- Что мешает покупателям выигрывать дела о взыскании убытков с поставщика

- Можно ли урегулировать вопрос о возможных убытках в самом договоре поставки

Рассмотрим следующую схему отношений: поставщик поставил товар (средство производства) - покупатель начал пользоваться товаром в предпринимательской деятельности - из-за недостатков товара причинен ущерб имуществу покупателя (или имуществу третьих лиц) - у покупателя возникли убытки (как минимум реальный ущерб).

Чуть более сложная схема: поставщик поставил сырье (детали) - покупатель сделал из этих деталей (сырья) товар (другую вещь) - продал ее конечному покупателю - у покупателя возникли убытки из-за использования вещи, сделанной из некачественного сырья (деталей).

В обоих случаях возникает один и тот же вопрос - может ли покупатель потребовать от поставщика возмещения убытков?

Первый пример: дело о цементе

Допустим, вы решили построить здание, которое можно использовать в предпринимательской деятельности (завод, кафе и т.д.). Цемент купили у поставщика, а здание построили сами. Позже выяснилось, что цемент оказался некачественным. Пришлось переделывать фундамент, а также часть здания. Убытки возникли? Возникли. Кому предъявляем? Поставщику, кому же еще. И что в результате?

В результате - ничего хорошего. Процентов на 80 практика - отказная.

Рассмотрим типичный пример такого спора, окончившегося для покупателя ничем.

Претензии покупателя. «Исковые требования основаны на положениях статей 15, 393, 475, 518 ГК РФ и мотивированы тем, что в результате поставки ответчиком некачественного бетона, который использовался при производстве строительных работ на объекте ООО «В.», истец произвел демонтаж бетонного пола и укладка бетона, приобретенного у другого поставщика, стоимость данных затрат и является убытками ООО «В.»».

Цена вопроса при этом составила 406 218 руб.

**конец примера**

Суд отказал в иске. Апелляционная и кассационная инстанции с ним согласились. Вот их аргументы.

Причины отказа. «Истец не представил доказательств о том, что приобретенная смесь не соответствует требованиям государственного стандарта, кроме этого не имеется документальных подтверждений об использовании истцом на строительном объекте бетона, приобретенного именно у ответчика, суды также указали о нарушении ООО «В.» в процессе укладки соответствующей технологии, а также нарушении срока выгрузки бетона, что могло привести и образовании дефектов при выполнении строительных работ на объектах третьих лиц» .

**конец примера**

Общий вывод таков. Основная причина отказа - «не доказана причинно-следственная связь». Дополнительная - «истец нарушил технологию» (пресловутое «сам дурак»).

Между тем, есть и примеры положительной (для покупателя) практики.

Второй пример: дело о свиньях

Другое дело также прошло три инстанции, но все они решили спор в пользу покупателя.

Обстоятельства дела. 12.02.2009 стороны заключили договор купли-продажи, согласно которому ООО «Д.» обязалось передать в собственность ООО «З.» товар, наименование, цена и сроки оплаты которого указаны в спецификации, а покупатель принять и оплатить товар.

В тот же день сторонами оформлены спецификации к договору, в которых указан товар («БВМК 50 для поросят-отъемышей от 2 до 4 месяцев, кукуруза, мешки бумажные, БВМК 51 для ремонтного молодняка от 4 до 8 месяцев, БВМК для поросят-сосунов и отъемышей, БВМК 52 для супоросных свиноматок»).

В п. 1.4 договора отражено, что поставляемый товар по своему качеству должен соответствовать действующим на предприятии-изготовителе ТУ9291-001-77872839-2006 и ТУ9296-001-81948583-2008.

Товар был получен истцом и оплачен на общую сумму 433 535 руб. Кроме того, 27.02.2009, 02.04.2009 и 14.04.2009 ООО «Д.» выдало удостоверения качества и безопасности.

**конец примера**

В период с июля по сентябрь 2009 г. в результате кормления животных приобретенным у ответчика комбикормом произошел падеж поросят-сосунов и отъемышей 2 - 4 месяца (в количестве 299), вызванный циррозом печени, дистрофией, хроническим отравлением медью, хронической диареей. В связи с этим истец обратился в суд за взысканием с ответчика ущерба от падежа. Сумма заявленных требований составила 2 512 207 руб. 19 коп.

Удовлетворяя иск, суд первой инстанции исходил из доказанности истцом факта нарушения обязательства ответчиком, подтверждения наличия и размера понесенных истцом убытков, причинной связи между фактом нарушения обязательства и убытками и виной в них ответчика.

Апелляционная инстанция расценила выводы суда первой инстанции как по существу правильные, соответствующие обстоятельствам дела и законодательству. Аргументы суда апелляционной инстанции заслуживают того, чтобы привести их максимально подробно.

Позиция апелляционной инстанции. «В силу статьи 469 ГК РФ продавец обязан передать покупателю товар, качество которого соответствует договору купли-продажи, а при отсутствии в договоре купли-продажи условий о качестве товара продавец обязан передать покупателю товар, пригодный для целей, для которых товар такого рода обычно используется. Если продавец при заключении договора был поставлен покупателем в известность о конкретных целях приобретения товара, продавец обязан передать покупателю товар, пригодный для использования в соответствии с этими целями.

Требование по иску истец обосновывает ненадлежащим исполнением ответчиком обязательства по договору в части поставки товара ненадлежащего качества, использование которого для кормления животных привело к их падежу. При этом ссылается на результаты биохимического и химико-токсикологического исследования (экспертизы 245-246, 240-241 от 30.07.2009), установивших, что в полученном от ответчика комбикорме имелось превышение содержания железа и меди, а кальция, фосфора, кормовых единиц менее против нормы.

В соответствии со ст. 393 ГК РФ должник обязан возместить убытки, причиненные неисполнением или ненадлежащим исполнением обязательств. <…>

С учетом сложившейся судебной практики и указанных норм законодательства лицо, обратившееся с иском о взыскании убытков, должно в совокупности доказать следующие обстоятельства: факт нарушения обязательства, наличие причинной связи между допущенным нарушением и возникшими убытками, размер требуемых убытков и предпринятые меры для получения упущенной выгоды и сделанные с этой целью приготовления .

