Метод анализа иерархий (МАИ), предложенный Т.Л. Саати, основан на парных сравнениях альтернативных вариантов по различным критериям с использованием девятибалльной шкалы и последующим ранжированием набора альтернатив по всем критериям и целям. Взаимоотношения между критериями учитываются путем построения иерархии критериев и применением парных сравнений для выявления важности критериев и подкритериев.

К основным процедурам метода анализа иерархий относятся следующие:

Генерация множества альтернативных вариантов;

Формирование множества критериев для оценки альтернативных вариантов и представление его в виде иерархии;

Выявление предпочтений экспертов на множестве альтернатив по различным критериям;

Установление относительной важности влияния критериев на общую цель и другие критерии;

Получение ранжированных наборов альтернатив по всем критериям и целям.

Все оценки определяются экспертами. Сначала эксперты генерируется множество допустимых альтернатив, среди которых необходимо провести выбор лучшей альтернативы или упорядочивание всех элементов.

Вершиной иерархий обычно является глобальная цель, на следующих уровнях присутствуют критерии и на самом нижнем уровне - альтернативы.

Иерархическая структура критериев и целей является моделью знаний конкретной предметной области, которая изменяется и уточняется с течением времени.

Элементы одного уровня иерархии попарно сравниваются по силе их влияния на элементы более высокого уровня. Результаты заносятся в матрицу попарных сравнений. При сравнении элемента с самим собой имеем равную значительность «1», т.е. главная диагональ матрицы состоит из единиц. В МАИ используется 9-балльная шкала вида:

Интенсивности относительной важности	Определение	Объяснение
	Равная важность	Равный вклад двух объектов в достижении цели
	Умеренное превосходство одного над другим	Опыт и суждения дают легкое превосходство одному объекту над другим
	Существенное или сильное превосходство	Опыт и суждения дают сильное превосходство одному объекту над другим
	Значительное превосходство	Одному объекту дается настолько сильное превосходство над другим, что оно становится значимым
	Очень сильное превосходство	Очевидность превосходства одного объекта над другим подтверждается наиболее сильно
	Промежуточные значения между двумя соседними суждениями	Принимаются в компромиссных случаях
Обратные величины приведенных чисел	Если при сравнении одного объекта с другим получено одно из вышеуказанных чисел (например 3), то при сравнении второго объекта с первым получим обратную величину (т.е.1/3)

Следующий шаг состоит в вычислении вектора приоритетов по данной матрице. Существует несколько методов оценки этого вектора. Например, суммировать элементы каждой строки матрицы и нормировать делением каждой суммы на сумму всех элементов матрицы. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта, второй - второго объекта и т.д.

В общем случае (при наличии более трех уровней) иерархия оценивается следующим образом:

1. Производится попарное сравнение элементов 2-го уровня по степени влияния на выполнение цели. Результаты заносятся в матрицу попарных сравнений A 1 ;

2. Производится попарное сравнение элементов 3-го уровня по степени влияния на каждый критерий 2-го уровня. Результаты заносятся в n 1 (n 1 - количество критериев) матриц попарных сравнений A 11 ...A n1 ;

3. Действия п.2 повторяются для всех оставшихся уровней (если они есть);

4. Для каждой матрицы вычисляется вектор приоритетов;

5. Каждый элемент вектора приоритетов 2-го уровня умножается на соответствующий элемент вектора приоритетов каждой из матриц (A 11 ...A n1). После сложения всех произведений получается вектор приоритетов 3-го уровня;

6. Действия п.5 выполняются для всех оставшихся уровней.

В результате получается вектор приоритетов n-го уровня по степени влияния на выполнение цели.

Уровень цели

5. Месторасположение

4. Коллектив

2. Интересно

Уровень критериев Вектор приоритетов (0,4; 0,15; 0,25; 0,1; 0,1)

Уровень альтернатив

Матрицы попарных сравнений альтернатив имеют вид (всего их 5 – по количеству критериев, для каждого критерия своя матрица):

Векторы приоритетов альтернатив:

По критерию 1 – (0,5; 0,3; 0,2)

По критерию 2 – (0,4; 0,4; 0,2)

По критерию 3 – (0,3; 0,3; 0,4)

По критерию 4 – (0,2; 0,3; 0,5)

По критерию 5 – (0,1; 0,3; 0,6)

По влиянию на цель – (0, 365; 0,315; 0,31) Выбирается альтернатива А

0,4×0,5+0,15×0,4 + 0,25×0,3 + 0,1×0,2 + 0,1×0,1 = 0,365

0,4×0,3+ 0,15×0,4+ 0,25×0,3+ 0,1×0.3+ 0,1×0,3 = 0,315

0,4×0,2+ 0,15×0,2+ 0,25×0,4+ 0,1×0,5+0,1×0,6 = 0,32

В рамках МАИ нет общих правил для формирования структуры модели принятия решения. Это является отражением реальной ситуации, поскольку всегда для одной и той же проблемы имеется целый спектр мнений. Метод позволяет учесть это обстоятельство с помощью построения дополнительной модели для согласования различных мнений, посредством определения их приоритетов . Таким образом, метод позволяет учитывать «человеческий фактор» при подготовке принятия решения. Это одно из важных достоинств данного метода перед другими методами принятия решений.

Формирование структуры модели принятия решения в МАИ достаточно трудоемкий процесс. Однако в итоге удается получить детальное представление о том, как именно взаимодействуют факторы, влияющие на приоритеты альтернативных решений, и сами решения. Как именно формируются рейтинги возможных решений и рейтинги, отражающие важность факторов.

В рамках МАИ нет средств для проверки достоверности данных. Этот недостаток ограничивает отчасти возможности применения метода. Однако метод применяется главным образом в тех случаях, когда в принципе не может быть объективных данных, а ведущими мотивами для принятия решения являются предпочтения людей.

Работа по подготовке принятия решений часто является слишком трудоемкой для одного человека. Однако применение метода позволяет разбить большую задачу, на ряд малых самостоятельных задач. Благодаря этому для подготовки принятия решения можно привлечь экспертов, работающих независимо друг от друга над локальными задачами.

Метод дает только способ рейтингования альтернатив, но не имеет внутренних средств для интерпретации рейтингов, т.е. считается, что ЛПР, зная рейтинг возможных решений, должен в зависимости от ситуации сам сделать вывод. Это следует признать недостатком метода.

Метод дает удобные средства учета экспертной информации для решения различных задач. Он отражает естественный ход человеческого мышления и дает не только способ выявления наиболее предпочтительного решения, но и позволяет количественно выразить степень предпочтительности по средством рейтингования. Это способствует полному и адекватному выявлению предпочтений ЛПР. Кроме того, оценка меры противоречивости использованных данных позволяет установить степень доверия к полученному результату.

Примечание. Упомянутая в 2.3.2 схема оценки альтернативы по совокупности оценок ее эффективности для множества частных критериев может использоваться в рамках других МПР как самостоятельный алгоритм принятия решения на основе линейной свертки оценок по частным критериям:

1. Для каждой допустимой альтернативы A 1 ,…,A n оценить степень удовлетворения ею каждого из частных критериев К 1 ,…,К m в единой балльной шкале. В результате получаем матрицу оценок вида

с 11 ,…,с 1 m

с n 1 ,…,с nm

где с ij , 1≤i≤n, 1≤j≤m – оценка степени выполнения критерия К j в случае выбора альтернативы A i

2. Оценить относительную важность (построить веса) критериев

3 Для каждой из альтернатив A i , i=1,…,n оценить степень удовлетворения ею общей цели ЗПР как взвешенное среднее вида

3 В качестве решения выбрать ту альтернативу, которой соответствует максимальная оценка

2.3.3 Нечеткое множество и функция принадлежности

Построение моделей автоматизации процесса принятия решений для задач управления на основе экспертной информации, имеющих нечеткое описание, базируется на понятиях «нечеткое множество» и «лингвистическая переменная».

