Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Однако первыми уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур, а также П. Г. Тэйт и У. Дж. Стил из Кембриджского университета соответственно в 1810-1811 гг. и в 1856 году.

Формула Циолковского может быть получена путём интегрирования дифференциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы :

$m\; \backslash cdot\; \backslash frac\; \{d\backslash vec\{V\}\}\{dt\}+\; \backslash vec\{u\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\; \{dm\}\{dt\}=0$, в котором $m$ - масса точки; $V$ - скорость точки; $u$ - относительная скорость, с которой движется отделяющаяся от точки часть её массы. Для ракетного двигателя эта величина и составляет его удельный импульс $I$ $\backslash Delta\; v\_\{g\}\backslash \; =\; \backslash int\backslash limits\_\{0\}^\{t\}\; g(t)\backslash cdot\; \backslash cos(\backslash gamma\; (t))\backslash ,dt$,

где $g(t)$ и $\backslash gamma\; (t)$ - местное ускорение гравитации и угол между вектором силы тяги двигателя и местным вектором гравитации, соответственно, являющиеся функциями времени по программе полёта. Как видно из таблицы 1, наибольшая часть этих потерь приходится на участок полёта первой ступени. Это объясняется тем, что на этом участке траектория отклоняется от вертикали в меньшей степени, чем на участках последующих ступеней, и значение $\backslash cos(\backslash gamma\; (t))$ близко к максимальному значению - 1.

Аэродинамические потери вызваны сопротивлением воздушной среды при движении ракеты в ней и рассчитываются по формуле:

$\backslash Delta\; v\_\{a\}\backslash \; =\; \backslash int\backslash limits\_\{0\}^\{t\}\; \backslash frac\; \{A(t)\}\{m(t)\}\; \backslash ,dt$,

где $A(t)$ - сила лобового аэродинамического сопротивления, а $m(t)$ - текущая масса ракеты. Основные потери от сопротивления воздуха также приходятся на участок работы 1-й ступени ракеты, так как этот участок проходит в нижних, наиболее плотных слоях атмосферы.

Корабль должен быть выведен на орбиту со строго определёнными параметрами, для этого система управления на активном участке полёта разворачивает ракету по определённой программе, при этом направление тяги двигателя отклоняется от текущего направления движения ракеты, а это влечёт за собой потери скорости на управление, которые рассчитываются по формуле:

$\backslash Delta\; v\_\{u\}\backslash \; =\; \backslash int\backslash limits\_\{0\}^\{t\}\; \backslash frac\; \{F(t)\}\{m(t)\}\; \backslash cdot(1\; -\; \backslash cos(\backslash alpha\; (t)))\; \backslash ,dt$,

где $F(t)$ - текущая сила тяги двигателя, $m(t)$ - текущая масса ракеты, а $\backslash alpha\; (t)$ - угол между векторами тяги и скорости ракеты. Наибольшая часть потерь на управление ракеты приходится на участок полёта 2-й ступени, поскольку именно на этом участке происходит переход от вертикального полёта в горизонтальный, и вектор тяги двигателя в наибольшей степени отклоняется по направлению от вектора скорости ракеты.

Использование формулы Циолковского при проектировании ракет

Выведенная в конце XIХ века, формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массовых характеристик.

Путём несложных преобразований формулы получаем следующее уравнение:

$\backslash frac\; \{M\_\{1\}\}\; \{M\_\{2\}\}\; =\; e^\{V/I\}$ (1)

Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса . Введём следующие обозначения:

$M\_\{0\}$ - масса полезного груза; $M\_\{k\}$ - масса конструкции ракеты; $M\_\{t\}$ - масса топлива.

Масса конструкции ракеты в большом диапазоне значений зависит от массы топлива почти линейно: чем больше запас топлива, тем больше размеры и масса ёмкостей для его хранения, больше масса несущих элементов конструкции, мощнее (следовательно, массивнее) двигательная установка. Выразим эту зависимость в виде:

$M\_\{k\}=\backslash frac\; \{M\_\{t\}\}\; \{k\}$, (2) где $k$ - коэффициент, показывающий, какое количество топлива приходится на единицу массы конструкции. При рациональном конструировании этот коэффициент в первую очередь зависит от характеристик (плотности и прочности) конструкционных материалов, используемых в производстве ракеты. Чем прочнее и легче используемые материалы, тем выше значение коэффициента $k$. Этот коэффициент зависит также от усреднённой плотности топлива (для менее плотного топлива требуются ёмкости бо́льшего размера и массы, что ведёт к снижению значения $k$).

Уравнение (1) может быть записано в виде:

$\backslash frac\; \{M\_\{0\}+\; M\_\{t\}+M\_\{t\}/k\}\; \{M\_\{0\}+M\_\{t\}/k\}=e^\{V/I\}$,

что путём элементарных преобразований приводится к виду:

$M\_\{t\}=\backslash frac\; \{M\_\{0\}\; \backslash cdot\; k\; \backslash cdot\; (e^\{V/I\}-1)\}\{k+1-\; e^\{V/I\}\}$ (3)

Эта форма уравнения Циолковского позволяет рассчитать массу топлива, необходимого для достижения одноступенчатой ракетой заданной характеристической скорости, при заданных массе полезного груза, значении удельного импульса и значении коэффициента $k$.

Разумеется, эта формула имеет смысл, только когда значение, получающееся при подстановке исходных данных, положительно. Поскольку экспонента для положительного аргумента всегда больше 1, числитель формулы всегда положителен, следовательно, положительным должен быть и знаменатель этой формулы: $k+1-\; e^\{V/I\}>0$ , иначе говоря, $k>e^\{V/I\}-1$ (4)

Это неравенство является критерием достижимости одноступенчатой ракетой заданной скорости $V$ при заданных значениях удельного импульса $I$ и коэффициента $k$. Если неравенство не выполняется, заданная скорость не может быть достигнута ни при каких затратах топлива: с увеличением количества топлива будет возрастать и масса конструкции ракеты и отношение начальной массы ракеты к конечной никогда не достигнет значения, требуемого формулой Циолковского для достижения заданной скорости.

Пример расчёта массы ракеты

Требуется вывести искусственный спутник Земли массой $M\_\{0\}=10$ т на круговую орбиту высотой 250 км. Располагаемый двигатель имеет удельный импульс $I=2900$ м/c . Коэффициент $k=9$ - это значит, что масса конструкции составляет 10 % от массы заправленной ракеты (ступени). Определим массу ракеты-носителя .

