Для управления ходом выполнения комплекса операций, представленного сетевой моделью, ЛПР должен располагать информацией о количественных параметрах элементов сети, в том числе: о продолжительности выполнения всего комплекса операций, о сроках выполнения отдельных операций и их резервах времени. Различают следующие виды путей: полный, предшествующий событию, следующий за событием.

Путь сетевого графика называется полным, если его начальная вершина совпадает с исходным событием, а конечная – с завершающим.

Предшествующий событию путь представляет собой путь от исходного события до данного.

Следующий за событием путь - путь от данного события до завершающего.

Важнейшим параметром сетевого графика является критический путь, представляющий собой полный путь, имеющий наибольшую продолжительность во времени. Операции и события, принадлежащие критическому пути, называются соответственно критическими операциями и критическими событиями. Суммарная продолжительность операций, принадлежащих критическому пути, равна критическому времени выполнения комплекса операций в целом (используется обозначение ). На графике критический путь, как правило, выделяется жирной линией.

Рассмотрим процедуру расчета параметров сетевого графика.

Пусть продолжительности выполнения операций известны (Рис. 5.5; продолжительности операций расположены у соответствующих дуг графика).

Определим сначала ожидаемые (ранние) сроки свершения событий сетевого графика. Исходное событие означает момент начала выполнения комплекса операций, следовательно,
. Событие (2) свершится, очевидно, спустя 2 ед. времени после свершения события (1), так как время выполнения операции (1,2) равно 2. Следовательно, . Событию (3) предшествуют два пути:
и
. Продолжительность первого пути равна 1 ед. времени, а второго – 2 ед. времени, так как
. Продолжительность второго пути можно найти добавлением к ожидаемому сроку свершения события (2) времени выполнения операции (2,3), т. е.
. Поскольку событие (3) может свершиться не раньше момента окончания всех входящих в него операций, то

.

В событие (4) входят две дуги, исходящие из событий (1) и (3), для которых ожидаемые сроки свершения найдены. Следовательно, ожидаемый срок свершения события (4)

Аналогично находятся ожидаемые сроки свершения событий (5), (6) и (7). Значения ,
приписаны соответствующим событиям.

Общая формула нахождения ожидаемых сроков свершения событий имеет вид:

где
– подмножество дуг сети, входящих в событие
.

Ожидаемый срок свершения события (7)
совпадает с критическим временем (суммарной продолжительностью операций, принадлежащих критическому пути). Возвращаясь теперь от завершающего события к исходному, выделим операции, принадлежащие критическому пути. Из трех операций, входящих в событие (7),
определила операция (5,7), выполнение которой начинается после свершения события (5) и продолжается 3 ед. времени. Момент свершения события (5) определила операция (3,5), так как
. В свою очередь момент свершения события (3) определила операция (2,3), а события (2) – операция (1,2). Эти операции на рис. 5.6 выделены жирной линией. Таким образом, критический путь. Увеличение времени выполнения любой операции, принадлежащей критическому пути, ведет к увеличению времени выполнения всего комплекса операций. Напротив, увеличение времени выполнения или задержка с выполнением некритических операций может не отразиться на сроке свершения завершающего события. Так, например, время выполнения операции (4,5) может быть увеличено, или начало ее выполнения может быть отсрочено на 1 ед. времени, и это не отразится на сроке свершения события (5), а, следовательно, и всего комплекса операций.

Начало выполнения операции (4,7) может быть отсрочено на 3 ед. времени. Отсюда следует, что для события (4), не лежащего на критическом пути, существует предельный (поздний) срок свершения. Обозначим предельный срок свершения любого события сетевого графика через
. Примем, что ожидаемый и предельный сроки свершения завершающего события
совпадают
тогда предельный срок свершения любого события сетевого графика равен минимальной разности между предельными сроками окончания операций, исходящих из данного события, и временем выполнения соответствующих операций. Нахождение предельного срока осуществляется по формуле

где
– подмножество дуг сети, исходящих из события.

В нашем примере
. Определим этот показатель для оставшихся событий. Из события (5) исходит одна операция, следовательно,
. Аналогично
. Из события (4) исходят три операции, поэтому

Аналогично
(на Рис. 5.4 предельные сроки свершения событий указаны в скобках). Для критических событий эти сроки совпадают с ожидаемыми.

Некритические события имеют резервы времени, которые показывают, на какой предельно допустимый срок может задержаться свершение событий без изменения срока свершения завершающего события. Резерв времени событияравен разности между предельным и ожидаемым сроками его свершения:

.