2.3.3.1 Коротко остановимся на понятии лингвистической переменной. Не вдаваясь в тонкости, ее можно определить как переменную, значениями (термами) которой являются не числа, а слова или предложения естественного (или формального) языка. Например, лингвистическая переменная "возраст" может принимать следующие значения: очень молодой, молодой, среднего возраста, старый, очень старый и другие - в зависимости от требуемой степени детальности описания. Ясно, что переменная "возраст" будет обычной переменной, если ее значения - точные числа; лингвистической она становится будучи использована в нечетких рассуждениях человека.

Каждому терму лингвистической переменной соответствует определенное нечеткое множество со своей функцией принадлежности, которая описывает совместимость этого терма с различными числовыми значениями.

Пример возможного соответствия значений лингвистической переменной «оценка» количественным интервальным значениям

Более детально с понятием лингвистической переменной и многочисленными примерами можно познакомиться в книге Заде, Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к понятию приближенных решений / Л.А. Заде. – М.: Мир, 1976.

2.3.3.2 В обычной теории множеств существуют несколько способов задания множества. Одним из них является задание с помощью характеристической функции, определяемой следующим образом. Пусть U - так называемое универсальное множество, из элементов которого образованы все остальные множества, рассматриваемые в настоящей задаче, например множество всех целых или действительных чисел и т.д. Характеристическая функция подмножества A  U - это функция mA, значения которой указывают, является ли элемент x из U элементом множества A. В классической теории множеств эта функция принимает два значения: mA(х)=0 (х не является элементом А) и mA(х)=1 (х является элементом А).

С точки зрения характеристической функции нечеткие множества являются естественным обобщением обычных множеств, когда мы отказываемся от бинарного характера этой функции и предполагаем, что она может принимать любые значения из отрезка . В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности , а ее значение mA(x) - степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству A.

В результате нечеткое множество определяется набором пар {(x; mA(x))}, где mA - функция принадлежности

Например, запись A = {(a; 0), (b; 0,1), (c; 0,5), (d; 0,9), (e; 1)} может трактоваться следующим образом: элемент a не принадлежит множеству A, элемент b принадлежит ему в малой степени, элемент c более или менее принадлежит, элемент d принадлежит в значительной степени, e является элементом A.

Потребность в таких множествах часто возникает при рассмотрении плохоформализуемых свойств и понятий. Например, как формализовать понятие «молодой человек». Не будешь же людей младше 25 четко причислять к числу молодых, а людей старше 25 четко не причислять к молодым. Если через М обозначить множество молодых людей, то разумнее, например, принять градацию типа mМ(x)=1 для людей младше 25 лет, mМ(x)=0,8 для людей младше 30 лет, mМ(x)=0 для людей старше 50 лет и т.д.

Конкретный вид функций принадлежности определяется на основе различных дополнительных предположений о свойствах этих функций (симметричность, монотонность, непрерывность первой производной и т.д.) с учетом специфики имеющейся неопределенности, реальной ситуации на объекте и числа степеней свободы в функциональной зависимости. Вид данной функции носит в значительной мере субъективный характер. Уменьшить степень этой субъективности можно, используя метод экспертных оценок, суть которого состоит в том, что как вид функции принадлежности, так и значения соответствующих параметров являются результатом коллективного творчества группы специалистов в рассматриваемой области - экспертов.

Во многих практических ситуациях функция принадлежности должна быть оценена исходя из частичной информации о ней, скажем такой, как значения, принимаемые ею на конечном множестве опорных точек х 1 ,...,х n . В этом случае говорят, что она частично определена с помощью "поясняющего примера".

На рис. приведены все основные виды функций принадлежности, применяемые в теории нечетких множеств.

Рис.4.1. Примеры различных способов построения функций принадлежности.

Рисунок – Классификация методов построения функций принадлежности нечетких множеств

Прямые методы характеризуются тем, что эксперт непосредственно задает правила определения значений функции принадлежности μ А (х), характеризующей элемент х.

Эти значения согласуются с его предпочтениями на множестве элементов Х следующим образом:

1. Для любых х 1 , х 2 Î Х μ А (х 1) < μ А (х 2) тогда и только тогда, когда х 2 предпочтительнее х 1 , т.е. в большей степени характеризуется свойством А;

2. Для любых х 1 , х 2 Î Х μ А (х 1) = μ А (х 2) тогда и только тогда, когда х 1 и х 2 безразличны относительно свойства А.

Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Разновидностями прямых методов являются прямые групповые методы , когда, например, группе экспертов предъявляют конкретный объект, и каждый должен дать один из двух ответов: принадлежит или нет этот объект к заданному множеству. Тогда число утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение функции принадлежности объекта к данному нечеткому множеству.

Прямыми методами являются также непосредственное задание функции принадлежности таблицей, графиком или формулой.

Из анализа результатов исследований и решения практических задач, связанных с необходимостью обрабатывать информацию, известно, что прямые методы в основном используются в качестве вспомогательных, т. к. характеризуются большой долей субъективизма.

Косвенные методы построения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяются нечеткие множества.

В косвенных методах значения функции принадлежности выбираются таким образом, чтобы удовлетворить заранее сформулированным условиям . Экспертная информация является только исходной информацией для дальнейшей обработки. Дополнительные условия могут налагаться как на вид получаемой информации, так и на процедуру ее обработки. К таким методам относятся статистический метод, метод парных сравнений, метод экспертных оценок и ряд других. Например, метод построения функции принадлежности на основе парных сравнений основан на обработке матриц оценок, отражающих мнение эксперта об относительной принадлежности элементов множеству или степени выраженности у них свойства, формализуемого множеством. Метод статистических данных основан на обработке статистической информации. В качестве степени принадлежности элемента множеству принимается оценка частоты использования понятия, задаваемого нечетким множеством, для характеристики элемента.

На универсальной шкале необходимо разместить значения лингвистической переменной: ОЧЕНЬ МАЛО, МАЛО, СРЕДНЕ, МНОГО, ОЧЕНЬ МНОГО. Тогда степень принадлежности некоторого значения вычисляется как отношение числа экспериментов, в которых оно встречалось в определенном интервале шкалы, к максимальному для этого значения числу экспериментов по всем интервалам . Метод основывается на условии, что в каждый интервал шкалы попадает одинаковое число экспериментов. Это условие часто не соблюдается. В реальных случаях составляется эмпирическая таблица, в которой эксперименты могут быть распределены неравномерно по интервалам, а в некоторые интервалы могут вообще не попасть.

Данный метод может быть использован для формализации задачи выбора альтернатив, т. к. эксперты могут определить конкретное множество допустимых альтернатив и удалить не нужные. В данном случае оценки отдельных экспертов можно рассматривать как независимые реализации случайной величины.

Построение функции принадлежности на основе экспертных оценок - данный метод построения функций принадлежности основан на использовании нечетких чисел, приблизительно равных некоторому четкому числу, и приближенных интервальных оценок, отражающих мнения экспертов по рассматриваемому вопросу. Задача сводится к отысканию параметров заранее заданной (экспоненциальной) функции, при решении которой используются результаты экспертного опроса. Этот метод часто целесообразнее всего использовать при решении задач выработки и оценки альтернатив.

