения случайных величин X и Y умножить (или разделить) на константу.

4). , a,b = const, – величина коэффициента корреляции не изменится, если все значения случайных величин X и Y увеличить (или уменьшить) на константу.

5). Между коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует связь:

Интерпретировать значения коэффициентов корреляции можно следующим образом:

Количественные критерии оценки тесноты связи:

В прогностических целях обычно используют величины с |r| > 0.7.

Коэффициент корреляции позволяет сделать вывод о существовании линейной зависимости между двумя случайными величинами, но не указывает, какая из величин обуславливает изменение другой. В действительности связь между двумя случайными величинами может существовать и без причинно-следственной связи между самими величинами, т.к. изменение обеих случайных величин может быть вызвано изменением (влиянием) третьей.

Коэффициент корреляции r xy является симметричным по отношению к рассматриваемым случайным величинам X и Y . Это означает, что для определения коэффициента корреляции совершенно безразлично, какая из величин является независимой, а какая – зависимой.

Значимость коэффициента корреляции

Даже для независимых величин коэффициент корреляции может оказаться отличным от нуля вследствие случайного рассеяния результатов измерений или вследствие небольшой выборки случайных величин. Поэтому следует проверять значимость коэффициента корреляции.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента :

.

Если t > t кр (P, n -2), то линейный коэффициент корреляции значим, а следовательно, значима и статистическая связь X и Y .

.

Для удобства вычислений созданы таблицы значений доверительных границ коэффициентов корреляции для различного числа степеней свободы f = n –2 (двусторонний критерий) и различных уровней значимости a = 0,1; 0,05; 0,01 и 0,001. Считается, что корреляция значима, если рассчитанный коэффициент корреляции превосходит значение доверительной границы коэффициента корреляции для заданных f и a .

Для больших n и a = 0,01 значение доверительной границы коэффициента корреляции можно вычислить по приближенной формуле

.