Пример . На станцию технического обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью 1 автомобиль за 2 ч. Во дворе в очереди может находиться не более 3 машин. Среднее время ремонта - 2 часа. Дайте оценку работы СМО и разработайте рекомендации по улучшению обслуживания.
Решение:
Определяем тип СМО. Фраза « На станцию» говорит об единственном устройстве обслуживания, т.е. для проверки решения используем сервис Одноканальные СМО .
Определяем вид одноканальной СМО. Поскольку имеется упоминание об очереди, следовательно выбираем «Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди».
Параметр λ необходимо выразить в часах. Интенсивность заявок 1 автомобиль за 2 ч или 0,5 за 1 час.
Интенсивность потока обслуживания μ явно не задана. Здесь приводится время обслуживания t обс = 2 часа.
Исчисляем показатели обслуживания для одноканальной СМО:
Интенсивность потока обслуживания:
1. Интенсивность нагрузки
.
ρ = λ t обс = 0.5 2 = 1
Интенсивность нагрузки ρ=1 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен
(доля времени простоя канала).
Следовательно, 20% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t пр = 12 мин.
4. Доля заявок, получивших отказ
.
Заявки не получают отказ. Обслуживаются все поступившие заявки, p отк = 0.
5. Относительная пропускная способность
.
Доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени:
Q = 1 - p отк = 1 - 0 = 1
Следовательно, 100% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Абсолютная пропускная способность
.
A = Q λ = 1 0.5 = 0.5 заявок/час.
8. Среднее число заявок в очереди
(средняя длина очереди).
ед.
9. Среднее время простоя СМО
(среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
час.
10. Среднее число обслуживаемых заявок
.
L обс = ρ Q = 1 1 = 1 ед.
12. Среднее число заявок в системе
.
L CMO = L оч + L обс = 1.2 + 1 = 2.2 ед.
13. Среднее время пребывания заявки в СМО
.
час.
Число заявок, получивших отказ в течение час: λ p 1 = 0 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 1 / 2 = 0.5 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 0.5 / 0.5 = 100% от номинальной производительности.
Вывод: станция загружена на 100%. При этом отказов не наблюдается.
Простейшая одноканальная модель. Такой моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид
(1)
где - интенсивность поступления заявок в систему.
Плотность распределения длительностей обслуживания:
, (2)
где - интенсивность обслуживания.
Потоки заявок и обслуживаний простейшие.
Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.
Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рис.1), у которого имеются два состояния:
S 0 - канал свободен (ожидание);
S 1 - канал занят (идет обслуживание заявки).
Рис. 1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Обозначим вероятности состояний:
P 0 (t) - вероятность состояния «канал свободен»;
Р 1 (t) - вероятность состояния «канал занят».
По размеченному графу состояний (рис. 1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:
(3)
Система линейных дифференциальных уравнений (3) имеет решение с учетом нормировочного условия = 1. Решение данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t и выглядит следующим образом:
(4)
(5)
Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность Р 0 (t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.
Действительно, Р 0 - вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, а следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно , т. е.
q = . (6)
По истечении большого интервала времени () достигается стационарный (установившийся) режим:
Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность (А) - среднее число, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:
Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:
Данная величина может быть интерпретирована как средняя доля не обслуженных заявок среди поданных.
Пример 1. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, - получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей = 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания - 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживании являются простейшими.
Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:
относительной пропускной способности q;
абсолютной пропускной способности А;
вероятности отказа .
Сравните фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.
Решение
1. Определим интенсивность потока обслуживания:
2. Вычислим относительную пропускную способность:
Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост ЕО автомобилей.
3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле:
1 0,356 = 0,356.
Это означает, что система (пост ЕО) способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.
3. Вероятность отказа:
Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.
4. Определим номинальную пропускную способность системы:
(автомобилей в час).
Оказывается, что в 1,5 раза больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.
Одноканальная СМО с ожиданием. Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью . Интенсивность потока обслуживания равна (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.
Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 2.