Ожидаемые и предельные сроки свершения событий находятся в тесной взаимосвязи со сроками начала и окончания операций: ранний срок начала выполнения операции
равен ожидаемому сроку свершения- го события
поздний срок окончания операции совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события
поздний срок начала выполнения операции равен разности между предельным сроком свершения ее конечного события и продолжительностью
ранний срок окончания операции равен сумме ожидаемого срока свершения ее начального события и продолжительности

Сроки выполнения операций находятся в границах, определяемых параметрами:
Следовательно, операции, как и события, могут иметь некоторый резерв времени. Различают несколько разновидностей резервов времени операций, из которых наиболее важными являются полный и свободный резервы.

Полный резерв времени операции показывает, насколько можно сдвинуть начало выполнения операции или увеличить ее продолжительность, не изменяя ожидаемого срока свершения начального события, при условии, что конечное для данной операции событие свершится не позднее своего предельного срока. Величина полного резерва времени вычисляется по формуле

Свободный резерв времени операции показывает, насколько можно увеличить продолжительность или отсрочить начало выполнения операции
, при условии, что начальное и конечное ее события свершаются в ожидаемое время:

Так резервы времени операции (4,6) сетевого графика составляют (Рис. 5.5):

КУРСОВАЯ РАБОТА

по предмету: «Математические методы»

на тему: «Основные временные параметры сетевых графиков и их расчеты»

Теория графов – область дискретной математики, которая занимается исследованием и решением разнообразных проблем, связанных с объектом, называемым графом. Граф определяется заданием двух множеств. Первое – X – множество вершин графа. Элементы этого графа можно изобразить в виде точек плоскости или пространства. Второе – U – множество пар элементов из Х. Каждый элемент множества U указывает пару вершин, между которыми существует связь; она может изображаться линией, соединяющей соответствующие вершины графа. При таком изображении требуется, чтобы линия проходила только через вершины, которые она соединяет, и чтобы разные линии могли пересекаться только в вершинах. Иногда в парах составляющих множество U, указывается, какая вершина является первой. В этом случае элементы множества U называются дугами графа (X, U), а сам граф – ориентированным. Если ориентация не указана, то элементы U называются ребрами, а граф (X, U) – неориентированным графом или про сто графом. Элемент U, указывающий на связь вершины с ней самой, называется петлей.

Граф (X, U) называется конечным, если множества X и U состоят из конечного числа элементов. В противном случае граф (X, U) называется бесконечным.

Основные временные параметры сетевых графиков и их расчеты

Важнейшим параметром сетевого графика является критический путь. Путем в сетевом графике называется любая последовательность работ(стрелок), связывающая какие-либо два события. При этом пути, связывающие исходные и завершающие события сети, считается полными, а все другие пути – неполными. Каждый путь характеризуется своей продолжительностью, которая равна сумме продолжительностей составляющих его работ.

Полный путь, имеющий наибольшую продолжительность, называется критическим путем.

Работы и события, лежащие на критическом пути, также называются критическими работами и событиями. Полная продолжительность выполнения всего комплекса работ, отображенного сетевым графиком, равна продолжительности критического пути. На графике критический путь обычно выделяется жирной линией.

Для каждого события, включенного в сетевой график, рассчитываются следующие показатели:

Ранний срок наступления события, характеризующий наиболее ранний из возможных сроков совершения того или иного события;

Поздний срок наступления событий, характеризующий наиболее поздний из допустимых сроков того или иного события. Если установлен срок наступления завершающего события, являющегося результатом всего комплекса проводимых работ, то каждое промежуточное событие должно наступить не позже определенного срока. Этот срок и является предельно допускаемым сроком наступления события;

Резерв времени наступления событий, который определяется как разность между поздним и ранним сроками наступления события.

Зная указанные показатели для событий, для каждой из работ составленного графика можно определить следующие параметры: ранний срок начала работы, который определяется моментом наступления начального ной работы события в его ранний срок; поздний срок начала работы, определяемый моментом наступления конечного для данной работы события в его поздний срок за вычетом продолжительности работы (временной оценки); ранний срок окончания работы и, наконец, поздний срок окончания работы, т. е. предельно допускаемый срок окончания.

Расчет основных временных параметров производится по соответствующим формулам.

Ранний срок наступления любого последующего события (j-го) определяется величиной пути максимальной продолжительности, ведущего к нему от исходного события. Выбор этой продолжительности может быть осу­ществлен по следующей формуле:

Производя расчеты, удобно принимать, что ранний срок наступления исходного (1-го) события равен нулю, т.е.

