Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Однако первыми уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур, а также П. Г. Тэйт и У. Дж. Стил из Кембриджского университета соответственно в 1810-1811 гг. и в 1856 году.

Формула Циолковского может быть получена путём интегрирования дифференциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы :

m \cdot \frac {d\vec{V}}{dt}+ \vec{u} \cdot \frac {dm}{dt}=0 , в котором m - масса точки; V - скорость точки; u - относительная скорость, с которой движется отделяющаяся от точки часть её массы. Для ракетного двигателя эта величина и составляет его удельный импульс I \Delta v_{g}\ = \int\limits_{0}^{t} g(t)\cdot \cos(\gamma (t))\,dt,

где g(t) и \gamma (t) - местное ускорение гравитации и угол между вектором силы тяги двигателя и местным вектором гравитации, соответственно, являющиеся функциями времени по программе полёта. Как видно из таблицы 1, наибольшая часть этих потерь приходится на участок полёта первой ступени. Это объясняется тем, что на этом участке траектория отклоняется от вертикали в меньшей степени, чем на участках последующих ступеней, и значение \cos(\gamma (t)) близко к максимальному значению - 1.

Аэродинамические потери вызваны сопротивлением воздушной среды при движении ракеты в ней и рассчитываются по формуле:

\Delta v_{a}\ = \int\limits_{0}^{t} \frac {A(t)}{m(t)} \,dt,

где A(t) - сила лобового аэродинамического сопротивления, а m(t) - текущая масса ракеты. Основные потери от сопротивления воздуха также приходятся на участок работы 1-й ступени ракеты, так как этот участок проходит в нижних, наиболее плотных слоях атмосферы.

Корабль должен быть выведен на орбиту со строго определёнными параметрами, для этого система управления на активном участке полёта разворачивает ракету по определённой программе, при этом направление тяги двигателя отклоняется от текущего направления движения ракеты, а это влечёт за собой потери скорости на управление, которые рассчитываются по формуле:

\Delta v_{u}\ = \int\limits_{0}^{t} \frac {F(t)}{m(t)} \cdot(1 - \cos(\alpha (t))) \,dt,

где F(t) - текущая сила тяги двигателя, m(t) - текущая масса ракеты, а \alpha (t) - угол между векторами тяги и скорости ракеты. Наибольшая часть потерь на управление ракеты приходится на участок полёта 2-й ступени, поскольку именно на этом участке происходит переход от вертикального полёта в горизонтальный, и вектор тяги двигателя в наибольшей степени отклоняется по направлению от вектора скорости ракеты.

Использование формулы Циолковского при проектировании ракет

Выведенная в конце XIХ века, формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массовых характеристик.

Путём несложных преобразований формулы получаем следующее уравнение:

\frac {M_{1}} {M_{2}} = e^{V/I} (1)

Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса . Введём следующие обозначения:

M_{0} - масса полезного груза; M_{k} - масса конструкции ракеты; M_{t} - масса топлива.

Масса конструкции ракеты в большом диапазоне значений зависит от массы топлива почти линейно: чем больше запас топлива, тем больше размеры и масса ёмкостей для его хранения, больше масса несущих элементов конструкции, мощнее (следовательно, массивнее) двигательная установка. Выразим эту зависимость в виде:

M_{k}=\frac {M_{t}} {k}, (2) где k - коэффициент, показывающий, какое количество топлива приходится на единицу массы конструкции. При рациональном конструировании этот коэффициент в первую очередь зависит от характеристик (плотности и прочности) конструкционных материалов, используемых в производстве ракеты. Чем прочнее и легче используемые материалы, тем выше значение коэффициента k. Этот коэффициент зависит также от усреднённой плотности топлива (для менее плотного топлива требуются ёмкости бо́льшего размера и массы, что ведёт к снижению значения k).

Уравнение (1) может быть записано в виде:

\frac {M_{0}+ M_{t}+M_{t}/k} {M_{0}+M_{t}/k}=e^{V/I},

что путём элементарных преобразований приводится к виду:

M_{t}=\frac {M_{0} \cdot k \cdot (e^{V/I}-1)}{k+1- e^{V/I}} (3)

Эта форма уравнения Циолковского позволяет рассчитать массу топлива, необходимого для достижения одноступенчатой ракетой заданной характеристической скорости, при заданных массе полезного груза, значении удельного импульса и значении коэффициента k.

Разумеется, эта формула имеет смысл, только когда значение, получающееся при подстановке исходных данных, положительно. Поскольку экспонента для положительного аргумента всегда больше 1, числитель формулы всегда положителен, следовательно, положительным должен быть и знаменатель этой формулы: k+1- e^{V/I}>0 , иначе говоря, k>e^{V/I}-1 (4)

Это неравенство является критерием достижимости одноступенчатой ракетой заданной скорости V при заданных значениях удельного импульса I и коэффициента k. Если неравенство не выполняется, заданная скорость не может быть достигнута ни при каких затратах топлива: с увеличением количества топлива будет возрастать и масса конструкции ракеты и отношение начальной массы ракеты к конечной никогда не достигнет значения, требуемого формулой Циолковского для достижения заданной скорости.

Пример расчёта массы ракеты

Требуется вывести искусственный спутник Земли массой M_{0}=10 т на круговую орбиту высотой 250 км. Располагаемый двигатель имеет удельный импульс I=2900 м/c . Коэффициент k=9 - это значит, что масса конструкции составляет 10 % от массы заправленной ракеты (ступени). Определим массу ракеты-носителя .

Первая космическая скорость для выбранной орбиты составляет 7759,4 м/с, к которой добавляются предполагаемые потери от гравитации 600 м/c (это, как можно видеть, меньше, чем потери, приведённые в таблице 1, но и орбита, которую предстоит достичь - вдвое ниже), характеристическая скорость, таким образом, составит V=8359,4 м/c (остальными потерями в первом приближении можно пренебречь). При таких параметрах величина e^{V/I}=17,86. Неравенство (4), очевидно, не выполняется, следовательно, одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможно .

