За эталон потока в моделировании принято брать пуассоновский поток .

Пуассоновский поток - это ординарный поток без последействия.

Как ранее было указано, вероятность того, что за интервал времени (t 0 , t 0 + τ ) произойдет m событий, определяется из закона Пуассона:

где a - параметр Пуассона.

Если λ (t ) = const(t ), то это стационарный поток Пуассона (простейший). В этом случае a = λ · t . Если λ = var(t ), то это нестационарный поток Пуассона .

Для простейшего потока вероятность появления m событий за время τ равна:

Вероятность непоявления (то есть ни одного, m = 0) события за время τ равна:

Рис. 28.2 иллюстрирует зависимость P 0 от времени. Очевидно, что чем больше время наблюдения, тем вероятность непоявления ни одного события меньше. Кроме того, чем более значение λ , тем круче идет график, то есть быстрее убывает вероятность. Это соответствует тому, что если интенсивность появления событий велика, то вероятность непоявления события быстро уменьшается со временем наблюдения.

Вероятность появления хотя бы одного события (P ХБ1С) вычисляется так:

так как P ХБ1С + P 0 = 1 (либо появится хотя бы одно событие, либо не появится ни одного, - другого не дано).

Из графика на рис. 28.3 видно, что вероятность появления хотя бы одного события стремится со временем к единице, то есть при соответствующем длительном наблюдении события таковое обязательно рано или поздно произойдет. Чем дольше мы наблюдаем за событием (чем более t ), тем больше вероятность того, что событие произойдет - график функции монотонно возрастает.

Чем больше интенсивность появления события (чем больше λ ), тем быстрее наступает это событие, и тем быстрее функция стремится к единице. На графике параметр λ представлен крутизной линии (наклон касательной).

Если увеличивать λ , то при наблюдении за событием в течение одного и того же времени τ , вероятность наступления события возрастает (см. рис. 28.4 ). Очевидно, что график исходит из 0, так как если время наблюдения бесконечно мало, то вероятность того, что событие произойдет за это время, ничтожна. И наоборот, если время наблюдения бесконечно велико, то событие обязательно произойдет хотя бы один раз, значит, график стремится к значению вероятности равной 1.

Изучая закон, можно определить, что: m x = 1/λ , σ = 1/λ , то есть для простейшего потока m x = σ . Равенство математического ожидания среднеквадратичному отклонению означает, что данный поток - поток без последействия. Дисперсия (точнее, среднеквадратичное отклонение) такого потока велика. Физически это означает, что время появления события (расстояние между событиями) плохо предсказуемо, случайно, находится в интервале m x – σ < τ j < m x + σ . Хотя ясно, что в среднем оно примерно равно: τ j = m x = T н /N . Событие может появиться в любой момент времени, но в пределах разброса этого момента τ j относительно m x на [–σ ; +σ ] (величину последействия). На рис. 28.5 показаны возможные положения события 2 относительно оси времени при заданном σ . В данном случае говорят, что первое событие не влияет на второе, второе на третье и так далее, то есть последействие отсутствует.

По смыслу P равно r (см. лекцию 23. Моделирование случайного события. Моделирование полной группы несовместных событий), поэтому, выражая τ из формулы (*) , окончательно для определения интервалов между двумя случайными событиями имеем:

τ = –1/λ · Ln(r ) ,

где r - равномерно распределенное от 0 до 1 случайное число, которое берут из ГСЧ, τ - интервал между случайными событиями (случайная величина τ j ).

Пример 1 . Рассмотрим поток изделий, приходящих на технологическую операцию. Изделия приходят случайным образом - в среднем восемь штук за сутки (интенсивность потока λ = 8/24 [ед/час]). Необходимо промоделировать этот процесс в течение T н = 100 часов. m = 1/λ = 24/8 = 3, то есть в среднем одна деталь за три часа. Заметим, что σ = 3. На рис. 28.6 представлен алгоритм, генерирующий поток случайных событий.

