Ты - не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: "Истинное обустройство мира".
http://noslave.org

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Однако первыми уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур, а также П. Г. Тэйт и У. Дж. Стил из Кембриджского университета соответственно в 1810-1811 гг. и в 1856 году.

Формула Циолковского может быть получена путём интегрирования дифференциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы :

texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): m \cdot \frac {d\vec{V}}{dt}+ \vec{u} \cdot \frac {dm}{dt}=0 , в котором Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): m - масса точки; Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc - скорость точки; Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): u - относительная скорость, с которой движется отделяющаяся от точки часть её массы. Для ракетного двигателя эта величина и составляет его удельный импульс Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta v_{g}\ = \int\limits_{0}^{t} g(t)\cdot \cos(\gamma (t))\,dt ,

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g(t) и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \gamma (t) - местное ускорение гравитации и угол между вектором силы тяги двигателя и местным вектором гравитации, соответственно, являющиеся функциями времени по программе полёта. Как видно из таблицы 1, наибольшая часть этих потерь приходится на участок полёта первой ступени. Это объясняется тем, что на этом участке траектория отклоняется от вертикали в меньшей степени, чем на участках последующих ступеней, и значение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \cos(\gamma (t)) близко к максимальному значению - 1.

Аэродинамические потери вызваны сопротивлением воздушной среды при движении ракеты в ней и рассчитываются по формуле:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta v_{a}\ = \int\limits_{0}^{t} \frac {A(t)}{m(t)} \,dt ,

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A(t) - сила лобового аэродинамического сопротивления, а Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc - текущая масса ракеты. Основные потери от сопротивления воздуха также приходятся на участок работы 1-й ступени ракеты, так как этот участок проходит в нижних, наиболее плотных слоях атмосферы.

Корабль должен быть выведен на орбиту со строго определёнными параметрами, для этого система управления на активном участке полёта разворачивает ракету по определённой программе, при этом направление тяги двигателя отклоняется от текущего направления движения ракеты, а это влечёт за собой потери скорости на управление, которые рассчитываются по формуле:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta v_{u}\ = \int\limits_{0}^{t} \frac {F(t)}{m(t)} \cdot(1 - \cos(\alpha (t))) \,dt ,

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): F(t) - текущая сила тяги двигателя, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): m(t) - текущая масса ракеты, а Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \alpha (t) - угол между векторами тяги и скорости ракеты. Наибольшая часть потерь на управление ракеты приходится на участок полёта 2-й ступени, поскольку именно на этом участке происходит переход от вертикального полёта в горизонтальный, и вектор тяги двигателя в наибольшей степени отклоняется по направлению от вектора скорости ракеты.

Использование формулы Циолковского при проектировании ракет

Выведенная в конце XIХ века, формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массовых характеристик.

Путём несложных преобразований формулы получаем следующее уравнение:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac {M_{1}} {M_{2}} = e^{V/I} (1)

Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса . Введём следующие обозначения:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M_{0} - масса полезного груза; Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M_{k} - масса конструкции ракеты; Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M_{t} - масса топлива.

Масса конструкции ракеты в большом диапазоне значений зависит от массы топлива почти линейно: чем больше запас топлива, тем больше размеры и масса ёмкостей для его хранения, больше масса несущих элементов конструкции, мощнее (следовательно, массивнее) двигательная установка. Выразим эту зависимость в виде:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M_{k}=\frac {M_{t}} {k} , (2) где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc - коэффициент, показывающий, какое количество топлива приходится на единицу массы конструкции. При рациональном конструировании этот коэффициент в первую очередь зависит от характеристик (плотности и прочности) конструкционных материалов, используемых в производстве ракеты. Чем прочнее и легче используемые материалы, тем выше значение коэффициента Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k . Этот коэффициент зависит также от усреднённой плотности топлива (для менее плотного топлива требуются ёмкости бо́льшего размера и массы, что ведёт к снижению значения Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k ).

Уравнение (1) может быть записано в виде:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac {M_{0}+ M_{t}+M_{t}/k} {M_{0}+M_{t}/k}=e^{V/I} ,

что путём элементарных преобразований приводится к виду:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M_{t}=\frac {M_{0} \cdot k \cdot (e^{V/I}-1)}{k+1- e^{V/I}} (3)

Эта форма уравнения Циолковского позволяет рассчитать массу топлива, необходимого для достижения одноступенчатой ракетой заданной характеристической скорости, при заданных массе полезного груза, значении удельного импульса и значении коэффициента Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k .

Разумеется, эта формула имеет смысл, только когда значение, получающееся при подстановке исходных данных, положительно. Поскольку экспонента для положительного аргумента всегда больше 1, числитель формулы всегда положителен, следовательно, положительным должен быть и знаменатель этой формулы: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k+1- e^{V/I}>0 , иначе говоря, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k>e^{V/I}-1 (4)

Это неравенство является критерием достижимости одноступенчатой ракетой заданной скорости Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): V при заданных значениях удельного импульса Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): I и коэффициента Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k . Если неравенство не выполняется, заданная скорость не может быть достигнута ни при каких затратах топлива: с увеличением количества топлива будет возрастать и масса конструкции ракеты и отношение начальной массы ракеты к конечной никогда не достигнет значения, требуемого формулой Циолковского для достижения заданной скорости.

Пример расчёта массы ракеты

Требуется вывести искусственный спутник Земли массой Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M_{0}=10 т на круговую орбиту высотой 250 км. Располагаемый двигатель имеет удельный импульс Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): I=2900 м/c . Коэффициент Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k=9 - это значит, что масса конструкции составляет 10 % от массы заправленной ракеты (ступени). Определим массу ракеты-носителя .

Первая космическая скорость для выбранной орбиты составляет 7759,4 м/с, к которой добавляются предполагаемые потери от гравитации 600 м/c (это, как можно видеть, меньше, чем потери, приведённые в таблице 1, но и орбита, которую предстоит достичь - вдвое ниже), характеристическая скорость, таким образом, составит Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): V=8359,4 м/c (остальными потерями в первом приближении можно пренебречь). При таких параметрах величина Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): e^{V/I}=17,86 . Неравенство (4), очевидно, не выполняется, следовательно, одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможно .

Расчёт для двуступенчатой ракеты. Разделим пополам характеристическую скорость, что составит характеристическую скорость для каждой из ступеней двуступенчатой ракеты. Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): V=4179,7 м/c . На этот раз Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): e^{V/I}=4,23 , что удовлетворяет критерию достижимости (4), и, подставляя в формулы (3) и (2) значения, для 2-й ступени получаем: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M_{t2}=\frac {10 \cdot 9 \cdot (4,23-1)}{9+1- 4,23}=50,3 т ; Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M_{k2}=\frac {50,3} {9}=5,6 т ; полная масса 2-й ступени составляет Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 55,9 т . Для 1-й ступени к массе полезной нагрузки добавляется полная масса 2-й ступени, и после соответствующей подстановки получаем: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M_{t1}=\frac {(10+55,9) \cdot 9 \cdot (4,23-1)}{9+1- 4,23}=331,3 т ; Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M_{k1}=\frac {331,3} {9}=36,8 т ; полная масса первой ступени составляет Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 368,1 т ; общая масса двухступенчатой ракеты с полезным грузом составит Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 10+55,9+368,1=434 т . Аналогичным образом выполняются расчёты для бо́льшего количества ступеней. В результате получаем: -Стартовая масса трёхступенчатой ракеты составит Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 323,1 т . -Четырёхступенчатой - Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 294,2 т . -Пятиступенчатой - Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 281 т .

На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатость в ракетостроении - при той же конечной скорости ракета с бо́льшим числом ступеней имеет меньшую массу.

Следует отметить, что эти результаты получены в предположении, что коэффициент конструктивного совершенства ракеты Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k остаётся постоянным, независимо от количества ступеней. Более тщательное рассмотрение показывает, что это - сильное упрощение. Ступени соединяются между собой специальными секциями - переходниками - несущими конструкциями, каждая из которых должна выдерживать суммарный вес всех последующих ступеней, помноженный на максимальное значение перегрузки , которую испытывает ракета на всех участках полёта, на которых переходник входит в состав ракеты. С увеличением числа ступеней их суммарная масса уменьшается, в то время как количество и суммарная масса переходников возрастают, что ведёт к снижению коэффициента Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k , а, вместе с ним, и положительного эффекта многоступенчатости . В современной практике ракетостроения более четырёх ступеней, как правило, не делается.

Такого рода расчёты выполняются не только на первом этапе проектирования - при выборе варианта компоновки ракеты, но и на последующих стадиях проектирования, по мере детализации конструкции, формула Циолковского постоянно используется при поверочных расчётах, когда характеристические скорости пересчитываются, с учётом сложившихся из конкретных деталей соотношений начальной и конечной массы ракеты (ступени), конкретных характеристик двигательной установки, уточнения потерь скорости после расчёта программы полёта на активном участке , и т. д., чтобы контролировать достижение ракетой заданной скорости.

