Для управления ходом выполнения комплекса операций, представленного сетевой моделью, ЛПР должен располагать информацией о количественных параметрах элементов сети, в том числе: о продолжительности выполнения всего комплекса операций, о сроках выполнения отдельных операций и их резервах времени.
Различают следующие виды путей: полный, предшествующий событию, следующий за событием.
Путь сетевого графика называется полным, если его начальная вершина совпадает с исходным событием, а конечная – с завершающим.
Предшествующий событию путь представляет собой путь от исходного события до данного.
Следующий за событием путь - путь от данного события до завершающего.
Важнейшим параметром сетевого графика является критический путь, представляющий собой полный путь, имеющий наибольшую продолжительность во времени. Операции и события, принадлежащие критическому пути, называются соответственно критическими операциями и критическими событиями. Суммарная продолжительность операций, принадлежащих критическому пути, равна критическому времени выполнения комплекса операций в целом (используется обозначение ). На графике критический путь, как правило, выделяется жирной линией.
Рассмотрим процедуру расчета параметров сетевого графика.
Пусть продолжительности выполнения операций известны (Рис. 3.5; продолжительности операций расположены у соответствующих дуг графика).
Определим сначала ожидаемые (ранние) сроки свершения событий сетевого графика. Исходное событие означает момент начала выполнения комплекса операций, следовательно, . Событие (2) свершится, очевидно, спустя 2 ед. времени после свершения события (1), так как время выполнения операции (1,2) равно 2. Следовательно, . Событию (3) предшествуют два пути: и 
. Продолжительность первого пути равна 1 ед. времени, а второго – 2 ед. времени, так как . Продолжительность второго пути можно найти добавлением к ожидаемому сроку свершения события (2) времени выполнения операции (2,3), т. е. 
. Поскольку событие (3) может свершиться не раньше момента окончания всех входящих в него операций, то
.
В событие (4) входят две дуги, исходящие из событий (1) и (3), для которых ожидаемые сроки свершения найдены. Следовательно, ожидаемый срок свершения события (4)
Аналогично находятся ожидаемые сроки свершения событий (5), (6) и (7). Значения , приписаны соответствующим событиям.
Общая формула нахождения ожидаемых сроков свершения событий имеет вид:
где – подмножество дуг сети, входящих в событие .
Ожидаемый срок свершения события (7) совпадает с критическим временем (суммарной продолжительностью операций, принадлежащих критическому пути). Возвращаясь теперь от завершающего события к исходному, выделим операции, принадлежащие критическому пути. Из трех операций, входящих в событие (7), 
определила операция (5,7), выполнение которой начинается после свершения события (5) и продолжается 3 ед. времени . Момент свершения события (5) определила операция (3,5), так как . В свою очередь момент свершения события (3) определила операция (2,3), а события (2) – операция (1,2). Эти операции на рис. 8.6 выделены жирной линией. Таким образом, критический путь . Увеличение времени выполнения любой операции, принадлежащей критическому пути, ведет к увеличению времени выполнения всего комплекса операций.
Напротив, увеличение времени выполнения или задержка с выполнением некритических операций может не отразиться на сроке свершения завершающего события. Так, например, время выполнения операции (4,5) может быть увеличено, или начало ее выполнения может быть отсрочено на 1 ед. времени, и это не отразится на сроке свершения события (5), а, следовательно, и всего комплекса операций.
Начало выполнения операции (4,7) может быть отсрочено на 3 ед. времени. Отсюда следует, что для события (4), не лежащего на критическом пути, существует предельный (поздний) срок свершения. Обозначим предельный срок свершения любого события сетевого графика через . Примем, что ожидаемый и предельный сроки свершения завершающего события совпадают 
тогда предельный срок свершения любого события сетевого графика равен минимальной разности между предельными сроками окончания операций, исходящих из данного события, и временем выполнения соответствующих операций. Нахождение предельного срока осуществляется по формуле
где 
– подмножество дуг сети, исходящих из события 
.
В нашем примере 
. Определим этот показатель для оставшихся событий. Из события (5) исходит одна операция, следовательно, . Аналогично . Из события (4) исходят три операции, поэтому
Аналогично 
(на Рис. 3.4 предельные сроки свершения событий указаны в скобках). Для критических событий эти сроки совпадают с ожидаемыми.