Первая космическая скорость для выбранной орбиты составляет 7759,4 м/с, к которой добавляются предполагаемые потери от гравитации 600 м/c (это, как можно видеть, меньше, чем потери, приведённые в таблице 1, но и орбита, которую предстоит достичь - вдвое ниже), характеристическая скорость, таким образом, составит $V=8359,4$ м/c (остальными потерями в первом приближении можно пренебречь). При таких параметрах величина $e^\{V/I\}=17,86$. Неравенство (4), очевидно, не выполняется, следовательно, одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможно .

Расчёт для двуступенчатой ракеты. Разделим пополам характеристическую скорость, что составит характеристическую скорость для каждой из ступеней двуступенчатой ракеты. $V=4179,7$ м/c . На этот раз $e^\{V/I\}=4,23$, что удовлетворяет критерию достижимости (4), и, подставляя в формулы (3) и (2) значения, для 2-й ступени получаем: $M\_\{t2\}=\backslash frac\; \{10\; \backslash cdot\; 9\; \backslash cdot\; (4,23-1)\}\{9+1-\; 4,23\}=50,3$ т ; $M\_\{k2\}=\backslash frac\; \{50,3\}\; \{9\}=5,6$ т ; полная масса 2-й ступени составляет $55,9$ т . Для 1-й ступени к массе полезной нагрузки добавляется полная масса 2-й ступени, и после соответствующей подстановки получаем: $M\_\{t1\}=\backslash frac\; \{(10+55,9)\; \backslash cdot\; 9\; \backslash cdot\; (4,23-1)\}\{9+1-\; 4,23\}=331,3$ т ; $M\_\{k1\}=\backslash frac\; \{331,3\}\; \{9\}=36,8$ т ; полная масса первой ступени составляет $368,1$ т ; общая масса двухступенчатой ракеты с полезным грузом составит $10+55,9+368,1=434$ т . Аналогичным образом выполняются расчёты для бо́льшего количества ступеней. В результате получаем: -Стартовая масса трёхступенчатой ракеты составит $323,1$ т . -Четырёхступенчатой - $294,2$ т . -Пятиступенчатой - $281$ т .

На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатость в ракетостроении - при той же конечной скорости ракета с бо́льшим числом ступеней имеет меньшую массу.

Следует отметить, что эти результаты получены в предположении, что коэффициент конструктивного совершенства ракеты $k$ остаётся постоянным, независимо от количества ступеней. Более тщательное рассмотрение показывает, что это - сильное упрощение. Ступени соединяются между собой специальными секциями - переходниками - несущими конструкциями, каждая из которых должна выдерживать суммарный вес всех последующих ступеней, помноженный на максимальное значение перегрузки , которую испытывает ракета на всех участках полёта, на которых переходник входит в состав ракеты. С увеличением числа ступеней их суммарная масса уменьшается, в то время как количество и суммарная масса переходников возрастают, что ведёт к снижению коэффициента $k$, а, вместе с ним, и положительного эффекта многоступенчатости . В современной практике ракетостроения более четырёх ступеней, как правило, не делается.

Такого рода расчёты выполняются не только на первом этапе проектирования - при выборе варианта компоновки ракеты, но и на последующих стадиях проектирования, по мере детализации конструкции, формула Циолковского постоянно используется при поверочных расчётах, когда характеристические скорости пересчитываются, с учётом сложившихся из конкретных деталей соотношений начальной и конечной массы ракеты (ступени), конкретных характеристик двигательной установки, уточнения потерь скорости после расчёта программы полёта на активном участке , и т. д., чтобы контролировать достижение ракетой заданной скорости.

Обобщённая формула Циолковского

Для ракеты, летящей со скоростью, близкой к скорости света, справедлива обобщённая формула Циолковского:

$\backslash frac\{M\_\{2\}\}\{M\_\{1\}\}=\backslash left\; (\backslash frac\{1-\backslash frac\{V\}\{c\}\}\{1+\backslash frac\{V\}\{c\}\}\; \backslash right)^\{\backslash frac\{c\}\{2I\}\}$,

где $c$ - скорость света . Для фотонной ракеты $I=c$ и формула имеет вид:

$\backslash frac\{M\_\{1\}\}\{M\_\{2\}\}=\backslash sqrt\; \{\backslash frac\{1+\backslash frac\{V\}\{c\}\}\{1-\backslash frac\{V\}\{c\}\}\}$,

Скорость фотонной ракеты вычисляется по формуле:

$\backslash frac\{V\}\{c\}\; =\; \backslash frac\{1-\; \backslash left(\backslash frac\{M\_\{2\}\}\{M\_\{1\}\}\; \backslash right)^\{2\}\}\{1+\; \backslash left(\backslash frac\{M\_\{2\}\}\{M\_\{1\}\}\; \backslash right)^\{2\}\}$,

См. также

Напишите отзыв о статье "Формула Циолковского"

Примечания

Литература

• Левантовский В. И. Механика космического полета в элементарном изложении. - М .: Наука, 1980. - 512 с.

Законы и задачи Небесная сфера Параметры орбит Движение небесных тел Астродинамика Космический полёт Орбиты КА