Расчёт для двуступенчатой ракеты. Разделим пополам характеристическую скорость, что составит характеристическую скорость для каждой из ступеней двуступенчатой ракеты. V=4179,7 м/c . На этот раз e^{V/I}=4,23, что удовлетворяет критерию достижимости (4), и, подставляя в формулы (3) и (2) значения, для 2-й ступени получаем: M_{t2}=\frac {10 \cdot 9 \cdot (4,23-1)}{9+1- 4,23}=50,3 т ; M_{k2}=\frac {50,3} {9}=5,6 т ; полная масса 2-й ступени составляет 55,9 т . Для 1-й ступени к массе полезной нагрузки добавляется полная масса 2-й ступени, и после соответствующей подстановки получаем: M_{t1}=\frac {(10+55,9) \cdot 9 \cdot (4,23-1)}{9+1- 4,23}=331,3 т ; M_{k1}=\frac {331,3} {9}=36,8 т ; полная масса первой ступени составляет 368,1 т ; общая масса двухступенчатой ракеты с полезным грузом составит 10+55,9+368,1=434 т . Аналогичным образом выполняются расчёты для бо́льшего количества ступеней. В результате получаем: -Стартовая масса трёхступенчатой ракеты составит 323,1 т . -Четырёхступенчатой - 294,2 т . -Пятиступенчатой - 281 т .

На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатость в ракетостроении - при той же конечной скорости ракета с бо́льшим числом ступеней имеет меньшую массу.

Следует отметить, что эти результаты получены в предположении, что коэффициент конструктивного совершенства ракеты k остаётся постоянным, независимо от количества ступеней. Более тщательное рассмотрение показывает, что это - сильное упрощение. Ступени соединяются между собой специальными секциями - переходниками - несущими конструкциями, каждая из которых должна выдерживать суммарный вес всех последующих ступеней, помноженный на максимальное значение перегрузки , которую испытывает ракета на всех участках полёта, на которых переходник входит в состав ракеты. С увеличением числа ступеней их суммарная масса уменьшается, в то время как количество и суммарная масса переходников возрастают, что ведёт к снижению коэффициента k, а, вместе с ним, и положительного эффекта многоступенчатости . В современной практике ракетостроения более четырёх ступеней, как правило, не делается.

Такого рода расчёты выполняются не только на первом этапе проектирования - при выборе варианта компоновки ракеты, но и на последующих стадиях проектирования, по мере детализации конструкции, формула Циолковского постоянно используется при поверочных расчётах, когда характеристические скорости пересчитываются, с учётом сложившихся из конкретных деталей соотношений начальной и конечной массы ракеты (ступени), конкретных характеристик двигательной установки, уточнения потерь скорости после расчёта программы полёта на активном участке , и т. д., чтобы контролировать достижение ракетой заданной скорости.

Обобщённая формула Циолковского

Для ракеты, летящей со скоростью, близкой к скорости света, справедлива обобщённая формула Циолковского:

\frac{M_{2}}{M_{1}}=\left (\frac{1-\frac{V}{c}}{1+\frac{V}{c}} \right)^{\frac{c}{2I}},

где c - скорость света . Для фотонной ракеты I=c и формула имеет вид:

\frac{M_{1}}{M_{2}}=\sqrt {\frac{1+\frac{V}{c}}{1-\frac{V}{c}}},

Скорость фотонной ракеты вычисляется по формуле:

\frac{V}{c} = \frac{1- \left(\frac{M_{2}}{M_{1}} \right)^{2}}{1+ \left(\frac{M_{2}}{M_{1}} \right)^{2}},

См. также

Напишите отзыв о статье "Формула Циолковского"