Построение функций принадлежности на основе интервальных оценок. Данный метод применяется для формализованного представления задач выбора, в которых отсутствует четкая грань между допустимым и недопустимым (в пространстве неуправляемых параметров) и между идеальным и неудовлетворительным состояниями (в пространстве критериев).

Одним из наиболее эффективным методов решения слабоструктурированных задач управления является метод анализа иерархий (МАИ), разработанный Т. Саати. Этот метод оказывается полезным при принятии решений на основе как формализованных, так и неформализованных факторов.

Главной чертой МАИ является то, что он отражает естественное мышление человека, принимающего решение независимо от широты спектра проблемы.

МАИ состоит в декомпозиции проблемы на простые части и элементы, которые оцениваются в шкале МАИ в виде суждений ЛПР (экспертов). А затем на основании обработки совокупности суждений методом матричной алгебры получаются конечные оценки в решении рассматриваемой проблемы. При этом определяется относительная степень взаимного влияния в иерархии.

Цель, факторы показательного оценивания и альтернативы образуют иерархическую структуру (рис. 7).

Рис. 7 Дерево целей МАИ: f1,f2,f3 - факторы (показатели), определяющие описание альтернатив; a1,a2,...an - множество альтернатив

Рассмотрение этой схемы (рис. 7) позволяет сформулировать ряд положений, отражающих сущность метода «анализа иерархий».

1. Число уровней иерархии, описывающих конкретную прикладную задачу, может быть различно и зависит от специфики задачи. Каждый элемент верхнего уровня является «направляющим» для элементов нижнего уровня иерархии. Это означает, что важность (весовой коэффициент факторов описываемой альтернативы) рассматривается относительно цели выбора альтернатив. Поэтому при бинарном сравнении факторов каждый из них оценивается относительно поставленной цели выбора и соответственно определяет уровни взаимного предпочтения.

2. Попарные сравнения факторов осуществляются в терминах доминирования одного из элементов над другим. Эти суждения в шкале МАИ выражаются в целых числах. Если элемент А доминирует над элементом В, то клетка квадратичной матрицы, соответствующей строке А и столбцу В, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке B и столбцу A, заполняется обратным к нему числом. Если A и B эквивалентны, то в обе позиции записывается 1.

3. Для получения каждой матрицы требуется n×(n-1)/2 суждений, где n – число факторов, если сравнение проводится среди них, или n – число альтернатив, если они сравниваются по каждому фактору.

4. При бинарном сравнении альтернатив, в особенности при близких оценках их показателей, возможны случаи нарушения требований транзитивности или других ошибок в суждениях, поэтому МАИ предусматривает специальный механизм определения согласованности оценок.

Обработка результатов осуществляется на базе методов матричного анализа с использованием ряда специальных процедур оценки предпочтений ЛПР на основании шкалы МАИ (табл. 18).

Таблица 18

Шкала отношений МАИ

Г.А. КАЛАБУХОВ, заместитель руководителя Управления Федерального агентства кадастра объектов недвижимости по Воронежской области, кандидат экономических наук наук

Ю.Н. ГАЛКИНА, заместитель начальника отдела формирования, инвентаризации, организации ведения кадастра и оценки объектов недвижимости Управления Федерального агентства кадастра объектов недвижимости по Воронежской области, доцент кафедры экономика строительства Воронежского государственного архитектурно строительного университета, кандидат экономических наук

Процессы принятия решений в различных сферах деятельности бывают во многом аналогичны. Кроме того, во многом схожи и сопутствующие проблемы. Поэтому необходим метод, позволяющий по универсальным правилам оказывать поддержку принятия решений и соответствующий естественному ходу мышления лиц, принимающих решения. Обобщая опыт принятия решений в экономике, социальной сфере, на производстве и в других сферах человеческой деятельности , можно высказать ряд эмпирических требований к свойствам метода, призванного обеспечить поддержку процесса принятия решения.

1. Метод должен соответствовать естественному ходу человеческого мышления. Следует иметь в виду, что математические способы, положенные в основу метода, не должны заменять человеческий ум и опыт в интерпретации реального мира.

2. Метод должен служить универсальной систематической основой принятия решения, позволяющей ставить процесс принятия решений на поток.

3. Метод должен позволять решать проблему принятия решений с учетом ее реальной сложности и других сопутствующих проблем.

4. Метод должен предполагать обоснованный и понятийный способ рейтингования возможных решений. Иначе процесс принятия решений может носить неопределенный характер, а потенциальные возможности могут оказаться нереализованными.

5. Метод должен учитывать как имеющуюся количественную информацию, так и качественную информацию о предпочтениях лица принимающего решения, что чрезвычайно важно для экономики, управления, социальной сферы.

6. Метод должен учитывать тот факт, что часто (особенно для масштабных задач) имеется множество решений. Как следствие несистематический процесс принятия решений несет в себе неопределенность, сказывающуюся на качестве решений. Кроме того, для выбора лучшего решения далеко не всегда удается построить логическую цепочку рассуждений, когда из двух вариантов можно выбрать только один и компромиссы недопустимы. Поэтому для обеспечения ясности необходим механизм количественного ранжирования (установки приоритетов) для возможных решений.

7. Метод должен учитывать тот факт, что, как правило, имеется множество мнений и стилей принятия решения. В процессе выработки единого решения возможны конфликты. Поэтому нужны механизмы достижения согласия.

Для реального процесса подготовки принятия решения необходимо решить следующие задачи.

1. Выявить наиболее противоречивые этапы создания модели для поддержки принятия решения:

а) является ли рассматриваемый набор решений полным;

б) учтены ли все группы факторов, влияющих на выбор наиболее приоритетного решения;

в) определены ли существенные влияния главного критерия, факторов и альтернатив друг на друга;

г) известны ли сравнительные оценки того, как сильно влияют главный критерий, факторы и альтернативы друг на друга, имеются ли противоречия в оценках;

д) имеются ли альтернативные мнения по рассматриваемой проблеме, насколько они различаются.

2. Разбить большую задачу о принятии решения на ряд малых задач (провести анализ), что позволит распределить работу по подготовке принятия решения. Представить в понятной форме схему взаимодействия факторов, влияющих на формирование приоритетов решений, и самих решений (провести синтез), т. е. составить схему задачи принятия решения.

3. Оценить и минимизировать противоречивость данных, использующихся для определения приоритетов рассматриваемых решений.

4. Предварительно установить условия, при которых по найденному рейтингу приоритетов возможных решений можно сделать выбор лучшего решения.

5. Выяснить, все ли мыслимые варианты решений и факторов, влияющих на выбор решений, являются существенными или некоторые из них можно не рассматривать. Это весьма важно в ситуациях, когда рассматриваются проблемы большого масштаба или проблемы стратегического планирования.

6. Оценить устойчивость данных, полученных в результате применения метода анализа иерархий. В реальной ситуации практически невозможно гарантировать, что имеющиеся данные или представления о проблеме являются абсолютно точными. Поэтому необходимо проверить в какой мере изменяются приоритеты решений, если данные или схема принятия решения претерпят незначительные изменения.

7. Учесть, что обычно по рассматриваемой проблеме имеется множество мнений. Это приводит к необходимости выбора решения при наличии нескольких реальных схем принятия решения и нескольких наборов правдоподобных данных.

8. Организовать числовую обработку имеющейся качественной информации.