Факт наличия в приобретенном комбикорме превышений по содержанию массовой доли меди и железа по сравнению с согласованным сторонами рецептом и требованиями ТУ 9296-001-8194853-2008, а также превышение содержания меди в патологоанатомическом материале павших поросят подтвержден результатами экспертиз, проведенных Воронежской областной ветеринарной лабораторией.

При этом, согласно проведенных исследований возбудителей болезни у животных, а также патологий, могущих привести к гибели поросят не было обнаружено.

Материалами дела подтверждено также, что корм для животных у иных производителей истцом не закупался, а поэтому усматривается причинно-следственная связь и зависимость гибели животных вследствие длительного воздействия отрицательных для их жизнедеятельности факторов, имевшемся в приобретенном у ответчика корме.

Размер причиненного истцу ущерба в сумме 2 512 207 руб. 19 коп. определен по правилам статьи 15 ГК РФ и подтвержден надлежащими доказательствами о наличии общехозяйственных расходов и упущенной выгоды (неполученных доходов от реализации свинины).

При этом суд исходит из предполагаемой разумности действий и добросовестности участников гражданских правоотношений и не усматривает оснований для применения пункта 1 статьи 404 Кодекса для уменьшения размера ответственности вследствие непринятия разумных мер к уменьшению убытков. <…>

Ответчик не представил доказательств, свидетельствующих как об отсутствии с его стороны вины в причинении убытков, так и доказательств, подтверждающих возможность принятия истцом мер, направленных на уменьшение понесенных убытков.

При таких обстоятельствах, оснований для отмены судебного акта апелляционный суд не усматривает.

Доводы заявителя жалобы, оспаривающего как недопустимые доказательства акт обследования от 23.07.2009 г., результаты исследований по экспертизе без участия представителя ответчика, а также отрицающего идентичность поставленного истцу товара, указанного в накладной и других документах как "БМВК" и "комбикорм" и др. не опровергают по существу правильные выводы суда первой инстанции о наличии условий для привлечения ответчика к ответственности в виде взыскания убытков» .

**конец примера**

В кассационной жалобе поставщик пытался повторить те же доводы, но суд их отверг. В частности, суд указал, что ответчик уклонялся от участия в исследованиях поставленного товара, поэтому суд отклонил довод о том, что исследования были проведены без участия представителей ответчика. Ответчик пытался также доказать, что он поставлял истцу не «комбикорм», а «БМВК», но этот довод опровергается материалами дела (накладными и письмом ответчика).

В чем разница

Сравните два приведенных дела. В первом причинно-следственная связь не доказана, во втором - доказана. Только это и выручило истца. Причем вся причинно-следственная связь выразилась в одной фразе: «материалами дела подтверждено также, что корм для животных у иных производителей истцом не закупался».

«Материалы дела» - читай «документы», «договоры». Скорее всего, истец смог представить в качестве доказательства журнал учета договоров, где на поставку кормов значится один-единственный договор - с ответчиком. И этого оказалось достаточно.

Разумеется, цель этой статьи - не в том, чтобы в очередной раз напомнить банальный вывод: взыскать убытки крайне трудно и основные проблемы связаны с доказыванием причинно-следственной связи между фактом нарушения обязательства и возникшими убытками.

Вопрос представляется более интересным: мог ли покупатель доказать эту связь иным образом? Мог ли он дополнительно обезопасить себя - так, чтобы ему вообще не пришлось ее доказывать?

Условия об убытках в договоре поставки

Условие об «экслюзивности» товара от данного поставщика могло бы содержаться непосредственно в самом договоре на поставку бетона: «В период действия Договора Покупатель обязуется не заключать иных договоров на поставку бетона с другими Поставщиками. Стороны подтверждают и считают доказанным обстоятельство: на день заключения Договора у Покупателя бетона нет. Объект «Здание» будет построен исключительно из бетона, полученного от Поставщика по Договору».

Более того: при условии повышенной оплаты за товар поставщик мог бы согласиться заранее взять на себя дополнительную ответственность. Скажем, в таком виде: «Если поставленный цемент окажется некачественным, и из-за этого покупатель понес убытки, то поставщик возмещает убытки в полном объеме. При этом причинно-следственная связь считается доказанной в силу одного лишь факта выявления недоброкачественности».

Какой была бы судьба такого соглашения в современной российской правовой действительности?

У автора есть свои соображения на этот счет. Вкратце: представляется, что общие нормы ГК РФ, касающиеся оснований возникновения гражданских прав и обязанностей, а также раскрывающие содержание самого понятия «обязательство», не препятствуют тому, чтобы заключить договор, заранее определяющий ответственность за нарушение обязательств, в том числе размер убытков.

Однако данная тема представляется более широкой, чем узкий практический вопрос о возмещении убытков, возникших в результате поставки некачественного товара. По сути речь идет о возможности применения в российской практике самостоятельного правового института - договора, который заранее определял бы как размер возмещаемых убытков, так и порядок доказывания причинно-следственной связи.

Проанализировать возможность применения такого института, а также не слишком обширную, но уже возникшую судебную практику по данному вопросу автор намерен в одном из ближайших номеров журнала «Арбитражная практика».

Обе цитаты (с сохранением весьма оригинальных грамматических конструкций) взяты из Постановления ФАС Поволжского округа от 17.05.2010 по делу № А12-12456/2009. Пример аналогичного решения похожего спора можно найти в постановлении ФАС Поволжского округа от 15.03.2010 по делу № А12-14732/2008, причем в последнем случае с позицией суда кассационной инстанции согласилась коллегия судей ВАС РФ (определение от 04.06.2010 № ВАС-6659/10).

Как видите, опять классический набор обстоятельств, которые нужно доказать – прим. автора

Подготовка к ЕГЭ-2

Задачи на проценты

№ 1 . Положив в банк 1500 рублей, вкладчик получил 1949,4 рублей через 2 года. Какой процент начислял банк ежегодно?

Пусть начислялось х%, т.е. после 1 года на счету будет 1500 + 1500*х/100=1500 +15х.

Через 2 года на счету будет (1500+15х) + (1500+15х)*х/100 = 1500+15х+15х+0,15х 2 .