На рис. 28.7 показан результат работы алгоритма - моменты времени, когда детали приходили на операцию. Как видно, всего за период T н = 100 производственный узел обработал N = 33 изделия. Если запустить алгоритм снова, то N может оказаться равным, например, 34, 35 или 32. Но в среднем, за K прогонов алгоритма N будет равно 33.33… Если посчитать расстояния между событиями t сi и моментами времени, определяемыми как 3 · i , то в среднем величина будет равна σ = 3.

Этот поток занимает центральное место среди всего многообразия потоков, так же как случайные величины с нормальным законом распределения в прикладной теории вероятностей. Такое положение объясняется тем обстоятельством, что в теории потоков, так же как и в теории случайных величин, имеется предельная теорема , согласно которой сумма большого числа независимых потоков с любым законом распределения приближается к простейшему потоку с ростом числа слагаемых потоков.

Стационарным пуассоновским (простейшим) называется поток, обладающий тремя свойствами:ординарностью ,отсутствием последействия истационарностью .

Распределение событий на малом интервале времени

По определению, интенсивностью потока называется предел
, так как простейший поток стационарен, то для него
.

Стационарность потока и отсутствие последействия исключают зависимость вероятности появления событий на интервале
как от расположения этого интервала на оси времени, так и от событий ему предшествующих. Поэтому
.

Для любого промежутка времени имеем . При устремлении
всеми членами правой части этой формулы, за исключением первого, можно пренебречь, т.к. в силу ординарности потока событий эти величины пренебрежимо малы по сравнению с
:

.

С учетом изложенного преобразуем исходное выражение для интенсивности потока:

.

Отсюда имеем равенство
, т.е. вероятность появления одного события на малом интервале времени пропорциональна этому интервалу с коэффициентом.

Очевидно, что
. Следовательно,
, откуда имеем
- вероятность непоявления ни одного события на малом интервале времени
.

Распределение событий в пуассоновском потоке

Найдем выражение
, где
- вероятность того, что на интервале
произойдетсобытий. Это событие произойдет в одном из двух взаимоисключающих случаях:

По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем вероятность наступления ситуации 1 или 2:

Откуда . Устремив
, получим
.

Определим аналогичное соотношение для
. Чтобы событие на интервале
не наступило ни одного раза, необходимо и достаточно, чтобы оно наступило0 раз в интервалеи0 раз - в
. Вероятность этого события равна. Откуда аналогично получим
.

Таким образом, пуассоновский поток событий описывается системой линейных дифференциальных уравнений

,

с очевидными начальными условиями .

Из первого уравнения получаем
, из начальных условий имеем
, откудас = 1 . Окончательно
.

Таким образом, для пуассоновского потока вероятность
отсутствия событий на любом интервале длинойопределяется экспоненциальной зависимостью. Для решения полной системы уравнений используем преобразование Лапласа. Имеем,

откуда
;
и далее
;
; ...
.

Взяв обратное преобразование Лапласа, с помощью таблиц получим
, т.е. распределение Пуассона.

Таким образом, простейший поток подчиняется закону распределения Пуассона, для которого математическое ожидание и дисперсия соответственно равны
.

Распределение интервалов между событиями

Найдем закон распределения интервалов времени между событиями для простейшего потока. Рассмотрим случайную величину - промежуток времени между двумя произвольными соседними событиями в простейшем потоке. Требуется найти функцию распределения
.

Рассмотрим противоположное событие
. Это вероятность того, что, начиная с некоторого момента появления события, за времяне появится больше ни одного события. Так как поток без последействия, то тот факт, что событие появилось в момент , не должен оказать никакого влияния на поведение потока в дальнейшем. Поэтому вероятность
, откуда
и плотность распределения вероятности
.

Такой закон распределения называется показательным (экспоненциальным) с параметром. Найдем математическое ожидание и дисперсиюэтого процесса:

;

Показательный закон обладает замечательным свойством: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время , то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка
(он будет таким же, как закон распределения промежутка).

Докажем это свойство. Пусть
- вероятность того, что обслуживание, продолжавшееся(с), еще продлится не менее(с): т.е. на интервале времениa + t не произойдет ни одного события. При показательном законе распределения времени обслуживания
.