Примечания

Литература

Отрывок, характеризующий Формула Циолковского

– Что же, соснули бы, – сказал казак.
– Нет, я привык, – отвечал Петя. – А что, у вас кремни в пистолетах не обились? Я привез с собою. Не нужно ли? Ты возьми.
Казак высунулся из под фуры, чтобы поближе рассмотреть Петю.
– Оттого, что я привык все делать аккуратно, – сказал Петя. – Иные так, кое как, не приготовятся, потом и жалеют. Я так не люблю.
– Это точно, – сказал казак.
– Да еще вот что, пожалуйста, голубчик, наточи мне саблю; затупи… (но Петя боялся солгать) она никогда отточена не была. Можно это сделать?
– Отчего ж, можно.
Лихачев встал, порылся в вьюках, и Петя скоро услыхал воинственный звук стали о брусок. Он влез на фуру и сел на край ее. Казак под фурой точил саблю.
– А что же, спят молодцы? – сказал Петя.
– Кто спит, а кто так вот.
– Ну, а мальчик что?
– Весенний то? Он там, в сенцах, завалился. Со страху спится. Уж рад то был.
Долго после этого Петя молчал, прислушиваясь к звукам. В темноте послышались шаги и показалась черная фигура.
– Что точишь? – спросил человек, подходя к фуре.
– А вот барину наточить саблю.
– Хорошее дело, – сказал человек, который показался Пете гусаром. – У вас, что ли, чашка осталась?
– А вон у колеса.
Гусар взял чашку.
– Небось скоро свет, – проговорил он, зевая, и прошел куда то.
Петя должен бы был знать, что он в лесу, в партии Денисова, в версте от дороги, что он сидит на фуре, отбитой у французов, около которой привязаны лошади, что под ним сидит казак Лихачев и натачивает ему саблю, что большое черное пятно направо – караулка, и красное яркое пятно внизу налево – догоравший костер, что человек, приходивший за чашкой, – гусар, который хотел пить; но он ничего не знал и не хотел знать этого. Он был в волшебном царстве, в котором ничего не было похожего на действительность. Большое черное пятно, может быть, точно была караулка, а может быть, была пещера, которая вела в самую глубь земли. Красное пятно, может быть, был огонь, а может быть – глаз огромного чудовища. Может быть, он точно сидит теперь на фуре, а очень может быть, что он сидит не на фуре, а на страшно высокой башне, с которой ежели упасть, то лететь бы до земли целый день, целый месяц – все лететь и никогда не долетишь. Может быть, что под фурой сидит просто казак Лихачев, а очень может быть, что это – самый добрый, храбрый, самый чудесный, самый превосходный человек на свете, которого никто не знает. Может быть, это точно проходил гусар за водой и пошел в лощину, а может быть, он только что исчез из виду и совсем исчез, и его не было.
Что бы ни увидал теперь Петя, ничто бы не удивило его. Он был в волшебном царстве, в котором все было возможно.
Он поглядел на небо. И небо было такое же волшебное, как и земля. На небе расчищало, и над вершинами дерев быстро бежали облака, как будто открывая звезды. Иногда казалось, что на небе расчищало и показывалось черное, чистое небо. Иногда казалось, что эти черные пятна были тучки. Иногда казалось, что небо высоко, высоко поднимается над головой; иногда небо спускалось совсем, так что рукой можно было достать его.
Петя стал закрывать глаза и покачиваться.
Капли капали. Шел тихий говор. Лошади заржали и подрались. Храпел кто то.
– Ожиг, жиг, ожиг, жиг… – свистела натачиваемая сабля. И вдруг Петя услыхал стройный хор музыки, игравшей какой то неизвестный, торжественно сладкий гимн. Петя был музыкален, так же как Наташа, и больше Николая, но он никогда не учился музыке, не думал о музыке, и потому мотивы, неожиданно приходившие ему в голову, были для него особенно новы и привлекательны. Музыка играла все слышнее и слышнее. Напев разрастался, переходил из одного инструмента в другой. Происходило то, что называется фугой, хотя Петя не имел ни малейшего понятия о том, что такое фуга. Каждый инструмент, то похожий на скрипку, то на трубы – но лучше и чище, чем скрипки и трубы, – каждый инструмент играл свое и, не доиграв еще мотива, сливался с другим, начинавшим почти то же, и с третьим, и с четвертым, и все они сливались в одно и опять разбегались, и опять сливались то в торжественно церковное, то в ярко блестящее и победное.
«Ах, да, ведь это я во сне, – качнувшись наперед, сказал себе Петя. – Это у меня в ушах. А может быть, это моя музыка. Ну, опять. Валяй моя музыка! Ну!..»
Он закрыл глаза. И с разных сторон, как будто издалека, затрепетали звуки, стали слаживаться, разбегаться, сливаться, и опять все соединилось в тот же сладкий и торжественный гимн. «Ах, это прелесть что такое! Сколько хочу и как хочу», – сказал себе Петя. Он попробовал руководить этим огромным хором инструментов.
«Ну, тише, тише, замирайте теперь. – И звуки слушались его. – Ну, теперь полнее, веселее. Еще, еще радостнее. – И из неизвестной глубины поднимались усиливающиеся, торжественные звуки. – Ну, голоса, приставайте!» – приказал Петя. И сначала издалека послышались голоса мужские, потом женские. Голоса росли, росли в равномерном торжественном усилии. Пете страшно и радостно было внимать их необычайной красоте.
С торжественным победным маршем сливалась песня, и капли капали, и вжиг, жиг, жиг… свистела сабля, и опять подрались и заржали лошади, не нарушая хора, а входя в него.
Петя не знал, как долго это продолжалось: он наслаждался, все время удивлялся своему наслаждению и жалел, что некому сообщить его. Его разбудил ласковый голос Лихачева.
– Готово, ваше благородие, надвое хранцуза распластаете.
Петя очнулся.
– Уж светает, право, светает! – вскрикнул он.
Невидные прежде лошади стали видны до хвостов, и сквозь оголенные ветки виднелся водянистый свет. Петя встряхнулся, вскочил, достал из кармана целковый и дал Лихачеву, махнув, попробовал шашку и положил ее в ножны. Казаки отвязывали лошадей и подтягивали подпруги.
– Вот и командир, – сказал Лихачев. Из караулки вышел Денисов и, окликнув Петю, приказал собираться.