В рамках метода анализа иерархий нет общих правил для формирования структуры модели принятия решения. Это является отражением реальной ситуации принятия решения, поскольку всегда для одной и той же проблемы имеется спектр мнений. Метод позволяет учесть это обстоятельство с помощью построения дополнительной модели для согласования различных мнений, с помощью определения их приоритетов. Таким образом, метод позволяет учитывать человеческий фактор при подготовке принятия решений.

Формирование модели принятия решения в методе анализа иерархий - достаточно трудоемкий процесс. Сбор данных для поддержки принятия решения осуществляется главным образом с помощью процедуры парных сравнений. Результаты парных сравнений могут быть противоречивыми. Метод предоставляет большие возможности для выявления противоречий в данных. При этом возникает необходимость пересмотра данных для минимизации противоречий. Процедура парных сравнений и процесс пересмотра результатов сравнений часто являются трудоемкими. Однако в итоге лицо, принимающее решение, приобретает уверенность в том, что используемые данные и результаты являются вполне приемлемыми.

Схема метода совершенно не зависит от сферы деятельности, в которой принимается решение. Поэтому метод является универсальным, его применение позволяет организовать систему поддержки принятия решения. Модель, составляемая с помощью метода анализа иерархий, всегда имеет кластерную структуру. Метод позволяет разбить большую задачу на ряд малых самостоятельных задач. Благодаря этому для подготовки принятия решения можно привлечь экспертов, работающих независимо друг от друга над локальными задачами.

Данный метод предоставляет удобные средства учета экспертной информации для решения различных задач, в том числе для оценки земельных участков. Метод отражает естественный ход человеческого мышления. Он не только позволяет выявить наиболее предпочтительное решение, но и количественно выразить степень предпочтительности посредством рейтингового метода.

Условия обоснованного применения метода

1. Важным требованием, обеспечивающим обоснованность использования метода, является квалифицированность экспертов, принимающих участие в создании структуры модели принятия решения, подготовке данных и в интерпретации результатов, т. е. их способность давать правильную, непротиворечивую информацию. Эксперт должен быть осведомлен о степени развития земельного рынка, ориентироваться в ценовых приоритетах. Во многом обоснованность решения, принятого в результате оценки земельного участка с помощью иерархического анализа, связана:

а) с полнотой учета факторов, влияющих на формирование стоимости земельного участка;

б) с полнотой учета связей между целью оценки, факторами и возможными вариантами оценки;

в) с адекватностью формулировок критериев для парных сравнений тем целям, которые преследуют ся для построения модели оценки.

2. Модели, основанные на строгом иерархическом принципе, являются полилинейными и предполагают использование взвешенного суммирования для вычисления приоритетов в оценке земельного участка. При этом взаимная зависимость однотипных факторов, от которых зависят приоритеты решений, выясняется или путем парных сравнений, или не учитывается вовсе (например, доступность общественного транспорта или количество видов общественного транспорта для земель под жилую застройку). Таким образом, если учитываются сильно коррелирующие факторы, то соответствующая модель должна как минимум иметь обратные связи. Учет обратных связей позволяет установить опосредованные связи между однотипными факторами (через факторы других типов). Метод наиболее подходит для случаев, когда основная часть данных основана на предпочтениях лица, принимающего решения, т е. потенциального покупателя для данного земельного участка.

3. Результаты, полученные с помощью иерархических моделей (без обратных связей), являются статичными.

4. Сбор данных об оцениваемом и сравниваемых земельных участках и минимизация содержащихся в них противоречий могут подчас проводиться долго. При этом может оказаться, что в наборе данных не явно учитывается их разброс во времени (например, типичные земельные участки были проданы задолго до даты оценки). Это обстоятельство может привести к искажению результатов при моделировании быстро меняющихся ситуаций. Метод дает более реалистичные результаты при моделировании медленно меняющихся ситуаций, для принятия стратегических решений.

В методе анализа иерархий нет строгих правил создания моделей принятия решения. Вопрос о том, в какой мере модель соответствует ситуации принятия решения, остается открытым. Метод анализа иерархий позволяет лишь систематизировать процесс принятия решений, упорядочить процесс извлечения знаний из имеющейся информации. Поэтому для создания моделей принятия решения нужны опытные специалисты. Степень доверия к результатам, полученным с помощью метода анализа иерархии, часто совпадает со степенью доверия к экспертам, принимавшим участие в конструировании структуры модели, и сборе данных.

Существует следующая последовательность действий при оценке земельного участка с помощью метода анализа иерархий.

1. Определение набора возможных (альтернативных) решений и цели оценки (например, для продажи, для залога и т. п.).

2. Определение групп факторов, оказывающих влияние на формирование стоимости земельного участка.

3. Формирование уровней: первый (вершина) - главная цель (главный критерий) оценки; нижний - возможные варианты оценки (стоимости сравниваемых земельных участков); промежуточные - группы однотипных факторов, влияющих на оценку (месторасположение, транспортная доступность и т. п.). Сформированная многоуровневая структура модели дает предварительное представление о рейтинговом методе решений. На ней показаны узлы (цель, факторы, решения), сгруппированные по типам.

4. Выяснение структуры влияния между целью, факторами и решениями. При этом вначале необходимо выделить пары уровней, один из которых оказывает влияние на другой. Затем выяснить, между какими именно узлами выделенных уровней есть связи.

5. Анализ кластерной структуры модели принятия решения. При необходимости внесение корректив: добавление/удаление узлов и связей.

6. Внесение данных для кластеров: проведение сравнения для узлов каждого кластера и для кластеров, имеющих общую вершину или введение соответствующих векторов приоритетов.

7. Оценка качества данных (достаточность, согласованность, достоверность). При необходимости корректирование данных.

Если оказывается, что в масштабе модели данные недостаточно согласованы или недостаточно достоверны, целесообразно провести выборочное корректирование данных.

После того, как построена схематическая структура модели, отражающая ситуацию оценки, необходимо провести анализ структуры. При этом главным образом рассматриваются всевозможные пути, образованные связями. Эти пути, как правило, направлены от вершины модели (цель оценки) через узлы промежуточных уровней (через факторы, влияющие на стоимость земельного участка) к узлам нижнего уровня (к альтернативам). Т. е. каждый путь соответствует отдельной логической цепочке выбора альтернативы.

После того, как сформирована, проанализирована и откорректирована структура модели принятия решения, она наполняется данными. Готовая структура модели (все узлы, сгруппированные в уровни, и направленные связи между ними) всегда рассматривается как система кластеров. В соответствии с этим существуют два вида данных: данные для узлов кластера, данные для кластеров, подчиненных одному узлу (имеющих общую вершину). Оба вида данных можно получить, задав напрямую соответствующие векторы приоритетов, или с помощью парных сравнений. В последнем случае по результатам парных сравнений методом собственного вектора рассчитываются векторы приоритетов. Таким образом, подготовка данных связана с выбором того или иного способа получения данных. Каждый из них имеет свои достоинства и недостатки. Процедуры сравнения для кластеров с общей вершиной и для узлов одного кластера не имеют принципиальных различий.

Схема процедуры сравнений

1. Дан ряд однотипных земельных участков (кластеры с общей вершиной или узлы одного кластера).

2. Задан критерий сравнения объектов (формулировка критериев для парных сравнений связана с названием вершины, в нашем случае, по стоимости).

3. Подбор шкал для проведения сравнений.

4. Выбор способа сравнений.