По теореме о произведении вероятностей событий . При показательном законе;
и, следовательно,
, т.е. при показательном законе времени обслуживания закон распределения оставшейся части времени обслуживания не зависит от того, сколько времени уже длилось обслуживание. Можно доказать, что показательный закон единственный , для которого справедливо это свойство.

Рассмотренное свойство , по существу, представляет другую формулировку свойстваотсутствия последействия .

Эффективность работы АЗС в значительной мере определяется степенью исправности топливораздаточных колонок (ТРК). Предположим, что на ТРК действует пуассоновский поток  

Рассмотрим особенности построения каждого из уровней. Практически наиболее часто входящие потоки требований предполагаются пуассоновскими /47, 70, 74, 80/. Пуассоновские потоки характеризуются стационарностью, ординарностью и отсутствием последействия. Рассмотрим эти свойства.  

В рассматриваемой макромодели входящие потоки требований в общем обладают свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия. Пуассоновский поток полностью описывается одним параметром - интенсивностью потока Я. Приближенная формула для Я имеет вид  

В простейшем случае (пуассоновский поток) вероятность появления требования в любой малый промежуток времени пропорциональна длине этого промежутка и не зависит от того, возникали или нет требования в предшествующие промежутки времени.  

Так как мы рассматриваем однородный пуассоновский поток судов с интенсивностью ц, то совместное выполнение равенств  

Y(t) = k и Y(T-t)= q-k (это следует из отсутствия последействия в пуассоновском потоке). Поэтому  

Поток, получаемый в результате случайного разрежения или объединения пуассоновских потоков, также является пуассоновским.  

Например, при аналитическом описании потока данных это может быть пуассоновский поток требований, обладающий ординарностью, стационарностью и отсутствием последействия. Это может быть поток с равномерным распределением требований. Если распределение задается эмпирическими данными, значения 7i1 7i2,. .., щ могут быть элементами гистограмм и т.п.  

Часто встречаются преобразования, требующие объединения потоков, поступающих по различным входам. В этом случае выходной сигнал может представлять объединение этих потоков в один с другими характеристиками. Например, если по двум входам в блок С поступают пуассоновские требования, то выходной сигнал может представлять собой также пуассоновский поток с параметром, равным сумме параметров исходных потоков.  

Пусть единичные платежи следуют друг за другом через случайные промежутки времени, распределенные по показательному закону с параметром Я > 0 (пуассоновский поток платежей), дифференциальная функция распределения которого имеет вид  

Для нестационарного пуассоновского потока закон распределения промежутка / уже не является показательным, так как зависит от положения на оси Ot и вида зависимости Я(7). Однако для некоторых задач при сравнительно небольших изменениях Я(0 его можно приближенно считать показательным с интенсивностью Я, равной среднему значению Я(0-  

Таким образом, для исследуемой системы S с дискретными состояниями и непрерывным временем переходы из состояния в состояние происходят под действием пуассоновских потоков событий с определенной интенсивностью Я.  

В рассматриваемой модели емкость следует считать ограниченной. Входящий поток требований исходит из ограниченного числа эксплуатируемых машин (N - k), которые в случайные моменты времени выходят из строя и требуют обслуживания. При этом каждая машина из (N - k) находится в эксплуатации. Генерирует пуассоновский поток требований с интенсив-  

Представим автомобиль как некоторую систему S с дискретными состояниями iSj,. 2. .... Sn, которая переходит из состояния S/ в состояние Sj(i - 1, 2,. .., n,j = I, 2,. .., и) под воздействием пуассоновских потоков событий (отказов) с интенсивностями Хд. Будем рассматривать следующие состояния автомобиля, в которых он может находиться в процессе эксплуатации и которые характеризуются целодневными простоями  