Составим уравнение: 1500 + 30х + 0,15х 2 = 1949,4

0,15х 2 + 30x - 449,4 =0 D=900+269,64 = 1169,64 = 34,2 2

x = (-30+34,2)/0,3 = 14

Ответ: 14%

№ 2. В бидоне было 3 литра молока жирности 8%. Через сутки из бидона слили 0,5 литра выделившихся сливок. Определите жирность оставшегося молока, если жирность выделившихся сливок составила 12%.

Изначально в молоке было жира 8%, т.е. 3*0,08 = 0,24л, а остальное - обезжиренное молоко (но все вперемешку). Отлили 0,5л сливок (слили верхнюю часть отстоявшегося молока из бидона, в которой больше жира - сливки). В сливках 12% жира, т.е. 0,5*0,12=0,06л.

В бидоне осталось 2,5 л молочной смеси, а в ней 0,24 - 0,06 = 0,18л жира. Определим жирность оставшегося молока из пропорции:

2,5л - 100%

0,18л - х% х=0,18*100/2,5 = 7,2%

Ответ: 7,2

№ 3. Имеется 2 сплава из цинка меди и олова. 1-ый содержит 25% цинка 2-ой 50% меди. Процентное содержание олова в 1-ом сплаве в 2 раза больше чем во 2-ом. Сплавив 200кг 1-го и 300кг 2-го сплавов, получили сплав, в котором 28% олова. Сколько кг меди в первом сплаве?

Решение. Пусть во втором сплаве х% олова, тогда в первом 2х% олова. В 200 кг первого сплава содержится 200*2х/100=^ 4х кг олова, а в 300 кг второго - 300*х/100=3х кг олова.

200+300=500кг и в этом сплаве 500*28/100=140 кг олова.

Уравнение: 4х+3х=140, х=20%, 2х=40% олова в первом сплаве.

^ Меди в первом сплаве : 100%–25%–40%=35%, что равно 200*35/100= 70кг

Ответ: 70

№ 4. В поселке Солнечный на берегу Черного моря 9% коренного населения в зимний период заняты народным промыслом. Летом 36% коренного населения уезжает, однако общая численность населения поселка за счет приезжающих туристов составляет 80% от численности в зимний период.

Определите, какая часть от общей численности населения в летний период занята народным промыслом, если среди коренного населения доля занятых народным промыслом осталась такой же, как и в зимний период.

Решение. Летом коренного населения остается 100% - 36% = 64%,

и среди них промысловиков 9% от 64%, т.е. 6 4%*0,09= 5,76%.

Найдем, какую часть составляют 5,76% от 80%.

5.76% / 80% = 0,072 части.

№ 5. В банке общая сумма кредитов, выданных населению, составляет 25% от суммы кредитов, выданных предприятиям. Какой процент от общего объема кредитования в этом банке приходится на долю предприятий?

Решение. Пусть предприятиям выдали х руб, тогда населению − 0,25х руб. Всего выдано1,25х руб.

1,25х - 100% х - n%

n% = 100%·x / 1,25x = 80% Предприятиям - 80%, населению - 20%.

Ответ: 80

№ 6. В 2002 году прибыли компаний Сибирские самоцветы, Уральские самоцветы и Якутские самоцветы, входящих в финансово-промышленную группу Русские самоцветы, рассчитанные в млн. рублей, соотносились как 2: 5: 4. В 2003 году прибыль каждой компании из группы Русские самоцветы выросла на 5 млн. рублей. Какая из трех компаний по итогам 2003 года сообщила о наибольшем темпе роста прибыли? Темп роста - отношение величины экономического показателя в данное время к его исходному значению, принятому за базу отсчета, измеряемое в относительных величинах или в процентах.

В 2002 прибыль Сиб - 2х, Урал - 5х, Якут - 4х.

В 2003 прибыль Сиб - 2х+5, Урал - 5х+5, Якут - 4х+5.

^ Темпы роста Сиб - (2х+5)/(2х)= 1+2,5/х, Урал - (5х+5)/5х=1+1/х,

Якут - 1+1,25/х.

Видим, что наиболее высокий показатель у Сиб. самоцветов.

Задачи с экономическим содержанием.

№ 1. Потребитель оплатил заводу-производителю 240 тыс. рублей за 1000 изделий. Производитель поднял цену на 72 рубля за штуку. Какую сумму в рублях должен доплатить потребитель для получения 800 изделий по новой цене?

1) 240 тыс./ 1000 изд. = 240 р. / изд. 2) 240+ 72=312 р/ шт. после повышения 3) 312 * 800 = 249 тыс. 600 р. 4) 249тыс 600 - 240 тыс. = 9 600

№ 2. Фермер собрал урожай пшеницы в 1400 ц. Десятую часть урожая он оставил на семена, половину оставшейся пшеницы заложил на хранение на элеватор, а остальную продал на рынке по цене 35 рублей за центнер. Какую сумму в рублях выручил фермер от продажи пшеницы?

1) 1400 * 1/10 = 140 ц оставил на семена 2) 1400 -140 = 1260 ц осталось 3) 1260/2 =630 ц заложил на хранение 4) 630 ц продал 5) 630 * 35 = 22050 р выручил от продажи пшеницы

_____________________________________________________________________________

№ 3. Площадь фермерского хозяйства составляет 60 га. 0,7 площади фермер засеял пшеницей и собрал урожай 30 центнеров с гектара. Сколько тонн пшеницы собрал фермер?

1) 60 * 0,7 = 42 га засеял 2) 42 * 30 = 1260 ц = 126 т. собрал фермер

_____________________________________________________________________________

№ 4. Торговая фирма закупила 65 автомобилей по средней цене 450 тыс. рублей. Средняя цена продажи автомобиля составила 495 тыс. рублей, при этом накладные расходы фирмы по этой партии товара составили 225 тыс. рублей. Какую прибыль (в тыс. рублей) получила фирма?

^ 1) 495 тыс - 450 тыс = 45 тыс. 2) 45*65=2925 за партию

3) 2925-225=2700 прибыль. Ответ: 2700

_____________________________________________________________________________

№ 5. Авиалайнер имеет 2 салона: эконом-класса на 80 мест и бизнес-класса на 16 мест. Цена авиабилета эконом-класса равна 4 тыс. рублей, а общая выручка при полной загрузке самолета составляет 432 тыс. рублей. Какова цена билета (в тыс. рублей) в бизнесс-классе?