Обобщённая формула Циолковского

Для ракеты, летящей со скоростью, близкой к скорости света, справедлива обобщённая формула Циолковского:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{M_{2}}{M_{1}}=\left (\frac{1-\frac{V}{c}}{1+\frac{V}{c}} \right)^{\frac{c}{2I}} ,

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): c - скорость света . Для фотонной ракеты Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): I=c и формула имеет вид:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{M_{1}}{M_{2}}=\sqrt {\frac{1+\frac{V}{c}}{1-\frac{V}{c}}} ,

Скорость фотонной ракеты вычисляется по формуле:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{V}{c} = \frac{1- \left(\frac{M_{2}}{M_{1}} \right)^{2}}{1+ \left(\frac{M_{2}}{M_{1}} \right)^{2}} ,

См. также

Напишите отзыв о статье "Формула Циолковского"

Примечания

Литература

• Левантовский В. И. Механика космического полета в элементарном изложении. - М .: Наука, 1980. - 512 с.

Просмотр этого шаблона Законы и задачи Небесная сфера Параметры орбит Движение небесных тел Астродинамика Космический полёт Орбиты КА

Отрывок, характеризующий Формула Циолковского

– Они использовали «непрогляд», верно ведь? – удивлённо спросила я. – А разве это умели делать все Катары?..
– Нет, Изидора. Ты забыла, что с ними были Совершенные, – ответил Север и спокойно продолжил дальше.
Дойдя до вершины, люди остановились. В свете луны руины Монтсегюра выглядели зловеще и непривычно. Будто каждый камень, пропитанный кровью и болью погибших Катар, призывал к мести вновь пришедших... И хотя вокруг стояла мёртвая тишина, людям казалось, что они всё ещё слышат предсмертные крики своих родных и друзей, сгоравших в пламени ужасающего «очистительного» папского костра. Монтсегюр возвышался над ними грозный и... никому ненужный, будто раненый зверь, брошенный умирать в одиночку...
Стены замка всё ещё помнили Светодара и Магдалину, детский смех Белояра и златовласой Весты... Замок помнил чудесные годы Катар, заполненные радостью и любовью. Помнил добрых и светлых людей, приходивших сюда под его защиту. Теперь этого больше не было. Стены стояли голыми и чужими, будто улетела вместе с душами сожжённых Катар и большая, добрая душа Монтсегюра...

Катары смотрели на знакомые звёзды – отсюда они казались такими большими и близкими!.. И знали – очень скоро эти звёзды станут их новым Домом. А звёзды глядели сверху на своих потерянных детей и ласково улыбались, готовясь принять их одинокие души.
Наутро все Катары собрались в огромной, низкой пещере, которая находилась прямо над их любимой – «кафедральной»... Там когда-то давно учила ЗНАНИЮ Золотая Мария... Там собирались новые Совершенные... Там рождался, рос и крепчал Светлый и Добрый Мир Катар.
И теперь, когда они вернулись сюда лишь как «осколки» этого чудесного мира, им хотелось быть ближе к прошлому, которое вернуть было уже невозможно... Каждому из присутствовавших Совершенные тихо дарили Очищение (consolementum), ласково возлагая свои волшебные руки на их уставшие, поникшие головы. Пока все «уходящие» не были, наконец-то, готовы.
В полном молчании люди поочерёдно ложились прямо на каменный пол, скрещивая на груди худые руки, и совершенно спокойно закрывали глаза, будто всего лишь собирались ко сну... Матери прижимали к себе детей, не желая с ними расставаться. Ещё через мгновение вся огромная зала превратилась в тихую усыпальницу уснувших навеки пяти сотен хороших людей... Катар. Верных и Светлых последователей Радомира и Магдалины.
Их души дружно улетели туда, где ждали их гордые, смелые «братья». Где мир был ласковым и добрым. Где не надо было больше бояться, что по чьей-то злой, кровожадной воле тебе перережут горло или попросту швырнут в «очистительный» папский костёр.
Сердце сжала острая боль... Слёзы горячими ручьями текли по щекам, но я их даже не замечала. Светлые, красивые и чистые люди ушли из жизни... по собственному желанию. Ушли, чтобы не сдаваться убийцам. Чтобы уйти так, как они сами этого хотели. Чтобы не влачить убогую, скитальческую жизнь в своей же гордой и родной земле – Окситании.
– Зачем они это сделали, Север? Почему не боролись?..
– Боролись – с чем, Изидора? Их бой был полностью проигран. Они просто выбрали, КАК они хотели уйти.
– Но ведь они ушли самоубийством!.. А разве это не карается кармой? Разве это не заставило их и там, в том другом мире, так же страдать?
– Нет, Изидора... Они ведь просто «ушли», выводя из физического тела свои души. А это ведь самый натуральный процесс. Они не применяли насилия. Они просто «ушли».
С глубокой грустью я смотрела на эту страшную усыпальницу, в холодной, совершенной тишине которой время от времени звенели падающие капли. Это природа начинала потихоньку создавать свой вечный саван – дань умершим... Так, через годы, капля за каплей, каждое тело постепенно превратится в каменную гробницу, не позволяя никому глумиться над усопшими...
– Нашла ли когда-либо эту усыпальницу церковь? – тихо спросила я.
– Да, Изидора. Слуги Дьявола, с помощью собак, нашли эту пещеру. Но даже они не посмели трогать то, что так гостеприимно приняла в свои объятия природа. Они не посмели зажигать там свой «очистительный», «священный» огонь, так как, видимо, чувствовали, что эту работу уже давно сделал за них кто-то другой... С той поры зовётся это место – Пещера Мёртвых. Туда и намного позже, в разные годы приходили умирать Катары и Рыцари Храма, там прятались гонимые церковью их последователи. Даже сейчас ты ещё можешь увидеть старые надписи, оставленные там руками приютившихся когда-то людей... Самые разные имена дружно переплетаются там с загадочными знаками Совершенных... Там славный Домом Фуа, гонимые гордые Тренкавели... Там грусть и безнадёжность, соприкасаются с отчаянной надеждой...

И ещё... Природа веками создаёт там свою каменную «память» печальным событиям и людям, глубоко затронувшим её большое любящее сердце... У самого входа в Пещеру Мёртвых стоит статуя мудрого филина, столетиями охраняющего покой усопших...