Некритические события имеют резервы времени, которые показывают, на какой предельно допустимый срок может задержаться свершение событий без изменения срока свершения завершающего события. Резерв времени события равен разности между предельным и ожидаемым сроками его свершения:
Ожидаемые и предельные сроки свершения событий находятся в тесной взаимосвязи со сроками начала и окончания операций: ранний срок начала выполнения операции равен ожидаемому сроку свершения - го события поздний срок окончания операции совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события поздний срок начала выполнения операции равен разности между предельным сроком свершения ее конечного события и продолжительностью 
ранний срок окончания операции равен сумме ожидаемого срока свершения ее начального события и продолжительности
Сроки выполнения операций находятся в границах, определяемых параметрами: 
Следовательно, операции, как и события, могут иметь некоторый резерв времени. Различают несколько разновидностей резервов времени операций, из которых наиболее важными являются полный и свободный резервы.
Полный резерв времени операции показывает, насколько можно сдвинуть начало выполнения операции или увеличить ее продолжительность, не изменяя ожидаемого срока свершения начального события, при условии, что конечное для данной операции событие свершится не позднее своего предельного срока. Величина полного резерва времени вычисляется по формуле
Свободный резерв времени операции 
показывает, насколько можно увеличить продолжительность или отсрочить начало выполнения операции , при условии, что начальное и конечное ее события свершаются в ожидаемое время:
Так резервы времени операции (4,6) сетевого графика составляют (Рис. 3.5).
Параметры потока. Расчет временных параметров
Параметры – это характеристики потока, которые отражают развитие потоков в пространстве, в технологическом аспекте и во времени.
Пространственные параметры:
– N об – число объектов, где работают потоки;
– N э – количество этажей;
– A – число ярусов;
– m – количество захваток (секций или подъездов).
Технологические параметры:
– n – число потоков (процессов, видов работ);
– Q i – трудозатраты i -го вида работ (чел.-дн., чел.-смен.);
– O i – объем по i -му виду работ (натуральные, стоимостные показатели);
– q i – трудоемкость выполнения единицы объема работ (удельная трудоемкость);
Q i = q i ∙ O i ;
– М – мощность строительной организации по выпуску готовой продукции (тыс. м 2 вводимой площади).
Временные (расчетные) параметры
Дано : m = 5, n = 3, К 1 = 2, К 2 = 1, К 3 = 3.
Построить график-циклограмму совместной работы трех кратноритмичных потоков. Графически указать все временные параметры (9 шт.). Аналитически вывести формулы всех параметров и рассчитать их реальные значения.
Рис. 4.3. Увязка кратноритмичных потоков с опережающим
и отстающим ритмами
Рассмотрим все поточные временные параметры:
1. Ритм потока К i (известен): К 1 = 2, К 2 = 1, К 3 = 3.
2. Организационный перерыв ∆t орг , i , i +1 – время между окончанием работы одного потока на захватке и началом работы следующего:
t 1 = 2·5 = 10 дн.;
t 2 = 1·5 = 5 дн.;
t 3 = 3·5 = 15 дн.
4. Время работы всех потоков на одной (первой) захватке
5. Шаг потока (К о i , i +1) – время между началами работы смежных потоков
| (3.4) |
6. Общая продолжительность работ – общий срок строительства
7. Период развертывания объектного потока – время от начала работы первого потока до начала работы последнего потока
8. Период свертывания объектного потока Т св – время потери объектным потоком своей мощности, время от окончания первого потока до окончания всех работ
9. Период установившегося объектного потока Т уст – время работы объектного потока на полную мощность (работают одновременно все потоки)
Лекция 5. Способы оптимизации графика
поточной организации работ (уравнивание шагов и ритмов работы смежных процессов)
При построении графика увязки кратноритмичных потоков на всех захватках, кроме критической, образуются организационные перерывы между смежными потоками (простой фронта работ), что является недостатком при организации работ. Этот недостаток можно ликвидировать с помощью перестройки графика увязки, т.е. провести его оптимизацию. Оптимизация ликвидирует или сокращает организационные перерывы на захватках, т.е. улучшает показатели календарного графика; происходит уравнивание шагов и ритмов смежных процессов несколькими способами.
Уравнять шаги и ритмы смежных процессов – значит решить две задачи:
1) изменить продолжительность по графику увязки потоков, чтобы ликвидировать или сократить простой фронта работ на захватках;
2) желательно в ходе оптимизации сократить срок строительства по сравнению с исходным графиком.