1) 80 *4000 = 320 000 - Стоимость билетов в эконом-классе 2) x – стоимость билета в бизнес-классе, 16х – стоимость за 16 мест 3) 320 000 + 16x = 432 000 - общая выручка 16x= 112000 X=7000= 7 тыс. руб. Ответ: 7

№ 6. Фермер засеял 0,4 площади крестьянского хозяйства пшеницей и собрал 144 тонны зерна при урожайности 40 центнеров с гектара. Сколько гектар составляет площадь всего хозяйства?

1) 144 т = 1440 ц, x- площадь всего хозяйства, 0,4x – засеянная площадь

1440/40 = 36 га 0,4 x=36 X= 90 га Ответ: 90

_____________________________________________________________________________

№ 7. Часть площади фермерского хозяйства засеяна кукурузой, которой было собрано 70 тонн при урожайности 25 центнеров с гектара. Какая часть площади засеяна кукурузой, если площадь всего хозяйства составляет 70 га?

70 т =700 ц 700/25= 28 га Тогда 28/70 =0,4 засеяно кукурузой. Ответ: 0,4

_____________________________________________________________________________

№ ^ 8. В течение декабря Фирма1 перевела на счет в банке Фирме2 50% от имевшихся на счету денежных средств, затем еще 10 млн. долларов, затем еще 5% от оставшихся на счету денег. При этом сумма денег на расчетном счету предприятия в банке Фирмы2 увеличилась на 31%. Сколько денег было на расчетном счету Фирмы1 в начале декабря, если на расчетном счету предприятия в банке Фирмы2 изначально было 200 млн. долларов.

Пусть на фирме 1 было вначале х млн.долл. х/2 + 10 + (x/2 -10)*5% - было перечислено и это составило 31% от 200 млн.долл.

0,5x +10+0,025x -0,5=0,525x +9,5. 31% от 200 это 62.  0,525x=52,5 X= 100 млн.
Ответ: 100 млн.

_____________________________________________________________________________

№ 9. Имеются два куска сплава олова и свинца. Первый, массой 300г, содержит 60% олова. Второй содержит 40% олова. Сколько граммов от второго куска надо добавить к первому, чтобы получить сплав с содержанием олова 56%?

300г - 100% m - 60% m=180г олова

Пусть х г от второго куска надо прибавить к первому, тогда масса нового сплава будет равна (300+х). Масса олова составила (180+0,4х) г. Составим пропорцию.

(300+х) - 100%

(180+0,4х) - 56% 56(300+х) = 100(180+0,4х) х=75г.

Ответ: 75

№ 10. Зарплату повысили на р%, затем новую зарплату увеличили на 2р%. в результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?

Пусть до повышения зарплата составляла 100%.

(100+р) % - после первого повышения.

(100+р)%·(1+2р/100) - после второго повышения.

Зарплата увеличилась в 1,32 раза после двух повышений, значит, составляет 132% .

Уравнение (100+р)(1+2р/100)% = 132%; 10000 + 100р + 200р + 2р 2 = 13200.

р 2 + 150р - 1600 = 0. р= (–150+170)/2 = 10%. Ответ 10.

_____________________________________________________________________________

№ 11. Два тракториста вспахали поле. Производительность первого тракториста на p% больше, чем второго, но он работал в k раз меньше. Какую часть поля вспахал второй тракторист?

Принимаем производительность второго за ^ 100%, тогда производительность первого будет (100+р)% . Он работал в k раз меньше, поэтому выполнил (100 +р)/k % .

Вспашка всего поля составляет 100+ (100+p)/k %.

Берем отношение выполненной работы вторым ко всему объему работ , т.е.

100 / (100+(100+p)/k) . Запиши в виде дроби и упрости. Получится:

100k / (100k+100+p).

_____________________________________________________________________________

№ ^ 12. При проверке влажность зерна оказалась равной 23%, а после просушки 12%.На сколько процентов стало легче зерно после просушки?

Решение. Пусть первоначально масса зерна была х, и это составляло 100%, воды в нем было 23%, сухая часть составляла 77% или 0,77х. После просушки сухая часть составила 100%-12% = 88%, что равно 0,77х. Составим пропорцию, чтобы было понятнее:

0,77х - 88%

у - 100% , у - масса получившегося после просушки зерна.

у = 0,77х · 100% /88% = 7х/8 = 0,875х , это составляет 87,5% от х.

Значит, зерно после просушки стало легче на 100% - 87,5% = ^ 12,5%.

№ 13. Семена попали под дождь и стали на 20% тяжелее. Когда их просушили, они потеряли в массе 20%. Вернулись ли они к первоначальной массе?

Примем зерно за 100%... 100%+20%=120%

120% : 100% *80% = 96 % ^ Ответ: нет.

№ 14. В каких пропорциях надо смешать 3% и 10% растворы йода , чтобы получить 5% раствор?

Решение. 0,03х + 0,1у = 0,05(х + у) Найдем отношение х/у из уравнения.

3х+10у=5х+5у 5у=2х х/у=5/2 5 частей первого раствора и 2 части второго.

Ответ: 5 и 2.

_____________________________________________________________________________

№ 15. В двух бидонах находится 68 литров молока. Если из первого бидона перелить во второй 15% молока, находящегося в первом, то в обоих бидонах молока будет поровну. Сколько литров молока было во втором бидоне первоначально?

Решение. Когда молока стало поровну, то в каждом бидоне оказалось по 68 : 2 = 34 литра. Пусть в первом бидоне сначала было х литров, после отлива из него 15% в нем стало х–0,15х = 0,85х и это равно 34 л.

Уравнение: 0,85х = 34, х = 34 / 0,85 = 40 (л) - было в первом бидоне вначале.

Во втором бидоне было сначала 68 – 40 = 28 (л).

Ответ: 28. _____________________________________________________________________________

600г раствора - 100% х г соляной кислоты - 18% х = 600*18/100 = 108 г кислоты

А т.к. 100г было добавлено, то вначале было 108 – 100 = 8 г

Ответ: 8.