– Скажи, Север, Катары ведь верили в Христа, не так ли? – грустно спросила я.
Север искренне удивился.
– Нет, Изидора, это неправда. Катары не «верили» в Христа, они обращались к нему, говорили с ним. Он был их Учителем. Но не Богом. Слепо верить можно только лишь в Бога. Хотя я так до сих пор и не понял, как может быть нужна человеку слепая вера? Это церковь в очередной раз переврала смысл чужого учения... Катары верили в ЗНАНИЕ. В честность и помощь другим, менее удачливым людям. Они верили в Добро и Любовь. Но никогда не верили в одного человека. Они любили и уважали Радомира. И обожали учившую их Золотую Марию. Но никогда не делали из них Бога или Богиню. Они были для них символами Ума и Чести, Знания и Любви. Но они всё же были ЛЮДЬМИ, правда, полностью дарившими себя другим.
Смотри, Изидора, как глупо церковники перевирали даже собственные свои теории... Они утверждали, что Катары не верили в Христа-человека. Что Катары, якобы, верили в его космическую Божественную сущность, которая не была материальной. И в то же время, говорит церковь, Катары признавали Марию Магдалину супругою Христа, и принимали её детей. Тогда, каким же образом у нематериального существа могли рождаться дети?.. Не принимая во внимание, конечно же, чушь про «непорочное» зачатие Марии?.. Нет, Изидора, ничего правдивого не осталось об учении Катар, к сожалению... Всё, что люди знают, полностью извращено «святейшей» церковью, чтобы показать это учение глупым и ничего не стоящим. А ведь Катары учили тому, чему учили наши предки. Чему учим мы. Но для церковников именно это и являлось самым опасным. Они не могли допустить, чтобы люди узнали правду. Церковь обязана была уничтожить даже малейшие воспоминания о Катарах, иначе, как могла бы она объяснить то, что с ними творила?.. После зверского и поголовного уничтожения целого народа, КАК бы она объяснила своим верующим, зачем и кому нужно было такое страшное преступление? Вот поэтому и не осталось ничего от учения Катар... А спустя столетия, думаю, будет и того хуже.
– А как насчёт Иоанна? Я где-то прочла, что якобы Катары «верили» в Иоанна? И даже, как святыню, хранили его рукописи... Является ли что-то из этого правдой?
– Только лишь то, что они, и правда, глубоко чтили Иоанна, несмотря на то, что никогда не встречали его. – Север улыбнулся. – Ну и ещё то, что, после смерти Радомира и Магдалины, у Катар действительно остались настоящие «Откровения» Христа и дневники Иоанна, которые во что бы то ни стало пыталась найти и уничтожить Римская церковь. Слуги Папы вовсю старались доискаться, где же проклятые Катары прятали своё опаснейшее сокровище?!. Ибо, появись всё это открыто – и история католической церкви потерпела бы полное поражение. Но, как бы ни старались церковные ищейки, счастье так и не улыбнулось им... Ничего так и не удалось найти, кроме как нескольких рукописей очевидцев.
Вот почему единственной возможностью для церкви как-то спасти свою репутацию в случае с Катарами и было лишь извратить их веру и учение так сильно, чтобы уже никто на свете не мог отличить правду от лжи… Как они легко это сделали с жизнью Радомира и Магдалины.
Ещё церковь утверждала, что Катары поклонялись Иоанну даже более, чем самому Иисусу Радомиру. Только вот под Иоанном они подразумевали «своего» Иоанна, с его фальшивыми христианскими евангелиями и такими же фальшивыми рукописями... Настоящего же Иоанна Катары, и правда, чтили, но он, как ты знаешь, не имел ничего общего с церковным Иоанном-«крестителем».
– Ты знаешь, Север, у меня складывается впечатление, что церковь переврала и уничтожила ВСЮ мировую историю. Зачем это было нужно?
– Чтобы не разрешить человеку мыслить, Изидора. Чтобы сделать из людей послушных и ничтожных рабов, которых по своему усмотрению «прощали» или наказывали «святейшие». Ибо, если человек узнал бы правду о своём прошлом, он был бы человеком ГОРДЫМ за себя и своих Предков и никогда не надел бы рабский ошейник. Без ПРАВДЫ же из свободных и сильных люди становились «рабами божьими», и уже не пытались вспомнить, кто они есть на самом деле. Таково настоящее, Изидора... И, честно говоря, оно не оставляет слишком светлых надежд на изменение.
Север был очень тихим и печальным. Видимо, наблюдая людскую слабость и жестокость столько столетий, и видя, как гибнут сильнейшие, его сердце было отравлено горечью и неверием в скорую победу Знания и Света... А мне так хотелось крикнуть ему, что я всё же верю, что люди скоро проснутся!.. Несмотря на злобу и боль, несмотря на предательства и слабость, я верю, что Земля, наконец, не выдержит того, что творят с её детьми. И очнётся... Но я понимала, что не смогу убедить его, так как сама должна буду скоро погибнуть, борясь за это же самое пробуждение.
Но я не жалела... Моя жизнь была всего лишь песчинкой в бескрайнем море страданий. И я должна была лишь бороться до конца, каким бы страшным он ни был. Так как даже капли воды, падая постоянно, в силах продолбить когда-нибудь самый крепкий камень. Так и ЗЛО: если бы люди дробили его даже по крупинке, оно когда-нибудь рухнуло бы, пусть даже не при этой их жизни. Но они вернулись бы снова на свою Землю и увидели бы – это ведь ОНИ помогли ей выстоять!.. Это ОНИ помогли ей стать Светлой и Верной. Знаю, Север сказал бы, что человек ещё не умеет жить для будущего... И знаю – пока это было правдой. Но именно это по моему пониманию и останавливало многих от собственных решений. Так как люди слишком привыкли думать и действовать, «как все», не выделяясь и не встревая, только бы жить спокойно.
– Прости, что заставил тебя пережить столько боли, мой друг. – Прервал мои мысли голос Севера. – Но думаю, это поможет тебе легче встретить свою судьбу. Поможет выстоять...
Мне не хотелось об этом думать... Ещё хотя бы чуточку!.. Ведь на мою печальную судьбу у меня оставалось ещё достаточно предостаточно времени. Поэтому, чтобы поменять наболевшую тему, я опять начала задавать вопросы.
– Скажи мне, Север, почему у Магдалины и Радомира, да и у многих Волхвов я видела знак королевской «лилии»? Означает ли это, что все они были Франками? Можешь ли объяснить мне?
– Начнём с того, Изидора, что это неправильное понимание уже самого знака, – улыбнувшись, ответил Север. – Это была не лилия, когда его принесли во Франкию Меравингли.

Трёхлистник – боевой знак Славяно-Ариев

– ?!.
– Разве ты не знала, что это они принесли знак «Трёхлистника» в тогдашнюю Европу?.. – искренне удивился Север.
– Нет, я никогда об этом не слышала. И ты снова меня удивил!
– Трёхлистник когда-то, давным-давно, был боевым знаком Славяно-Ариев, Изидора. Это была магическая трава, которая чудесно помогала в бою – она давала воинам невероятную силу, она лечила раны и облегчала путь уходящим в другую жизнь. Эта чудесная трава росла далеко на Севере, и добывать её могли только волхвы и ведуны. Она всегда давалась воинам, уходившим защищать свою Родину. Идя на бой, каждый воин произносил привычное заклинание: «За Честь! За Совесть! За Веру!» Делая также при этом магическое движение – касался двумя пальцами левого и правого плеча и последним – середины лба. Вот что поистине означал Трёхлистник.
И таким принесли его с собою Меравингли. Ну, а потом, после гибели династии Меравинглей, новые короли присвоили его, как и всё остальное, объявив символом королевского дома Франции. А ритуал движения (или кресчения) «позаимствовала» себе та же христианская церковь, добавив к нему четвёртую, нижнюю часть... часть дьявола. К сожалению, история повторяется, Изидора...
Да, история и правда повторялась... И становилось от этого горько и грустно. Было ли хоть что-нибудь настоящим из всего того, что мы знали?.. Вдруг я почувствовала, будто на меня требовательно смотрят сотни незнакомых мне людей. Я поняла – это были те, кто ЗНАЛИ... Те, которые погибали, защищая правду... Они будто завещали мне донести ИСТИНУ до незнающих. Но я не могла. Я уходила... Так же, как ушли когда-то они сами.
Вдруг дверь с шумом распахнулась – в комнату ураганом ворвалась улыбающаяся, радостная Анна. Моё сердце высоко подскочило, а затем ухнуло в пропасть... Я не могла поверить, что вижу свою милую девочку!.. А она как ни в чём не бывало широко улыбалась, будто всё у неё было великолепно, и будто не висела над нашими жизнями страшная беда. – Мамочка, милая, а я чуть ли тебя нашла! О, Север!.. Ты пришёл нам помочь?.. Скажи, ты ведь поможешь нам, правда? – Заглядывая ему в глаза, уверенно спросила Анна.

Формула Константина Эдуардовича Циолковского выражает максимальную скорость летательного аппарата, которой он достигает во время полета при реактивном движении. Она получается при интегрировании уравнения Мещерского.

Эта формула выражает скорость ракеты, переданную газами от сожженного топлива. Уравнение Мещерского и формула Циолковского неразрывно связаны - уравнение Мещерского описывает массу материальной точки, которая изменяется со временем, в то время как при реактивном движении ракеты постоянно идет уменьшение ее массы из-за сгорания топлива. Изменение скорости при изменяющейся массе (уменьшающейся в нашем случае) движущегося тела - вот что подразумевает под собой реактивное движение. Формула Циолковского основывается именно на нем.

Для решения ряда задач теоретической механики в области реактивного движения используют уравнение Мещерского (основное уравнение материальной точки переменной массы) и формулу Циолковского (формула конечной скорости летательного аппарата), которые называются основными соотношениям теории реактивного движения.

Основой при проектировании и планировании в области космических полетов является именно формула Циолковского, вывод которой стал настоящим прорывом для освоения космоса.

Задачи Циолковского

Для того, чтобы разрешить проблему межпланетных перелетов, К. Э. Циолковский рассмотрел в качестве средства перелета ракету. Он вывел формулу, с помощью которой можно получить зависимость массы летательного аппарата с топливом и скорости отдаления продуктов сгорания используемого топлива ракеты относительно нее. Покажем две его задачи:

• Исследование движения тела с переменной массы с действующей на него одной реактивной силы.
• Исследование движение тела в однородном поле силы тяжести переменной массы вблизи поверхности Земли.

Предисловие

Для всех космических полетов изначальной и основополагающей стала формула Циолковского для скорости ракеты, вывод которой представлен ниже.

Для начала необходимо приняв ее, грубо говоря, за материальную точку. На нее будут действовать силы притяжения Земли и других небесных тел (в момент взлета сила гравитации Земли будет, конечно же, наиболее сильной), сила сопротивления воздуха с одной стороны и противоположно им направленная реактивная сила, возникающая из-за выброса сгоревшего газа у основания тела. Ракета с большой силой выбрасывает эти газы, которые сообщают ей ускорение, направленное противоположно стороне выброса. Теперь необходимо представить эти рассуждения в виде формулы.

Сам принцип полета ракеты достаточно простой. С большой скоростью из ракеты вырывается газ, полученный при сгорании топлива, который сообщает самой ракете определенную силу, которая действует противоположно направлению движения. Так как считается, что внешние силы не действуют на ракету, то система будет замкнутой, и импульс ее не зависит от времени.