Рис. 2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием
(схема гибели и размножения)
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
S 0 - канал свободен;
S 1 - канал занят (очереди нет);
S 2 - канал занят (одна заявка стоит в очереди);
……………………
S n - канал занят (n - 1 заявок стоит в очереди);
…………………...
S N - канал занят (N - 1 заявок стоит в очереди).
Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:
п - номер состояния.
Решение приведенной выше системы уравнений (10) для нашей модели СМО имеет вид
(11)
Следует отметить, что выполнение условия стационарности для данной СМО необязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N - 1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением
Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N- 1):
вероятность отказа в обслуживании заявки:
(13)
относительная пропускная способность системы:
(14)
абсолютная пропускная способность:
А = q 𝝀; (15)
среднее число находящихся в системе заявок:
(16)
среднее время пребывания заявки в системе:
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:
среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):
L q = (1 - P N)W q . (19)
Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.
Пример 2. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограничено и равно 3 [(N - 1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность 𝝀 = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.
Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.
Решение
1. Параметр потока обслуживании автомобилей:
.
2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей 𝝀 и µ, т. е.
3. Вычислим финальные вероятности системы:
4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:
5. Относительная пропускная способность поста диагностики:
6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики
А = 𝝀 q = 0,85 0,842 = 0,716 (автомобиля в час).
7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):
8. Среднее время пребывания автомобиля в системе:
9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:
10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):
L q = (1 - P N)W q = 0,85 (1 - 0,158) 1,423 = 1,02.
Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Р отк = 0,158).
Одноканальная СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания (т. е. ). Остальные условия функционирования СМО остаются без изменений.
Стационарный режим функционирования данной СМО существует при для любого n = 0, 1, 2,... и когда 𝝀< µ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при для любого п =0,1,2,…, имеет вид
Решение данной системы уравнений имеет вид
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:
(22)
средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
(23)
среднее число клиентов в очереди на обслуживании:
средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:
Пример 3. Вспомним о ситуации, рассмотренной в примере 2, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена.
Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:
Вероятности состояний системы (поста диагностики);
Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);
Среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди);
Среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;
4. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
5. Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:
6. Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:
7. Относительная пропускная способность системы:
т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена.
8 . Абсолютная пропускная способность:
A = q = 0,85 1 = 0,85.
Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагностику автомобилей, прежде всего, интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятии ограничения на длину очереди.
Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки прибывающих автомобилей было равно трем (см. пример 2). Частота т возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностики автомобиль не имеет возможности присоединиться к очереди:
т = λP N .
В нашем примере при N=3 + 1= 4 и ρ = 0,893,
т = λ Р 0 ρ 4 = 0,85 0,248 0,8934 = 0,134 автомобиля в час.
При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквивалентно тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять 12 0,134 = 1,6 автомобиля.
Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество обслуженных клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12 ч. работы) поста диагностики. Ясно, что решение относительно расширения площади для стоянки автомобилей, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при наличии всего трех мест для стоянки этих автомобилей.
Похожая информация.
Дано : система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.
Найти : абсолютную и относительную пропускную способность СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ.
Система при любом t > 0 может находиться в двух состояниях: S 0 – канал свободен; S 1 – канал занят. Переход из S 0 в S 1 связан с появлением заявки и немедленным началом ее обслуживания. Переход из S 1 в S 0 осуществляется, как только очередное обслуживание завершится (рис.9).
Рис.9. Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Выходные характеристики (характеристики эффективности) этой и других СМО будут даваться без выводов и доказательств.
(среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):
где – интенсивность потока заявок (величина, обратная среднему промежутку времени между поступающими заявками - ); – интенсивность потока обслуживаний (величина, обратная среднему времени обслуживания ).
Относительная пропускная способность (средняя доля заявок, обслуживаемых системой):
Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной):
Очевидны следующие соотношения: и .
N – канальная СМО с отказами (задача Эрланга). Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале 20 века датским математиком Эрлангом.
Дано : в системе имеется n – каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.
Найти : абсолютную и относительную пропускную способность СМО; вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t , получит отказ; среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (или, другими словам, среднее число занятых каналов).