Быстро в полутьме разобрали лошадей, подтянули подпруги и разобрались по командам. Денисов стоял у караулки, отдавая последние приказания. Пехота партии, шлепая сотней ног, прошла вперед по дороге и быстро скрылась между деревьев в предрассветном тумане. Эсаул что то приказывал казакам. Петя держал свою лошадь в поводу, с нетерпением ожидая приказания садиться. Обмытое холодной водой, лицо его, в особенности глаза горели огнем, озноб пробегал по спине, и во всем теле что то быстро и равномерно дрожало.
– Ну, готово у вас все? – сказал Денисов. – Давай лошадей.
Лошадей подали. Денисов рассердился на казака за то, что подпруги были слабы, и, разбранив его, сел. Петя взялся за стремя. Лошадь, по привычке, хотела куснуть его за ногу, но Петя, не чувствуя своей тяжести, быстро вскочил в седло и, оглядываясь на тронувшихся сзади в темноте гусар, подъехал к Денисову.
– Василий Федорович, вы мне поручите что нибудь? Пожалуйста… ради бога… – сказал он. Денисов, казалось, забыл про существование Пети. Он оглянулся на него.
– Об одном тебя пг"ошу, – сказал он строго, – слушаться меня и никуда не соваться.
Во все время переезда Денисов ни слова не говорил больше с Петей и ехал молча. Когда подъехали к опушке леса, в поле заметно уже стало светлеть. Денисов поговорил что то шепотом с эсаулом, и казаки стали проезжать мимо Пети и Денисова. Когда они все проехали, Денисов тронул свою лошадь и поехал под гору. Садясь на зады и скользя, лошади спускались с своими седоками в лощину. Петя ехал рядом с Денисовым. Дрожь во всем его теле все усиливалась. Становилось все светлее и светлее, только туман скрывал отдаленные предметы. Съехав вниз и оглянувшись назад, Денисов кивнул головой казаку, стоявшему подле него.
– Сигнал! – проговорил он.
Казак поднял руку, раздался выстрел. И в то же мгновение послышался топот впереди поскакавших лошадей, крики с разных сторон и еще выстрелы.
В то же мгновение, как раздались первые звуки топота и крика, Петя, ударив свою лошадь и выпустив поводья, не слушая Денисова, кричавшего на него, поскакал вперед. Пете показалось, что вдруг совершенно, как середь дня, ярко рассвело в ту минуту, как послышался выстрел. Он подскакал к мосту. Впереди по дороге скакали казаки. На мосту он столкнулся с отставшим казаком и поскакал дальше. Впереди какие то люди, – должно быть, это были французы, – бежали с правой стороны дороги на левую. Один упал в грязь под ногами Петиной лошади.
У одной избы столпились казаки, что то делая. Из середины толпы послышался страшный крик. Петя подскакал к этой толпе, и первое, что он увидал, было бледное, с трясущейся нижней челюстью лицо француза, державшегося за древко направленной на него пики.
– Ура!.. Ребята… наши… – прокричал Петя и, дав поводья разгорячившейся лошади, поскакал вперед по улице.
Впереди слышны были выстрелы. Казаки, гусары и русские оборванные пленные, бежавшие с обеих сторон дороги, все громко и нескладно кричали что то. Молодцеватый, без шапки, с красным нахмуренным лицом, француз в синей шинели отбивался штыком от гусаров. Когда Петя подскакал, француз уже упал. Опять опоздал, мелькнуло в голове Пети, и он поскакал туда, откуда слышались частые выстрелы. Выстрелы раздавались на дворе того барского дома, на котором он был вчера ночью с Долоховым. Французы засели там за плетнем в густом, заросшем кустами саду и стреляли по казакам, столпившимся у ворот. Подъезжая к воротам, Петя в пороховом дыму увидал Долохова с бледным, зеленоватым лицом, кричавшего что то людям. «В объезд! Пехоту подождать!» – кричал он, в то время как Петя подъехал к нему.
– Подождать?.. Ураааа!.. – закричал Петя и, не медля ни одной минуты, поскакал к тому месту, откуда слышались выстрелы и где гуще был пороховой дым. Послышался залп, провизжали пустые и во что то шлепнувшие пули. Казаки и Долохов вскакали вслед за Петей в ворота дома. Французы в колеблющемся густом дыме одни бросали оружие и выбегали из кустов навстречу казакам, другие бежали под гору к пруду. Петя скакал на своей лошади вдоль по барскому двору и, вместо того чтобы держать поводья, странно и быстро махал обеими руками и все дальше и дальше сбивался с седла на одну сторону. Лошадь, набежав на тлевший в утреннем свето костер, уперлась, и Петя тяжело упал на мокрую землю. Казаки видели, как быстро задергались его руки и ноги, несмотря на то, что голова его не шевелилась. Пуля пробила ему голову.
Переговоривши с старшим французским офицером, который вышел к нему из за дома с платком на шпаге и объявил, что они сдаются, Долохов слез с лошади и подошел к неподвижно, с раскинутыми руками, лежавшему Пете.
– Готов, – сказал он, нахмурившись, и пошел в ворота навстречу ехавшему к нему Денисову.
– Убит?! – вскрикнул Денисов, увидав еще издалека то знакомое ему, несомненно безжизненное положение, в котором лежало тело Пети.
– Готов, – повторил Долохов, как будто выговаривание этого слова доставляло ему удовольствие, и быстро пошел к пленным, которых окружили спешившиеся казаки. – Брать не будем! – крикнул он Денисову.
Денисов не отвечал; он подъехал к Пете, слез с лошади и дрожащими руками повернул к себе запачканное кровью и грязью, уже побледневшее лицо Пети.
«Я привык что нибудь сладкое. Отличный изюм, берите весь», – вспомнилось ему. И казаки с удивлением оглянулись на звуки, похожие на собачий лай, с которыми Денисов быстро отвернулся, подошел к плетню и схватился за него.
В числе отбитых Денисовым и Долоховым русских пленных был Пьер Безухов.

О той партии пленных, в которой был Пьер, во время всего своего движения от Москвы, не было от французского начальства никакого нового распоряжения. Партия эта 22 го октября находилась уже не с теми войсками и обозами, с которыми она вышла из Москвы. Половина обоза с сухарями, который шел за ними первые переходы, была отбита казаками, другая половина уехала вперед; пеших кавалеристов, которые шли впереди, не было ни одного больше; они все исчезли. Артиллерия, которая первые переходы виднелась впереди, заменилась теперь огромным обозом маршала Жюно, конвоируемого вестфальцами. Сзади пленных ехал обоз кавалерийских вещей.
От Вязьмы французские войска, прежде шедшие тремя колоннами, шли теперь одной кучей. Те признаки беспорядка, которые заметил Пьер на первом привале из Москвы, теперь дошли до последней степени.
Дорога, по которой они шли, с обеих сторон была уложена мертвыми лошадьми; оборванные люди, отсталые от разных команд, беспрестанно переменяясь, то присоединялись, то опять отставали от шедшей колонны.
Несколько раз во время похода бывали фальшивые тревоги, и солдаты конвоя поднимали ружья, стреляли и бежали стремглав, давя друг друга, но потом опять собирались и бранили друг друга за напрасный страх.
Эти три сборища, шедшие вместе, – кавалерийское депо, депо пленных и обоз Жюно, – все еще составляли что то отдельное и цельное, хотя и то, и другое, и третье быстро таяло.
В депо, в котором было сто двадцать повозок сначала, теперь оставалось не больше шестидесяти; остальные были отбиты или брошены. Из обоза Жюно тоже было оставлено и отбито несколько повозок. Три повозки были разграблены набежавшими отсталыми солдатами из корпуса Даву. Из разговоров немцев Пьер слышал, что к этому обозу ставили караул больше, чем к пленным, и что один из их товарищей, солдат немец, был расстрелян по приказанию самого маршала за то, что у солдата нашли серебряную ложку, принадлежавшую маршалу.

Рассмотрим движение ракеты в невесомости, т.е.. Пусть в начальный момент времени t = 0 скорость ракеты
. Масса ракеты вместе с топливом равна M , масса самой ракеты
. Ракета при горении топлива может выбрасывать газы со скоростью u . Какую максимальную скорость v может развить ракета при полном расходовании топлива?

Из уравнения Мещерского в этом случае получаем

md v = - udm , или

Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения

- уравнение Циолковского ,

где
- число Циолковского .

Чтобы ракета при существовавших на то время видах топлива развивала первую космической скорости 8 км /с , необходимо было иметь очень большое число
, т.е. масса топлива во много раз должна была превышать массу оболочки ракеты. Чтобы избежать этого Циолковский предложил использовать многоступенчатые ракеты. После выгорания топлива в одной ступени ракеты эта ступень отбрасывается, и начинает работать следующая ступень ракеты. Циолковский таким образом предсказал полеты человека в космическое пространство.