Рассмотрим следующие способы оптимизации:
1) корректировка мощности потоков с отстающим ритмом (увеличение);
2) корректировка мощности потоков с опережающим ритмом (уменьшение);
3) дополнительный ввод параллельно работающих бригад на захватках по потокам с отстающим ритмом;
Задачу оптимизации решим на примере исходного графика увязки, построенного в пункте 4.1. Лекции №4 "параметры потока"
1. Оптимизировать график совместной работы кратноритмичных потоков на одном объекте тремя способами уравнивания шагов и ритмов смежных процессов.
2. По каждому способу уравнивания определить графически и аналитически новый срок строительства, эффект уравнивания, периоды установившегося потока, свертывания и развертывания объектного потока. Сделать выводы.
3. Указать наиболее эффективный способ уравнивания.
Исходные данные :
N об = 1, m = 5, n = 3, К 1 = 2, К 2 = 1, К 3 = 3.
(пример предыдущей задачи)
Примем это график увязки за исходный, который нужно оптимизировать, восстановим его изображение: (рис. 4.1)
D t орг 2,3 = 8
2 поток 3 поток
К 1 Dt орг 1,2 К 2 К 3
Рис. 5.1. Исходный график увязки до оптимизации
Т о = 22дня (рассчитано ранее)
Этот срок нужно изменить при оптимизации графика
· 1-й способ. Корректировка мощностиотстающих потоков (первый и третий потоки)
Увеличиваем в 2 раза мощность первого потока, тогда
К 1 = К 2 = 1.
Мощность третьего потока увеличивается в 3 раза, тогда его ритм К 3 уменьшится и станет К 3 =К 2 = 1. Получаем три равно ритмичных потока с минимальным ритмом: построим на исходном графике новый график, состоящих из трех потоков с ритмом, равным 1. Это мы оптимизировали по минимальному ритму (см. рис. 4.2.).
К 1 1 К 2 1 К 3 1
Т ур 1 DТ ур 1
T р 1 T уст 1 T св 1
Рис. 5.2. График оптимизации (уравнивания) первым способом
Увеличение мощности отстающих потоков (ярко выделенные потоки). Новый срок строительства (оптимизированный) = Т ур 1
или по формуле строительства равноритмичными
потоками
Эффект уравнивания или сокращение сроков по сравнению с исходным графиком = D Т ур 1
Выводы по 1-му способу :
1) полная ликвидация организационных перерывов;
2) уменьшение срока строительства на 15 дней.
· 2-й способ . Корректировка мощности опережающих потоков
Это способ оптимизации или уравнивания шагов и ритмов смежных процессов предполагает уравнивание всех мощностей потоков, ориентируясь на самый маломощный поток, имеющий самый большой ритм.
В данном случае это третий поток, К 3 = 3
Для уравнивания мощности и приведения их к третьему потоку необходимо изменить мощность первого потока (уменьшить в 1,5 раза) тогда ритм его увеличится в 1,5 раза К 1 = 2*1,5 = 3. Мощность второго потока уменьшим в 3 раза, тогда ритм его увеличится в 3раза К 2 = 1*3 = 3. Между изменением мощности и значением ритма существует обратно пропорциональная зависимость. В результате получаем три равноритмичных потока с ритмами:
К 1 = К 2 = К 3 = 3
Новый график оптимизации по второму способу приведен на рис. 5.3.
К 1 2 К 2 2 К 3 2
Т ур 2 DТ ур 2
Т р 2 Т уст 2 Т св 2
Рис. 5.3. График уравнивания вторым способом оптимизации (уменьшение мощности опережающих потоков (ярко выделенные потоки))
Выводы по 2-му способу :
2) уменьшение срока строительства на 1 день.
Лекция 6. Оптимизация (уравнивание) графика увязки потоков третьим способом. Дополнительный ввод параллельно работающих бригад на захватках (отстающие потоки). неритмичные потоки
Правила построения графика уравнивания
1. Выстраиваем все потоки во взаимоувязке по первой захватке.
2. Продолжаем до последней захватки поток с К min .
Поток с минимальным ритмом – ось увязки (это второй поток).
3. Работа с отстающими потоками (первый и третий ):
Рассчитаем число бригад по первому потоку:
; (5.1)
Обозначим эти бригады: 1-я бригада ; 2-я бригада (----).