Решение . Состояние системы S (СМО) нумеруется по максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):
· S 0 – в СМО нет ни одной заявки;
· S 1 – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);
· S 2 – в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные свободны);
· S n – в СМО находится n – заявок (все n – каналов заняты).
Граф состояний СМО представлен на рис. 10.
Рис.10. Граф состояний для n – канальной СМО с отказами
Почему граф состояний размечен именно так? Из состояния S 0 в состояние S 1 систему переводит поток заявок с интенсивностью (как только приходит заявка, система переходит из S 0 в S 1). Если система находилась в состоянии S 1 и пришла еще одна заявка, то она переходит в состояние S 2 и т.д.
Почему такие интенсивности у нижних стрелок (дуг графа)? Пусть система находится в состоянии S 1 (работает один канал). Он производит обслуживаний в единицу времени. Поэтому дуга перехода из состояния S 1 в состояние S 0 нагружена интенсивностью . Пусть теперь система находится в состоянии S 2 (работают два канала). Чтобы ей перейти в S 1 , нужно, чтобы закончил обслуживание первый канал, либо второй. Суммарная интенсивность их потоков равна и т.д.
Выходные характеристики (характеристики эффективности) данной СМО определяются следующим образом.
Абсолютная пропускная способность :
где n – количество каналов СМО; – вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все каналы свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S 0);
Для того, чтобы написать формулу для определения , рассмотрим рис.11.
Рис.11. Граф состояний для схемы «гибели и размножения»
Граф, представленный на этом рисунке, называют еще графом состояний для схемы «гибели и размножения». Напишем сначала для общую формулу (без доказательства):
Кстати, остальные финальные вероятности состояний СМО запишутся следующим образом.
Вероятность того, что СМО находится в состоянии S 1 , когда один канал занят.
В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:
1) A - абсолютную пропускную способность СМО , т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
2) Q - относительную пропускную способность , т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;
3) P_{\text{otk}} - вероятность отказа , т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;
4) \overline{k} - среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).
Одноканальная система (СМО) с отказами
Рассмотрим задачу. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью \lambda . Поток обслуживании имеет интенсивность \mu . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Примечание. Здесь и в дальнейшем предполагается, что все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, будут простейшими. К ним относится и поток обслуживании - поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. Среднее время обслуживания обратно по величине интенсивности \mu , т.е. \overline{t}_{\text{ob.}}=1/\mu .
Система S (СМО) имеет два состояния: S_0 - канал свободен, S_1 - канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 6.
В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид (см. выше правило составления таких уравнений)
\begin{cases}\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end{cases}
т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие p_0+p_1=1 , найдем из (18) предельные вероятности состояний
P_0=\frac{\mu}{\lambda+\mu},\quad p_1=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,
которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S_0 (когда канал свободен) и S_1 (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа P_{\text{otk}}:
Q=\frac{\mu}{\lambda+\mu}\,
P_{\text{otk}}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,.
Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока отказов
A=\frac{\lambda\mu}{\lambda+\mu}\,.
Пример 5. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью \lambda , равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.
Решение. Имеем \lambda=90 (1/ч), \overline{t}_{\text{ob.}}=2 мин. Интенсивность потока обслуживании \mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{2}=0,\!5 (1/мин) =30 (1/ч). По (20) относительная пропускная способность СМО Q=\frac{30}{90+30}=0,\!25 , т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит P_{\text{otk}}=0,\!75 (см. (21)). Абсолютная пропускная способность СМО по (29) A=90\cdot0.\!25=22,\!5 , т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.
Многоканальная система (СМО) с отказами
Рассмотрим классическую задачу Эрланга . Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью \lambda . Поток обслуживании имеет интенсивность \mu . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k,\ldots,S_n , где S_k - состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.
Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 7.
Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью \lambda . Интенсивность же потока обслуживании, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S_2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S_1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет 2\mu . Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния S_3 (три канала заняты) в S_2 , будет иметь интенсивность 3\mu , т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.