Уравнение Мещерского

Одним из основных примеров движения тела с изменяющейся массой является ракета с одной ступень, масса которой изменяется только из-за сжигания топлива, содержащегося в ней. Масса такой ракеты складывается из неизменяющейся (сама ракета и ее полезная нагрузка) и изменяющейся (топливо). Такой пример является упрощенной моделью.

Однако в современном ракетостроении используются многоступенчатые ракеты. Принцип их работы заключается в том, что благодаря большому объему ступеней они способны перевозить и использовать после взлета гораздо большее количество топлива. После его сгорания, ракете сообщается значительный импульс (гораздо больший, чем тот, которого можно добиться, используя одну ступень), а ставшие ненужными части открепляются от основы, уменьшая общий вес на 80-90%. Тем не менее, для расчета параметров многоступенчатой ракеты необходимо сложить показатели каждой из ее составляющей.

Дифференциальное уравнение Мещерского описывает движение материальной точки с переменной массой.

(m+dm)(υ+dυ) + dm′ υ′ - mυ = Fdt - в момент времени dt (разность между силой в момент времени t и dt+t и будет приращением).

Где m и υ зависят от времени, dt - какое-то время полета. За его образуется сила перемещения газа - dm′ υ′, dm′ - масса образованного из топлива газа. F - равнодействующая сила.

В описанном выше выражении приращения массы ракеты и газа и скорости устремляется к нулю, поэтому выражение принимает следующий вид:

mdυ = υ′′dm + Fdt,

причем υ′′ равняется разности скорости газа и скорости и является скоростью истечения газа.

Уравнение по форме начинает совпадать со вторым законом Ньютона - F = ma = m

Оно и называется уравнением Мещерского.

Вывод формулы Циолковского

Необходимо вывести формулу, описывающую движение тела с переменной массой. Формула Циолковского таковой и является. Вывод представлен ниже.

В данных вычислениях считается, что на движущееся тело не действуют внешние силы, то есть F = 0.

Тогда mdυ = υ′′dm

Так как воздействие внешних сил на летящую ракету равно нулю, то она движется прямолинейно, а скорость движения противоположно направлена скорости выхода газа. Соответственно, υ = -υ′′

Получается выражение, которое необходимо проинтегрировать.

Необходимо найти константу. Для этого достаточно подставить в уравнение начальные условия - скорость равна нулю, а масса - сумме массы топлива и массы ракеты (m 0 + m)

Вообще говоря, m в формуле складывается из двух параметров - из полезной нагрузки и конструкции ракеты. Полезной нагрузкой называется общая масса груза и экипажа.

Подставляем найденную константу в формулу. В результате и получается выражение искомой формулы.

Это и есть один из вариантов формулы Циолковского для скорости. Однако иногда необходимо принять во внимание именно массу. Поэтому ее иногда записывают следующим образом:

Данная формула используется для расчета массы топлива, которая требуется для развития определенной скорости при заданных условиях.

Рассмотрю далее небольшую задачу. Предположим, ракете необходимо развить первую космическую скорость для вращения по орбите Земли. Тогда для этого необходимо в первую очередь рассчитать массу топлива, конечно же. Тогда ее очень просто выразить из формулы Циолковского.

Релятивистская механика

Все вышеописанные формулы могут применяться только в том случае, когда скорость ракеты много меньше скорости света (υ<

Однако если скорость движения ракеты можно сравнить со скоростью света, то необходимо применять уже другие законы.

Пусть m и υ - масса ракеты в состояние и ее скорость в любое время t, а υ′ и m′ - скорость выхода газа и его масса в это же время. То есть m′ - масса вышедшего газа, поэтому его значение для расчета неважно, m′ = 0.

Необходимо расписать закон сохранения импульса и закон сохранения энергии в релятивистской механике, затем продифференцировать первое уравнение, учитывая, что m′=0 и получить выражение третье.

где u - скорость испускания газов.

Исходя из закона сложения скоростей в релятивистской, механике следует такое выражение. Его необходимо преобразовать относительно υ′ и проинтегрировать для получения окончательного варианта уравнения.

Можно несколько усложнить задачу и рассмотреть в качестве примера ракету с несколькими ступенями. Таким образом, формула Циолковского для многоступенчатой ракеты представляет собой сумму необходимых для расчета параметров. То есть, для того, чтобы рассчитать скорость для многоступенчатой ракеты, следует сложить скорость каждой из составляющей части.

Несколько выводов из формулы Циолковского

Основа всех космических полетов - формула Циолковского.

• Скорость движения непосредственно зависит от относительной скорости выбрасывания газов, поэтому, чем больше скорость выбрасывания, тем быстрее летит ракета.
• Чем больше отношение суммы массы ракеты и массы топлива к массе ракеты, тем больше скорость ракеты. Увеличение происходит даже по определенной зависимости - если отношение масс увеличивается в геометрической прогрессии, то есть, каждое предыдущее число меньше последующего в определенное количество раз, то скорость растет в арифметической прогрессии - каждое предыдущее число меньше последующего на определенное число. Однако это совершенно не означает, что скорость пропорциональна массе. Сам Циолковский в своих трудах замечал, что скорость растет медленнее по сравнению с увеличением топлива, однако не имеет предела.
• Соответственно, для развития больше скорости необходимо увеличивать скорость выбрасывания газа и массу топлива.

КПД ракеты

При расчете полета важно четко осознавать, какой именно процент полученной после сгорания топлива энергии используется в качестве полезной работы?

Таким образом, коэффициентом полезного действия принято называть отношение кинетических энергий ракеты и газов после выбрасывания. Обозначим m и m′ за массу ракеты в начале и в конце полета, продолжающийся время t. Соответственно, - скорость выбрасывания газов.

Тогда, по формуле Циолковского, КПД двигателя ракеты можно найти следующим образом:

Следует заметить, что данный КПД является очень небольшим и не превышает 5%, притом как у тепловых двигателей этот показатель равняется и 80%.

Другая форма формулы

В некоторых ресурсах применяется несколько иная формула Циолковского, уравнение, в котором вместо υ′ применяется другой параметр - I. В данном случае I называют удельным импульсом, и даже приводится объяснение, что удельный импульс выражается через тягу двигателя и его сжиганию массы топлива за единицу времени. Первый вопрос, который приходит на ум - вопрос о размерности. В отличие от скорости, импульс имеет другую размерность, которая будет противоречить сути формулы. Однако, непосредственно удельный импульс совпадает по размерности со скоростью.

Удельный импульс показывает количество секунд, при котором двигатель, истратив единицу топлива, получит единицу силы. Применяется сугубо в описании реактивного двигателя.

Использование при создании ракет

Формулу Циолковского для многоступенчатой ракеты применяют и при проектировании ракеты. Для этого используется совершенно логичная зависимость, которая практически является прямопропорциональной - чем больше используется при полете топлива, тем больше будет масса самой ракеты. Это обуславливается тем, что для перевозки большого количества топлива требуются, соответственно, и большие резервуары, поэтому увеличивается в результате и размер корабля, и даже сам двигатель. Некоторым решением возникающей проблемы является использование твердого топлива, которое требует меньше условий для хранения. Однако в настоящий момент оно обладает наименьшим удельным импульсом из существующих.

Космические скорости

Формула Циолковского используется также для расчета необходимого количества топлива для развития определенной скорости - обычно это одна из четырех космических.

• Первая космическая скорость - корабль выходит на орбиту планеты. Для Земли равняется примерно 7.91 км/с.
• Вторая космическая скорость - ракета преодолевает силу притяжения и выходит в открытое пространство. Для Земли - 11.2 км/с.
• Третья космическая скорость - ракета преодолевает силу притяжения звезды в системе (например, Солнца) и выходит за пределы. Для Солнечной системы - 42 км/с, однако эти расчеты являются неточными из-за необходимости преодолевать притяжение планеты.
• Четвертая космическая скорость - корабль способен покинуть Галактику. Для Млечного пути - более 500 км/с, рассчитывается в зависимости от точки нахождения.

Циолковский попытался сделать математический расчёт движения такой ракеты в свободном пространстве. Понятно, что в ходе полёта масса ракеты из-за расхода топлива будет постепенно уменьшаться. Циолковский учёл это и вывел формулу, позволяющую определить скорость ракеты при постепенном изменении её массы. Эта формула называется теперь формулой Циолковского. Благодаря ей впервые стало возможным путём вычислений заранее определять лётные характеристики ракет. Позже Циолковский попробовал разрешить более сложную задачу - рассчитать движение ракеты при её вертикальном старте с поверхности Земли, то есть тогда, когда на неё воздействует гравитация и сила лобового сопротивления воздуха. Выведенные им формулы не учитывают многих обстоятельств, с которыми столкнулась позднее ракетодинамика (например, Циолковский не имел ещё представления о силах сопротивления при сверхзвуковых скоростях, движение ракеты он рассматривал как прямолинейное, а влияние систем управления на лётный характеристики вообще не учитывалось). Поэтому в наше время расчёты Циолковского можно рассматривать лишь как первое (грубое) приближение, но суть происходящего отражена в них верно.