5. Подбор определенного количества пар объектов. В градациях выбранной шкалы для каждой пары необходимо отметить, в какой мере один узел предпочтительнее другого по заданному критерию сравнения. Независимо от вида шкалы результаты парных сравнений имеют числовое выражение. Числовой результат парного сравнения двух объектов интерпретируется как экспертная оценка отношения их приоритетов (весов).

6. При необходимости парным сравнениям ставится в соответствие процентная оценка достоверности.

7. На основе результатов сравнений построение матрицы сравнений.

8. Соблюдение условия , или вычисление вектора приоритетов сравниваемых объектов. В результате применения традиционного способа сравнений оказывается заполненной наддиагональная часть матрицы (i≤j). Поддиагональную часть матрицы сравнений заполняем отношениями обратной симметрии вида

9. В результате применения способа сравнения обычно оказывается, что в матрице заполнена первая строка (известны элементы i-го вида). Построение первого столбца матрицы сравнений осуществляется способом отношений обратной симметрии. Деление каждого элемента полученного столбца на сумму его элементов и получение искомого вектора приоритетов.

10. Вычисление среднего значения достоверности проведенных сравнений и относительной согласованности сравнений, характеризующей степень их противоречивости.

11. Если сравнения признаны недостаточно согласованными или недостаточно достоверными, то проводится корректирование сравнений.

Показатели согласованности для системы в целом

Допустим, пронумерованы все уровни и узлы каждого уровня. Тогда каждому узлу можно поставить в соответствие пару натуральных чисел (i, j), где i - номер уровня, которому принадлежит данный узел; j - порядковый номер данного узла в уровне. Каждому кластеру можно поставить в соответствие три натуральных числа (i, j, k), где i - номер уровня, которому принадлежит вершина кластера; j - порядковый номер узла вершины данного кластера в уровне; k - номер уровня, в котором находится кластер. В этом случае вершине модели соответствует значение (1,1). Обозначим: - индекс согласованности для кластера (i, j, k), ( = 0, если для кластера (i, j, k) вектор приоритетов получен без проведения сравнений или с помощью способа сравнений с эталоном); &ndash случайный индекс для кластера (i, j, k).

Относительная согласованность для кластера (i, j, k) (если - индекс согласованности узла (i, j) без учета его приоритета в модели. Вклад набора данных для кластера (i, j, k) определяется показателями . Эти показатели можно использовать для определения кластеров, которые вносят наибольший вклад в противоречивость данных в масштабах всей модели. После этого проведение процедуры согласования можно построить по выборочному принципу. Уменьшение при изменении данных (например, при реализации процедуры согласования) свидетельствует об уменьшении противоречий в данных. При этом: а) повышается устойчивость результатов по отношению к малым изменениям данных или к незначительным изменениям структуры модели, б) уменьшаются искажения, возникающие при вычислении методом собственного вектора приоритетов узлов кластеров.

Оценка стоимости земельного участка методом иерархий относится к одной из разновидностей массовой оценки, в основе которой лежит принцип сравнения заданного земельного участка с типичными, уже проданными земельными участками.

Оценка какого-либо конкретного земельного участка - очень трудоемкая работа. Для определения стоимости методом анализа иерархий выбраны шесть незастроенных земельных участков, предоставленных для индивидуального жилищного строительства из земель поселений. Шесть земельных участков были проданы в период с 8 по 15 января 2005 г. Данные для расчета стоимости незастроенного земельного участка приведены в таблице 1.

Таблица 1

Исходные данные для расчета стоимости незастроенного земельного участка методом иерархий

Цель - определение стоимости предложенного земельного участка. Каждый из вариантов имеет свои преимущества и недостатки. Прежде всего рассматривается сочетание стоимости и комфорта. Следовательно, главными критериями первой иерархии являются стоимость и комфорт. Приоритеты между критериями устанавливаются по степени их влияния на выбор варианта. В данном случае предполагается, что стоимость и комфорт имеют равные приоритеты. Выбор можно представить в виде иерархии, которая состоит из уровней: выбор, критерии, варианты. Стрелки (связи) означают влияние одного узла на узел в другом уровне (рисунок 1).

Рисунок 1 – Основная иерархия оцениваемого варианта

Внешний комфорт жилого помещения, которое будет построено на данном земельном участке, складывается из престижности района, доступности общественного транспорта и близости остановки, расположения дома. Поэтому внешний комфорт для земельного участка можно представить в виде иерархии (рисунок 2).Рисунок 7 – Иерархия числа видов транспорта

Рисунок 8 – Иерархия общего числа маршрутов

Иерархия стоимости земельных участков представлена на рисунке 9.

Рисунок 9 – Иерархия стоимости земельных участков

Приоритеты между критериями устанавливаются по степени их влияния на выбор варианта. Развитость инфраструктуры можно представить в виде следующей иерархии (рисунок 10).

Рисунок 10 – Иерархия развитости инфраструктуры

На основе заданных характеристик земельных участков строим матрицу сравнений или вычисляем вектор приоритетов сравниваемых земельных участков. В результате применения традиционного способа сравнений оказывается заполненной наддиагональная часть матрицы (i≤j). Поддиагональную часть матрицы сравнений заполняем по способу отношений обратной симметрии. Первый столбец матрицы сравнений строим таким же образом. Затем делим каждый элемент полученного столбца на сумму его элементов и получаем искомый вектор приоритетов.

В итоге, после проведенных расчетов выполняется процедура сравнений. Результатом расчетов являются итоговые приоритеты для иерархии лучший вариант для покупателя и иерархии стоимость (таблица 2).

где - стоимость каждого из сравниваемых земельных участков; - итоговые приоритеты (коэффициенты).

Таблица 2

Расчет стоимости незастроенного земельного участка

Основные выводы

Имеется три стандартных метода оценки недвижимости: затратный, доходный и сравнения продаж, которые не дают возможности провести однозначную оценку недвижимости, поэтому в работе была предпринята попытка построения синтетического метода оценки недвижимости на базе метода анализа иерархий. Основное применение метода - поддержка принятия решений посредством иерархической композиции задачи и рейтингового метода альтернативных решений. Имея в виду это обстоятельство, можно перечислить возможности данного метода. Метод позволяет:

• унифицировать и заменить работу экспертов-оценщиков, а также понизить издержки на выплату заработной платы высококвалифицированным специалистам в риэлторских конторах, агентствах недвижимости;
• строить модели экспертного консилиума для оценки недвижимости, а также дополнительные иерархии для оценки компетентности экспертов;
• решать многокритериальные задачи оценки, устанавливать различные веса приоритетов и находить общую целевую функцию оцениваемого объекта;
• использовать процедуру для вычисления таких сложных характеристик, как отношение выгоды к затратам.

Таким образом, в методическом отношении наибольший интерес представляет массовая оценка всей территории города или крупной его части, процедурно предшествующая индивидуальной оценке и осуществляемая с помощью тех средств, которыми располагает коллектив специалистов, выполняющий массовую оценку. Индивидуальная оценка должна проводиться на основе массовой оценки. В ней принимает участие большое число специалистов, выполняющих оценочные работы по каждому земельному участку в отдельности (в крупном городе таких участков несколько десятков тысяч).

Список литературы

1. Гасилов В.В., Галкина Ю.Н. Моделирование процессов формирования рынка земельных ресурсов в Воронежской области. Современные сложные системы управления// Материалы междунар. науч. конф. - Старый Оскол, 2002. - С. 311.
2. Саати Т.Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий. - М.: Радио и связь, 1993. - 511 с.
3. Саати Т.Л., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем. - М.: Радио и связь, 1991. - 256 с.
4. Эллерман Д. Математические методы в оценке недвижимости. - Ин-т экономич. развития, Всемирный банк. - Апрель 1994. - С. 35.