_____________________________________________________________________________

Конечная стоимость электроснабжения для потребителей складывается из следующих составляющих:
1. Электрическая энергия (товар), конечный получатель — генерирующие компании;
2. Генерирующая мощность (товар), конечный получатель — генерирующие компании;
3. Услуги по передаче электроэнергии, конечный получатель — электросетевые компании, в том числе:
3.1.Содержание объектов электросетевого хозяйства (сетевая мощность);
3.2.Потери в сетях.
4. Услуги по сбыту электроэнергии, конечный получатель — / .
5. Услуги инфраструктурных организаций, конечный получатель — инфраструктурные организации (АО «АТС» , АО «ЦФР» , АО «СО ЕЭС»).

Дальше я бы мог долго и красочно расписывать каждую из составляющих, но, боюсь, от этого не станет сильно понятнее за что все-таки платят потребители.
Поэтому попытаюсь рассказать на примере:

Допустим, вы решили купить на рынке бидон молока. За что вы платите?
За само молоко, которое «выработала» корова.
Только в электроэнергетике сам товар «молоко», делится на две составляющие:

1. Корова не смогла бы дать молоко, если бы не ела траву/сено. Причем, чем больше корова будет есть, тем больше молока дает. То есть, количество корма и количество молока прямо пропорциональны.
В электроэнергетике кормом служит топливо, из которого производится электроэнергия.
То есть потребитель, оплачивая стоимость электрической энергии, грубо говоря, платит за топливо, из которого получится объем электричества, потребленного именно им.
Чтобы получить стоимость электрической энергии , нужно умножить цену этой энергии на количество потребленных кВтч (определяются по приборам учета).

2. Если траву/сено никто не съест (коровы нет), то и молока не получится. То же самое, если не будет генераторов (турбин и прочего оборудования), то и топливо никак не преобразовать в электроэнергию.
Кроме того, коровы должны находиться в хлеву, точно также, как и турбины не могут стоять «в чистом поле».
Получается, что коровы и хлев в производстве молока тождественны объектам капитального строительства, участвующим в производстве электрической энергии в электроэнергетике.
При этом, в отличие от товара — электрической энергии (п.1), количество коров не прямо пропорционально количеству произведенного молока.
Даже если не брать в расчет быков, которые по понятным причинам молока не дают, есть еще молодняк, который нужно кормить, чтобы он давал молоко в будущем. Есть коровы, которые болеют и поэтому дают меньше молока, коровы после отёла и т.д.
Поэтому стоимость оплачиваемой потребителями генерирующей мощности определяется не пропорционально выработанной электроэнергии, а исходя из и усредненной для всех генераторов цены мощности.
Объем покупной мощности рассчитывается по определенной методике на основе почасового потребления электроэнергии предприятия.

3. Итак, молоко (товар) произведено, однако, чтобы конечный потребитель мог его купить – нужно доставить молоко до места продажи.
Соответственно электрическую энергию от генерирующих объектов нужно передать до сетей конечного потребителя. И занимаются этим сетевые организации, оказывая .
Здесь опять же платеж разделяется на две составляющие.

3.1. Молоко нужно доставить до конечного потребителя как можно быстрее, соответственно, нужно иметь столько автоцистерн, чтобы можно было сразу же развезти все «пиковое производство» молока по рынкам. При этом, бывают периоды, когда выработка молока значительно падает, и машины с цистернами простаивают. Однако, когда эти машины покупали – никто не спрашивал, будут ли они работать ежедневно или стоять в гараже.
То же самое с объектами электросетевого хозяйства. Они должны выдержать пиковые нагрузки, но далеко не всегда бывают загружены.
Поэтому за содержание объектов электросетевого хозяйства потребители платят исходя из соответствующего тарифа и , которые рассчитываются по определенной методике на основе почасового потребления электроэнергии предприятия (не равны покупной мощности).

3.2. Не все молоко попадает на стол потребителя, есть еще и потери, связанные с технологией его транспортировки (молоко остается на стенках автоцистерны, например).
Часть электроэнергии в процессе передачи от генераторов потребителю теряется. Эти потери в сетях также оплачивает конечный потребитель, что бы у сетевой организации не было убытков.
Поскольку потери прямо пропорциональны количеству переданной по электрическим сетям электроэнергии, то и оплачиваются они исходя из объемов потребления по приборам учета.

4. Автоцистерна с молоком не может приехать домой к потребителю, она едет на рынок, куда приходит человек с бидоном, где он покупает молоко, оплачивая производство, доставку и саму продажу молока.
Функции продавца на рынке в электроэнергетике выполняет гарантирующий поставщик / энергосбытовая организация. ГП / ЭСО ничего не производят, ничего не доставляют, а только организуют поставку электроэнергии, берут деньги с предприятия и передают их конечным получателям, оказывая услуги по сбыту электроэнергии .
Причем есть продавцы, которые не торгуются – гарантирующие поставщики. А есть те, кто может сделать скидку «любимому клиенту», сказать насколько свежее молоко и даже, если потребитель забыл дома кошелек, отдать молоко бесплатно, чтобы в следующий раз клиент рассчитался. Однако, невнимательных клиентов могут и обвесить или обсчитать – это энергосбытовые организации.

5. Последнюю составляющую – услуги инфраструктурных организаций можно сравнить с налогами. Коровы и без государства могут давать молоко, однако продав молоко и не заплатив налоги продавец уходит из правового поля.
Инфраструктурные организации в электроэнергетике устанавливают «правила игры» и следят, чтобы эти правила выполнялись. Соответственно, они берут за это свое небольшое вознаграждение.

Задание 1

Потребитель оплатил заводу-производителю 120 тыс. рублей за 800 изделий. Производитель снизил цену одного изделия на 15 руб. Какое максимальное количество изделий может отпустить производитель в счет полученной предоплаты?

Старая цена одного изделия равна \(120\,000:800=150\) рублей. Новая цена изделия составила \(150-15=135\) рублей. Значит, количество изделий, которое может отпустить производитель на \(120\,000\) рублей, равно \[\dfrac{120\,000}{135}=888\frac{120}{135}.\] Так как количество изделий должно быть целым числом, то наибольшее число изделий равно \(888\) .

Ответ: 888

Задание 2

На рисунке показана диаграмма продаж автомобилей в автосалоне по месяцам года. Определите по диаграмме минимальное число месячных продаж в летние месяцы.

Летние месяцы – это июнь, июль и август. Из диаграммы видно, что наименьшее количество проданных автомобилей было в июне и составило 50 штук.