Управлять полётом ракеты Циолковский предполагал или при помощи графитовых рулей, помещаемых в струе газа вблизи раструба (сопла) реактивного двигателя, или поворачивая сам раструб. Чтобы уменьшить отрицательное воздействие перегрузок на космонавтов при старте ракеты, Циолковский предлагал погружать их в жидкость равной плотности. Позже Циолковский пришёл к очень плодотворной идее многоступенчатых ракет. Он же заложил основы расчёта полёта этих ракет. (В 1926 г. Циолковский разработал теорию полёта двухступенчатой ракеты с последовательным отделением ступеней, а в 1929 г. - общую теорию полёта многоступенчатой ракеты.)

Но при всём увлечении Циолковского ракетодинамикой, ракета всегда оставалась для него только средством для преодоления земного притяжения и выхода в космос. Он много размышлял над теми проблемами, которые встретит человек, оказавшись в межпланетном пространстве и на других планетах, поэтому его с полным основанием можно считать также основоположником космонавтики. Многие предвидения Циолковского в этой области оказались чрезвычайно точными. Он, к примеру, красочно и очень верно описал ощущения, которые будет испытывать человек при старте ракеты и при выходе её в космическое пространство, в также то. Что он там увидит. Фантазия его далеко опережала своё время. Циолковский был твёрдо убеждён, что выход человечества в космос совершенно неизбежен и что именно освоение космоса поможет решить многие современные проблемы землян. В своих книгах он описывал целые кольца космических поселений на громадных орбитальных станциях будущего, расположенных вокруг солнца. Большую роль должны были играть на них космические оранжереи, так как в космосе можно собирать более значительные урожаи, чем на Земле. Он считал. Что обилие дешёвой солнечной энергии позволит человеку переместить в космос многие промышленные предприятия. «Завоевание солнечной системы, - писал Циолковский, - даст не только энергию и жизнь, которые в два миллиарда раз будут обильнее земной энергии и жизни, но и простор ещё более обильный».

Идеи Циолковского намного обогнали своё время. Современники не понимали его работ, правительство не спешило оказать ему материальную поддержку. В старости учёный с горечью писал: «Тяжело работать в одиночку многие годы при неблагоприятных условиях и не видеть ниоткуда ни просвета, ни поддержки». И в самом деле, исследования его протекали в очень тяжёлых условиях: мизерное жалование, большая семья, тесная и неудобная квартира, постоянная нужда, насмешки обывателей - всё это сопутствовало Циолковскому на протяжении всей его жизни. Многие свои книги Циолковскому пришлось публиковать за свой счёт и бесплатно рассылать по библиотекам.

Космонавтика регулярно достигает ошеломительных успехов. Искусственным спутникам Земли постоянно находятся все более разнообразные применения. Пребывание космонавта на околоземной орбите стало обычным явлением. Это было бы невозможно без главной формулы космонавтики — уравнения Циолковского.

В наше время продолжается изучение как планет и других тел нашей Солнечной системы (Венеры, Марса, Юпитера, Урана, Земли и пр.), так и удаленных объектов (астероиды, другие системы и галактики). Умозаключения о характеристике космического движения тел Циолковского положили начало теоретическим основам космонавтики, которые привели к изобретению десятков моделей электро-реактивных двигателей и крайне интересных механизмов, например, солнечного паруса.

Основные проблемы освоения космоса

В качестве проблем освоения космоса четко выделяются три области исследования и разработок в науке и технике:

1. Полеты около Земли или конструирование искусственных спутников.
2. Лунные полеты.
3. Планетарные полеты и полеты к объектам Солнечной системы.

Уравнение Циолковского для реактивного движения способствовало тому, что человечество в каждой из этих областей достигло удивительных результатов. А также появилось множество новых прикладных видов наук: космическая медицина и биология, системы жизнеобеспечения на космическом аппарате, космическая связь, и др.

Большинство людей сегодня слышали об основных достижениях: первая высадка на луну (США), первый спутник (СССР) и подобное. Помимо самых известных достижений, которые у всех на слуху, существует много и других. В частности, СССР принадлежат:

• первая орбитальная станция;
• первый облет Луны и фотографии обратной стороны;
• первая посадка на Луну автоматизированной станции;
• первые полеты аппаратов к другим планетам;
• первая посадка на Венеру и Марс и пр.

Многие даже не представляют, насколько огромными были достижения СССР в сфере космонавтики. Во всяком случае, они были значительно больше, чем просто первый спутник.

Но и США внесли не меньший вклад в развитие космонавтики. В США провели:

• Все крупные достижения в использовании околоземной орбиты (спутники и спутниковая связь) для научных целей и решения прикладных задач.
• Множество экспедиций на Луну, исследования Марса, Юпитера, Венеры и Меркурия с расстояния пролетных траекторий.
• Множество научных и медицинских экспериментов, проводимых в невесомости.

И хотя на данный момент достижения других стран меркнут на фоне СССР и США, но Китай, Индия и Япония активно присоединились к изучению космоса в период после 2000 года.

Однако достижения космонавтики не ограничиваются только верхними слоями планеты и высокими научными теориями. На простую жизнь она тоже оказала большое влияние. В результате изучения космоса в нашу жизнь пришли такие вещи: молния, липучка, тефлон, спутниковая связь, механические манипуляторы, беспроводные инструменты, солнечные батареи, искусственное сердце и многое другое. И именно формула скорости Циолковского, которая помогла преодолеть гравитационное притяжение и способствовала появлению в науке космической практики, помогла всего этого добиться.

Термин «космодинамика»

Уравнение Циолковского легло в основу космодинамики. Однако следует разобраться с этим термином подробнее. Особенно в вопросе близких к нему по смыслу понятий: космонавтика, небесная механика, астрономия и др. Космонавтика переводится с греческого «плавание во Вселенной». В обычном случае этим термином обозначается масса всех технических возможностей и научных достижений, позволяющих изучать комическое пространство и небесные тела.

Космические полеты — это то, о чем человечество мечтало столетиями. И эти мечты превратились в реальность, из теории — в науку, а все благодаря формуле Циолковского для скорости ракеты. Из трудов этого великого ученого нам известно, что теория космонавтики стоит на трех столпах:

1. Теория, описывающая движение космических аппаратов.
2. Электро-ракетные двигатели и их производство.
3. Астрономические знания и исследования Вселенной.

Как уже ранее отмечалось, в космическую эру появилось множество других научно-технических дисциплин, таких как: системы управления космическими кораблями, системы связи и передачи данных в космосе, навигация в космическом пространстве, космическая медицина и многое другое. Стоит отметить, что во времена зарождения основ космонавтики даже не было как такового радио. Изучение электромагнитных волн и передачи на большие расстояния с их помощью информации только начиналось. Поэтому основатели теории серьезно рассматривали в качестве способа передачи данных световые сигналы — отраженные в сторону Земли солнечные лучи. Сегодня невозможно представить космонавтику без всех смежных с ней прикладных наук. В те далекие времена воображение ряда ученых действительно поражало. Помимо способов связи ими также затрагивались такие темы, как формула Циолковского для многоступенчатой ракеты.

Можно ли выделить среди всего многообразия какую-либо дисциплину в качестве главной? Ею является теория движения космических тел. Именно она служит главным звеном, без которого невозможна космонавтика. Эту область науки принято называть космодинамикой. Хотя у нее существует множество тождественных названий: небесная или космическая баллистика, механика полета в космосе, прикладная небесная механика, наука о движении искусственных небесных тел и т. д. Все они обозначают одну и ту же область изучения. Формально космодинамика входит в небесную механику и использует ее методы, однако есть крайне важное отличие. Небесная механика только изучает орбиты у нее нет возможности выбора, а вот космодинамика призвана определять оптимальные траектории достижения тех или иных небесных тел космическими аппаратами. И уравнение Циолковского для реактивного движения позволяет кораблям определить как именно можно влиять на траекторию полета.

Космодинамика как наука

С тех пор, как К. Э. Циолковский вывел формулу, наука о движении небесных тел прочно оформилась как космодинамика. Она позволяет космическим кораблям пользоваться методами поиска оптимального перехода между разными орбитами, что называется орбитальным маневрированием, и является основой теории передвижения в космосе, точно так же как базой для полетов в атмосфере является аэродинамика. Однако она не единственная наука, занимающуюся данным вопросом. Помимо нее существует еще и ракетодинамика. Обе эти науки составляют прочную основу для современной космической техники и обе входят в раздел небесной механики.

Космодинамика состоит из двух основных разделов:

1. Теория о движении центра инерции (масс) объекта в космосе, или теория о траекториях.
2. Теория о движении космического тела относительно его центра инерции, или теория вращения.

Чтобы разобраться что представляет собой уравнение Циолковского, нужно хорошо понимать механику, т. е. законы Ньютона.

Первый закон Ньютона

Любое тело движется равномерно и прямолинейно или находится в покое до тех пор, пока приложенные к нему внешние силы не вынудят его изменить это состояние. Иными словами вектор скорости такого движения остается постоянным. Такое поведение тел также называется инерциальным движением.