Тогда

Поскольку к событию 2 идет только один путь от события 1, то выбирать максимальные продолжительности путей не приходится:

. Сказанное только что относится и к данному расчету. Поиному обстоит дело, когда мы подошли к событию 4. К нему ведут два пути: прямой от события 1 и опосредствованный событием 2. Здесь надо использовать во всей полноте нижеприведенную формулу:

Значит, 4-е событие сможет наступить на 14-й день от общего начала работ (но не через 7 дней, как это может показаться вначале).

Продолжаем расчеты. Очередным является событие 5. К нему ведут два пути: от события 4 и от события 3. Применяем формулу

Аналогично поступаем и с расчетами ранних сроков наступления событий 6 и 7:

Затем рассчитываем

. К событию 8 ведут четыре пути, поэтому придется иметь дело с выбором макси­мальной величины из четырех слагаемых.

Следовательно, завершающее (8-е) событие может наступить лишь на 36-й день от начала выполнения всего комплекса работ.

Поздний срок наступления любого предыдущего (i-го) события определяется величиной пути минимальной продолжительности, ведущего к нему от завершающего события. Выбор этой продолжительности может быть осуществлен по формуле

.

Примем самый поздний срок наступления (8-го) события, равный 36 единицам времени, поскольку ранний срок (по предыдущим расчетам) был равен этому числу.

Определим этот показатель для последующих событий:

При расчетах последующих событий 5,4 и т. д., к которым идут несколько путей, необходимо в полной степени использовать вышеприведенную формулу

; ;

В конце рассчитываем

, к которому ведут три пути, и, как в предыдущих расчетах, выбираем мини­мальный путь

Полученный результат говорит о том, что расчеты произведены правильно.

На основе этих расчетов определяются резервы времени для событий как разность между самым поздним и самым ранним сроками их наступления. Резервы времени для событий показывают, на какой предельно допустимый период времени может задержаться наступление того или иного события, не вызывая при этом опасности срыва наступления завершающего события. Разумеется, события, находящиеся на критическом пути, не имеют резервов времени. Имеем.

В табл. 1 приведены основные временные параметры сетевых графиков.

Рассмотрим содержание и расчет указанных параметров.

Начнем с параметров событий. Как уже отмечалось, событие не может наступить прежде, чем свершатся все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок свершения 1-го собы­тия определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

где - любой путь, предшествующий i - му событию, т.е. путь от исходного до i-го события сети.

Если событие имеет несколько предшествующих путей, а следовательно, несколько предшест­вующих событий i, то ранний срок свершения события у удобно находить по формуле

Таблица 1.

Элемент сети, харак­теризуемый параметром	Наименование параметра	Условное обозна­чение пара­метра
Событие i	Ранний срок свершения события Позд­ний срок свершения события Резерв вре­мени события
Работа (i , j )	Продолжительность работы Ранний срок начала работы Ранний срок окончания работы Поздний срок начала работы Поздний срок окончания работы Полный резерв времени работы Частный резерв времени работы первого вида Частный резерв времени работы второго вида или свободный резерв времени работы Неза­висимый резерв времени работы
ПутьL	Продолжительность пути Продолжитель­ность критического пути Резерв времени пути

Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из последующих за ним путей не превысит длины критического пути.

Поэтому поздний (или предельный) срок свершения 1-го события равен

где - любой путь, следующий за i-м событием, т.е. путь от i-го до завершающего события сети.

Если событие i имеет несколько последующий путей, а следовательно, несколько последующих событий j , то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле

Резерв времени i-го события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задер­жать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения ком­плекса работ.

Критические события резервов времени не имеют, так как любая задержка в свершении со­бытия, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершаю­щего события.

Из этого следует, что для того чтобы определить длину и топологию критического пути, вовсе не обязательно перебирать все полные пути сетевого графика и определять их длины. Определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым опреде­ляем длину критического пути, а, выявив события с нулевыми резервами времени, определяем его топологию.

Пример 1. Определить временные параметры событий и критический путь для сетевого графика, изображенного на рис. 6.

Решение. Найденные параметры сведем в табл. 2.

При определении ранних сроков свершения событий двигаемся по сетевому графику слева направо и используем формулы (1) и (2).

Для = 0 (нулевого события), очевидно, что = 0. Для = 1 = 0+8 = 8 (суток), так как для события 1 существует только один предшествующий путь . Для = 2 = 8+9 = 17 (суток), так как для события 2 существует только один предшествующий путь . Для=3 == 13 (суток), так как для события 3 существуют два предшествующих пути и и два предшествующих события 0 и 1.