Момент импульса материальной точки относительно начала координат

Для простоты рассмотрим случай плоского движения, т.е. траектория движения материальной точки лежит в одной плоскости, которую мы расположим перпендикулярно плоскости листа. Выберем на плоскости начало координат О и положение материальной точки будем описывать радиус-вектором . Скорость точки , ее импульс
, ускорение , и сила будут расположены в плоски движения материальной точки, как показано на рисунке.

Введем две новые физические величины: момент силы и момент импульса относительно начала координат O .

-

- момент силы относительно начала координат.

Модуль вектора
равен

, где
- угол между векторами и . Если опустить перпендикуляр из точки O на направление действия силы, то его длина будет плечом силы ,
и модуль момента сил будет равен произведению силы на плечо, т.е.
, что совпадает со школьным определением момента силы.

Аналогично моменту силы вводится момент импульса

-

- момент импульса материальной точки относительно начала координат .

,

где
- угол между векторами и ,
-плечо импульса , т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки O на направление вектора материальной точки. Оба вектора
и , согласно определения направлены перпендикулярно плоскости движения материальной точки.

В общем случае неплоского движения, направление векторов
и не совпадают, но существует закон, который связывает момент импульса с моментом силы
. Чтобы установить этот закон, возьмем производную от вектора :

.

В результате получаем:

-

- закон изменения момента импульса материальной точки относительно начала координат .

Закон сохранения момента импульса системы материальных точек

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек: Выберем начало координат О , тогда положение точек будет задаваться радиус-векторами

.

Пусть материальные точки обладают импульсами

,

и пусть между материальными точками системы действуют силы внутреннего взаимодействия , а также на материальные точки действуют внешние силы . Определим моменты этих сил относительно начала координат:

- момент внутренней силы ,

- момент внешней силы .

Определим также моменты импульсов материальных точек

.

Просуммировав левые и правые части этих уравнений, получим

Силы взаимодействия между материальными точками действуют в противоположные стороны вдоль одной и той же прямой. Их моменты относительно начала координат О равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил равна нулю. В результате получим

.

Если система материальных точек является замкнутой, то
, и тогда имеет место закон сохранения момента импульса

-

- закон сохранения момента импульса системы материальных точек.

Если система материальных точек является замкнутой, то суммарный момент импульса системы остаётся постоянным, т.е. сохраняется во времени .

ГБОШИ РФМЛИ.

Научный руководитель: , доцент СОГУ.

Заслуга Циолковского не в формуле, а в том, что он первый увидел в ней возможность выхода человека в мировое пространство.

Предисловие.

Мысль о путешествиях на другие планеты, о странствии в межзвездных пустынях еще недавно была только мечтой. Но сейчас нет уже сомнений, что, подобно тому, как авиация из заманчивой грезы превратилась в повседневную действительность, так и в недалеком будущем осуществится мысль о полетах в дальний космос.

Рождение космонавтики, как науки, произошло в 1987 году. В этом году была опубликована магистерская диссертация, содержащая фундаментальное уравнение динамики тел переменной массы. Уравнение Мещерского дало космонавтике «вторую жизнь»: теперь в распоряжении ракетостроителей появились точные формулы, которые позволяли создавать ракеты, основываясь не на опыте предыдущих наблюдении, а на точных математических расчетах.

Но наибольшую известность в космонавтики получило не уравнение Мещерского, а уравнение Циолковского. Оно представляет собой частный случай уравнения Мещерского.

можно назвать отцом космонавтики. Он был первым, кто увидел в ракете средство для покорения человеком космоса. До Циолковского на ракету смотрели как на игрушку для развлечений или как на один из видов оружия. Заслуга состоит в том, что он теоретически обосновал возможность покорения космоса при помощи ракет, вывел формулу скорости движения ракеты, указал на критерии выбора топлива для ракет, дал первые схематические чертежи космических кораблей, привёл первые расчеты движения ракет в поле тяготения Земли и впервые указал на целесообразность создания на орбитах вокруг Земли промежуточных станций для полётов на другие тела Солнечной системы.

Цели и задачи данной работы:

1. Получить нерелятивистское уравнение реактивного движения.

2. Получить уравнение реактивного движения в гравитационном поле.

3. Получить релятивистское уравнение реактивного движения.

4. Вычислить коэффициент полезного действия ракеты.

5. Изучить принцип работы фотонного двигателя. Получить уравнение, описывающее движение фотонной ракеты.

Реактивное движение.

Среди великих технических и научных достижений XX века одно из первых мест, несомненно, принад­лежит ракетам и теории реактивного движения. Годы второй мировой войны привели к быстрому совершенствованию конструкций реак­тивных аппаратов. На полях сражений появились пороховые ракеты, но уже на более калорийном бездым­ном тротил-пироксилиновом порохе («катюши»). Были созданы самолеты с воздушно-реактивными двигателями, беспилотные самолеты с пульсирующими воздушно-реак­тивными двигателями (Фау-1) и баллистические ракеты с дальностью полета до 300 км (Фау-2).

https://pandia.ru/text/80/345/images/image002_47.gif" width="53" height="41 src=">, тогда реактивная сила, кото­рую обозначим через , будет равна

У немецкой ракеты Фау-2 весовой секундный расход со­ставляет в среднем 127,4 кг. Скорость истечения продук­тов сгорания из сопла двигателя равна 2000 м/сек. Реак­тивная сила в этом случае равна

Приведенные примеры показывают, что реактивная сила тем больше, чем больше секундный расход топлива и чем больше относительная скорость отбрасывания частиц.

Уравнения Мещерского и Циолковского.

Уравнения движения тел с переменной массой являются следствиями законов Ньютона. Тем не менее, они представляют большой интерес, главным образом, в связи с ракетной техникой.

Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой, в свою очередь, действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет.

Получим уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты, следуя изложению из . Пусть m – масса ракеты в некоторый момент времени, а v – ее скорость в тот же момент времени. Спустя время dt масса ракеты и ее скорость получат приращения dm и dv, за счет того, что будет выброшена масса газов dmгаз со скоростью vгаз. Тогда изменение суммарного импульса системы ракета плюс газы, на которую действует внешняя постоянная сила F, будет равно

(m+dm)(+d )+ dm газ – m = dt.