В формуле (16) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния
P_0={\left(1+ \frac{\lambda}{\mu}+ \frac{\lambda^2}{2!\mu^2}+\ldots+\frac{\lambda^k}{k!\mu^k}+\ldots+ \frac{\lambda^n}{n!\mu^n}\right)\!}^{-1},
где члены разложения \frac{\lambda}{\mu},\,\frac{\lambda^2}{2!\mu^2},\,\ldots,\,\frac{\lambda^k}{k!\mu^k},\,\ldots,\, \frac{\lambda^n}{n!\mu^n} , будут представлять собой коэффициенты при p_0 в выражениях для предельных вероятностей p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n . Величина
\rho=\frac{\lambda}{\mu}
называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала . Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь
P_0={\left(1+\rho+\frac{\rho^2}{2!}+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1},
P_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac{\rho^2}{2!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.
Формулы (25) и (26) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.
Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все я каналов системы будут заняты, т.е.
P_{\text{otk}}= \frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.
Относительная пропускная способность - вероятность того, что заявка будет обслужена:
Q=1- P_{\text{otk}}=1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.
Абсолютная пропускная способность:
A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.
Среднее число занятых каналов \overline{k} есть математическое ожидание числа занятых каналов:
\overline{k}=\sum_{k=0}^{n}(k\cdot p_k),
где p_k - предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (25), (26).
Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы A есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем \mu заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов
\overline{k}=\frac{A}{\mu}
Или, учитывая (29), (24):
\overline{k}=\rho\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.
Пример 6. В условиях примера 5 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.
Решение. Интенсивность нагрузки канала по формуле (25) \rho=\frac{90}{30}=3 , т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора \overline{t}_{\text{ob.}}=2 мин. поступает в среднем 3 заявки на переговоры.
Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) n=2,3,4,\ldots и определим по формулам (25), (28), (29) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при n=2 имеем
З_0={\left(1+3+ \frac{3^2}{2!}\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4 и т.д.
Значение характеристик СМО сведем в табл. 1.
По условию оптимальности Q\geqslant0,\!9 , следовательно, в телевизионном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае Q=0,\!9 - см. табл. 1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок (A=80,\!1) , а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (30) \overline{k}=\frac{80,\!1}{30}=2,\!67 .
Пример 7. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Решение. По условию n=3,~\lambda=0,\!25 (1/ч), \overline{t}_{\text{ob.}} =3 (ч). Интенсивность потока обслуживании \mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{3}=0,\!33 . Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24) \rho=\frac{0,\!25}{0,\!33}=0,\!75 . Найдем предельные вероятности состояний:
– по формуле (25) p_0={\left(1+0,\!75+ \frac{0,\!75^2}{2!}+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476 ;
– по формуле (26) p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac{0,\!75^2}{2!}\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033 ;
т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% - две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени - три заявки (заняты три ЭВМ).
Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, P_{\text{otk}}=p_3=0,\!033 .
По формуле (28) относительная пропускная способность центра Q=1-0,\!033=0,\!967 , т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.
По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра A=0,\!25\cdot0,\!967=0,\!242 , т.е. в один час в среднем обслуживается. 0,242 заявки.
По формуле (30) среднее число занятых ЭВМ \overline{k}=\frac{0,\!242}{0,\!33}=0,\!725 , т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на \frac{72,\!5}{3}= 24,\!2%. .
При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны - значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX! Абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, которое может быть обслужено в единицу времени. p 0 - вероятность того, что канал свободен, Q - относительная пропускная способность
Интенсивность нагрузки ρ=3 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
2. Время обслуживания
.
мин.
Следовательно, 3% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t пр = 1.7 мин.
занят 1 канал:
p 1 = ρ 1 /1! p 0 = 3 1 /1! 0.0282 = 0.0845
заняты 2 канала:
p 2 = ρ 2 /2! p 0 = 3 2 /2! 0.0282 = 0.13
заняты 3 канала:
p 3 = ρ 3 /3! p 0 = 3 3 /3! 0.0282 = 0.13
.