Ответ: 50

Задание 3

Из прямоугольной заготовки \(ABCD\) штамп вырезает деталь, изображенную на чертеже. Найдите площадь детали, если размер каждой клетки равен 1 см \(\times\) 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Из прямоугольника \(ABCD\) нужно вырезать два одинаковых куска, каждый из которых представляет собой треугольник с основанием, равным 5, и высотой, проведенной к этому основанию, равной 1. Следовательно, площадь каждого треугольника равна \(\frac12\cdot 1\cdot 5=\frac52\) , а площадь двух равна \(5\) . Площадь прямоугольника \(ABCD\) равна \(4\cdot 5=20\) , следовательно, площадь изделия равна \(20-5=15\) .

Ответ: 15

Задание 4

В урне шары с номерами от 1 до 50. Найдите вероятность того, что номер случайно выбранного шара делится на 6, но не делится на 7.

Чисел от 1 до 50, делящихся на 6, 8 штук: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48. Из них на 7 делится только одно число: 42. Следовательно, подходящих шаров 7 штук. Всего шаров столько же, сколько чисел от 1 до 50, то есть 50. Следовательно, вероятность равна отношению числа подходящих исходов к числу всех исходов: \[\dfrac7{50}=0,14.\]

Ответ: 0,14

Задание 5

Решите уравнение \(\sqrt{3x+28}=x\) . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из них.

ОДЗ уравнения: \(3x+28\geqslant 0\) и \(x\geqslant 0\) .
Решим на ОДЗ. Возведем обе части уравнения в квадрат: \ По теореме Виета корнями будут \(x_1=7\) и \(x_2=-4\) . Проверкой убеждаемся, что \(x_2\) не подходит по ОДЗ. Следовательно, ответ: \(x=7\) .

Ответ: 7

Задание 6

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) сторона \(BC=1\) , \(\sin \angle C=0,6\) . Найдите основание \(AC\) .

Проведем высоту \(BH\) .

Так как треугольник равнобедренный, то \(BH\) также является медианой, следовательно, \(AH=HC\) . Так как синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то \[\sin\angle C=\dfrac{BH}{BC} \quad\Rightarrow\quad BH=0,6.\] Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle BHC\) : \ Следовательно, \(AC=2HC=1,6\) .

Ответ: 1,6

Задание 7

На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\) и касательная к этому графику в точке с абсциссой \(x=2\) . Найдите значение выражения \(\dfrac{f"(2)}{\sqrt3}\) .

Так как значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной, то \(f"(2)=\mathrm{tg}\,60^\circ=\sqrt3\) . Следовательно, \[\dfrac{f"(2)}{\sqrt3}=1.\]

Ответ: 1

Задание 8

Площадь поверхности куба равна 150 кв. см. Найдите площадь поверхности меньшего куба, ребро которого на 2 см меньше ребра исходного. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Площадь поверхности куба равна сумме площадей всех его шести граней. Так как все грани куба равны, то и их площади равны, следовательно, площадь одной грани равна \(150:6=25\) . Так как грань представляет собой квадрат, то ребро куба равно \(\sqrt{25}=5\) .
Тогда ребро меньшего куба равно \(5-2=3\) . Следовательно, площадь его поверхности равна \(6\cdot 3^2=54\) .

Ответ: 54

Задание 9

Найдите значение выражения \[\cos\dfrac{5\pi}6\cdot \mathrm{tg}\,\dfrac{4\pi}3\]

По формулам приведения: \[\begin{aligned} &\cos\dfrac{5\pi}6=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}6\right)=-\cos\dfrac{\pi}6 =-\dfrac{\sqrt3}2\\ &\mathrm{tg}\,\dfrac{4\pi}3=\mathrm{tg}\,\left(\pi+\dfrac{\pi}3\right)= \mathrm{tg}\,\dfrac{\pi}3=\sqrt3 \end{aligned}\] Следовательно, значение выражения равно \[-\dfrac{\sqrt3}2\cdot \sqrt3=-1,5.\]

Ответ: -1,5

Задание 10

Энергия (в джоулях), выделяющаяся при абсолютно неупругом соударении двух тел с одинаковой массой \(m\) , движущихся с одинаковой скоростью \(v\) м/с под углом \(2\alpha\) друг к другу, определяется выражением \(Q=mv^2\cdot \sin^2\alpha\) . При соударении тел, движущихся со скоростью \(10\) м/с точно навстречу друг другу, выделилось \(500\) джоулей. Сколько джоулей энергии выделится при соударении этих же тел, движущихся под углом \(120^\circ\) друг к другу со скоростью \(12\) м/с?

Так как в первом случае тела двигались точно навстречу друг другу, то они двигались под углом \(180^\circ\) друг к другу. Следовательно, подставляя данные в формулу, получим: \ Значит, во втором случае энергия равна \

Ответ: 540

Задание 11

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найдите длину поезда. Ответ дайте в метрах.

Рассмотрим рисунок:

Фраза “поезд проезжает мимо столба” означает, что в начале движения напротив столба находится голова поезда, а в конце – хвост поезда. То есть, проехав мимо столба, поезд проехал расстояние, в точности равное длине поезда.
Переведем его скорость в м/с: \ Следовательно, длина поезда равна \[\dfrac{100}6\cdot 30=500 \ {\small{\text{м.}}}\]

Ответ: 500

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции \(y=4\sin x-5\cos x+11x-10\) на отрезке \(\left[-\dfrac{3\pi}2;0\right].\)

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, изобразим эскиз ее графика на этом отрезке. Для этого найдем ее промежутки возрастания/убывания.
Найдем производную: \ Так как области значения синуса и косинуса – это отрезок \([-1;1]\) , то \(-4\leqslant 4\cos x\leqslant 4\) и \(-5\leqslant 5\sin x\leqslant 5\) , следовательно, \[-9\leqslant 4\cos x+5\sin x\leqslant 9\] Значит, \ Следовательно, производная всегда положительна, значит, функция всегда возрастает. Значит, схематично ее график выглядит так:

Следовательно, наибольшее значение на отрезке \(\left[-\dfrac{3\pi}2;0\right]\) функция принимает в его правом конце: \

Ответ: -15

Задание 13

а) Решите уравнение \[\sqrt2\cdot \sin \left(\dfrac{3\pi}2-x\right)\sin x=\cos x\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-5\pi;-4\pi].\)

а) По формуле приведения \(\sin \left(\dfrac{3\pi}2-x\right)=-\cos x\) . Следовательно, уравнение примет вид: \[-\sqrt2\cos x\sin x=\cos x\quad\Leftrightarrow\quad \cos x(1+\sqrt2\sin x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x=0\\ &\sin x=-\dfrac{\sqrt2}2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Решением первого уравнения являются \(x=\dfrac{\pi}2+\pi m, m\in\mathbb{Z}\) .