Отрывок, характеризующий Формула Циолковского

– Что же, соснули бы, – сказал казак.
– Нет, я привык, – отвечал Петя. – А что, у вас кремни в пистолетах не обились? Я привез с собою. Не нужно ли? Ты возьми.
Казак высунулся из под фуры, чтобы поближе рассмотреть Петю.
– Оттого, что я привык все делать аккуратно, – сказал Петя. – Иные так, кое как, не приготовятся, потом и жалеют. Я так не люблю.
– Это точно, – сказал казак.
– Да еще вот что, пожалуйста, голубчик, наточи мне саблю; затупи… (но Петя боялся солгать) она никогда отточена не была. Можно это сделать?
– Отчего ж, можно.
Лихачев встал, порылся в вьюках, и Петя скоро услыхал воинственный звук стали о брусок. Он влез на фуру и сел на край ее. Казак под фурой точил саблю.
– А что же, спят молодцы? – сказал Петя.
– Кто спит, а кто так вот.
– Ну, а мальчик что?
– Весенний то? Он там, в сенцах, завалился. Со страху спится. Уж рад то был.
Долго после этого Петя молчал, прислушиваясь к звукам. В темноте послышались шаги и показалась черная фигура.
– Что точишь? – спросил человек, подходя к фуре.
– А вот барину наточить саблю.
– Хорошее дело, – сказал человек, который показался Пете гусаром. – У вас, что ли, чашка осталась?
– А вон у колеса.
Гусар взял чашку.
– Небось скоро свет, – проговорил он, зевая, и прошел куда то.
Петя должен бы был знать, что он в лесу, в партии Денисова, в версте от дороги, что он сидит на фуре, отбитой у французов, около которой привязаны лошади, что под ним сидит казак Лихачев и натачивает ему саблю, что большое черное пятно направо – караулка, и красное яркое пятно внизу налево – догоравший костер, что человек, приходивший за чашкой, – гусар, который хотел пить; но он ничего не знал и не хотел знать этого. Он был в волшебном царстве, в котором ничего не было похожего на действительность. Большое черное пятно, может быть, точно была караулка, а может быть, была пещера, которая вела в самую глубь земли. Красное пятно, может быть, был огонь, а может быть – глаз огромного чудовища. Может быть, он точно сидит теперь на фуре, а очень может быть, что он сидит не на фуре, а на страшно высокой башне, с которой ежели упасть, то лететь бы до земли целый день, целый месяц – все лететь и никогда не долетишь. Может быть, что под фурой сидит просто казак Лихачев, а очень может быть, что это – самый добрый, храбрый, самый чудесный, самый превосходный человек на свете, которого никто не знает. Может быть, это точно проходил гусар за водой и пошел в лощину, а может быть, он только что исчез из виду и совсем исчез, и его не было.
Что бы ни увидал теперь Петя, ничто бы не удивило его. Он был в волшебном царстве, в котором все было возможно.
Он поглядел на небо. И небо было такое же волшебное, как и земля. На небе расчищало, и над вершинами дерев быстро бежали облака, как будто открывая звезды. Иногда казалось, что на небе расчищало и показывалось черное, чистое небо. Иногда казалось, что эти черные пятна были тучки. Иногда казалось, что небо высоко, высоко поднимается над головой; иногда небо спускалось совсем, так что рукой можно было достать его.
Петя стал закрывать глаза и покачиваться.
Капли капали. Шел тихий говор. Лошади заржали и подрались. Храпел кто то.
– Ожиг, жиг, ожиг, жиг… – свистела натачиваемая сабля. И вдруг Петя услыхал стройный хор музыки, игравшей какой то неизвестный, торжественно сладкий гимн. Петя был музыкален, так же как Наташа, и больше Николая, но он никогда не учился музыке, не думал о музыке, и потому мотивы, неожиданно приходившие ему в голову, были для него особенно новы и привлекательны. Музыка играла все слышнее и слышнее. Напев разрастался, переходил из одного инструмента в другой. Происходило то, что называется фугой, хотя Петя не имел ни малейшего понятия о том, что такое фуга. Каждый инструмент, то похожий на скрипку, то на трубы – но лучше и чище, чем скрипки и трубы, – каждый инструмент играл свое и, не доиграв еще мотива, сливался с другим, начинавшим почти то же, и с третьим, и с четвертым, и все они сливались в одно и опять разбегались, и опять сливались то в торжественно церковное, то в ярко блестящее и победное.
«Ах, да, ведь это я во сне, – качнувшись наперед, сказал себе Петя. – Это у меня в ушах. А может быть, это моя музыка. Ну, опять. Валяй моя музыка! Ну!..»
Он закрыл глаза. И с разных сторон, как будто издалека, затрепетали звуки, стали слаживаться, разбегаться, сливаться, и опять все соединилось в тот же сладкий и торжественный гимн. «Ах, это прелесть что такое! Сколько хочу и как хочу», – сказал себе Петя. Он попробовал руководить этим огромным хором инструментов.
«Ну, тише, тише, замирайте теперь. – И звуки слушались его. – Ну, теперь полнее, веселее. Еще, еще радостнее. – И из неизвестной глубины поднимались усиливающиеся, торжественные звуки. – Ну, голоса, приставайте!» – приказал Петя. И сначала издалека послышались голоса мужские, потом женские. Голоса росли, росли в равномерном торжественном усилии. Пете страшно и радостно было внимать их необычайной красоте.
С торжественным победным маршем сливалась песня, и капли капали, и вжиг, жиг, жиг… свистела сабля, и опять подрались и заржали лошади, не нарушая хора, а входя в него.
Петя не знал, как долго это продолжалось: он наслаждался, все время удивлялся своему наслаждению и жалел, что некому сообщить его. Его разбудил ласковый голос Лихачева.
– Готово, ваше благородие, надвое хранцуза распластаете.
Петя очнулся.
– Уж светает, право, светает! – вскрикнул он.
Невидные прежде лошади стали видны до хвостов, и сквозь оголенные ветки виднелся водянистый свет. Петя встряхнулся, вскочил, достал из кармана целковый и дал Лихачеву, махнув, попробовал шашку и положил ее в ножны. Казаки отвязывали лошадей и подтягивали подпруги.
– Вот и командир, – сказал Лихачев. Из караулки вышел Денисов и, окликнув Петю, приказал собираться.