Таблица 2.

Номер события	Сроки свершения события, сутки		Резерв времени , сутки
		поздний

Аналогично:

23 (суткам);

20 (суткам);

29 (суткам) и т.д.

Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события 11 (см. табл. 2):

(суткам).

При определении поздних сроков свершения событий двигаемся по сети в обратном направлении, т.е. справа налево, и используем формулы (3) и (4).

Для =11 (завершающего события) поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути): (сутки).

Для = 10 (суток), так как для события 10 существует только один последующий путь .

Для = 9 (суткам), так как для события 9 существуют два последующих пути и и два последующих события 10 и 11.

Аналогично:

(суткам);

(суткам) и т.д.

По формуле (5) определяем резервы времени -го события:

= 0; = 9 - 8 = 1; = 40 - 17 = 23 и т.д.

Резерв времени, например, события 2 - = 23 - означает, что время свершения события 2 может быть задержано на 23 суток без увеличения общего срока выполнения проекта. Анализируя табл. 2, видим, что не имеют резервов времени события 0, 3, 5, 6, 9, 11. Эти события и образуют критический путь.

Примечание. Если сетевой график имеет единственный критический путь, то этот путь проходит через все критические события, т.е. события с нулевыми резервами времени. Если критических пу­тей несколько, то выявление их с помощью критических событий может быть затруднено, так как через часть критических событий могут проходить как критические, так и некритические пути. В этом случае для определения критических путей рекомендуется использовать крити­ческие раб оты.

Теперь перейдем к параметрам работ .

Отдельная работа может начаться (и окончиться) в ранние, поздние или другие промежу­точные сроки. В дальнейшем при оптимизации графика возможно любое размещение работы в заданном интервале.

Очевидно, что ранний срок начала работысовпадает с ранним сроком наступле­ния начального (предшествующего) события i , т.е.

Тогда ранний срок окончания работы определяется по формуле

Ни одна работа не может окончиться позже позднего допустимого срока своего конечного события i . Поэтому поздний срок окончания работы определяется соотношением

а поздний срок начала этой работы - соотношением

Таким образом, в рамках сетевой модели моменты начала иокончания работы тесно связаны с соседними событиями ограничениями (6) - (9). ;

Прежде чем рассматривать резервы времени работ, обратимся к резерву времени пути. Такие резервы имеют все некритические пути. Резерв времени пути определяется как разность ме­жду длиной критического и рассматриваемого пути

Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути. Если затянуть выполнение работ, лежащих на этом пути, на время большее чем , то критический путь переместится на путь L .

Отсюда можно сделать вывод, что любая из работ пути L на его участке, не совпадающем с кри­тическим путем (замкнутым между двумя событиями критического пути), обладает резервом времени.

Среди резервов времени работ выделяют четыре разновидности.

Полный резерв времени работы показывает, на сколько можно увеличить время выполне­ния данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится. Полный резерв определяется по формуле

Полный резерв времени работы равен резерву максимального из путей, проходящего через данную работу. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы, если ее начальное событие свершится в самый ранний срок, и можно допустить свершение ко­нечного события в его самый поздний срок (рис. 8 д).

Важным свойством полного резерва времени работы является то, что он принадлежит не только этой работе, но и всем полным путям, проходящим через нее. При использовании полного резерва времени только для одной работы резервы времени остальных работ, лежащих на макси­мальном пути, проходящем через нее, будут полностью исчерпаны. Резервы времени работ, ле­жащих на других (не максимальных по длительности) путях, проходящих через эту работу, сократятся соответственно на величину использованного резерва.

Остальные резервы времени работы являются частями ее полного резерва.

Частный резерв времени первого вида работы есть часть полного резерва времени, на кото­рую можно увеличить продолжи тельность работы, не изменив при этом позднего срока ее начальног о события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположе­нии, что ее начальное и конечное события свершаются в свои самые поздние сроки (см. рис. 8 б).

Рис. 8.

находится по формуле

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени работы представляет часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершатся в свои самые ранние сроки (см. рис. 8 в). Д. находится по формуле

(14)(15)

Свободным резервом времени можно пользоваться для предотвращения случайностей, которые могут возникнуть в ходе выполнения работ. Если планировать выполнение работ по ранним срокам их начала и окончания, то всегда будет возможность при необходимости перейти на поздние сроки начала и окончания работ.