Учитывая, что dm газ + dm =0 и = – ( – скорость истечения газов относительно ракеты), раскрываем скобки, пренебрегаем слагаемым dmd и в итоге получаем:

md = dm + dt <=> m = + .

По форме это уравнение похоже на второй закон Ньютона. Однако масса ракеты m здесь непостоянна из-за потери вещества. К внешней силе F добавляется дополнительное слагаемое , называемое реактивной силой, с которой выброшенные газы действуют на ракету. Это есть уравнение.

Применим уравнение Мещерского для полета ракеты, когда на нее не действуют внешние силы, т. е. F=0. Тогда мы получим:

m = (1.1)

Пусть ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном направлению движению газов. Если принять направление полета за положительное, то уравнение 1.1 в скалярной форме выглядит так:

Будем для простоты полагать, что скорость u является постоянной, тогда:

v =– u =– u + C .

Значение постоянной C можно найти из следующих соображений: в начальный момент времени скорость ракеты v=0, а ее масса m равна начальной массе m0, отсюда C= u ln m 0 . Значит,

v = u ln m 0 / m , или m = m 0 exp (- v / u ).

Полученное уравнение есть формула Циолковского. Она получена для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда v и vотн очень малы по сравнению со скоростью света. Но ее можно обобщить на случай движения со скоростями, близкими к скорости света.

Обозначим за v и m – масса покоя и скорость ракеты в произвольный момент времени, mгаз и vгаз – те же величины для газов, образовавшихся из ракеты к этому моменту времени. Газы, уже покинувшие ракету, на ее движение влияния не оказывают, поэтому можно будет принять mгаз=0. Но газы образуются непрерывно, поэтому dmгаз≠0. Запишем законы сохранения импульса и энергии:

+ = const ,

+ = const .

Дифференцируя 1-ое уравнение, учитывая 2-ое, и принимая в итоге mгаз=0, получим:

+ (- ) =0. (1)

По релятивистскому закону сложения скоростей получаем:

v газ = , (2)

Исключая из уравнения 1 vгаз с помощью уравнения 2, получим:

dv /(v 2 - c 2 )= .

Для простоты полагая скорость u постоянной и интегрируя, находим, что:

m 0 / m = , (3)

где a = .

Уравнение 3 есть релятивистская формула Циолковского. Разумеется, она должна содержать нерелятивистскую формулу как предельный случай. Проверим это. Выражение будет стремится к бесконечности, a – к нулю.

= = = =

= = = .

Аналогично получаем, что:

В итоге получаем:

<=> m 0 / m = ,

Что и требовалось доказать.

Уравнение реактивного движения в поле тяжести.

Используя уравнение Мещерского, попробуем описать движение ракеты в поле тяжести, т. е. найдем связь между массой ракеты m (t ) , достигнутой ею скоростью v (t ) и временем t согласно изложению в . Для простоты будем считать, что ракета движется вертикально вверх в поле тяжести Земли, что скорость газовой струи относительно ракеты u является постоянной. Также, пренебрежем сопротивлением воздуха и изменением ускорения свободного падения g с высотой.

Как было показано выше:

m = - u – mg . (уравнение Мещерского в скалярной форме).

Переписывая это уравнение в виде

m = - u <=> = -

Последнее уравнение имеет такой же вид, как и уравнение 1.1. Поэтому просто заменим (v + gt ) за неизвестное, заменяя им в уравнении 1.1 v. Тогда получим:

m0/m = exp() (4)

v (t )= u ln (m 0 / m ) – gt .

Попробуем теперь найти, какую массу газов μ(t ) должна выбрасывать ракета, чтобы оставаться неподвижной в поле тяжести Земли. Его легко найти из условия неподвижности ракеты () . Очевидно, величина μ равна –.

μ = – = . = (m0g/u) exp(-gt/ u).

Полезное действие ракеты.

Подсчитаем, какую долю энергии горючего ракета переводит в полезную механическую работу. Условимся называть коэффициентом полезного действия ракеты η отношение кинетической энергии ракеты в конце разгона к кинетической энергии выброшенных газов. Положим начальная и конечная массы ракеты соответственно m0 и m, время работы двигателей ракеты τ, массовый расход топлива равен μ, скорость истечения газов относительно ракеты постоянна и равна u. Тогда легко найти конечную скорость ракеты, используя формулу Циолковского. Зная, что

v = u ln m 0 / m ,

Находим, что конечная кинетическая энергия ракеты равна

Теперь посчитаем полную кинетическую энергию выброшенных газов в системе отсчета, связанной с Землей. Она будет равна

E2== μ + (v-u) .

Как было показано выше,

= –<=> = <=> = .

Используя формулу Циолковского, получаем

= – m0 exp(-v/u)= – μ.

=exp(v/u).

Учитывая это, получаем, что

E2= dt= + .

Учтем то, что

Тогда, избавляясь от значения v и после несложных преобразований, получим, что

E2= .

Находим отношение энергии ракеты к энергии газов:

Заметим, что это очень небольшой кпд. Например, используя полученное выражение, вычисли кпд ракеты Союз-2.1в. Масса полезного груза для нее обычно – 2,8 тонны, а вся стартовая масса – 157 тонн. Подставляя эти значения в выражение для кпд, получим, что он приблизительно равен 3,5%.

Применение формулы Циолковского.

Из формулы Циолковского следует:

а). Скорость движения ракеты в конце работы двига­теля (в конце активного участка полета) будет тем больше, чем больше относительная скорость отбрасывае­мых частиц. Если относительная скорость истечения удваивается, то и скорость ракеты возрастает в два раза.

б). Скорость ракеты в конце активного участка возра­стает, если увеличивается отношение начальной массы (веса) ракеты к массе (весу) ракеты в конце горения. Од­нако здесь зависимость более сложная, она дается сле­дующей теоремой Циолковского:

«Когда масса ракеты плюс масса взрывчатых веществ, имеющихся в реактивном приборе, возрастает в геометри­ческой прогрессии, то скорость ракеты увеличивается в прогрессии арифметической».

Этот закон можно выразить двумя рядами чисел:

Из теоремы и пояснений Циолковского видно, что «скорость ракеты далеко не про­порциональна массе, взрывчатого материала: она растет весьма медленно, но беспредельно».