Любой другой случай, при котором происходит какой-либо изменение вектора скорости, означает, что тело обладает ускорением. Интересным примером в данном случае является движение материальной точки по окружности или любого спутника по орбите. В данном случае происходит равномерное движение, но не прямолинейное, ведь вектор скорости постоянно меняет направление, а значит, ускорение не равно нулю. Данное изменение скорости можно вычислить по формуле v2 / r, где v — постоянная величина скорости, а r — радиус орбиты. Ускорение в этом примере будет направлено к центру окружности в любой точки траектории движения тела.

Исходя из определения закона, причиной изменения направления материальной точки может быть только сила. В ее роли (для случая со спутником) выступает гравитация планеты. Притяжение планет и звезд, как легко можно догадаться, имеет большое значение в космодинамике в целом и при использовании уравнения Циолковского, в частности.

Второй закон Ньютона

Ускорение прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе тела. Или в математической форме: a = F / m, или более привычно — F = ma, где m — это коэффициент пропорциональности, который представляет собой меру для инерции тела.

Так как любая ракета представляется, как движение тела с переменной массой, уравнение Циолковского будет изменяться каждую единицу времени. В вышеописанном примере о спутнике, движущемся вокруг планеты, зная его массу m, можно легко выяснить силу, под действием которой он вращается по орбите, а именно: F = mv2/r. Очевидно, что данная сила будет направлена к центру планеты.

Возникает вопрос: почему спутник не падает на планету? Он не падает, так как его траектория движения не пересекается с поверхностью планеты, потому что природа не заставляет его двигаться вдоль действия силы, ибо ей сонаправлен только вектор ускорения, а не скорости.

Также следует отметить, что в условиях, когда известна сила, действующая на тело, и его масса, можно выяснить ускорение тела. А по нему математическими методами определяется путь, по которому двигается это тело. Здесь мы приходим к двум основным задачам, решением которых занимается космодинамика:

1. Выявление сил, при помощи которых можно манипулировать движением космического корабля.
2. Определение движения этого корабля, если известны действующие на него силы.

Вторая задача является классическим вопросом для небесной механики в то время, как первая показывает исключительную роль космодинамики. Поэтому в данной области физики помимо формулы Циолковского для реактивного движения крайне важно понимать ньютоновскую механику.

Третий закон Ньютона

Причиной силы, действующей на какое-либо тело, всегда является другое тело. Но верно также и обратное. В этом заключается суть третьего закона Ньютона, который гласит, что всякому действию есть действие, равное по величине, но противоположно направленное, называемое противодействием. Другими словами, если тело А действует с силой F на тело B, то тело B действует на тело А с силой -F.

В примере со спутником и планетой третий закон Ньютона приводит нас к пониманию того, что с какой силой планета притягивает спутник, точно с такой же спутник притягивает планету. Данная сила притяжения ответственна за придание ускорения спутнику. Но она также придает ускорение и планете, но ее масса так велика, что данное изменение скорости ничтожно мало для нее.

Формула Циолковского для реактивного движения полностью строится на понимании последнего закона Ньютона. Ведь именно за счет выбрасываемой массы газов основное тело ракеты приобретает ускорение, которое позволяет ему двигаться в нужном направление.

Немного о системах отсчета

Рассматривая какие-либо физические явления, сложно не затрагивать такую тему, как систему отсчета. Движение космического корабля, как и любого другого тела в пространстве, может фиксироваться в разных координатах. Не существует неправильных систем отсчета, есть лишь более удобные и менее. Например, движение тел в Солнечной системе лучше всего описывать в гелиоцентрической системе отсчета, то есть в координатах, связанных с Солнцем, также именуемых системой Коперника. Однако движение Луны в данной системе рассматривать менее удобно, поэтому ее изучают в геоцентрических координатах — отсчет ведется относительно Земли, это называется системой Птолемея. А вот, если стоит вопрос в том, попадет ли пролетающий рядом астероид в Луну, удобнее будет использовать опять гелиоцентрические координаты. Важно уметь пользоваться всеми координатными системами и быть способным смотреть на задачу с разных точек зрения.

Ракетное движение

Основным и единственным способом передвижения в космическом пространстве является ракета. Впервые этот принцип был выражен, по данным сайта «Хабр», формулой Циолковского в 1903 году. С тех пор инженеры космонавтики изобрели десятки видов ракетных двигателей, использующих самые разнообразные виды энергии, но все они объединены одним принципом работы: выбрасывание части массы из запасов рабочего тела для получения ускорения. Силу, которая образуется в результате данного процесса, принято называть силой тяги. Приведем некоторые умозаключения, которые позволят прийти к уравнению Циолковского и выводу его основной формы.

Очевидно, что тяговая сила будет увеличиваться в зависимости от объемов выбрасываемой из ракеты массы в единицу времени и той скорости, которую удается этой массе сообщить. Таким образом, получается соотношение F = w * q, где F — тяговая сила, w — скорость отбрасываемой массы (м/с) и q — масса, расходуемая в единицу времени (кг/с). Стоит отдельно отметить важность системы отсчета, связанной именно с самой ракетой. В противном случае невозможно характеризовать силу тяги ракетного двигателя, если измерять все относительно Земли или других тел.

Исследования и эксперименты показали, что соотношение F = w * q остается справедливым только для случаев, когда выбрасываемая масса представляет собой жидкость или твердое тело. Но в ракетах используется струя раскаленного газа. Поэтому в соотношение нужно ввести ряд поправок, и тогда получим дополнительный член соотношения S * (p r — p a), который суммируется с изначальным w * q. Здесь p r — давление, оказываемое газом, на срезе сопла; p a — атмосферное давление и S — площадь сопла. Таким образом, уточненная формула будет выглядеть следующим образом:

F = w * q + Sp r — Sp a.

Откуда видно, что по мере набора высоты ракетой атмосферное давление будет становиться меньше, а сила тяги — возрастать. Однако физики любят удобные формулы. Поэтому зачастую используется формула, похожая на свою первоначальную форму F = w э * q, где w э — эффективная скорость истечения массы. Она определяется экспериментальным путем во время испытания двигательной установки и численно равна выражению w + (Sp r — Sp a) / q.

Рассмотрим понятие, тождественное w э — удельный импульс тяги. Удельный — значит относящийся к чему-то. В данном случае это к гравитации Земли. Для этого в вышеописанной формуле правая часть умножается и делится на g (9,81 м/с2):

F = w э * q = (w э / g) * q * g или F = I уд * q * g

Измеряется данная величина I уд в Н*с/кг или что тоже самое м/с. Иными словами удельный импульс тяги измеряется в единицах скорости.

Формула Циолковского

Как легко можно догадаться, помимо тяги двигателя на ракету действует множество других сил: притяжение Земли, гравитация других объектов Солнечной системы, атмосферное сопротивление, давление света и т. д. Каждая из этих сил придает свое ускорение ракете, а суммарное из действие сказывается на итоговом ускорение. Поэтому удобно ввести понятие реактивного ускорения или a r = F т / M, где М — масса ракеты в определенный период времени. Реактивное ускорение — это ускорение, с которым двигалась бы ракета при отсутствии действующих на нее сил из вне. Очевидно, что по мере расходования массы, ускорение будет увеличиваться. Поэтому есть еще одна удобная характеристика — начальное реактивное ускорение a r0 = F т * M 0 , где М 0 — это масса ракеты в момент начала движения.

Логичным будет звучать вопрос о том, какую скорость способна развить ракета в подобном пустом пространстве, после того как израсходует какое-то количество массы рабочего тела. Пусть масса ракеты изменилась от m 0 до m 1 . Тогда скорость ракеты после равномерного израсходования массы до значения m 1 кг будет определяться формулой:

V = w * ln(m 0 / m 1)

Это не что иное, как формула движения тел с переменной массой или уравнение Циолковского. Она характеризует энергетический ресурс ракеты. А скорость, получаемая данной формулой, называется идеальной. Можно записать данную формулу в ином тождественном варианте:

V = I уд * ln(m 0 / m 1)

Стоит отметить, применение Формулы Циолковского для расчета топлива. Точнее сказать, массы ракеты носителя, которая потребуется для выведения определенного веса на орбиту Земли.

В конце следует сказать и о таком великом ученом, как Мещерский. Вместе с Циолковским они являются праотцами космонавтики. Мещерский внес огромный вклад в создание теории движения объектов переменной массы. В частности, формула Мещерского и Циолковского выглядит следующим образом:

m * (dv / dt) + u * (dm / dt) = 0,

где v — скорость материальной точки, u — скорость отброшенной массы относительно ракеты. Данная соотношение также называется дифференциальным уравнением Мещерского, тогда формула Циолковского получается из нее как частное решение для материальной точки.

ГБОШИ РФМЛИ.

Научный руководитель: , доцент СОГУ.

Заслуга Циолковского не в формуле, а в том, что он первый увидел в ней возможность выхода человека в мировое пространство.