Независимый резерв времени работы - часть полного резерва времени, получаемая для слу­чая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начи­наются в ранние сроки (см. рис. 8 г)

Использование независимого резерва времени не влияет на величину резервов времени других работ. Независимые резервы стремятся использовать тогда, когда окончание предыдущей работы произошло в поздний допустимый срок, а последующие работы хотят выполнить в ранние сроки. Если величина независимого резерва, определяемая по формуле (16) или (17), равна нулю или положительна, то такая возможность есть. Если же величина отрицательна, то этой возможности нет, так как предыдущая работа еще не оканчивается, а последующая уже должна начаться. Поэтому отрицательное значение не имеет реального смысла. А фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события.

Следует отметить, что резервы времени работы , показанные на рис. 8, могут состоять из двух временных отрезков, если интервал продолжительности работы занимает промежуточную позицию между двумя его крайними положениями, изображенными на графиках.

Таким образом, если частный резерв времени первого вида может быть использован на увеличение про­должительности данной и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих работ, а сво­бодный резерв времени - на увеличение продолжительности данной и предшествующих работ без нару­шения резерва времени последующих работ, то независимый резерв времени может быть использован для увеличения продолжительности только данной работы.

Работы, лежащие на критическом пути, так же как и критические события, резервов времени не имеют.

Если на критическом пути лежит начальное событие i , то

Если на критическом пути лежит конечное событие j , то

Если на критическом пути лежат начальное и конечное события i и j , но сама работа не при­надлежит этому пути, то

Соотношения (18) - (20) можно использовать при проверке правильности расчетов резервов времени отдельных работ.

С помощью критических работ, т.е. работ, не имеющих резервов времени, может быть определен критический путь сетевого графика. Этот способ определения критического пути целесообразно использо­вать тогда, когда сеть содержит несколько критических путей.

Пример 2. Вычислить временные параметры работ для сетевого графика, изображенного на рис. 6.

Результаты расчетов сведем в табл. 2.

Вычисление временных параметров работы покажем на примере работы (1 ,4):

ранний срок начала работы (по формуле (6)): (суток),

ранний срок окончания работы (по формуле (7)): (суток);

поздний срок начала работы (по формуле (9)): (суток), где ;

поздний срок окончания работы (по формуле (8)): (суток).

Таким образом, работа (1, 4) должна начаться в интервале (суток) и окончиться в интер­вале (суток) от начала выполнения проекта.

Полный резерв работы (7,4) (по формуле (11)): (суток), т.е. срок выполнения данной работы можно увеличить на 12 суток, при этом срок выполнения комплекса работ не изменится.

Таблица 3.

		Продолжительность работы	Сроки начала и оконча­ния работы					Резервы времени работы

		Продолжительность работы	Сроки начала и окончания работы					Резервы времени работы

Покажем на примере работы (1, 4), что полный резерв времени работы равен продолжительно­сти максимального из путей, проходящих через данную работу.

Через работу (1 , 4) проходят семь полных путей (см. рис. 6):

	Продолжительность, сутки

Отсюда максимальным из путей, проходящих через работу (1, 4), является путьпродолжитель­ностью 49 (суток), резерв времени которого (по формуле (9))=61-49=12 (суток).

Как видим, полный резерв времени работы (1, 4) оказался равным резерву пути -максималь­ного из путей, проходящих через эту работу. Если увеличить продолжительность выполнения работы t (1, 4) на 12 суток, т.е. с 6 до 18 суток, то полностью будет: исчерпан резерв времени пути , т.е. этот путь станет также критическим, а резервы времени других путей уменьшатся соответственно на 12 су­ток.

Частный резерв времени работы (1, 4) первого вида определим по формуле (10) (или по фор­муле 12): (суток) или 12-1 = 11 (суток), т.е. при сохранении общего срока выполнения проекта на 11 суток может быть задержано выполнение работы (1, 4) и последующих работ (по любому из путей) без затрат резерва времени предшествующих ей работ (в данном случае без затрат резерва времени од­ной предшествующей работы (0,1)).

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени, работы (7, 4) найдем по формуле (12) (или 13)): = 23 – 8 - 6 = 9 (суток) или = 12 - 3 = 9 (суток), т.е. при сохранении общего срока выполнения проекта на 9 суток может быть задержано выполнение работы (1, 4) и предшествующих ей работ (в данном случае работы (0,1)) без нарушения резерва времени последующих работ.