Из формулы Циолковского следует весьма важный практический результат: для получения возможно боль­ших скоростей ракеты в конце работы двигателя нужно увеличивать относительные скорости отбрасываемых ча­стиц и увеличивать относительный запас топлива.

Простая формула Циолковского позволяет путем эле­ментарных вычислений устанавливать исполнимость того или другого задания. В самом деле, пусть, например, вы хотите создать одноступенчатую ракету для полета на Марс. Вы располагаете двигателем, имеющим относи­тельную скорость отброса частиц, равную . Тогда, зная, что для преодоления поля тяготения Земли нужна скорость , можно найти необходимый относительный запас топлива в ракете. Из формулы Циолковского имеем

,

По таблицам десятичных логарифмов находим, что

т. е. суммарный вес конструкции ракеты, двигателя, вспо­могательных механизмов и приборов управления должен составлять немногим больше 1% стартового веса. Такую ракету сделать невозможно. Если бы удалось увеличить относительную скорость истечения до то из формулы Циолковского легко найти, что в этом случае

а следовательно,

т. е. вес ракеты без топлива должен составлять 10% ее стартового веса. Такую ракету можно создать.

Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый для сообщения ракете скорости v. Как видно, отношение начальной массы m0 к конечной массе ракеты равно exp(v/u). В таблице 1 приведены отношения начальной массы ракеты m0 к ее конечной массе m, полученные с помощью нерелятивистской формулы (ее можно применять, например, для движения ракет на химическом топливе).

Таблица 1.

Скорость истечения газов у современных ракет на химическом топливе составляет примерно 3–4 км/с. Для сообщения ракете первой космической скорости, равной 8 км/с, отношение m 0 / m будет равно 7,39 при скорости истечения газов 4 км/с. При скорости истечения 2 км/с это отношения равно 54,6. Т. е. практически вся начальная масса ракеты приходится на топливо. Но и при отношении m0/m, равном 7,39, масса топлива в несколько раз превосходит массу самой ракеты. Технические трудности, связанные с достижением космических скоростей, решаются с помощью многоступенчатых ракет, идея создания которых принадлежит Циолковскому.

Для межзвездных полетов космических кораблей ракеты на химическом топливе абсолютно непригодны. Ближайшие к нам звезды находятся на расстоянии примерно 4 световых лет, поэтому для межзвездной экспедиции приемлемой длительности необходимы скорости близкие к скорости света. Формула Циолковского показывает, что для достижения таких скоростей, отношение m0/m будет невообразимо большим:

Таблица2.

Результаты, приведенные в таблице, 2 наглядно показывают, как существенны релятивистские эффекты. При скорости равной только 0,25c отношение m 0 / m ≈5*103327 . На каждую полезную тонну груза будет приходиться 5*103327 тонн топлива! Т. е. если полезная масса корабля всего лишь 1 кг, то масса топлива равна 5*103327 кг. Эта величина колоссальна, к примеру, масса нашей галактики «всего-то» 3*1038.

Конечно, нет смысла говорить о движении фантастического корабля с массой, превышающей массу нашей Метагалактики. Кроме того, обычная теория движения ракет основана на предположении, что импульс практически мгновенно передается ракете в целом. Это условие не может выполняться для ракет очень больших размеров. Можно конечно придумать какой-нибудь корабль, для которого оно выполняться будет, но, во всяком случае, примеры показывают, что ракеты на химическом топливе к межзвездным полетам непригодны.

Для превращения ракеты в межзвездный корабль, нужно приблизить скорость струи к скорости света. Так могло бы быть в фотонной ракете, для которой u = c , роль газовой струи для нее выполняет световой пучок, излучаемый двигателем корабля. Реактивная сила в фотонной ракете осуществлялась бы давлением света.

Принцип работы фотонного двигателя.

Для начала, поясним, что такое фотонный двигатель. Фотонный (или квантовый двигатель) есть гипотетический двигатель, в котором бы источником энергии служило бы тело, излучающее свет. Фотон, имея импульс, при истекании из двигателя создает реактивную силу. Теоретически, фотонный двигатель может позволить развить скорости, близкие к скорости света. Однако практическая разработка подобных двигателей дело отдаленного будущего.

Чаще всего обсуждаются и упоминаются в научно-фантастической литературе идеи создания такого двигателя с использованием антивещества. Энтузиасты считают, что взаимодействие вещества и антивещества позволяет перевести практически всю вступающую в реакции массу в излучение.

Принцип работы фотонного двигателя следующий: в камеру подается вещество и антивещество. В ходе аннигиляции появляются кванты света, которые направляются на стенку-зеркало, оказывая на нее давление, вызывающее реактивную тягу.

На сегодняшний день идея фотонного двигателя далека от технического воплощения. Она содержит ряд проблем, который пока что не удается решить даже теоретически.

Первая трудность, стоящая на пути осуществления классической фотонной ракеты – большая относительная масса ракеты на старте. Для того, чтобы совершить полёт к другой звезде и вернуться обратно, необходимо совершить четыре разгона (2 раза набирать скорость, и 2 раза тормозить). Скорость, развиваемую в ходе полёта, можно оценить в 0,9 скорости света, тогда стартовая масса превосходит конечную (по расчетам Зенгера) в 361 раз! Для современных ракет это число порядка 30: для «Сатурна-5» - 3000 тонн/100 тонн=30, для «Протона» - 600 тонн/20 тонн=30. Это показывает, насколько будет сложно создать подобную ракету.
Вторая трудность связана с тем, что при реакции аннигиляции рождаются кванты излучения, имеющие очень малую длину волны. При расчётах выясняется, что это будут гамма-кванты. Ещё не существует способа отражать такие кванты.

Наконец, существующие зеркала поглощают большую долю падающей на них энергии, поэтому излучение двигателя просто испарит любое зеркало. Чтобы этого не произошло, пришлось бы увеличивать диаметр зеркала, но тогда оно приобретёт гигантские размеры.

Для того, чтобы решить первую проблему, стоящую на пути создания фотонной ракеты, Бурдаков и Данилов предложили использование внешней среды в качестве топлива. Идея заключается в том, что теперь необходимо везти лишь половину горючего, т. е. антивещество, которого нет в пространстве, находится на борту ракеты, а обычное вещество забирается массозаборником из окружающей среды.