Быстро в полутьме разобрали лошадей, подтянули подпруги и разобрались по командам. Денисов стоял у караулки, отдавая последние приказания. Пехота партии, шлепая сотней ног, прошла вперед по дороге и быстро скрылась между деревьев в предрассветном тумане. Эсаул что то приказывал казакам. Петя держал свою лошадь в поводу, с нетерпением ожидая приказания садиться. Обмытое холодной водой, лицо его, в особенности глаза горели огнем, озноб пробегал по спине, и во всем теле что то быстро и равномерно дрожало.
– Ну, готово у вас все? – сказал Денисов. – Давай лошадей.
Лошадей подали. Денисов рассердился на казака за то, что подпруги были слабы, и, разбранив его, сел. Петя взялся за стремя. Лошадь, по привычке, хотела куснуть его за ногу, но Петя, не чувствуя своей тяжести, быстро вскочил в седло и, оглядываясь на тронувшихся сзади в темноте гусар, подъехал к Денисову.
– Василий Федорович, вы мне поручите что нибудь? Пожалуйста… ради бога… – сказал он. Денисов, казалось, забыл про существование Пети. Он оглянулся на него.
– Об одном тебя пг"ошу, – сказал он строго, – слушаться меня и никуда не соваться.
Во все время переезда Денисов ни слова не говорил больше с Петей и ехал молча. Когда подъехали к опушке леса, в поле заметно уже стало светлеть. Денисов поговорил что то шепотом с эсаулом, и казаки стали проезжать мимо Пети и Денисова. Когда они все проехали, Денисов тронул свою лошадь и поехал под гору. Садясь на зады и скользя, лошади спускались с своими седоками в лощину. Петя ехал рядом с Денисовым. Дрожь во всем его теле все усиливалась. Становилось все светлее и светлее, только туман скрывал отдаленные предметы. Съехав вниз и оглянувшись назад, Денисов кивнул головой казаку, стоявшему подле него.
– Сигнал! – проговорил он.
Казак поднял руку, раздался выстрел. И в то же мгновение послышался топот впереди поскакавших лошадей, крики с разных сторон и еще выстрелы.
В то же мгновение, как раздались первые звуки топота и крика, Петя, ударив свою лошадь и выпустив поводья, не слушая Денисова, кричавшего на него, поскакал вперед. Пете показалось, что вдруг совершенно, как середь дня, ярко рассвело в ту минуту, как послышался выстрел. Он подскакал к мосту. Впереди по дороге скакали казаки. На мосту он столкнулся с отставшим казаком и поскакал дальше. Впереди какие то люди, – должно быть, это были французы, – бежали с правой стороны дороги на левую. Один упал в грязь под ногами Петиной лошади.
У одной избы столпились казаки, что то делая. Из середины толпы послышался страшный крик. Петя подскакал к этой толпе, и первое, что он увидал, было бледное, с трясущейся нижней челюстью лицо француза, державшегося за древко направленной на него пики.
– Ура!.. Ребята… наши… – прокричал Петя и, дав поводья разгорячившейся лошади, поскакал вперед по улице.
Впереди слышны были выстрелы. Казаки, гусары и русские оборванные пленные, бежавшие с обеих сторон дороги, все громко и нескладно кричали что то. Молодцеватый, без шапки, с красным нахмуренным лицом, француз в синей шинели отбивался штыком от гусаров. Когда Петя подскакал, француз уже упал. Опять опоздал, мелькнуло в голове Пети, и он поскакал туда, откуда слышались частые выстрелы. Выстрелы раздавались на дворе того барского дома, на котором он был вчера ночью с Долоховым. Французы засели там за плетнем в густом, заросшем кустами саду и стреляли по казакам, столпившимся у ворот. Подъезжая к воротам, Петя в пороховом дыму увидал Долохова с бледным, зеленоватым лицом, кричавшего что то людям. «В объезд! Пехоту подождать!» – кричал он, в то время как Петя подъехал к нему.
– Подождать?.. Ураааа!.. – закричал Петя и, не медля ни одной минуты, поскакал к тому месту, откуда слышались выстрелы и где гуще был пороховой дым. Послышался залп, провизжали пустые и во что то шлепнувшие пули. Казаки и Долохов вскакали вслед за Петей в ворота дома. Французы в колеблющемся густом дыме одни бросали оружие и выбегали из кустов навстречу казакам, другие бежали под гору к пруду. Петя скакал на своей лошади вдоль по барскому двору и, вместо того чтобы держать поводья, странно и быстро махал обеими руками и все дальше и дальше сбивался с седла на одну сторону. Лошадь, набежав на тлевший в утреннем свето костер, уперлась, и Петя тяжело упал на мокрую землю. Казаки видели, как быстро задергались его руки и ноги, несмотря на то, что голова его не шевелилась. Пуля пробила ему голову.
Переговоривши с старшим французским офицером, который вышел к нему из за дома с платком на шпаге и объявил, что они сдаются, Долохов слез с лошади и подошел к неподвижно, с раскинутыми руками, лежавшему Пете.
– Готов, – сказал он, нахмурившись, и пошел в ворота навстречу ехавшему к нему Денисову.
– Убит?! – вскрикнул Денисов, увидав еще издалека то знакомое ему, несомненно безжизненное положение, в котором лежало тело Пети.
– Готов, – повторил Долохов, как будто выговаривание этого слова доставляло ему удовольствие, и быстро пошел к пленным, которых окружили спешившиеся казаки. – Брать не будем! – крикнул он Денисову.
Денисов не отвечал; он подъехал к Пете, слез с лошади и дрожащими руками повернул к себе запачканное кровью и грязью, уже побледневшее лицо Пети.
«Я привык что нибудь сладкое. Отличный изюм, берите весь», – вспомнилось ему. И казаки с удивлением оглянулись на звуки, похожие на собачий лай, с которыми Денисов быстро отвернулся, подошел к плетню и схватился за него.
В числе отбитых Денисовым и Долоховым русских пленных был Пьер Безухов.

О той партии пленных, в которой был Пьер, во время всего своего движения от Москвы, не было от французского начальства никакого нового распоряжения. Партия эта 22 го октября находилась уже не с теми войсками и обозами, с которыми она вышла из Москвы. Половина обоза с сухарями, который шел за ними первые переходы, была отбита казаками, другая половина уехала вперед; пеших кавалеристов, которые шли впереди, не было ни одного больше; они все исчезли. Артиллерия, которая первые переходы виднелась впереди, заменилась теперь огромным обозом маршала Жюно, конвоируемого вестфальцами. Сзади пленных ехал обоз кавалерийских вещей.
От Вязьмы французские войска, прежде шедшие тремя колоннами, шли теперь одной кучей. Те признаки беспорядка, которые заметил Пьер на первом привале из Москвы, теперь дошли до последней степени.
Дорога, по которой они шли, с обеих сторон была уложена мертвыми лошадьми; оборванные люди, отсталые от разных команд, беспрестанно переменяясь, то присоединялись, то опять отставали от шедшей колонны.
Несколько раз во время похода бывали фальшивые тревоги, и солдаты конвоя поднимали ружья, стреляли и бежали стремглав, давя друг друга, но потом опять собирались и бранили друг друга за напрасный страх.
Эти три сборища, шедшие вместе, – кавалерийское депо, депо пленных и обоз Жюно, – все еще составляли что то отдельное и цельное, хотя и то, и другое, и третье быстро таяло.
В депо, в котором было сто двадцать повозок сначала, теперь оставалось не больше шестидесяти; остальные были отбиты или брошены. Из обоза Жюно тоже было оставлено и отбито несколько повозок. Три повозки были разграблены набежавшими отсталыми солдатами из корпуса Даву. Из разговоров немцев Пьер слышал, что к этому обозу ставили караул больше, чем к пленным, и что один из их товарищей, солдат немец, был расстрелян по приказанию самого маршала за то, что у солдата нашли серебряную ложку, принадлежавшую маршалу.

Рассмотрим движение ракеты в невесомости, т.е.. Пусть в начальный момент времени t = 0 скорость ракеты
. Масса ракеты вместе с топливом равна M , масса самой ракеты
. Ракета при горении топлива может выбрасывать газы со скоростью u . Какую максимальную скорость v может развить ракета при полном расходовании топлива?

Из уравнения Мещерского в этом случае получаем

md v = - udm , или

Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения

- уравнение Циолковского ,

где
- число Циолковского .