Значит, 13% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
.
p отк + p обс = 1
p обс = 1 - p отк = 1 - 0.13 = 0.87
Следовательно, 87% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
.
n з = ρ p обс = 3 0.87 = 2.6 каналов
.
n пр = n - n з = 3 - 2.6 = 0.4 каналов
.
Следовательно, система на 90% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность для многоканальной СМО
.
A = p обс λ = 0.87 6 = 5.2 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО
.
t пр = p отк ∙ t обс = 0.13∙ 0.5 = 0.06 мин.
.
ед.
мин.
.
L обс = ρ Q = 3 0.87 = 2.62 ед.
.
L CMO = L оч + L обс = 1.9 + 2.62 = 4.52 ед.
.
мин.
Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ p 1 = 0.78 заявок в мин.
Номинальная производительность СМО: 3 / 0.5 = 6 заявок в мин.
Фактическая производительность СМО: 5.2 / 6 = 87% от номинальной производительности.
Пример №2
. Универсам получает ранние овощи и зелень из теплиц пригородного совхоза. Машины с товаром прибывают в универсам в неопределенное время. В среднем прибывает λ автомашин в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обработать и хранить товар объемом не более m автомашин одновременно. В универсаме работают n фасовщиков, каждый из которых в среднем может обработать товар с одной машины в течение t обсл дня. Определить вероятность обслуживания приходящей автомашины P обс. Какова должна быть емкость подсобных помещений m 1 , чтобы вероятность обслуживания была бы больше или равна заданной величине, т.е. Pобс.> P*обс.
λ = 3; t обс = 0,5; n = 2; m = 2, P* обс = 0,92.
Решение
.
Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:
Переводим интенсивность потока заявок в часы: λ = 3/24 = 0.13
Интенсивность потока обслуживания:
μ = 1/12 = 0.0833
1. Интенсивность нагрузки
.
ρ = λ t обс = 0.13 12 = 1.56
Интенсивность нагрузки ρ=1.56 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
Поскольку 1.56<2, то процесс обслуживания будет стабилен.
3. Вероятность, что канал свободен
(доля времени простоя каналов).
Следовательно, 18% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t пр = 11 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p 1 = ρ 1 /1! p 0 = 1.56 1 /1! 0.18 = 0.29
заняты 2 канала:
p 2 = ρ 2 /2! p 0 = 1.56 2 /2! 0.18 = 0.22
4. Доля заявок, получивших отказ
.
Значит, 14% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок
.
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:
p отк + p обс = 1
Относительная пропускная способность: Q = p обс.
p обс = 1 - p отк = 1 - 0.14 = 0.86
Следовательно, 86% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием
.
n з = ρ p обс = 1.56 0.86 = 1.35 канала.
Среднее число простаивающих каналов
.
n пр = n - n з = 2 - 1.35 = 0.7 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием
.
K 3 = n 3 /n = 1.35/2 = 0.7
Следовательно, система на 70% занята обслуживанием.
8. Находим абсолютную пропускную способность
.
A = p обс λ = 0.86 0.13 = 0.11 заявок/час.
9. Среднее время простоя СМО
.
t пр = p отк t обс = 0.14 12 = 1.62 час.
Вероятность образования очереди
.
10. Среднее число заявок, находящихся в очереди
.
ед.
11. Среднее время простоя СМО
(среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
T оч = L оч /A = 0.44/0.11 = 3.96 час.
12. Среднее число обслуживаемых заявок
.
L обс = ρ Q = 1.56 0.86 = 1.35 ед.
13. Среднее число заявок в системе
.
L CMO = L оч + L обс = 0.44 + 1.35 = 1.79 ед.
13. Среднее время пребывания заявки в СМО
.
T CMO = L CMO /A = 1.79/0.11 = 16.01 час.
Теперь ответим на вопрос: какова должна быть емкость подсобных помещений m 1 , чтобы вероятность обслуживания была бы больше или равна заданной величине, т.е. P обс. > 0.92. Расчет производим исходя из условия:
где 
Для наших данных:
Далее необходимо подобрать такое k (см. п.3 "доля времени простоя каналов"), при котором p отк 0.92.
например, при k = m 1 = 4, p отк = 0.07 или p обс = 0.93.