Изложение алгоритма МАИ приведем, следуя и , для наглядности совместив формальное описание с примером.

2.1. Основные положения

Метод анализа иерархий является систематической процедурой для иерархического представления компонентов, определяющих суть любой проблемы . Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений лица, принимающего решение (ЛПР), по парным сравнениям. В результате может быть выражена относительная степень взаимодействия элементов. Эти суждения затем выражаются численно. Метод анализа иерархии включает процедуры синтеза множественных суждений, выявления приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений. Полученные таким образом значения являются оценками в шкале отношений и соответствуют некоторым численным оценкам.

Решение проблемы – это процедура поэтапного установления приоритетов. На первом этапе выявляются наиболее важные компоненты проблемы, на втором – наилучший способ проверки наблюдений, испытания и оценка альтернатив; на следующем этапе вырабатывается решение и оценивается его качество. Процесс может быть проведен также над последовательностью иерархий: в этом случае результаты, полученные в одной из них, используются в качестве входных данных при изучении следующей. Метод многокритериального отбора систематизирует процесс решения такой многоступенчатой задачи.

Основные принципы метода анализа иерархий

1. Принцип идентичности и декомпозиции . Предусматривает структурирование проблем в виде иерархии или сети.

2. Принцип сравнительный суждений (парных сравнений). Предполагает, что элементы задачи (альтернативы и критерии) сравниваются попарно с позиции их воздействия на общую характеристику.

3. Принцип синтеза приоритетов. Предполагает формирование набора локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов на элемент примыкающего сверху уровня.

2.2. Постановка задачи (пример)

Целью задачи является строительство аэропорта . Необходимо выбрать лучшую площадку для строительства аэропорта с точки зрения выделенных критериев. Комиссия по выбору постройки аэропорта предварительно отобрала из нескольких возможных три альтернативных варианта площадок – А1, А2, А3 . Было выявлено три основных критерия, влияющих на принятие решения о выборе площадки для строительства: 1 – стоимость строительства, 2 – время в пути от аэропорта до центра города, 3 – количество жителей, подвергающихся шумовым воздействиям. При решении задачи используется МАИ для поддержки процесса принятия решений.

2.3. Этапы маи

Этап 1. Построение иерархической структуры задачи многомерного выбора.

В общем случае простейшей трехуровневой иерархии структура имеет вид Рис.1.

Рис. 1. Обобщенна иерархическая структура проблемы

Этап 1. Структуризация.

Структуру решаемой задачи можно представить в виде иерархической структуры, показанной на Рис. 2.

Рис. 2. Иерархическая структура проблемы

Этап 2. Выполнение попарных экспертных сравнений элементов каждого уровня иерархий.

Рассмотрим элементы С 1 , С 2 , …, С n некоторого зафиксированного уровня иерархи. Мы хотим определить веса ѡ 1 , ѡ 2 , …,ѡ n влияния этих элементов на некоторый элемент вышестоящего уровня. Основным инструментом оценки влияния является матрица чисел по шкале отношений 1, …, 9 (табл. 1), представляющих суждения о парных сравнениях. Для представления приоритетов в МАИ выбран собственный вектор, принадлежащий наибольшему собственному значению указанной матрицы А . Обозначим через число (бал), соответствующее значимости (предпочтения) элементаС i по сравнению с элементом С j данного уровня иерархии по влиянию С i , С j на фиксированный элемент вышестоящего уровня (например К1 на Рис. 2):

Матрица А с содержательной точки зрения будет согласованной по оценкам при введении условия

С математической точки зрения это условие наделяет матрицу А свойством обратносимметричной матрицы. На главой диагонали матрицы А стоят 1.

Если оценки попарных сравнений известны точно, т.е. оценки основаны на экспериментальных измерениях, то

т.е. веса влияния элементов известны.

Например, если взвешиваются два предмета: С 1 =305,2 и С 2 =244,2, тогда отношение означает, что предметС 1 в 1,25 раз тяжелее предмета С 2 .

Для случая экспериментального измерения весов ѡ 1 , ѡ 2 , …,ѡ i ,…, ѡ n сравниваемых элементов на уровне иерархии согласованность считается полной , естественно, с точностью до погрешности измерительных приборов или расчетных методик. При экспертной оценке отношений (7) согласованность суждений и соответственно матрицы А будет не полной . Значит нужно разработать некоторую числовую меру отклонения согласованности матрицы А от идеальной (см. ниже формулу отношения согласованности (9)).

Теперь рассмотрим подробнее содержательный смысл требования согласованности в МАИ.

В МАИ под согласованностью суждений подразумевается не просто традиционное требование транзитивности предпочтений : если например, для индивидуума яблоки предпочтительнее апельсинов, а апельсины предпочтительнее бананов, то яблоки должны быть предпочтительнее бананов.

Схематически это можно записать так:

– знак предпочтения элемента в отношении двух элементов; ∩ – знак пересечения множеств (совместности).

В МАИ транзитивность наделяется количественными отношениями. Например, если яблоки в 2 раза предпочтительнее апельсин (по цене), а апельсины предпочтительнее бананов в 3 раза, то яблоки должны быть в 6 раз предпочтительнее бананов. Именно это автор МАИ Саати называет числовой (кардинальной) согласованностью предпочтений. Несогласованность означает отсутствие пропорциональности, которое может нарушить транзитивность.

МАИ не только показывает наличие несогласованности отдельных сравнений, но и дает численную оценку того, как сильно нарушена согласованность для всей рассматриваемой задачи.

Замечание. В простейшей версии МАИ считается, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем, кластером, стратой) независимы между собой, но все они влияют на каждый элемент другого (вышестоящего) уровня. Таким образом, общая задача многокритериального выбора сводится к задаче оценки влияния уровней иерархи (снизу-вверх либо сверху-вниз).

Теперь обратимся к расчетам для нашего примера.

Зафиксируем нижний (третий) уровень иерархи Рис. 2, содержащий элементы А1, А2, А3 альтернативных площадок для строительства аэропорта. Зафиксируем также один элемент К1 – стоимость строительства на уровне 2 иерархии.

Примечание: в МАИ можно формировать матрицу парных сравнений на основе любой шкалы отношений, применяемой для измеряемых свойств сравниваемых объектов. В этом случае экспертная оценка заменяется отношением двух соответствующих измерений. Новая шкала (собственный вектор), которая выводится из матрицы парных сравнений, содержащий оценки реальных измерений, будет эквивалентна той, которую можно получить путем нормирования соответствующих измерений.

Таблица 1

Шкала относительной важности

Матрица экспертных оценок влияния элементов А1, А2, А3 на элемент К1 второго уровня иерархии показана в таблице 2 (выделено темным цветом). В таблице 2 приведены также расчетные величины для определения максимального собственного значения и главного собственного вектораполученной матрицыА (алгоритм расчета этих величин описан в этапе 3 алгоритма в таблице 6).

Аналогично получены матрицы парных сравнений элементов А1, А2, А3 относительно критерия К2 (таблица 3) и критерия К3 (таблица 4).

Таблица 2

Матрица А С.1 парных сравнений альтернатив по первому критерию

Стоимость производства К1				W1
Сумма по столбцу СВ
λmax=3,44; ИС=0,22; ОС=0,379.