Чтобы ракета при существовавших на то время видах топлива развивала первую космической скорости 8 км /с , необходимо было иметь очень большое число
, т.е. масса топлива во много раз должна была превышать массу оболочки ракеты. Чтобы избежать этого Циолковский предложил использовать многоступенчатые ракеты. После выгорания топлива в одной ступени ракеты эта ступень отбрасывается, и начинает работать следующая ступень ракеты. Циолковский таким образом предсказал полеты человека в космическое пространство.

Момент импульса материальной точки относительно начала координат

Для простоты рассмотрим случай плоского движения, т.е. траектория движения материальной точки лежит в одной плоскости, которую мы расположим перпендикулярно плоскости листа. Выберем на плоскости начало координат О и положение материальной точки будем описывать радиус-вектором . Скорость точки , ее импульс
, ускорение , и сила будут расположены в плоски движения материальной точки, как показано на рисунке.

Введем две новые физические величины: момент силы и момент импульса относительно начала координат O .

-

- момент силы относительно начала координат.

Модуль вектора
равен

, где
- угол между векторами и . Если опустить перпендикуляр из точки O на направление действия силы, то его длина будет плечом силы ,
и модуль момента сил будет равен произведению силы на плечо, т.е.
, что совпадает со школьным определением момента силы.

Аналогично моменту силы вводится момент импульса

-

- момент импульса материальной точки относительно начала координат .

,

где
- угол между векторами и ,
-плечо импульса , т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки O на направление вектора материальной точки. Оба вектора
и , согласно определения направлены перпендикулярно плоскости движения материальной точки.

В общем случае неплоского движения, направление векторов
и не совпадают, но существует закон, который связывает момент импульса с моментом силы
. Чтобы установить этот закон, возьмем производную от вектора :

.

В результате получаем:

-

- закон изменения момента импульса материальной точки относительно начала координат .

Закон сохранения момента импульса системы материальных точек

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек: Выберем начало координат О , тогда положение точек будет задаваться радиус-векторами

.

Пусть материальные точки обладают импульсами

,

и пусть между материальными точками системы действуют силы внутреннего взаимодействия , а также на материальные точки действуют внешние силы . Определим моменты этих сил относительно начала координат:

- момент внутренней силы ,

- момент внешней силы .

Определим также моменты импульсов материальных точек

.

Просуммировав левые и правые части этих уравнений, получим

Силы взаимодействия между материальными точками действуют в противоположные стороны вдоль одной и той же прямой. Их моменты относительно начала координат О равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил равна нулю. В результате получим

.

Если система материальных точек является замкнутой, то
, и тогда имеет место закон сохранения момента импульса

-

- закон сохранения момента импульса системы материальных точек.

Если система материальных точек является замкнутой, то суммарный момент импульса системы остаётся постоянным, т.е. сохраняется во времени .

Жестокими законы окружающей нас природы можно назвать только в переносном смысле. Мы создали машины, способные освободить нас от уз, удерживающих в гравитационном колодце всё человечество, но управление некоторыми из их аспектов остаётся вне наших сил. Если мы хотим начать наше путешествие по Солнечной системе, то эти ограничения придётся как-то обходить.

Современные ракеты отбрасывают часть собственной массы в виде газа из сопел двигателей, что даёт им возможность двигаться в противоположном направлении. Это реально благодаря третьему закону Ньютона, который был сформулирован в 1687 году. Всему нашему ракетному движению мы обязаны формуле Циолковского 1903 года.

В формуле всего четыре переменных (слева направо): конечная скорость летательного аппарата, удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива), начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка, конструкция и топливо) и его конечная масса (полезная нагрузка и конструкция).

Как можно изменить одну из переменных, если три другие уже заданы? Это просто невозможно, никакая форма желания, хотения или просьб здесь не поможет.

Именно потери на гравитацию определяют пределы человеческого исследования космоса, и мы вынуждены их учитывать, когда мы выбираем место, куда мы хотим отправиться. Сегодня таких мест не так уж и много. С земной поверхности мы можем оказаться на орбите Земли, с орбиты Земли можно отправиться на поверхность Луны, или на поверхность Марса, или в пространство между Луной и Землёй. Возможны различные комбинации, но с текущим развитием технологий это самые вероятные точки назначения.

Представленные ниже значения не учитывают никакие потери на, к примеру, сопротивление атмосферы, но значения достаточно близки для иллюстрации того, что нужно принять как должное. Это в некотором роде стоимость полёта.

Как можно заметить, путь от Земли на орбиту, эти жалкие 400 километров - это самая затратная часть полёта. Это целая половина «стоимости» полёта на Марс, даже до Луны добраться «стоит» меньше. Всё это связано с гравитационным притяжением нашего космического дома.

А лететь нам придётся на ракете с химическими двигателями; пусть и есть перспективные разработки, но реальными остаются традиционные, используемые уже на протяжении более 60 лет в пилотируемой космонавтике двигатели. Химическое топливо накладывает ограничение на количество энергии, которое можно из них извлечь, а значит и вложить в ракету, и мы используем самые эффективные реакции, известные человечеству. И вновь нам придётся смириться с некоторым значением переменной, которое мы не в силах изменить.

Ниже представлены как некоторые виды ракетного топлива, которые хоть раз были использованы для приведения в движение аппаратов с человеком на борту или планируются к использованию, так и их удельные импульсы. Метан-кислород находится под рассмотрением для будущих экспедиций на Луну и Марс. Самовоспламеняющееся двухкомпонентное жидкое ракетное топливо использовалось для посадочного лунного модуля программы «Аполлон» из-за своей простоты.

Самой эффективной парой остаётся кислород-водородная, и химия не может дать нам больше. В конце 70-х годов прошлого века ядерный ракетный двигатель с водородом в качестве рабочего тела, который разгоняла теплота управляемой ядерной реакции, выдал 8,3 км/с.

Итак, единственное, что мы теперь можем изменить в формуле Циолковского - это отношение масс летательного аппарата. Ракета должна быть построена таким образом, чтобы это отношение имело какое-то заданное значение, иначе она просто не достигнет своей цели. Что-то можно сделать, если добавить несколько гениальных решений в конструкцию, но в целом это мало повлияет на результат - химию топлива и гравитацию небесных тел не изменить.

Итак, что имеем? Вот процентное соотношение топлива от общей массы ракеты, необходимое для попадания ракеты на орбиту Земли.