Вводим рабочие бригады по каждой захватке при непрерывной работе через шаг, равный минимальному ритму: К о = К min , срок строительства по уравненному графику К 2 неизменен = 2 дням (рис. 6.1.).
К о 2 ось 1
К 1 3 К 2 3 К 3 3
Т ур 3 DТ ур 3
Т р 3 Т св 3
Рис 6.1. График уравнивания третьим способом оптимизации. Дополнительно ввод параллельно работающих потоков на захватках по отстающим потокам.
По третьему потоку 
1-я бригада (===); 2-я бригада (-.-.-.-); 3-я бригада (~~). Вводим бригады по каждой захватке через шаг К 0 = К min .
После окончательного построения графика:
Проверка третьего способа уравнивания: эффект уравнивания равен сумме организационных перерывов исходного графика увязки.
Выводы по 3-му способу:
1) полная ликвидация организационных перерывов на захватках;
2) сокращение срока строительства на 11 дней.
Увязка неритмичных потоков
Неритмичными называются потоки, ритмы которых отличаются друг от друга при переходе с одной захватки на другую.
Рассмотрим на примере построение графика работы неритмичных потоков, используя графический и аналитический методы их увязки.
Задача
Построить график совместной работы 3 неритмичных потоков на 4 захватках с учетом их взаимной увязки графическим и аналитическим способами, указать критические захватки и шаг потоков. Исходные данные
| Ритмы по захваткам | ||||
| n | 1 зах. | 2 зах. | 3 зах. | 4 зах. |
| I п от | ||||
| II п от | ||||
| III п от |
· 1-й способ. Графическая увязка неритмичных потоков
Рис. 6.2. Графический метод увязки неритмичных потоков
1. Строим циклограмму первого потока на всех захватках по исходным данным.
2. Строим пунктиром вариант работы второго потока, увязав с первым потоком только по первой захватке.
3. Анализируем построенную циклограмму второго потока в соответствии с принципами увязки потоков на каждой захватке. Находим величину отклонения от принципов увязки, обозначив ее через «а ».
4. Maксимальное отклонение «а » находится на третьей захватке и равно 2 дням: max «a » = Dt орг I,II на 1 захв.
5. Откладываем на графике от окончания работы I потока на 1 захватке величину Dt орг I , II = 2. Это точка начала работы II потока.
6. Выстраиваем циклограмму работы II потока из указанной точки. При увязке II и III потоков повторяется данный алгоритм увязки.
Общий срок строительства
· 2-й способ. Аналитическая увязка неритмичных потоков
Рис. 6.3. Аналитический метод увязки неритмичных потоков
Алгоритм увязки пары потоков (I и II)
1. Строим циклограмму I потока на всех захватках по исходным данным.
2. Производим суммирование ритмов по I потоку (SК I) и отдельно по II потоку (SК II), накапливая по захваткам, затем эти суммы вычитаем (из I потока вычитаем II поток).
| Увязка I и II потока | 1 зах. | 2 зах. | 3 зах. | 4 зах. |
| SК I | 1 + 3 = 4 | 4 + 2 = 6 | 6 + 1 = 7 | |
| SК II | – | 2 + 1 = 3 | 3 + 4 = 7 | |
| Вычитаем | 3 max |
3. Максимальное значение разности находится на 3-й захватке и равно 3. Это шаг между I и II потоками по 1-й захватке:
max разность = К о I , II .
4. Отложив шаг К о I,II по 1-й захватке на графике, находим точку начала работы II потока.
Данный алгоритм повторяется при увязке II и III потоков.
После окончания увязки всех потоков и построения их циклограмм видим, что увязка I и II потоков происходит на 3-й захватке, увязка II и III потоков – на 3-й захватке.
Общий срок строительства Т о равен
ЛЕКЦИЯ 13. Сетевое моделирование
в календарном планировании строительства, объекта.
Для управления ходом выполнения комплекса операций, представленного сетевой моделью, ЛПР должен располагать информацией о количественных параметрах элементов сети, в том числе: о продолжительности выполнения всего комплекса операций, о сроках выполнения отдельных операций и их резервах времени. Различают следующие виды путей: полный, предшествующий событию, следующий за событием.
Путь сетевого графика называется полным, если его начальная вершина совпадает с исходным событием, а конечная – с завершающим.
Предшествующий событию путь представляет собой путь от исходного события до данного.
Следующий за событием путь - путь от данного события до завершающего.