Предисловие.

Мысль о путешествиях на другие планеты, о странствии в межзвездных пустынях еще недавно была только мечтой. Но сейчас нет уже сомнений, что, подобно тому, как авиация из заманчивой грезы превратилась в повседневную действительность, так и в недалеком будущем осуществится мысль о полетах в дальний космос.

Рождение космонавтики, как науки, произошло в 1987 году. В этом году была опубликована магистерская диссертация, содержащая фундаментальное уравнение динамики тел переменной массы. Уравнение Мещерского дало космонавтике «вторую жизнь»: теперь в распоряжении ракетостроителей появились точные формулы, которые позволяли создавать ракеты, основываясь не на опыте предыдущих наблюдении, а на точных математических расчетах.

Но наибольшую известность в космонавтики получило не уравнение Мещерского, а уравнение Циолковского. Оно представляет собой частный случай уравнения Мещерского.

можно назвать отцом космонавтики. Он был первым, кто увидел в ракете средство для покорения человеком космоса. До Циолковского на ракету смотрели как на игрушку для развлечений или как на один из видов оружия. Заслуга состоит в том, что он теоретически обосновал возможность покорения космоса при помощи ракет, вывел формулу скорости движения ракеты, указал на критерии выбора топлива для ракет, дал первые схематические чертежи космических кораблей, привёл первые расчеты движения ракет в поле тяготения Земли и впервые указал на целесообразность создания на орбитах вокруг Земли промежуточных станций для полётов на другие тела Солнечной системы.

Цели и задачи данной работы:

1. Получить нерелятивистское уравнение реактивного движения.

2. Получить уравнение реактивного движения в гравитационном поле.

3. Получить релятивистское уравнение реактивного движения.

4. Вычислить коэффициент полезного действия ракеты.

5. Изучить принцип работы фотонного двигателя. Получить уравнение, описывающее движение фотонной ракеты.

Реактивное движение.

Среди великих технических и научных достижений XX века одно из первых мест, несомненно, принад­лежит ракетам и теории реактивного движения. Годы второй мировой войны привели к быстрому совершенствованию конструкций реак­тивных аппаратов. На полях сражений появились пороховые ракеты, но уже на более калорийном бездым­ном тротил-пироксилиновом порохе («катюши»). Были созданы самолеты с воздушно-реактивными двигателями, беспилотные самолеты с пульсирующими воздушно-реак­тивными двигателями (Фау-1) и баллистические ракеты с дальностью полета до 300 км (Фау-2).

https://pandia.ru/text/80/345/images/image002_47.gif" width="53" height="41 src=">, тогда реактивная сила, кото­рую обозначим через , будет равна

У немецкой ракеты Фау-2 весовой секундный расход со­ставляет в среднем 127,4 кг. Скорость истечения продук­тов сгорания из сопла двигателя равна 2000 м/сек. Реак­тивная сила в этом случае равна

Приведенные примеры показывают, что реактивная сила тем больше, чем больше секундный расход топлива и чем больше относительная скорость отбрасывания частиц.

Уравнения Мещерского и Циолковского.

Уравнения движения тел с переменной массой являются следствиями законов Ньютона. Тем не менее, они представляют большой интерес, главным образом, в связи с ракетной техникой.

Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой, в свою очередь, действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет.

Получим уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты, следуя изложению из . Пусть m – масса ракеты в некоторый момент времени, а v – ее скорость в тот же момент времени. Спустя время dt масса ракеты и ее скорость получат приращения dm и dv, за счет того, что будет выброшена масса газов dmгаз со скоростью vгаз. Тогда изменение суммарного импульса системы ракета плюс газы, на которую действует внешняя постоянная сила F, будет равно

(m+dm)(+d )+ dm газ – m = dt.

Учитывая, что dm газ + dm =0 и = – ( – скорость истечения газов относительно ракеты), раскрываем скобки, пренебрегаем слагаемым dmd и в итоге получаем:

md = dm + dt <=> m = + .

По форме это уравнение похоже на второй закон Ньютона. Однако масса ракеты m здесь непостоянна из-за потери вещества. К внешней силе F добавляется дополнительное слагаемое , называемое реактивной силой, с которой выброшенные газы действуют на ракету. Это есть уравнение.

Применим уравнение Мещерского для полета ракеты, когда на нее не действуют внешние силы, т. е. F=0. Тогда мы получим:

m = (1.1)

Пусть ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном направлению движению газов. Если принять направление полета за положительное, то уравнение 1.1 в скалярной форме выглядит так:

Будем для простоты полагать, что скорость u является постоянной, тогда:

v =– u =– u + C .

Значение постоянной C можно найти из следующих соображений: в начальный момент времени скорость ракеты v=0, а ее масса m равна начальной массе m0, отсюда C= u ln m 0 . Значит,

v = u ln m 0 / m , или m = m 0 exp (- v / u ).

Полученное уравнение есть формула Циолковского. Она получена для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда v и vотн очень малы по сравнению со скоростью света. Но ее можно обобщить на случай движения со скоростями, близкими к скорости света.

Обозначим за v и m – масса покоя и скорость ракеты в произвольный момент времени, mгаз и vгаз – те же величины для газов, образовавшихся из ракеты к этому моменту времени. Газы, уже покинувшие ракету, на ее движение влияния не оказывают, поэтому можно будет принять mгаз=0. Но газы образуются непрерывно, поэтому dmгаз≠0. Запишем законы сохранения импульса и энергии:

+ = const ,

+ = const .

Дифференцируя 1-ое уравнение, учитывая 2-ое, и принимая в итоге mгаз=0, получим:

+ (- ) =0. (1)

По релятивистскому закону сложения скоростей получаем:

v газ = , (2)

Исключая из уравнения 1 vгаз с помощью уравнения 2, получим:

dv /(v 2 - c 2 )= .

Для простоты полагая скорость u постоянной и интегрируя, находим, что:

m 0 / m = , (3)

где a = .

Уравнение 3 есть релятивистская формула Циолковского. Разумеется, она должна содержать нерелятивистскую формулу как предельный случай. Проверим это. Выражение будет стремится к бесконечности, a – к нулю.

= = = =

= = = .

Аналогично получаем, что:

В итоге получаем:

<=> m 0 / m = ,

Что и требовалось доказать.

Уравнение реактивного движения в поле тяжести.

Используя уравнение Мещерского, попробуем описать движение ракеты в поле тяжести, т. е. найдем связь между массой ракеты m (t ) , достигнутой ею скоростью v (t ) и временем t согласно изложению в . Для простоты будем считать, что ракета движется вертикально вверх в поле тяжести Земли, что скорость газовой струи относительно ракеты u является постоянной. Также, пренебрежем сопротивлением воздуха и изменением ускорения свободного падения g с высотой.

Как было показано выше:

m = - u – mg . (уравнение Мещерского в скалярной форме).

Переписывая это уравнение в виде

m = - u <=> = -

Последнее уравнение имеет такой же вид, как и уравнение 1.1. Поэтому просто заменим (v + gt ) за неизвестное, заменяя им в уравнении 1.1 v. Тогда получим:

m0/m = exp() (4)

v (t )= u ln (m 0 / m ) – gt .

Попробуем теперь найти, какую массу газов μ(t ) должна выбрасывать ракета, чтобы оставаться неподвижной в поле тяжести Земли. Его легко найти из условия неподвижности ракеты () . Очевидно, величина μ равна –.

μ = – = . = (m0g/u) exp(-gt/ u).

Полезное действие ракеты.

Подсчитаем, какую долю энергии горючего ракета переводит в полезную механическую работу. Условимся называть коэффициентом полезного действия ракеты η отношение кинетической энергии ракеты в конце разгона к кинетической энергии выброшенных газов. Положим начальная и конечная массы ракеты соответственно m0 и m, время работы двигателей ракеты τ, массовый расход топлива равен μ, скорость истечения газов относительно ракеты постоянна и равна u. Тогда легко найти конечную скорость ракеты, используя формулу Циолковского. Зная, что

v = u ln m 0 / m ,

Находим, что конечная кинетическая энергия ракеты равна

Теперь посчитаем полную кинетическую энергию выброшенных газов в системе отсчета, связанной с Землей. Она будет равна

E2== μ + (v-u) .

Как было показано выше,

= –<=> = <=> = .

Используя формулу Циолковского, получаем

= – m0 exp(-v/u)= – μ.

=exp(v/u).

Учитывая это, получаем, что

E2= dt= + .

Учтем то, что

Тогда, избавляясь от значения v и после несложных преобразований, получим, что

E2= .

Находим отношение энергии ракеты к энергии газов:

Заметим, что это очень небольшой кпд. Например, используя полученное выражение, вычисли кпд ракеты Союз-2.1в. Масса полезного груза для нее обычно – 2,8 тонны, а вся стартовая масса – 157 тонн. Подставляя эти значения в выражение для кпд, получим, что он приблизительно равен 3,5%.