Решением второго уравнения являются \(x=-\dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\) и \(x=-\dfrac{3\pi}4+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\) .

б) Отберем корни.

\(-5\pi\leqslant \dfrac{\pi}2+\pi m\leqslant -4\pi \quad\Rightarrow\quad -5,5\leqslant m\leqslant -4,5 \quad\Rightarrow\quad m=-5\quad \Rightarrow\quad x=-\dfrac{9\pi}2.\)

\(-5\pi\leqslant -\dfrac{\pi}4+2\pi n\leqslant -4\pi \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{19}8\leqslant n\leqslant -\dfrac{15}8\quad\Rightarrow\quad n=-2\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{17\pi}4.\)

\(-5\pi \leqslant -\dfrac{3\pi}4+2\pi k\leqslant -4\pi \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{17}8\leqslant k\leqslant -\dfrac{13}8 \quad\Rightarrow\quad k=-2\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{19\pi}4.\)

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}4+2\pi n; \ -\dfrac{3\pi}4+2\pi k; \ \dfrac{\pi}2+\pi m; \quad n,k,m\in\mathbb{Z}\)

б) \(-\dfrac{19\pi}4; \ -\dfrac{9\pi}2; \ -\dfrac{17\pi}4\)

Задание 14

В основании прямой призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежит квадрат \(ABCD\) со стороной \(4\) , а высота призмы равна \(\sqrt{17}\) . Точка \(E\) лежит на диагонали \(BD_1\) , причем \(BE=1\) .
а) Постройте сечение призмы плоскостью \(A_1C_1E\) .
б) Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости \(ABC\) .

а) Назовем плоскость \((A_1C_1E)\) плоскостью \(\alpha\) . Пусть \(O\) – точка пересечения диагоналей грани \(A_1B_1C_1D_1\) . Тогда \(O\in \alpha\) . Следовательно, вся прямая \(OE\in \alpha\) .

Заметим, что прямые \(OE\) и \(BD\) лежат в одной плоскости – плоскости \(BB_1D_1\) . Пусть \(E"\) – точка пересечения прямой \(OE\) и прямой \(BD\) . Тогда \(E"\in \alpha\) . Таким образом, мы получили точку пересечения плоскости \(\alpha\) с гранью \(ABCD\) . Так как грани \(A_1B_1C_1D_1\) и \(ABCD\) параллельны, то плоскость \(\alpha\) пересечет их по параллельным прямым. Поэтому проведем в грани \(ABCD\) через точку \(E"\) прямую параллельно \(A_1C_1\) . Пусть эта прямая пересекла ребра \(AB\) и \(BC\) в точках \(N\) и \(M\) соответственно.
Таким образом, мы получили сечение \(A_1C_1MN\) призмы плоскостью \(\alpha\) .

б) Так как основанием призмы является квадрат, а диагонали квадрата перпендикулярны, то \(A_1C_1\perp BD\) . Так как \(MN\parallel A_1C_1\) , то \(MN\perp BD\) .
Необходимо построить линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) , то есть построить перпендикуляры в каждой из плоскостей к их линии пересечения. \(MN\) и есть их линия пересечения, следовательно, в плоскости \(ABC\) уже найден перпендикуляр – это \(ED\) . Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах прямая \(OE"\perp MN\) (как наклонная, проекцией которой является прямая \(E"D\) ). Следовательно, необходимо найти \(\angle OE"D\) .

Рассмотрим плоскость \(BB_1D_1D\) .

Проведем \(OO"\perp BD\) и найдем \(\mathrm{tg}\,\angle OE"O"\) . Для этого нам нужно найти \(E"O"\) (так как \(OO"=DD_1=\sqrt{17}\) ).

Заметим, что \(BD=AB\sqrt2=4\sqrt2\) , следовательно, \(BO"=0,5BD=2\sqrt2=OD_1\) .
Тогда \(BD_1=\sqrt{BD^2+DD_1^2}=7\) . Следовательно, \(ED_1=7-1=6\) .

Заметим также, что \(\triangle EE"B\sim \triangle EOD_1\) по двум углам. Следовательно, \[\dfrac{E"B}{OD_1}=\dfrac{EB}{ED_1} \quad\Rightarrow\quad E"B= \dfrac{\sqrt2}3.\] Следовательно, \ Следовательно, \[\mathrm{tg}\,\angle OE"O"=\dfrac{OO"}{E"O"}= \dfrac{\sqrt{17}}{\frac{5\sqrt2}3}=0,3\sqrt{34} \quad\Rightarrow\quad \angle OE"O"=\mathrm{arctg}\,(0,3\sqrt{34}).\]

Ответ:

б) \(\mathrm{arctg}\,(0,3\sqrt{34})\)

Задание 15

Решите неравенство \

Сгруппируем слагаемые в левой части: первое с третьим и второе с четвертым: \ По методу рационализации скобку \(a^x-a^n\) можно заменить на \((a-1)(x-n)\) . Сделаем это для двух скобок в левой части: \[(2-1)(x+1-4)(2-1)(x+3-0)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x-3)(x+3)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in [-3;3].\]

Ответ:

\([-3;3]\)

Задание 16

Две окружности касаются внешним образом в точке \(Q\) . Прямая \(AB\) касается первой окружности в точке \(A\) , а второй – в точке \(B\) . Прямая \(AQ\) пересекает вторую окружность в точке \(C\) .
а) Докажите, что отрезок \(BC\) – диаметр второй окружности.
б) Найдите площадь треугольника \(ABC\) , если радиус первой окружности равен 36, а радиус второй равен 49.