Важнейшим параметром сетевого графика является критический путь, представляющий собой полный путь, имеющий наибольшую продолжительность во времени. Операции и события, принадлежащие критическому пути, называются соответственно критическими операциями и критическими событиями. Суммарная продолжительность операций, принадлежащих критическому пути, равна критическому времени выполнения комплекса операций в целом (используется обозначение ). На графике критический путь, как правило, выделяется жирной линией.
Рассмотрим процедуру расчета параметров сетевого графика.
Пусть
продолжительности выполнения операций
известны (Рис. 5.5; продолжительности
операций расположены у соответствующих
дуг графика).
Определим
сначала ожидаемые (ранние) сроки свершения
событий
сетевого графика. Исходное событие
означает момент начала выполнения
комплекса операций, следовательно,
.
Событие (2) свершится, очевидно, спустя
2 ед. времени после свершения события
(1), так как время выполнения операции
(1,2) равно 2. Следовательно,
.
Событию
(3) предшествуют два пути:
и
.
Продолжительность первого пути равна
1 ед. времени, а второго – 2 ед. времени,
так как
.
Продолжительность второго пути можно
найти добавлением к ожидаемому сроку
свершения события (2) времени выполнения
операции (2,3), т. е.
.
Поскольку событие (3) может свершиться
не раньше момента окончания всех
входящих в него операций, то
.
В событие (4) входят две дуги, исходящие из событий (1) и (3), для которых ожидаемые сроки свершения найдены. Следовательно, ожидаемый срок свершения события (4)
Аналогично
находятся ожидаемые сроки свершения
событий (5), (6) и (7). Значения
,
приписаны соответствующим событиям.
Общая формула нахождения ожидаемых сроков свершения событий имеет вид:
где
– подмножество дуг сети, входящих
в событие
.
Ожидаемый
срок свершения события (7)
совпадает с критическим временем
(суммарной продолжительностью операций,
принадлежащих критическому пути).
Возвращаясь теперь от завершающего
события к исходному, выделим операции,
принадлежащие критическому пути. Из
трех операций, входящих в событие (7),
определила операция (5,7), выполнение
которой начинается после свершения
события (5) и продолжается 3 ед. времени.
Момент свершения события (5) определила
операция (3,5), так как
.
В свою очередь момент свершения события
(3) определила операция (2,3), а события
(2) – операция (1,2). Эти операции на рис.
5.6 выделены жирной линией. Таким образом,
критический путь.
Увеличение времени выполнения любой
операции, принадлежащей критическому
пути, ведет к увеличению времени
выполнения всего комплекса операций.
Напротив, увеличение времени выполнения
или задержка с выполнением некритических
операций может не отразиться на сроке
свершения завершающего события. Так,
например, время выполнения операции
(4,5) может быть увеличено, или начало ее
выполнения может быть отсрочено на 1
ед. времени, и это не отразится на сроке
свершения события (5), а, следовательно,
и всего комплекса операций.
Начало
выполнения операции (4,7) может быть
отсрочено на 3 ед. времени. Отсюда следует,
что для события (4), не лежащего на
критическом пути, существует предельный
(поздний) срок свершения. Обозначим
предельный срок свершения любого события
сетевого графика через
.
Примем, что ожидаемый и предельный сроки
свершения завершающего события
совпадают
тогда предельный срок свершения любого
события сетевого графика равен минимальной
разности между предельными сроками
окончания операций, исходящих из данного
события, и временем выполнения
соответствующих операций. Нахождение
предельного срока осуществляется по
формуле
где
– подмножество дуг сети, исходящих
из события
.
В
нашем примере
.
Определим этот показатель для оставшихся
событий. Из события (5) исходит одна
операция, следовательно,
.
Аналогично
.
Из события (4) исходят три операции,
поэтому
Аналогично
(на Рис. 5.4 предельные сроки свершения
событий указаны в скобках). Для критических
событий эти сроки совпадают с ожидаемыми.
Некритические
события имеют резервы времени, которые
показывают, на какой предельно допустимый
срок может задержаться свершение событий
без изменения срока свершения завершающего
события. Резерв времени
события
равен разности между предельным и
ожидаемым сроками его свершения:
.