Независимый резерв времени работы (1, 4) определим по формуле (16) (или (17)): = 23-9-6 = 8 (суток) или = 12-1-3 = 8 (суток), т.е. на 8 суток может быть уве­личена продолжительность работы (/, 4) без изменения резервов времени всех остальных работ.

Обратим внимание на то, что независимые резервы работ (1, 2), (2, 7) и (4, 7) отрицательны (в табл. 14.3 они обозначены прочерком). Например, = 33 – 40 - 3 = -10. Это означает, что работа (2, 7) продолжительностью 3 (суток) должна закончиться на 33-и сутки после начала комплекса работ, а начаться на 40-е сутки, что, естественно, невозможно.

Подчеркнем, что резервы критических работ (0, 3), (3, 5), (5, 6), (6, 9), (9, 10), (10, II ), так же как и резервы критических событий, равны нулю.

Рис. 9.

Следует отметить, что в случае достаточно простых сетевых графиков результаты расчета их временных параметров можно фиксировать прямо на графике. Параметры событий записываются в кружках, разделенных на четыре части, а параметры работ - над соответствующими стрелками (рис. 9). При этом отпадает необходимость составления таблиц.

Основным параметром любого процесса является время. Сетевой график определяет положение каждой отдельной работы по отношению к началу или окончанию всего комплекса работ. Это дает возможность оптимизировать график по времени, трудовым и материально-техническим ресурсам. Чем большими ресурсами располагает участок производства, тем меньше на нём продолжительность работы.

При анализе сетевого графика рассматриваются:Путь – это последовательность работ в сетевом графике (в частном случае это одна работа), в которой конечное событие одной работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Полный путь – это путь от исходного до завершающего события. Критический путь – максимальный по продолжительности полный путь. Работы, лежащие на критическом пути, называют критическими .Критические работы имеют нулевые свободные и полные резервы. Подкритический путь – полный путь, ближайший по длительности к критическому пути.

Наиболее распространенными способами расчёта временных параметров сетевых моделей являются: аналитический, графический и матричный (табличный).

Аналитический и графический способы расчета временных параметров сетевых графиков

Для расчетов используются следующие математические обозначения, часть из которых для наглядности приведена на рис. 5:

Рис. 5. Математические обозначения для аналитического способа

h, i, j, k –номера событий соответственнопредшествующего, начального, конечного и последующего для работы (i-j) ;

(i-j) – работа, связывающая событие i с событием j (код работы); t(i-j) – продолжительность выполнения работы (i-j);

t(h-i) – продолжительность предшествующей работы (h-i); t(j-k) – продолжительность последующей работы (j-k);

t кр – продолжительность критического пути;

t рн (i-j) – раннее начало работы (i-j);

t ро (i-j) – раннее окончание работы (i-j);

t пн (i-j) – позднее начало работы (i-j);

t по (i-j) – позднее окончание работы (i-j);

R п (i-j) – полный резерв времени работы (i-j);

R c (i-j) – свободный (частный) резерв времени работы (i-j).

Расчет сетевой модели начинают с временных параметров событий

· t р (i) – ранний срок наступления события i , минимально необходимый для выполнения всех работ, которые предшествуют событию i ;

· t п (i) – поздний срок наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети;

· R(i)= t п (i) - t р (i) – резерв события i , т.е. время, на которое может быть отсрочено наступление события i без нарушения сроков завершения процесса в целом.

Ранние сроки свершения событий рассчитываются от исходного (И) к завершающему (З) событию следующим образом:

1) для исходного события t р (И)=0 ;

2) для всех остальных событий

где максимум берется по всем работам (h-i) , входящим в событие i .

Поздние сроки свершения событий t п (i) рассчитываются от завершающего к исходному событию:

1) для завершающего события t п (З) = t р (З) ;

2) для всех остальных событий

, (3) где минимум берется по всем работам (i-j) , выходящим из события i . Временные параметры работ определяются на основе ранних и поздних сроков событий:

· Ранний возможный срок начала каждой работы есть ранний срок совершения ее начального события:

t рн (i-j) = t р (i) – ранний срок начала работы;

· Поздний допустимый срок окончания каждой работы есть поздний срок свершения ее конечного события:

t по (i-j) = t п (j) – поздний срок окончания работы;

· Сроки раннего окончания и позднего начала каждой работы находятся следующим образом:

t р o (i-j) = t р (i)+ t(i-j) – ранний срок окончания работы;

t пн (i-j) = t п (j)- t(i-j) – поздний срок начала работы;

· R п (i-j)= t п (j) - t р (i) - t(i-j) – полный резерв работы показывает максимальное время, на которое можно увеличить длительность работы (i-j) или отсрочить ее начало, чтобы не нарушился срок завершения производственного процесса в целом. Если на работе использовать ее полный резерв, то у других работ, лежащих на максимальном пути, проходящем через эту работу, резервы исчезнут. У работ не лежащих на полном пути, проходящем через эту работу, резерв уменьшится на величину использованного полного резерва;

· R с (i-j)= t р (j) - t р (i) - t(i-j) – свободный резерв работы показывает максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность работы (i-j) или отсрочить ее начало, не меняя ранних сроков начала последующих работ.