Полученные цифры не учитывают разнообразные потери сопротивления атмосферы, неполного сгорания и других отрицательных факторов, поэтому реальное отношение чуть ближе к 100%. Прекрасные инженерные решения типа разделения на ступени, нескольких видов топлива (например, керосин или твёрдое топливо для первой ступени, водород для остальных) очень помогают в ситуации, когда лишь порядка 10% от массы аппарата остаётся на собственно ракету. Масса полезной нагрузки иногда и в буквальном смысле идёт на вес золота.

Характеристики реальных ракет не сильно отличаются от этих идеальных, полученных без учёта множества факторов значений. Самая большая в истории человечества ракета «Сатурн-5» на стартовом столе имела топлива 85% от всей своей массы. У неё было три ступени: первая работала на керосине и кислороде, вторая и третья - на водороде и кислороде. Такой же показатель у «Шаттлов». «Союз» использует керосин на всех своих ступенях, поэтому масса его топлива составляет 91% от общей массы ракеты. Использование пары водород-кислород сопряжено с большим количеством технических трудностей, но эта комбинация более эффективна; керосин в паре с кислородом предоставляет возможность использовать более простые и надёжные решения.

15% массы ракеты - это куда меньше, чем кажется. У ракеты должны быть баки, трубы, ведущие к двигателям, корпус, который должен быть в состоянии выдерживать как сверхзвуковой полёт в атмосфере после нечеловеческого жара стартовой площадки, так и холод безвоздушного пространства. Ракету нужно вести, управлять ей с помощью сверхзвуковых рулей и маневровых двигателей. Хрупкие тела людей в космическом корабле нужно обеспечивать кислородом, а также удалять углекислоту, их нужно защитить от жара и холода, дать им возможность безопасно вернуться на поверхность родной планеты. Наконец, люди - не единственная нагрузка ракеты: мы не запускаем людей просто для развлечения, вернее, мы можем запустить человека ради самого факта, но лишь один раз. С людьми в космос летит и разнообразное оборудование для проведения экспериментов, поскольку полёты в космос имеют целью научные исследования.

Реальная масса полезной нагрузки ракет куда меньше этих 10%-15%. «Сатурн-5», единственная ракета, которая помогла человеку ступить на Луну, доставляла на орбиту Земли всего 4% от своей общей массы, всего же на орбиту доставлялось 120 тонн. «Шаттлы» могли доставлять примерно столько же (100 тонн), но реальная полезная нагрузка составляла порядка 20 тонн, 1% от общей массы.

Сравним ракеты с привычными нам транспортными средствами. (Конечно, ракета имеет баки с окислителями, а земной транспорт использует для этого кислород воздуха.)

Легко заметить, как отличаются материалы и конструкция транспортного средства в зависимости от относительной массы топлива. Транспорт с топливом массой менее 10% от его общей массы обычно делается из стали, а над его конструкцией нет нужды особо думать: прикрепи эту часть к той и усиль корпус, где требует интуиция. Десятитонный грузовик можно сильно перегрузить, но он будет продолжать двигаться, пусть и медленно.

Воздушный транспорт требует уже более серьёзного подхода и лёгких конструкций из алюминия, магния, титана, композитных материалов. Тут уже просто так ничего не поменяешь, а над любой мелкой деталью нужно подумать дважды. Машины подобного рода не могут работать так далеко за пределами своих лимитов нагрузок. 60%-70% от массы этих аппаратов составляет собственно вес транспортного средства с полезной нагрузкой, и с применением некоторых инженерных решений возможна комфортная, безопасная и выгодная эксплуатация.

А ракеты, где 85% приходится на топливо, находятся на пределе наших инженерных способностей. Мы едва можем их производить, они требуют постоянного улучшения для возможности их использовать. Внешне небольшие изменения требуют огромного количества разнообразного анализа и тестирования прототипов в аэродинамических трубах, вибростендах, а для пробного запуска следует удалить персонал в бункер на пару-тройку километров от стартовой площадки - даже после всех этих проверок возможны происшествия. Очень часто превышать нагрузки более, чем на 10% от заданного техническими требованиями, нельзя. Это аналогично ситуации, когда после разгона до 44 километров в час велосипед развалится на мельчайшие винтики просто потому, что предельной скоростью является 40 км/ч.

Чудо массового производства, пивная алюминиевая банка примерно на 94% состоит из своего содержимого, и лишь 6% приходится на корпус, но каким-то образом этот показатель лучше у внешнего бака Шаттла, несмотря на то, что в нём содержится не напиток чуть холоднее комнатной температуры, а высокоактивные жидкости температурой примерно на 20 градусов выше температуры абсолютного нуля, сжатые до ужасного давления. При этом этот топливный бак может выдержать перегрузку в 3 g, сохраняя поток окислителя и горючего на уровне 1,5 тонн в секунду.

Дон Петтит описывает детали экспедиции STS-126 ноября 2008 года. Двигатели челнока должны были отключиться при достижении скорости 7824 м/с, но если бы это произошло на уровне 7806 м/с, то космический аппарат стал бы спутником Земли, но не попал бы на целевую орбиту. Говоря проще, «Индевор» не достиг бы МКС. Большая ли это разница? Это примерно аналогично ситуации, когда нужно заплатить 10 долларов, и для этого не хватает всего лишь двух центов (0,2%). Хорошо, в этом случае можно было бы использовать часть топлива для орбитальных манёвров. Если бы скорость была всего на 3% ниже, то не хватило бы и этих запасов, и челнок пришлось бы сажать где-то в Испании. Эти 3% можно было потерять, если маршевый двигатель отключился бы всего на 8 секунд раньше.

Представим наилучшее стечение обстоятельств: бак для Шаттла (массу двигателей мы отбросим) и водород-кислородное топливо. Если подставить значения в формулу Циолковского, то станет ясным, что при радиусе нашей планеты в полтора раза больше его нынешнего мы никогда бы не достигли космоса только за счёт технологии химических ракетных двигателей .

И всё это - последствия формулы Циолковского. Если мы хотим избавиться от её жестокого господства, нам придётся создать работающие версии принципиально новых двигателей. Возможно, тогда ракеты станут такими же безопасными, привычными и надёжными, как и реактивные пассажирские самолёты.

Подробности Категория: Человек и небо Опубликовано 10.06.2014 18:24 Просмотров: 8198

«Земля – колыбель человечества. Но нельзя вечно жить в колыбели». Это высказывание принадлежит русскому изобретателю, выдающемуся учёному-самоучке Константину Эдуардовичу Циолковскому.

Циолковского называют отцом космонавтики. Ещё в 1883 г. в своей рукописи "Свободное пространство" он высказывал мысль о том, что в космосе можно передвигаться с помощью ракеты. Но теорию ракетного движения он обосновал гораздо позже. В 1903 г. была опубликована первая часть труда учёного, который назывался «Исследование мировых пространств реактивными приборами». В этом труде он привёл доказательства того, что ракета является аппаратом, способным совершать космический полёт.