Таблица 3

Матрица А С.2 парных сравнений альтернатив по второму критерию

Стоимость производства К2				Компоненты собственного вектора W2	Нормализованные компоненты собственного вектора приоритетов
Сумма по столбцу СВ
λmax=3,04; ИС=0,22; ОС=0,03.

Таблица 4

Матрица А С.3 парных сравнений альтернатив по третьему критерию

Стоимость производства К3				Компоненты собственного вектора W3	Нормализованные компоненты собственного вектора приоритетов
Сумма по столбцу СВ
λmax=3,37; ИС=0,18; ОС=0,31.

Аналогично строиться матрица парных сравнений для второго уровня иерархий, элементами которого являются критерии К1, К2, К3 . Эта матрица показана в таблице 5 (выделено темным цветом).

Таблица 5

Матрица А С.4 парных сравнений критериев

				Компоненты собственного вектора W 4	Компоненты нормализованного собственного вектора приоритетов элементов второго уровня (критериев)
λmax=3,297; ИС=0,15; ОС=0,26.

Этап 3 . Определение вектора приоритетов.

В качестве вектора приоритетов для каждого уровня иерархии принят нормализованный главный собственный вектор матрицы попарных сравнений. Для расчета этих векторов используется приближенный метод 4 из оценки через средние геометрические.

Собственный вектор обеспечивает упорядочение приоритетов. Чем больше i -я компонента СВ, тем больше влияние i -го элемента в комплексе всех элементов анализируемого уровня иерархии на выделенный элемент С вышестоящего уровня.

Для нижнего уровня альтернатив (площадок для строительства А1, А2, А3 ) алгоритм расчета собственного вектора, относящийся к матрице парных сравнений из таблицы 2, показан в таблице 6. В таблице 2 показан также результат расчета – нормализованный собственный вектор .

Аналогично рассчитывается нормализованные собственные векторы для матриц парных сравнений А с.2 и А с.3 из таблиц 3 и 4.

Получены оценки: ;, которые отражены в таблицах 3 и 4.

Для второго уровня иерархии, включающего критерии К1, К2 и К3 , оценка нормализованного собственного вектора, характеризующие его приоритеты этого уровня по влиянию на единственный элемент верхнего (первого) уровня, т.е. цель выбора, производится по описанному выше алгоритму. Для матрицы парных сравнений А с.4 из таблицы 5, получены данные расчета: .

Таким образом, все векторы приоритетов для второго и третьего уровней иерархии получены.

Этап 4. Определение максимальных собственных значений и степени согласованности матриц парных сравнений.

Прежде чем перейти к синтезу оптимальной альтернативы с учетом всех элементов второго и третьего уровней иерархии, нужно убедиться в достаточном уровне согласованности всех матриц суждений А с.1 , А с.2 , А с.2 , А с.4 . Для этого нужно вычислить максимальные собственные значения этих матриц. В теории МАИ приводится следующий алгоритм расчета. Сначала суммируется каждый столбец суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца – на вторую компоненту и т.д. Затем полученные числа суммируются:

где k – номер матрицы парных сравнений (суждений); – вектор-строка столбцовых сумм матрицы суждений с номеромk ; – нормализованный собственный главный вектор матрицы сужденийА с. k , принадлежащий наибольшему собственному значению .

Таблица 6

Матрица парных сравнений альтернатив по первому критерию К1

К1	А1	А2	А3	Компоненты собственного вектора	Компоненты нормализованного вектора приоритетов
А1
А2
А3
Сумма по столбцам

В (8) умножение производится по правилу скалярного произведения векторов.

Например, для матрицы суждений А с.1 из таблицы 2 получим:

Максимальные собственные значения всех матриц суждения ,,,приведены соответственно в таблицах 2, 3, 4 и 5.

Этап 5 . Определение индексов согласованности и отношений согласованности для матриц суждений.

В общем случае под согласованностью понимается то, что при наличии основного (базового) массива необработанных данных все другие данные логически могут быть получены из них. Или другими словами, отношения элементов всей матрицы А не должны быть противоречивыми.

Из теории МАИ известно, что идеальная согласованность положительной обратносимметричной матрицы эквивалентна требованию

Заметим, что всегда верно, поэтому

Тогда степень согласованности матрицы суждений можно оценить мерой, называемой индексом согласованности (ИС)

Знаменатель – это число всех возможных парных сравнений данного элементав фиксированной строкеi для квадратной матрицы n -го порядка.

Следовательно, ИС имеет смысл отклонения от абсолютной согласованности, приходящегося на одно парное сравнение.

Вводится критерий, называемый отношением согласованности (ОС):

где СС – индекс случайной согласованности (СС).

СС определяется путем задания оценок по шкале отношений для случайно выбранных суждений при парных сравнениях и соответствующих им обратных величин для матрицыА. Значения СС в теории МАИ заранее вычислены и представлены в таблице 7.

Таблица 7

Случайная согласованность для случайных матриц

Приемлемая величина ОС – порядка 10% или менее. Если ОС выходит из этих пределов, то ЛПР должно провести более глубокие исследования задачи и проверить свои суждения, т.е. назначение величин в матрице парных сравнений.

В качестве примера приведем оценки для матрицы суждений А с.1 из таблицы 2:

Величины значения индекса согласованности и отношений согласованности для матриц суждений А с.1 , А с.2 , А с.3 , А с.4 показаны соответственно в таблицах 2, 3, 4 и 5.

Замечание. Формально отношения согласованности ОС 1 =0,378 для матрицы А с.1 , ОС 3 =0,31 для матрицы А с.3 и ОС 4 =0,26 для матрицы А с.4 являются неприемлемыми, т.е. уровень их согласованности очень мал. Требуется, чтобы ОС было меньше 0,1. Однако исправление указанных матриц суждения, а значит и всей задачи мы делать не будем, поскольку рассматриваемая задача носит учебный характер.

Этап 6. Синтез приоритетов уровней.

В математической теории иерархий разработан метод оценки воздействия уровня на соседний вышестоящий уровень путем композиции соответствующего вклада (приоритетов) элементов данного уровня по отношении к каждому элементу соседнего верхнего уровня. Композиция распространяется снизу-вверх. В принципе, можно рассматривать также распространение композиции сверху-вниз.

Математически «композиция» отображается оператором умножения. Как известно , в математической логике операция умножения отображает совместное действие сомножителей.

Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты (приоритеты альтернатив А 1 , А 2 , А 3 по каждому критерию) перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии критериями на которые воздействует этот элемент. Процедура продолжается до самого нижнего уровня. В формализованном виде процедура синтеза приоритетов имеет следующий вид.

Общий вектор приоритетов взаимного влияния уровня 3 альтернатив (А 1 , А 2 , А 3) и уровня 2 критериев (К1, К2, К3) на общую цель (уровень 1) равен:

где В – матрица компонент нормированных векторов приоритетов альтернатив первого снизу уровня (см. таблицы 2, 3 и 4); – нормированный вектор приоритета критериев второго уровня (таблица 5).

В (11) умножение производится по правилам умножения матрицы на вектор:

Для нашего примера:

Этап 7 . Выбор оптимально альтернативы.

Алгоритм оптимального выбора прост:

Таким образом, алгоритм оптимального многокритериального выбора приводит к выбору площадки А 1 для строительства аэропорта, так как ей соответствует наибольшее значение компоненты вектора общего приоритета

Достоинством метода анализа иерархий является направленность на сравнение реальных альтернатив. Метод может применятся в тех случаях, когда эксперты не могут дать абсолютной оценки альтернатив по критериям, а пользуются более слабыми сравнительными измерениями.