Применение формулы Циолковского.

Из формулы Циолковского следует:

а). Скорость движения ракеты в конце работы двига­теля (в конце активного участка полета) будет тем больше, чем больше относительная скорость отбрасывае­мых частиц. Если относительная скорость истечения удваивается, то и скорость ракеты возрастает в два раза.

б). Скорость ракеты в конце активного участка возра­стает, если увеличивается отношение начальной массы (веса) ракеты к массе (весу) ракеты в конце горения. Од­нако здесь зависимость более сложная, она дается сле­дующей теоремой Циолковского:

«Когда масса ракеты плюс масса взрывчатых веществ, имеющихся в реактивном приборе, возрастает в геометри­ческой прогрессии, то скорость ракеты увеличивается в прогрессии арифметической».

Этот закон можно выразить двумя рядами чисел:

Из теоремы и пояснений Циолковского видно, что «скорость ракеты далеко не про­порциональна массе, взрывчатого материала: она растет весьма медленно, но беспредельно».

Из формулы Циолковского следует весьма важный практический результат: для получения возможно боль­ших скоростей ракеты в конце работы двигателя нужно увеличивать относительные скорости отбрасываемых ча­стиц и увеличивать относительный запас топлива.

Простая формула Циолковского позволяет путем эле­ментарных вычислений устанавливать исполнимость того или другого задания. В самом деле, пусть, например, вы хотите создать одноступенчатую ракету для полета на Марс. Вы располагаете двигателем, имеющим относи­тельную скорость отброса частиц, равную . Тогда, зная, что для преодоления поля тяготения Земли нужна скорость , можно найти необходимый относительный запас топлива в ракете. Из формулы Циолковского имеем

,

По таблицам десятичных логарифмов находим, что

т. е. суммарный вес конструкции ракеты, двигателя, вспо­могательных механизмов и приборов управления должен составлять немногим больше 1% стартового веса. Такую ракету сделать невозможно. Если бы удалось увеличить относительную скорость истечения до то из формулы Циолковского легко найти, что в этом случае

а следовательно,

т. е. вес ракеты без топлива должен составлять 10% ее стартового веса. Такую ракету можно создать.

Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый для сообщения ракете скорости v. Как видно, отношение начальной массы m0 к конечной массе ракеты равно exp(v/u). В таблице 1 приведены отношения начальной массы ракеты m0 к ее конечной массе m, полученные с помощью нерелятивистской формулы (ее можно применять, например, для движения ракет на химическом топливе).

Таблица 1.

Скорость истечения газов у современных ракет на химическом топливе составляет примерно 3–4 км/с. Для сообщения ракете первой космической скорости, равной 8 км/с, отношение m 0 / m будет равно 7,39 при скорости истечения газов 4 км/с. При скорости истечения 2 км/с это отношения равно 54,6. Т. е. практически вся начальная масса ракеты приходится на топливо. Но и при отношении m0/m, равном 7,39, масса топлива в несколько раз превосходит массу самой ракеты. Технические трудности, связанные с достижением космических скоростей, решаются с помощью многоступенчатых ракет, идея создания которых принадлежит Циолковскому.

Для межзвездных полетов космических кораблей ракеты на химическом топливе абсолютно непригодны. Ближайшие к нам звезды находятся на расстоянии примерно 4 световых лет, поэтому для межзвездной экспедиции приемлемой длительности необходимы скорости близкие к скорости света. Формула Циолковского показывает, что для достижения таких скоростей, отношение m0/m будет невообразимо большим:

Таблица2.

Результаты, приведенные в таблице, 2 наглядно показывают, как существенны релятивистские эффекты. При скорости равной только 0,25c отношение m 0 / m ≈5*103327 . На каждую полезную тонну груза будет приходиться 5*103327 тонн топлива! Т. е. если полезная масса корабля всего лишь 1 кг, то масса топлива равна 5*103327 кг. Эта величина колоссальна, к примеру, масса нашей галактики «всего-то» 3*1038.

Конечно, нет смысла говорить о движении фантастического корабля с массой, превышающей массу нашей Метагалактики. Кроме того, обычная теория движения ракет основана на предположении, что импульс практически мгновенно передается ракете в целом. Это условие не может выполняться для ракет очень больших размеров. Можно конечно придумать какой-нибудь корабль, для которого оно выполняться будет, но, во всяком случае, примеры показывают, что ракеты на химическом топливе к межзвездным полетам непригодны.

Для превращения ракеты в межзвездный корабль, нужно приблизить скорость струи к скорости света. Так могло бы быть в фотонной ракете, для которой u = c , роль газовой струи для нее выполняет световой пучок, излучаемый двигателем корабля. Реактивная сила в фотонной ракете осуществлялась бы давлением света.

Принцип работы фотонного двигателя.

Для начала, поясним, что такое фотонный двигатель. Фотонный (или квантовый двигатель) есть гипотетический двигатель, в котором бы источником энергии служило бы тело, излучающее свет. Фотон, имея импульс, при истекании из двигателя создает реактивную силу. Теоретически, фотонный двигатель может позволить развить скорости, близкие к скорости света. Однако практическая разработка подобных двигателей дело отдаленного будущего.

Чаще всего обсуждаются и упоминаются в научно-фантастической литературе идеи создания такого двигателя с использованием антивещества. Энтузиасты считают, что взаимодействие вещества и антивещества позволяет перевести практически всю вступающую в реакции массу в излучение.

Принцип работы фотонного двигателя следующий: в камеру подается вещество и антивещество. В ходе аннигиляции появляются кванты света, которые направляются на стенку-зеркало, оказывая на нее давление, вызывающее реактивную тягу.

На сегодняшний день идея фотонного двигателя далека от технического воплощения. Она содержит ряд проблем, который пока что не удается решить даже теоретически.

Первая трудность, стоящая на пути осуществления классической фотонной ракеты – большая относительная масса ракеты на старте. Для того, чтобы совершить полёт к другой звезде и вернуться обратно, необходимо совершить четыре разгона (2 раза набирать скорость, и 2 раза тормозить). Скорость, развиваемую в ходе полёта, можно оценить в 0,9 скорости света, тогда стартовая масса превосходит конечную (по расчетам Зенгера) в 361 раз! Для современных ракет это число порядка 30: для «Сатурна-5» - 3000 тонн/100 тонн=30, для «Протона» - 600 тонн/20 тонн=30. Это показывает, насколько будет сложно создать подобную ракету.
Вторая трудность связана с тем, что при реакции аннигиляции рождаются кванты излучения, имеющие очень малую длину волны. При расчётах выясняется, что это будут гамма-кванты. Ещё не существует способа отражать такие кванты.

Наконец, существующие зеркала поглощают большую долю падающей на них энергии, поэтому излучение двигателя просто испарит любое зеркало. Чтобы этого не произошло, пришлось бы увеличивать диаметр зеркала, но тогда оно приобретёт гигантские размеры.

Для того, чтобы решить первую проблему, стоящую на пути создания фотонной ракеты, Бурдаков и Данилов предложили использование внешней среды в качестве топлива. Идея заключается в том, что теперь необходимо везти лишь половину горючего, т. е. антивещество, которого нет в пространстве, находится на борту ракеты, а обычное вещество забирается массозаборником из окружающей среды.

Для того, чтобы осуществлять сбор межзвёздного вещества, на 70% состоящего из водорода , необходимо его ионизировать. Для этого предложено направлять вперед поток электромагнитного излучения или электронов. Ионизованный водород собирается магнитным массозаборником, представляющим собой конус диаметром 20 метров и длиной около 25, состоящий из витков сверхпроводника. Современные материалы теряют сверхпроводимость при напряжённости магнитного поля в массозаборнике. Поэтому предлагается использование металлического водорода, или его сплава с лёгким металлом, охлаждаемого жидким гелием.

Легко заметить, что эту формулу легко получить, просто приняв в релятивистской формуле Циолковского u = c .

Выводы:

В данной исследовательской работе получены релятивистская и нерелятивистская формулы Циолковского для движения ракет в поле тяжести и в отсутствии его. Они имеют очень важное практическое значение в космонавтике. При помощи этих уравнений можно решить многие задачи, связанные с движением ракет.

На основании формулы Циолковского получено выражение для КПД ракеты. Показано, что он имеет весьма небольшое значение для современных ракет на химическом топливе.

Так же показано, что для межзвездных полетов неприменимы ракеты на химическом топливе из-за технических трудностей, связанных с большой массой необходимого топлива.

Изучен принцип работы фотонного двигателя, гипотетически способного позволить достичь скоростей, близких к скорости света, и совершать межзвездные полеты. Получено уравнение, описывающее движение фотонной ракеты.

Использованная литература:

1. Сивухин: Учебное пособие для вузов. – 3-е изд., 1989.

2. , Кондратьев для поступающих в вузы: Учеб. Пособие. – 3-е изд., 1991.

3. Журнал «Квант» 1990.

4. , «Ракеты будущего» 1980.