а) Пусть центр первой окружности – точка \(M\) , центр второй – точка \(N\) . Проведем отрезки \(AM, BN, CN\) . Тогда \(AM\perp AB, BN\perp AB\) как радиусы, проведенные в точки касания. Заметим, что если окружности касаются внешним образом, то их центры, а также их точка касания лежат на одной прямой. Следовательно, \(\angle AQM=\angle CQN\) как вертикальные. Заметим также, что \(\triangle AQM\) и \(\triangle CQN\) равнобедренные. Следовательно, \(\angle AMQ=\angle CNQ\) .

Рассмотрим четырехугольник \(ABNM\) . Сумма углов его равна \(360^\circ\) , следовательно, его \(\angle N=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\angle AMQ=180^\circ-\angle AMQ\) .
Тогда \(\angle BNQ+\angle CNQ=180^\circ-\angle AMQ+\angle AMQ=180^\circ\) . Это значит, что точки \(B, N\) и \(C\) лежат на одной прямой. Следовательно, так как \(BN\) – радиус, то \(BC\) – диаметр.

б) Для того, чтобы найти площадь \(\triangle ABC\) , нужно найти его второй катет \(AB\) .

Рассмотрим четырехугольник \(ABNM\) . Это прямоугольная трапеция с основаниями \(AM=36\) и \(BN=49\) . Проведем \(MH\perp BN\) . Тогда \(MH=AB\) . Так как \(MN=36+49\) , а \(HN=BN-AM=49-36\) , то по теореме Пифагора из \(\triangle MHN\) : \ Тогда площадь \(\triangle ABC\) равна \

Ответ:

Задание 17

Семья взяла в банке ипотечный кредит под \(10\%\) годовых на 8 лет. Условия погашения кредита следующие: по истечении каждого года заемщик погашает банку начисленные проценты за год и \(\frac18\) часть основной суммы. Какую сумму семья взяла в банке, если последний платеж, которым она полностью погасила кредит, составил 605 тысяч рублей? Ответ дайте в миллионах рублей.

Из условия можно сделать вывод, что система платежей по кредиту дифференцированная.

Рассмотрим функцию \

Эта функция является четной, так как \(f(x)=f(-x)\) . Следовательно, если уравнение \(f(x)=0\) будет иметь решение \(x_0\ne 0\) , то оно также будет иметь решение \(-x_0\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо, чтобы этим решением был \(x=0\) . Подставим \(x=0\) в уравнение и найдем \(a\) : \[\sqrt{0+(a-3)^4}=2\cdot 2|a-3| \quad\Leftrightarrow\quad |a-3|(|a-3|-4)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &a=3\\ &a=7\\ &a=-1 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Заметим, что данные значения для \(a\) гарантируют, что решением уравнения будет \(x=0\) , но не гарантируют, что это решение будет единственным. Следовательно, сделаем проверку и увидим, что при \(a=3\) уравнение принимает вид \ решением которого является не только

а) Да. Например: 3, 297, 298, 299, 300.

б) Нет. Назовем эти числа, расположенные в порядке возрастания, \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\) . Тогда после стирания \(a_1\) останутся \(a_2, a_3, a_4, a_5\) . Если сумма наименьших двух чисел будет больше наибольшего числа, то есть \(a_2+a_3>a_5\) , то и сумма любых двух чисел будет больше любого числа.
После стирания \(a_5\) останутся \(a_1, a_2, a_3, a_4\) . Аналогично, достаточно, чтобы \(a_1+a_2>a_4\) .

Пусть \(a_5=3a_2\) .
Тогда из \(a_2+a_3>a_5\) получаем: \(a_2+a_3>3a_2\) , откуда \(a_3>2a_2\) . Тогда \(a_3\geqslant 2a_2+1\) , \(a_4\geqslant 2a_2+2\) (так как числа расположены в порядке возрастания и являются натуральными). Также можно сказать, что \(a_1\leqslant a_2-1\) . \[\begin{array}{ccccc} a_1\leqslant a_2-1 \qquad & a_2 \qquad & a_3\geqslant 2a_2+1 \qquad & a_4\geqslant 2a_2+2 \qquad & a_5=3a_2 \end{array}\] Теперь воспользуемся условием, что \(a_1+a_2>a_4\) . Из полученных условий получаем следующую цепочку неравенств: \ откуда получаем, что \(2a_2+2<2a_2-1\) , что равносильно \(2<-1\) . Данное неравенство не является верным. Следовательно, предположение неверно и \(a_5\ne 3a_2\) .

в) Рассмотрим выражение \(\dfrac{a_1+a_5}{a_2+a_4} \qquad (*)\) . Заметим, что так как \(a_3=100\) и числа расположены в порядке возрастания и являются натуральными, то наибольшее значение, которое может принимать \(a_2\) – это 99. Минимальное значение для \(a_4\) – это 101. Наименьшее значение для \(a_2\) – это 52, так как если \(a_2=51\) , то максимальное значение для \(a_1\) уже 50, и их сумма тогда максимум равна 101, что уже не может быть строго больше \(a_4\) .
Таким образом, \(52\leqslant a_2\leqslant 99\) .

Если обозначить \(a_2=x\) , то максимальное значение для \(a_1\) – это \(x-1\) . Так как \(a_2+a_3>a_5\) , а \(a_2+a_3=x+100\) , то максимальное значение для \(a_5\) – это \(x+100-1\) .
Заметим, что дробь \((*)\) будет принимать наибольшее значение, если ее числитель будет как можно больше, а при этом знаменатель как можно меньше. Возьмем наименьшее возможное значение для \(a_4=101\) и рассмотрим функцию (где \(x=a_2\) ): \ где взяты по максимуму значения для \(a_1\) и \(a_5\) и наименьшее значение для \(a_4\) . Можно проверкой убедиться, что при таких значениях выполнено условие “если стереть первое или последнее из них, то сумма любых двух оставшихся чисел будет больше любого другого из оставшихся чисел”.
Найдем производную: \ Заметим, что при всех \(x\in \) производная больше нуля, следовательно, функция возрастает. Следовательно, наибольшее значение она будет принимать при наибольшем \(x\) , то есть при \(x=99\) . Тогда наибольшее значение дроби равно: \[\dfrac{98+2\cdot 99}{101+99}=1,48.\]