Ожидаемые
и предельные сроки свершения событий
находятся в тесной взаимосвязи со
сроками начала и окончания операций:
ранний срок начала выполнения операции
равен ожидаемому сроку свершения
-
го события
поздний срок окончания операции совпадает
с поздним сроком свершения ее конечного
события
поздний срок начала выполнения операции
равен разности между предельным сроком
свершения ее конечного события и
продолжительностью
ранний
срок окончания операции равен сумме
ожидаемого срока свершения ее начального
события и продолжительности
Сроки
выполнения операций находятся в границах,
определяемых параметрами:
Следовательно, операции, как и события,
могут иметь некоторый резерв времени.
Различают несколько разновидностей
резервов времени операций, из которых
наиболее важными являются полный и
свободный резервы.
Полный
резерв времени операции
показывает, насколько можно сдвинуть
начало выполнения операции или увеличить
ее продолжительность, не изменяя
ожидаемого срока свершения начального
события, при условии, что конечное для
данной операции событие свершится не
позднее своего предельного срока.
Величина полного резерва времени
вычисляется по формуле
Свободный
резерв времени операции
показывает, насколько можно увеличить
продолжительность или отсрочить начало
выполнения
операции
,
при условии, что начальное и конечное
ее события свершаются в ожидаемое время:
Так резервы времени операции (4,6) сетевого графика составляют (Рис. 5.5):
КУРСОВАЯ РАБОТА
по предмету: «Математические методы»
на тему: «Основные временные параметры сетевых графиков и их расчеты»
Теория графов – область дискретной математики, которая занимается исследованием и решением разнообразных проблем, связанных с объектом, называемым графом. Граф определяется заданием двух множеств. Первое – X – множество вершин графа. Элементы этого графа можно изобразить в виде точек плоскости или пространства. Второе – U – множество пар элементов из Х. Каждый элемент множества U указывает пару вершин, между которыми существует связь; она может изображаться линией, соединяющей соответствующие вершины графа. При таком изображении требуется, чтобы линия проходила только через вершины, которые она соединяет, и чтобы разные линии могли пересекаться только в вершинах. Иногда в парах составляющих множество U, указывается, какая вершина является первой. В этом случае элементы множества U называются дугами графа (X, U), а сам граф – ориентированным. Если ориентация не указана, то элементы U называются ребрами, а граф (X, U) – неориентированным графом или про сто графом. Элемент U, указывающий на связь вершины с ней самой, называется петлей.
Граф (X, U) называется конечным, если множества X и U состоят из конечного числа элементов. В противном случае граф (X, U) называется бесконечным.
Основные временные параметры сетевых графиков и их расчеты
Важнейшим параметром сетевого графика является критический путь. Путем в сетевом графике называется любая последовательность работ(стрелок), связывающая какие-либо два события. При этом пути, связывающие исходные и завершающие события сети, считается полными, а все другие пути – неполными. Каждый путь характеризуется своей продолжительностью, которая равна сумме продолжительностей составляющих его работ.
Полный путь, имеющий наибольшую продолжительность, называется критическим путем.
Работы и события, лежащие на критическом пути, также называются критическими работами и событиями. Полная продолжительность выполнения всего комплекса работ, отображенного сетевым графиком, равна продолжительности критического пути. На графике критический путь обычно выделяется жирной линией.
Для каждого события, включенного в сетевой график, рассчитываются следующие показатели:
Ранний срок наступления события, характеризующий наиболее ранний из возможных сроков совершения того или иного события;
Поздний срок наступления событий, характеризующий наиболее поздний из допустимых сроков того или иного события. Если установлен срок наступления завершающего события, являющегося результатом всего комплекса проводимых работ, то каждое промежуточное событие должно наступить не позже определенного срока. Этот срок и является предельно допускаемым сроком наступления события;
Резерв времени наступления событий, который определяется как разность между поздним и ранним сроками наступления события.
Зная указанные показатели для событий, для каждой из работ составленного графика можно определить следующие параметры: ранний срок начала работы, который определяется моментом наступления начального ной работы события в его ранний срок; поздний срок начала работы, определяемый моментом наступления конечного для данной работы события в его поздний срок за вычетом продолжительности работы (временной оценки); ранний срок окончания работы и, наконец, поздний срок окончания работы, т. е. предельно допускаемый срок окончания.
Расчет основных временных параметров производится по соответствующим формулам.
Ранний срок наступления любого последующего события (j-го) определяется величиной пути максимальной продолжительности, ведущего к нему от исходного события. Выбор этой продолжительности может быть осуществлен по следующей формуле:
Производя расчеты, удобно принимать, что ранний срок наступления исходного (1-го) события равен нулю, т.е.