Для того, чтобы осуществлять сбор межзвёздного вещества, на 70% состоящего из водорода , необходимо его ионизировать. Для этого предложено направлять вперед поток электромагнитного излучения или электронов. Ионизованный водород собирается магнитным массозаборником, представляющим собой конус диаметром 20 метров и длиной около 25, состоящий из витков сверхпроводника. Современные материалы теряют сверхпроводимость при напряжённости магнитного поля в массозаборнике. Поэтому предлагается использование металлического водорода, или его сплава с лёгким металлом, охлаждаемого жидким гелием.

Легко заметить, что эту формулу легко получить, просто приняв в релятивистской формуле Циолковского u = c .

Выводы:

В данной исследовательской работе получены релятивистская и нерелятивистская формулы Циолковского для движения ракет в поле тяжести и в отсутствии его. Они имеют очень важное практическое значение в космонавтике. При помощи этих уравнений можно решить многие задачи, связанные с движением ракет.

На основании формулы Циолковского получено выражение для КПД ракеты. Показано, что он имеет весьма небольшое значение для современных ракет на химическом топливе.

Так же показано, что для межзвездных полетов неприменимы ракеты на химическом топливе из-за технических трудностей, связанных с большой массой необходимого топлива.

Изучен принцип работы фотонного двигателя, гипотетически способного позволить достичь скоростей, близких к скорости света, и совершать межзвездные полеты. Получено уравнение, описывающее движение фотонной ракеты.

Использованная литература:

1. Сивухин: Учебное пособие для вузов. – 3-е изд., 1989.

2. , Кондратьев для поступающих в вузы: Учеб. Пособие. – 3-е изд., 1991.

3. Журнал «Квант» 1990.

4. , «Ракеты будущего» 1980.

В данном разделе мы будем рассматривать движение тел переменной массы. Такой вид движения часто встречается в природе и в технических системах. В качестве примеров, можно упомянуть:

    Падение испаряющейся капли;

    Перемещение тающего айсберга по поверхности океана;

    Движение кальмара или медузы;

    Полет ракеты.

Ниже мы выведем простое дифференциальное уравнение, описывающее движение тела переменной массы, рассматривая полет ракеты.

Дифференциальное уравнение реактивного движения

Реактивное движение основано на третьем законе Ньютона , в соответствии с которым "сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия". Горячие газы, вырываясь из сопла ракеты, образуют силу действия. Сила реакции, действующая в противоположном направлении, называется силой тяги . Эта сила как раз и обеспечивает ускорение ракеты.

Пусть начальная масса ракеты равна \(m,\) а ее начальная скорость составляет \(v.\) Через некоторое время \(dt\) масса ракеты уменьшится на величину \(dm\) в результате сгорания топлива. Это приведет к увеличению скорости ракеты на \(dv.\) Применим закон сохранения импульса к системе "ракета + поток газа". В начальный момент времени импульс системы равен \(mv.\) Через малое время \(dt\) импульс ракеты будет составлять \[{p_1} = \left({m - dm} \right)\left({v + dv} \right),\] а импульс, связанный с выхлопными газами, в системе координат относительно Земли будет равен \[{p_2} = dm\left({v - u} \right),\] где \(u\) − скорость истечения газов относительно Земли. Здесь мы учли, что скорость истечения газов направлена в сторону, противоположную скорости движения ракеты (рисунок \(1\)). Поэтому, перед \(u\) поставлен знак "минус".

В соответствии с законом о сохранении полного импульса системы, можно записать: \[ {p = {p_1} + {p_2},}\;\; {\Rightarrow mv = \left({m - dm} \right)\left({v + dv} \right) + dm\left({v - u} \right).} \]

Рис.1

Преобразуя данное уравнение, получаем: \[\require{cancel} \cancel{\color{blue}{mv}} = \cancel{\color{blue}{mv}} - \cancel{\color{red}{vdm}} + mdv - dmdv + \cancel{\color{red}{vdm}} - udm. \] В последнем уравнении можно пренебречь слагаемым \(dmdv,\) рассматривая малые изменения этих величин. В результате уравнение запишется в виде \ Разделим обе части на \(dt,\) чтобы преобразовать уравнение в форму второго закона Ньютона : \ Данное уравнение называется дифференциальным уравнением реактивного движения . Правая часть уравнения представляет собой силу тяги \(T:\) \ Из полученной формулы видно, что силя тяги пропорциональна скорости истечения газов и скорости сгорания топлива . Конечно, это дифференциальное уравнение описывает идеальный случай. Оно не учитывает силу тяжести и аэродинамическую силу . Их учет приводит к значительному усложнению дифференциального уравнения.

Формула Циолковского

Если мы проинтегрируем выведенное выше дифференциальное уравнение, то получим зависимость скорости ракеты от массы сгоревшего топлива. Результирующая формула называется идеальным уравнением реактивного движения или формулой Циолковского , который вывел ее в \(1897\) году.

Чтобы получить указанную формулу, удобно переписать дифференциальное уравнение в следующем виде: \ Разделяя переменные и интегрируя, находим: \[ {dv = u\frac{{dm}}{m},}\;\; {\Rightarrow \int\limits_{{v_0}}^{{v_1}} {dv} = \int\limits_{{m_0}}^{{m_1}} {u\frac{{dm}}{m}} .} \] Заметим, что \(dm\) обозначает уменьшение массы. Поэтому, возьмем приращение \(dm\) с отрицательным знаком. В результате, уравнение принимает вид: \[ {\left. v \right|_{{v_0}}^{{v_1}} = - u\left. {\left({\ln m} \right)} \right|_{{m_0}}^{{m_1}},}\;\; {\Rightarrow {v_1} - {v_0} = u\ln \frac{{{m_0}}}{{{m_1}}}.} \] где \({v_0}\) и \({v_1}\) − начальная и конечная скорость ракеты, а \({m_0}\) и \({m_1}\) − начальная и конечная масса ракеты, соответственно.

Полагая \({v_0} = 0,\) получим формулу, выведенную Циолковским: \ Данная формула определяет скорость ракеты в зависимости от изменения ее массы по мере сгорания топлива. С помощью этой формулы можно грубо оценить запас топлива, необходимый для ускорения ракеты до определенной скорости.