При графическом способе расчет временных параметров сетевой выполняется непосредственно на графике. Результаты расчетов записываются внутри кружков, обозначающих события. Применяется для расчёта моделей с небольшим количеством событий.

Рис.6. Отображение временных параметров событий на сетевом графике

Сетевой график с временными параметрами событий приведен на рис.7.

Результаты расчета временных параметров работ приведены в табл.2

При поиске критических путей на сетевом графике будем использовать следующие условия его критичности:

Рис.7. Сетевой график с временными параметрами событий

· необходимое условие – нулевые резервы событий, лежащих на критическом пути;

· достаточное условие – нулевые полные и свободные резервы работ, лежащих на критическом пути.

Второму условию отвечает только полный путь 1-2-3-4-6-7 – он и является критическим длительностью 37 часов. . За выполнением работ этого пути необходим особый контроль, т.к. любое увеличение их длительности нарушит срок выполнения процесса в целом. Критический путь выделяется на сетевом графике жирной линией (рис.8).

Рис.8. Сетевой график с временными параметрами событий и выделенным критическим путем

Таблица 2.

Результаты расчета временных параметров сетевого графика

Наименование работы	Код работы (i–j)	Продолжительность работы t(i-j)	Ранний срок начала работы t рн (i-j)	Ранний срок окончания работы t ро (i-j)	Поздний срок начала работы t пн (i-j)	Поздний срок окончания работы t по (i-j)	Резерв времени работы
полный R п (i-j)	свободный R с (i-j)
А	1-2
B	1-3
K	2-3
D	2-5
C	3-4
F	5-6
E	4-6
G	6-7

Почти в любой сети от исходного события до завершающего ведет несколько путей. Каждому пути соответствует последовательность каких-то работ. Путь в сети от исходного события до завершающего называется полным путем. Обозначается полый путь буквой L . Продолжительностью пути в сетевом графике называется время, необходимое для выполнения всех работ, лежащих на этом пути. Продолжительность полного пути обозначим t (L) .

Путь, имеющий наибольшую протяженность, называется критическим путем . Протяженность критического пути обозначаем t ( ) или .

Замечание. В сети может быть несколько критических путей.

Работы, лежащие на критическом пути, называются критическими. От их продолжительности зависит общий срок завершения всех работ. Некритические работы допускают некоторое запаздывание в их выполнении, которое не задержит сроков реализации всего проекта.

Ранним сроком (j) свершения события j называется самый ранний момент времени, к которому завершаются все предшествующие этому событию работы. Счет времени ведется от момента наступления начального события. Ранний срок начального события равен 0 . (0) = 0 . Ранний срок любого другого j-гo события определяется продолжительностью самого длительного из предшествующих путей. Определяем ранние сроки свершения событий по рекуррентному соотношению:

Полный срок наступления события - время, при котором планируемый срок окончания проекта не меняется. Обозначается (i) - для i -гo события.

Замечание. Для завершающего события К поздний срок наступления совпадает с ранним, т. е.

(К) = (К).

При определении поздних сроков наступления события расчет ведут от завершающего события к исходному. Каждую вершину орграфа (событие сетевой модели) разобьем на 3 сектора : в нижнем проставляем номер события; в левом - ранний срок; в правом - поздний срок.

Резервы времени каждого события находятся по формуле:

Замечание. Для событий i, лежащих на критическом пути, ранние и поздние сроки наступления совпадают, т. е. (i)= (i).

Понятие ранних и поздних сроков наступления событий играют важную роль в процессе выполнения проекта. Если все события i наступают не позднее (i) , то это значит, что проект осуществится не позднее установленного срока.

Если какое-то событие i наступает позднее (i) , то принимают меры для ускорения работ в этой части проекта. Если ускорить работу не удается, то полный срок выполнения проекта будет превышен. Время, на которое задерживаются все работы, можно тоже вычислить по сетевому графику.