Тогда
Поскольку к событию 2 идет только один путь от события 1, то выбирать максимальные продолжительности путей не приходится:
. Сказанное только что относится и к данному расчету. Поиному обстоит дело, когда мы подошли к событию 4. К нему ведут два пути: прямой от события 1 и опосредствованный событием 2. Здесь надо использовать во всей полноте нижеприведенную формулу:
Значит, 4-е событие сможет наступить на 14-й день от общего начала работ (но не через 7 дней, как это может показаться вначале).
Продолжаем расчеты. Очередным является событие 5. К нему ведут два пути: от события 4 и от события 3. Применяем формулу
Аналогично поступаем и с расчетами ранних сроков наступления событий 6 и 7:
Затем рассчитываем
. К событию 8 ведут четыре пути, поэтому придется иметь дело с выбором максимальной величины из четырех слагаемых.
Следовательно, завершающее (8-е) событие может наступить лишь на 36-й день от начала выполнения всего комплекса работ.
Поздний срок наступления любого предыдущего (i-го) события определяется величиной пути минимальной продолжительности, ведущего к нему от завершающего события. Выбор этой продолжительности может быть осуществлен по формуле
.Примем самый поздний срок наступления (8-го) события, равный 36 единицам времени, поскольку ранний срок (по предыдущим расчетам) был равен этому числу.
Определим этот показатель для последующих событий:
При расчетах последующих событий 5,4 и т. д., к которым идут несколько путей, необходимо в полной степени использовать вышеприведенную формулу
;
;
В конце рассчитываем
, к которому ведут три пути, и, как в предыдущих расчетах, выбираем минимальный путь
Полученный результат говорит о том, что расчеты произведены правильно.
На основе этих расчетов определяются резервы времени для событий как разность между самым поздним и самым ранним сроками их наступления. Резервы времени для событий показывают, на какой предельно допустимый период времени может задержаться наступление того или иного события, не вызывая при этом опасности срыва наступления завершающего события. Разумеется, события, находящиеся на критическом пути, не имеют резервов времени. Имеем.
Почти в любой сети от исходного события до завершающего ведет несколько путей. Каждому пути соответствует последовательность каких-то работ. Путь в сети от исходного события до завершающего называется полным путем. Обозначается полый путь буквой L . Продолжительностью пути в сетевом графике называется время, необходимое для выполнения всех работ, лежащих на этом пути. Продолжительность полного пути обозначим t (L) .
Путь, имеющий наибольшую протяженность, называется критическим путем . Протяженность критического пути обозначаем t ( ) или .
Замечание. В сети может быть несколько критических путей.
Работы, лежащие на критическом пути, называются критическими. От их продолжительности зависит общий срок завершения всех работ. Некритические работы допускают некоторое запаздывание в их выполнении, которое не задержит сроков реализации всего проекта.
Ранним сроком (j) свершения события j называется самый ранний момент времени, к которому завершаются все предшествующие этому событию работы. Счет времени ведется от момента наступления начального события. Ранний срок начального события равен 0 . (0) = 0 . Ранний срок любого другого j-гo события определяется продолжительностью самого длительного из предшествующих путей. Определяем ранние сроки свершения событий по рекуррентному соотношению:
Полный срок наступления события - время, при котором планируемый срок окончания проекта не меняется. Обозначается (i) - для i -гo события.
Замечание. Для завершающего события К поздний срок наступления совпадает с ранним, т. е.
(К) = (К).
При определении поздних сроков наступления события расчет ведут от завершающего события к исходному. Каждую вершину орграфа (событие сетевой модели) разобьем на 3 сектора : в нижнем проставляем номер события; в левом - ранний срок; в правом - поздний срок.
Резервы времени каждого события находятся по формуле:
Замечание. Для событий i, лежащих на критическом пути, ранние и поздние сроки наступления совпадают, т. е. (i)= (i).
Понятие ранних и поздних сроков наступления событий играют важную роль в процессе выполнения проекта. Если все события i наступают не позднее (i) , то это значит, что проект осуществится не позднее установленного срока.
Если какое-то событие i наступает позднее (i) , то принимают меры для ускорения работ в этой части проекта. Если ускорить работу не удается, то полный срок выполнения проекта будет превышен. Время, на которое задерживаются все работы, можно тоже вычислить по сетевому графику.