Научными разработками в области воздухоплавания и аэродинамики Циолковский занимался и ранее. В 1892 г. в работе «Теория и опыт аэростата» он описал управляемый дирижабль с оболочкой из металла. В те времена оболочки делали из прорезиненной ткани. Понятно, что дирижабль Циолковского мог служить гораздо дольше. Кроме того, он был оснащён системой подогрева газа и имел переменный объём. А это позволяло сохранять постоянную подъёмную силу при различных температурах окружающей среды и на различной высоте.

В 1894 г. учёный опубликовал статью «Аэростат или птицеподобная (авиационная) летательная машина», в которой описал летательный аппарат тяжелее воздуха – аэроплан с металлическим каркасом. В статье были даны расчёты и чертежи цельнометаллического самолёта с одним изогнутым крылом. К сожалению, в то время идеи Циолковского не были поддержаны в научном мире.

Многие поколения учёных мечтали о полётах за пределы Земли – на Луну, Марс и другие планеты. Но как будет двигаться летательный аппарат в космосе, где абсолютная пустота и нет опоры, оттолкнувшись от которой он получит ускорение? Циолковский предложил использовать для этой цели ракету, приводимую в движение реактивным двигателем.

Как устроен ракетный двигатель

В космическом пространстве нет ни твёрдой, ни жидкой, ни газообразной опоры. И ускорение космическому кораблю может сообщить только реактивная сила . Для появления этой силы внешние воздействия не нужны. Она возникает, когда продукты сгорания вытекают из сопла ракеты с некоторой скоростью относительно самой ракеты.

Основная часть ракетного двигателя – камера сгорания . В ней и происходит процесс сгорания топлива. В одной из стенок этой камеры есть отверстие, называемое реактивным соплом . Вот через это отверстие и выбрасываются газы, образуемые при сгорании.

Продукты сгорания топлива в двигателях называют рабочим телом. Вообще, рабочее тело – это некое условное материальное тело, расширяющееся при нагреве и сжимающееся при охлаждении. В каждом типе двигателя оно разное. Так, в тепловых двигателях, рабочее тело – это продукты сгорания бензина, дизельного топлива и др. В ракетных – продукты сгорания ракетного топлива. А топливо для ракетных двигателей также бывает разным. И в зависимости от его вида различают ядерные ракетные двигатели, электрические ракетные двигатели, химические ракетные двигатели.

В ядерном ракетном двигателе рабочее тело нагревается за счёт энергии, которая выделяется при ядерных реакциях.

В электрических ракетных двигателях источником энергии служит электрическая энергия.

Химические ракетные двигатели , в которых топливо (горючее и окислитель) состоит из веществ, находящихся в твёрдом состоянии, называются твёрдотопливными (РДТТ). А в жидкостных ракетных двигателях (ЖРД) компоненты топлива хранятся в жидком агрегатном состоянии.

Циолковский предложил использовать для полётов в космосе жидкостные ракетные двигатели. Такие двигатели преобразуют химическую энергию топлива в кинетическую энергию выбрасываемой из сопла струи. В камерах сгорания этих двигателей происходит экзотермическая (с выделением теплоты) реакция горючего и окислителя. В результате этой реакции продукты сгорания нагреваются, расширяются и, разгоняясь в сопле, истекают из двигателя с огромной скоростью. А ракета, согласно закону сохранения импульса, получает ускорение, направленное в другую сторону.

И в наше время для полётов в космосе применяют ракетные двигатели. Конечно, существуют и другие проекты двигателей, например, космический лифт или солнечный парус , но все они находятся в стадии разработки.

Первая ракета Циолковского

Люди придумали ракеты очень давно.

В конце III века до нашей эры человечество изобрело порох. А сила, возникающая при взрыве пороха, могла приводить в движение различные предметы. И пиротехнические средства стали использовать для фейерверков. Позже были созданы пушки и мушкеты. Их снаряды могли летать на вполне приличное расстояние. Но ракетами их всё-таки назвать нельзя было, так как они не имели собственного топлива. Но с их появлением возникли предпосылки для создания настоящих ракет.

Китайские «огненные стрелы», к которым прикреплялись трубки из плотной бумаги, заполненные горючим веществом и открытые с заднего конца, вылетавшие из лука при поджигании заряда, уже можно было считать ракетами.

В конце XIX века ракеты уже были на вооружении в артиллерии. Циолковский же предложил ракету – летательный аппарат, который передвигается в космическом пространстве за счёт действия реактивной тяги.

Как же выглядела первая ракета Циолковского? Это был летательный аппарат в виде металлической продолговатой камеры (формы наименьшего сопротивления), внутри которого располагались 2 отсека: жилой и двигательный. Жилой отсек предназначался для экипажа. А в двигательном отсеке находился жидкостный ракетный двигатель, работающий на водородно-кислородном топливе. Жидкий водород служил топливом, а жидкий кислород – окислителем, необходимым для горения водорода. Газы, образующиеся при сгорании топлива, имели очень высокую температуру и текли по трубам, расширяющимся к концу. Разредившись и охладившись, они вырывались из раструбов с огромной относительно ракеты скоростью. На выбрасываемую массу действовала сила со стороны ракеты. А согласно третьему закону Ньютона (закон равенства действия и противодействия) такая же сила, называемая реактивной, действовала и на ракету со стороны выбрасываемой массы. Эта сила сообщала ракете ускорение.

Формула Циолковского

Формула для вычисления скорости ракеты, обнаружена в математических трудах Циолковского, написанных им в 1897 г.

,

V - скорость летательного аппарата после выработки всего топлива:

I – отношение тяги двигателя к расходу топлива в секунду (величина, называемая удельным импульсом ракетного двигателя). Для теплового ракетного двигателя u = I.

M 1 – масса летательного аппарата в начальный момент полёта. Она включает массу самой конструкции ракеты, массу топлива и массу полезной нагрузки (например, космического корабля, который выводится ракетой на орбиту).

M 2 – масса летательного аппарата в конечный момент полёта. Так как топливо к этому времени уже израсходовано, то это будет масса конструкции + масса полезной нагрузки.

С помощью формулы Циолковского можно рассчитать количество топлива, необходимое ракете для получения заданной скорости.

Из формулы Циолковского получаем отношение начальной массы ракеты к её конечной массе:

Обозначим:

M o – масса полезного груза

M k - масса конструкции ракеты

M t - масса топлива

Масса конструкции зависит от массы топлива. Чем больше топлива необходимо ракете, тем больше резервуаров потребуется для его транспортировки, а значит, большей будет и масса конструкции.