Пуассоновский поток событий 53  

Заметим, что, в то время как сам пуассоновский поток k (t) наступлений обстоятельств, влекущих ликвидацию счета вкладчиком, является в рамках нашей модели ненаблюдаемым, вероятность q (tu,t) сохранения счета и ожидаемая продолжительность XI1 = Mt - 10 существования счета могут быть оценены, в принципе, по наблюдаемым статистическим данным. Имея же статистические оценки т - 10 и 4-(tu,t) для величин Мт - 0 и q (t0,t), легко получить оценки Л. =(т. -)" и Х =-(i-t0) ln (0 0 для параметра Л ненаблюдаемого пуассоновского процесса. Оцениваемый таким образом параметр Х имеет смысл ожидаемого числа появлений в единицу времени обстоятельств, влекущих закрытие счета.  

Процесс рождения популяции предпринимателей или новых предпринимателей таким образом можно рассматривать как простейший пуассоновский поток.  

Для простейшего пуассоновского потока вероятность того, что за время г произойдет ровно т событий, равна  

Определение 5.8. Стационарный пуассоновский поток называется простейшим.  

Рассмотрим нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью Mf), некоторый промежуток времени длиной г>0, начинающийся с момента t0 (и заканчивающийся, следовательно, в момент +г) и дискретную случайную величину Х р г) - число событий, наступающих в потоке за промежуток времени от ta до t0+r.  

Следствие 6.1. В нестационарном пуассоновском потоке с интенсивностью A(t) вероятность того, что за промежуток времени от t0 до t0+r  

Определение 6.2. Элементом вероятности появления события в нестационарном пуассоновском потоке называется вероятность >,(АО появления события за элементарный (достаточно малый) промежуток времени от t0 до t0+bt.  

Теорема 6.2. Для элемента вероятности появления события за элементарный промежуток времени от t0 до t0+Af в нестационарном пуассоновском потоке с интенсивностью A(t) имеет место приближенная формула  

Интенсивность нестационарного пуассоновского потока A(t)  

Однако в последние года доказано, "что если на систему обслуживания, состоящую из /7 приборов поступает пуассоновский поток интенсивности /I и длительность обслуживания подчинена совершенно произвольному закону распределения Ц (ЭС), математическое овдание которого I/ с, то для предельных вероятностей Р, сохраняет свою силу формула (36), . Следовательно в стационарном режиме вероятности /. зависят не от особенностей распределения вероятностей длительности обслуживания, а только от средней длительности обслуживания... як  

Рассмотрим решение такой задачи в условиях Нефтекум-ского УБР. Анализ работы службы испытания позволил составить статистические ряды интенсивности сдачи скважин на испытание и продолжительности испытания. Изучение рядов позволило сделать вывод, что поток скважин, поступающих в испытание, является одинарным стационарным потоком без последствия, т. е. обладает свойствами пуассоновского потока. С достаточной степенью точности можно допустить, что время обслуживания распределяется по показательному закону . На основании статистических рядов составлены таблицы распределения интенсивности сдачи скважин на испытание (табл. 36)  

Задача эта формулируется следующим образом поток требований - пуассоновский с интенсивностью Я длительность обслуживания распределена но показательному закону , причем средняя длительность обслуживания iAy. Если число обслуживающих устройств равно п, то при стационарном пуассоновском потоке требований вероятности Pt (t) (вероятности того, что в момент t обслуживанием, заняты I прибороь) близки к их предельным значениям (формула Эрлаша)  

Если объединяются несколько независимых ординарных потоков с сопоставимыми интенсивностями, то с ростом числа слагаемых потоков объединенный поток приближается к простейшему с возможной нестационарностью. Если слагаемые потоки стационарны , то в пределе получается пуассоновский поток. Интенсивность объединенного потока равна сумме интенсивностей каждого из них.  