Метод анализа иерархий (Analytic Hierarchy Process - AHP), или подход аналитической иерархии предполагает декомпозицию проблемы на простые составляющие части и обработку суждений лица, принимающего решения (ЛПР). В результате определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии. Относительная значимость выражается численно в виде векторов приоритетов. Полученные таким образом значения векторов являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам.

Назначение . С помощью онлайн-калькулятора производятся вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровня - индексы однородности и отношения однородности .

Инструкция . Укажите количество уровней иерархии. Затем введите число критериев на каждом уровне. Нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word .

Количество уровней иерархии 2 3 4 5

Количество критериев на первом уровне: 1 2 3 4 5 6 7
Количество критериев на втором уровне: 1 2 3 4 5 6 7

Постановка задачи, решаемой с помощью метода анализа иерархий, заключается обычно в следующем.
Дано: общая цель решения задачи; критерии оценки альтернатив; альтернативы. Требуется: выбрать наилучшую альтернативу.
Подход AHP состоит из совокупности этапов:
1. Структуризация задачи виде иерархической структуры с несколькими уровнями: цели – критерии – альтернативы.
2. Попарное сравнение элементов каждого уровня лицом, принимающим решения. Результаты сравнения имеют числовой характер.
3. Вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровня. Проверка согласованности суждений ЛПР.
Подсчет количественной оценки качества альтернатив. Выбор лучшей альтернативы.
Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений. Данная шкала позволяет ЛПР ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа (таблица 2).

Таблица 2. Шкала отношений

Степень значимости	Определение	Объяснение
1	Одинаковая значимость	Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели
3	Некоторое преобладание значимости одного действия над другим	Существуют соображения в пользу предпочтения одного из действий, однако эти соображения недостаточно убедительны
5	Существенная или сильная значимость	Имеются надежные данные или логические суждения для того, чтобы показать предпочтительность одного из действий
7	Очевидная или очень сильная значимость	Убедительное свидетельство в пользу одного действия перед другим
9	Абсолютная значимость	Свидетельства в пользу предпочтения одного действия перед другим в высшей степени убедительны
2, 4, 6, 8	Промежуточные значения между двумя соседними суждениями	Ситуация, когда необходимо компромиссное решение
Обратные величины приведенных выше величин	Если действию i при сравнением с действием j приписывается одно из определенных выше чисел, то действию j при сравнении с действием i приписывается обратное значение	Если согласованность была постулирована при получении N числовых значений для образования матрицы

При использовании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должен поставить число в интервале от 1 до 9 или обратное значение.
Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов: элементы – родители и элементы – потомки. Элементы – потомки воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами – родителями. Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов – потомков, относящихся к определенному родителю. Парные сравнения производятся в терминах доминирования одного элемента над другим в соответствии со шкалой отношений.
Если элемент Е 1 доминирует над элементом Е 2 , то клетка матрицы, соответствующая строке Е 1 и столбцу Е 2 , заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке Е 2 и столбцу Е 1 , заполняется обратным к нему числом.
При проведении парных сравнений следует отвечать на вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее.
При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию – какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.

Теорема 1 . В положительной обратносимметрической квадратной матрице λ max ≥n.

Теорема 2 . Положительная обратносимметрическая квадратная матрица А согласованна тогда и только тогда, когда λ max =n.

Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта можно использовать отклонение величины максимального собственного значения λ max от порядка матрицы n.
Согласованность суждения оценивается индексом однородности (индексом согласованности) или отношением однородности (отношением согласованности) в соответствии со следующими формулами:

M(ио) - среднее значение индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений, которое основано на экспериментальных данных. Значение есть табличная величина, входным параметром выступает размерность матрицы (таблица 6).

Таблица 6. Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка матрицы

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
M(ио)	0	0	0,58	0,90	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49	1,51

В качестве допустимого используется значение OO≤0,10. Если для матрицы парных сравнений OO>0.1, то это свидетельствует о существенном нарушении логики суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.

Пример . Рассмотрим матрицу парных сравнений и вычислим приближенное значение главного собственного вектора:

Просуммируем элементы каждой строки и найдем сумму всех элементов матрицы:

Нормализуя вектор W s делением каждой координаты на величину S, получаем приближенное значение главного собственного вектора:

Приближенное значение максимального собственного значения можно найти по формуле λ max =e T AW, рассмотренной выше:

При таком вычислении главного собственного вектора и максимального собственного значения может оказаться, что согласованная в действительности матрица является несогласованной по вычислениям и наоборот.
Пример. Вычислим отношение согласованности рассматриваемой выше матрицы, взяв в качестве максимального собственного значения его точное и приближенное число.


При большей погрешности метода вычисления главного собственного вектора, отношение согласованности матрицы парных сравнений могло оказаться больше 0.01 .
Желательно использовать процедуры точного нахождения собственных значений и векторов матриц. Такое пожелание превращается в требование в особо ответственных задачах.

Пример (из книги Т. Саати). Рассмотрим общее благополучие индивидуума – высший уровень иерархии. На этот уровень в основном влияют детские, юношеские и взрослые впечатления. Факторы развития и зрелости, отражающиеся в благополучии, могут включать как влияние отца и матери в отдельности, так и их совместное влияние как родителей, социоэкономический фон, отношения с братьями и сестрами, группу ровесников, школьное обучение, религиозный статус и т.д.
На перечисленные выше факторы, которые составляют второй уровень иерархии, влияют соответствующие критерии. Например, влияние отца может быть разбито на категории, включающие его темперамент, строгость, заботу и привязанность. Отношение с братьями и сестрами можно дальше характеризовать их количеством, разницей в возрасте, полом; моделирование воздействия и роли ровесников обеспечивает более яркую картину влияния друзей, обучения в школе и учителей.
В качестве альтернативной основы описания для второго уровня можно включить чувство собственного достоинства, уверенность в будущем, адаптируемость к новым людям и новым обстоятельствам и т.д., влияющих или находящихся под влиянием расположенных выше элементов.
Более полная основа психологической предыстории может включать несколько сотен элементов на каждом уровне, выбранных экспертами и расположенных таким образом, чтобы получить максимальное понимание рассматриваемого индивидуума.
Рассмотрим ограниченный случай, где испытуемый чувствует, что уверенность в его силы подорвана и его социальная приспособляемость ослаблена запретами в детстве. Ему задают вопросы только о детских впечатлениях и просят попарно установить связь между следующими элементами на каждом уровне.
Построим иерархию, в которой: ОБ – общее благополучие; Д – чувство собственного достоинства; У – чувство уверенности в будущем; А – способность адаптироваться к другим; П – явная привязанность, проявленная по отношению к субъекту; Э – идеи строгости, этики; Н – действительное наказание ребенка; Л – подчеркивание личной приспособляемости к другим; М – влияние матери; О – влияние отца; Р – влияние обоих родителей.

Рисунок 1 - Иерархическая схема общего благополучия индивидуума








Осуществим иерархический синтез:

Индивидууму посоветовали больше общаться с отцом с целью уравновешивания влияния родителей.
В приведенном примере некоторые матрицы несогласованные. Однако следует понимать, что человеку в данной ситуации нельзя было повторно задавать одни и те же вопросы до тех пор, пока все матрицы не стали бы однородными.
После решения задачи синтеза иерархии, оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей однородности всех уровней, приведенных путем взвешивания к первому иерархическому уровню.