Отношение этих масс выражается формулой:

где k – коэффициент, который показывает количество топлива на единицу массы конструкции ракеты.

Этот коэффициент может быть разным в зависимости от того, какие материалы использованы в конструкции ракеты. Чем легче и прочнее эти материалы, тем меньшим будет коэффициент, и легче конструкция. Кроме того, он зависит и от плотности топлива. Чем плотнее топливо, тем меньшие по объёмы ёмкости потребуются для его транспортировки, и тем выше значение k .

Подставив в формулу Циолковского выражения начальной и конечной массы ракеты через массы конструкции, груза и топлива, получим:

Из этого выражения следует, что величина массы топлива равна:

Зная значение удельного импульса топлива и массу полезного груза, можно рассчитать скорость ракеты.

Эта формула имеет смысл только в том случае, если

или

Если это условие не выполняется, ракета никогда не сможет достигнуть заданной скорости.

Многоступенчатая ракета

Чтобы преодолеть притяжение Земли, летательный аппарат должен развить горизонтальную скорость около 7,9 км/сек. Эта скорость называется первой космической скоростью . Получив такую скорость, он будет двигаться вокруг Земли по концентрической орбите и станет искусственным спутником Земли. При меньшей скорости он упадёт на Землю.

Чтобы покинуть орбиту Земли, аппарат должен обладать скоростью 11,2 км/сек. Эта скорость называется второй космической скоростью . А космический аппарат, получивший такую скорость, становится спутником Солнца.

Каждое небесное тело имеет свои значения космических скоростей. Например, для Солнца вторая космическая скорость равна 617,7 км/сек.

Вес топлива, необходимого для получения даже первой космической скорости, по расчётам превышает вес самой ракеты. А ведь кроме топлива, она должна нести ещё и полезный груз: экипаж, приборы и т.п. Понятно, что такую ракету построить невозможно. Но Циолковский нашёл решение и этой задачи. А что если механически скрепить вместе несколько ракет? Учёный предложил направлять в космическое пространство целый «ракетный поезд». Каждая ракета в таком «поезде» называлась ступенью, а сам «поезд» - многоступенчатой ракетой.

Двигатель первой, самой большой ступени, включается при старте. Она получает ускорение и сообщает его всем остальным ступеням, которые по отношению к ней являются полезной нагрузкой. Когда всё топливо выгорит, эта ступень отделяется от ракеты и сообщает свою скорость второй ступени. Далее таким же образом разгоняется вторая ступень, которая также отделится от ракеты, когда закончится топливо. И так будет до тех пор, пока не закончится топливо в двигателе последней ступени ракеты. Тогда и эта ступень отделится от космического корабля, а он займёт свое место на космической орбите.

Требуется вывести искусственный спутник Земли массой на круговую орбиту высотой 250 км. Располагаемый двигатель имеетудельный импульсм/c. Коэффициент– это значит, что масса конструкции составляет 10 % от массы заправленной ракеты (ступени). Определим массуракеты-носителя.

Первая космическая скоростьдля выбранной орбиты составляет 7759,4 м/с, к которой добавляются предполагаемые потери от гравитации 600 м/c (это, как можно видеть, меньше, чем потери, приведённые в таблице 1, но и орбита, которую предстоит достичь – вдвое ниже). Характеристическая скорость, таким образом, равнам/c (остальными потерями в первом приближении можно пренебречь). При таких параметрах величина. Неравенство (4), очевидно, не выполняется, следовательно, одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможно.

Расчёт для двухступенчатой ракеты.

Разделим пополам характеристическую скорость, что составит характеристическую скорость для каждой из ступеней двухступенчатой ракеты м/c. На этот раз, что удовлетворяет критерию достижимости (4), и, подставляя в формулы (3) и (2) значения,

для 2-й ступени получаем:

т;

т;

полная масса 2-й ступени составляет 55,9 т.

Для 1-й ступени к массе полезной нагрузки добавляется полная масса 2-й ступени, и после соответствующей подстановки получаем:

т;

полная масса 1-й ступени составляет 368,1 т;

общая масса двухступенчатой ракеты с полезным грузом составит 10 + 55,9 +368,1 = 434 т.

Аналогичным образом выполняются расчёты для большего количества ступеней. В результате получаем:

Стартовая масса трёхступенчатой ракеты составит 323,1 т.

Четырёхступенчатой – 294,2 т.

Пятиступенчатой – 281 т.

На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатостьв ракетостроении: при той же конечной скорости ракета с большим числом ступеней имеет меньшую массу.

Следует отметить, что эти результаты получены в предположении, что коэффициент конструктивного совершенства ракеты остаётся постоянным, независимо от количества ступеней. Более тщательное рассмотрение показывает, что это – сильное упрощение. Ступени соединяются между собой специальными секциями – переходниками – несущими конструкциями. Каждая из них должна выдерживать суммарный вес всех последующих ступеней, помноженный на максимальное значениеперегрузки, которую испытывает ракета на всех участках полёта, на которых переходник входит в состав ракеты. С увеличением числа ступеней их суммарная масса уменьшается, в то время как количество и суммарная масса переходников возрастают, что ведёт к снижению коэффициента, а, вместе с ним, и положительного эффектамногоступенчатости. В современной практике ракетостроения более четырёх ступеней, как правило, не делается.

Анализ баллистических возможностей ракет говорит о следующем:

При этом приращения скорости, сообщаемые ступенями для двух- и трехступенчатых ракет, имеют различные пропорции (табл. 2).

Оптимальное соотношение масс ступеней зависит от коэффициента тяговооруженности, представляющего собой отношение тяги двигателя к начальной массе ракеты. Поэтому для анализа влияния различных параметров ракеты на оптимальное соотношение масс ступеней обычно рассматривают скорость полета, определяемую с учетом величины коэффициента тяговооруженности. При баллистическом проектировании в качестве предварительных можно принимать соотношения масс ступеней, как в табл. 3.

Такого рода расчёты выполняются не только на первом этапе проектирования – при выборе варианта компоновки ракеты, но и на последующих стадиях проектирования, по мере детализации конструкции. Формула Циолковского постоянно используется при поверочных расчётах, когда характеристические скорости пересчитываются, с учётом сложившихся из конкретных деталей соотношений начальной и конечной массы ракеты (ступени), конкретных характеристик двигательной установки, уточнения потерь скорости после расчёта программы полёта на активном участке, и т.д., с целью контроля достижения ракетой заданной скорости.