Метод расчета сетевых графиков выполняется в четыре этапа:
1. Определение ранних сроков наступления событий (i)
2. Нахождение критического пути
3. Определение поздних сроков наступления события (i)
4. Определение резерва времени события.
Замечание. Использование независимого резерва времени на i-й работе, которая его имеет, не влияет на ранние и поздние сроки совершения всех событий и работ сети. Его нельзя передать ни предшествующим, ни последующим работам.
Оптимизация СМ выражается в перераспределении ресурсов с ненапряженных работ на критические для ускорения их выполнения. Для этого необходимо как можно более точно оценить степень трудности своевременного выполнения всех работ, а также всех «цепочек» пути. Более точным инструментом решения этой задачи, по сравнению с полным резервом, является коэффициент напряженности. Его можно вычислить по следующим формулам:
где t ( ) - продолжительность максимального пути, проходящего через работу (i, j);
- продолжительность отрезка рассматриваемого пути, совпадающего с критическим путем.
Коэффициент напряженности изменяется от 0 до 1 . Чем ближе он к 1 , тем сложнее выполнить данную работу в установленный срок.
Самыми напряженными являются работы критического пути, для которых = 1 .
На основе этого коэффициента все работы сетевого графика подразделяются на три группы:
1) (i,j) > 0,8 - напряженные;
2) 0,6 < (i,j) < 0,8 - подкритические;
3) (i,j) < 0,6 - резервные.
В результате перераспределения ресурсов стараются максимально уменьшить общую продолжительность работ. Для этого необходимо все работы перевести в первую группу.
Пример 1. Ставропольский кондитерский цех решил закупить новое оборудование. Исходные данные по основным операциям проекта представлены в таблице. Необходимо построить сетевую модель проекта, определить временные параметры модели, критический путь и проанализировать, как влияет на ход выполнения проекта задержка определенного типа оборудования на 12 часов.
Решение. Построим сетевую модель по условию задачи.
Работы и введены для устранения параллельности работ Г и Д . Расчет критического пути включает два этапа. Первый называется прямым проходом. Вычисления начинают с исходного собьпия и продолжают до тех пор, пока не будет достигнуто завершающее событие. Для каждого события вычисляет одно число, представляющее ранний срок его наступления. На втором этапе, называемом обратным проходом, вычисления начинают с завершающего события и продолжают, пока не будет достигнуто исходное событие. Для каждого события вычисляется поздний срок его наступления.
Найдем ранние сроки наступления событий:
Найдем поздние сроки наступления событий для завершающего события 6 (6) = (6).
(5) = (6)-t (5, 6) = 52 -18 = 34.
(4) = (5) – t (4, 5) = 34-19 = 15.
(3) = min { (4); (2)} = min {15, 16} = 15.
(2) = (5) – t (2, 5) = 34 - 18 = 16.
(1)=min { (2) -t (1, 2); (3) - t (1, 3);
(4) - t (1, 4)} =min {6; 0; 10} = 0
При поиске критических путей на сетевом графике будем использовать следующие условия его критичности:
необходимое условие - нулевые резервы событий, лежащих на критическом пути;
достаточное условие - нулевые полные резервы работ, лежащих на критическом пути.
Согласно необходимому условию два полных пути сетевой модели могут быть критическими:
L 1 =1, 3, 4, 5, 6 и L 2 =1, 4, 5, 6 . Проверим достаточное условие критичности для работ (1, 3) и (1, 4)
Путь L 2 , начинающийся с работы (1, 4) не является критическим, так как минимум одна (1, 4) из его работ не является критической. Работа (1, 4) имеет не нулевой полный резерв, а значит, может быть задержана с выполнением, что недопустимо для критических работ.
Таким образом, сетевая модель имеет единственный критический путь ,=1, 3, 4, 5, 6, длительностью
= 52 часа . За выполнением работ этого пути необходим особый контроль, так как любое увеличение их длительности нарушит срок выполнения проекта в целом.
Работа А или (1, 2) не является критической, ее полный резерв равен 1 часу .
Это означает, что при задержке работы в пределах 1 часа срок выполнения проекта не будет нарушен. Поэтому, если согласно условию работа А задержится на 12 часов , то весь проект задержится на 11 часов .
Пример 2. Компания «АВC» реализует проекты серийного производства различных видов продукции. Каждый проект обеспечивает получение в неделю 100 тыс. у. д . е. дополнительной прибыли. Перечень работ и их характеристики представлены в таблице.