Метод расчета сетевых графиков выполняется в четыре этапа:

1. Определение ранних сроков наступления событий (i)

2. Нахождение критического пути

3. Определение поздних сроков наступления события (i)

4. Определение резерва времени события.

Замечание. Использование независимого резерва времени на i-й работе, которая его имеет, не влияет на ранние и поздние сроки совершения всех событий и работ сети. Его нельзя передать ни предшествующим, ни последующим работам.

Оптимизация СМ выражается в перераспределении ресурсов с ненапряженных работ на критические для ускорения их выполнения. Для этого необходимо как можно более точно оценить степень трудности своевременного выполнения всех работ, а также всех «цепочек» пути. Более точным инструментом решения этой задачи, по сравнению с полным резервом, является коэффициент напряженности. Его можно вычислить по следующим формулам:

где t ( ) - продолжительность максимального пути, проходящего через работу (i, j);

- продолжительность отрезка рассматриваемого пути, совпадающего с критическим путем.

Коэффициент напряженности изменяется от 0 до 1 . Чем ближе он к 1 , тем сложнее выполнить данную работу в установленный срок.

Самыми напряженными являются работы критического пути, для которых = 1 .

На основе этого коэффициента все работы сетевого графика подразделяются на три группы:

1) (i,j) > 0,8 - напряженные;

2) 0,6 < (i,j) < 0,8 - подкритические;

3) (i,j) < 0,6 - резервные.

В результате перераспределения ресурсов стараются максимально уменьшить общую продолжительность работ. Для этого необходимо все работы перевести в первую группу.

Пример 1. Ставропольский кондитерский цех решил закупить новое оборудование. Исходные данные по основным операциям проекта представлены в таблице. Необходимо построить сетевую модель проекта, определить временные параметры модели, критический путь и проанализировать, как влияет на ход выполнения проекта задержка определенного типа оборудования на 12 часов.

Решение. Построим сетевую модель по условию задачи.

Работы и введены для устранения параллельности работ Г и Д . Расчет критического пути включает два этапа. Первый называется прямым проходом. Вычисления начинают с исходного собьпия и продолжают до тех пор, пока не будет достигнуто завершающее событие. Для каждого события вычисляет одно число, представляющее ранний срок его наступления. На втором этапе, называемом обратным проходом, вычисления начинают с завершающего события и продолжают, пока не будет достигнуто исходное событие. Для каждого события вычисляется поздний срок его наступления.

Найдем ранние сроки наступления событий:

Найдем поздние сроки наступления событий для завершающего события 6 (6) = (6).

(5) = (6)-t (5, 6) = 52 -18 = 34.

(4) = (5) – t (4, 5) = 34-19 = 15.

(3) = min { (4); (2)} = min {15, 16} = 15.

(2) = (5) – t (2, 5) = 34 - 18 = 16.

(1)=min { (2) -t (1, 2); (3) - t (1, 3);

(4) - t (1, 4)} =min {6; 0; 10} = 0

При поиске критических путей на сетевом графике будем использовать следующие условия его критичности:

необходимое условие - нулевые резервы событий, лежащих на критическом пути;

достаточное условие - нулевые полные резервы работ, лежащих на критическом пути.

Согласно необходимому условию два полных пути сетевой модели могут быть критическими:

L 1 =1, 3, 4, 5, 6 и L 2 =1, 4, 5, 6 . Проверим достаточное условие критичности для работ (1, 3) и (1, 4)

Путь L 2 , начинающийся с работы (1, 4) не является критическим, так как минимум одна (1, 4) из его работ не является критической. Работа (1, 4) имеет не нулевой полный резерв, а значит, может быть задержана с выполнением, что недопустимо для критических работ.

Таким образом, сетевая модель имеет единственный критический путь ,=1, 3, 4, 5, 6, длительностью

= 52 часа . За выполнением работ этого пути необходим особый контроль, так как любое увеличение их длительности нарушит срок выполнения проекта в целом.

Работа А или (1, 2) не является критической, ее полный резерв равен 1 часу .

Это означает, что при задержке работы в пределах 1 часа срок выполнения проекта не будет нарушен. Поэтому, если согласно условию работа А задержится на 12 часов , то весь проект задержится на 11 часов .

Пример 2. Компания «АВC» реализует проекты серийного производства различных видов продукции. Каждый проект обеспечивает получение в неделю 100 тыс. у. д . е. дополнительной прибыли. Перечень работ и их характеристики представлены в таблице.