Каждый из входящих в блок агрегатов является сложной системой , состоящей из большого числа элементов. Отказ каждого из них может привести к утрате способности выполнения поставленной задачи всего агрегата. Поток отказов агрегата во времени образуется в результате наложения множества событий - потоков отказов элементов, входящих в его состав. При решении практической задачи отказы в элементах можно рассматривать как независимые (или слабозависимые) и ординарные события, поэтому для суммарного потока отказов всего агрегата правомерно применение предельной теоремы потоков в теории случайных процессов . Данная теорема определяет условия, при которых сумма независимых (или слабо зависимых) ординарных потоков событий сводится к пуассоновскому распределению числа отказов агрегата на заданном промежутке времени т. Условия состоят в том, что складываемые потоки должны оказывать приблизительно одинаковое влияние на суммарный поток. В инженерной практике рекомендуется считать сумму более 5-7 потоков за пуассоновскии поток, если интенсивности этих потоков имеют одинаковый порядок. Данное утверждение основано на многократных исследованиях, проведенных методом статистических испытаний. Исходя из вышеизложенного, число отказов т каждого агрегата блока КЭС, возникающих за промежуток (/, М-т), имеет распределение вида  

В период нормальной эксплуатации агрегата (на центральном участке) при решении практических задач часто полагают Я,(/)= Я = onst, т.е. принимают модель стационарного пуассоновского потока отказов. При этом формула (2.8.1) принимает вид  

Согласно показателем безотказности блока КЭС принимается средняя наработка на отказ ТНБ, а показателем ремонтопригодности - среднее время восстановления работоспособного состояния после отказа ТВБ- Чтобы получить формулы для расчета этих показателей воспользуемся свойством

• Перевод

Введение

Одним из важнейших процессов, наблюдаемых в природе, является пуассоновский точечный процесс. Поэтому важно понять, как такие процессы можно моделировать. Методы моделирования различаются в зависимости от типа пуассоновского точечного процесса, т. е. пространства, в котором протекает процесс и однородности или неоднородности процесса. Мы не будем заинтересованы развитием пуассоновского точечного потока или с важными приложениями его в различных областях. Чтобы этот материал показался интересным, читателю настоятельно рекомендуется прочитать соответствующие разделы в Феллере (1965) и Синларе (1975) для основной теории и некоторые разделы в Триведи (1982) для приложений в ИТ.

На первом шаге мы определим пуассоновский процесс на = T
UNTIL Ложь (это бесконечный цикл; по желанию можно добавить критерий остановки)

Этот алгоритм просто реализовать, поскольку нет нужды генерировать пуассоновские случайные величины. Для других простых множеств A, существуют тривиальные обобщения теоремы 1.2. Например, когда A=x, где t может равняться бесконечности, 0 < T1 < T2 <… - равномерный пуассоновский процесс с интенсивностью λ и U1,U2,… - последовательность независимых одинаково распределённых равномерно на случайных величин, то (T1,U1),(T2,U2),… определяют пуассоновский процесс с интенсивностью λ на А.

Пример 1.1.

Равномерный пуассоновский процесс на единичной окружности
Если A - окружность с единичным радиусом, то разные свойства равномерного пуассоновского процесса можно использовать, чтобы получить несколько методов генерации (которые обобщаются на d-мерные сферы). Пусть λ - желаемая интенсивность.
Во-первых, мы просто могли бы сгенерировать случайную пуассоновскую величину N с параметром λπ, а затем вернуть последовательность N независимых одинаково распределённых равномерно на единично окружности векторов. Если мы применим метод порядковых статистик, предлагаемый теоремой 1.2, то пуассоновская случайная величина получается неявно. Например, перейдя в полярные координаты (R,φ) заметим, что для равномерного пуассоновского процесса R и φ независимы, и случайная величина R имеет плотность 2r, r меняется от 0 до 1, а φ равномерно распределена на . Таким образом, мы можем поступить следующим образом: Сгенерировать равномерный пуассоновский процесс 0 < φ1 < φ2 <… < φN с параметром интенсивности λ/(2π) на экспоненциальным методом и вернуть (φ1,R1),...,(φN,RN), где Ri - независимые одинаково распределённые случайные величины с плотностью 2r на , которые можно сгенерировать, взяв максимум из двух независимых равномерно распределённых на случайных величин. Особой причины применять эспоненциальный метод к углам нет. Таким же образом мы могли подобрать и радиусы. К сожалению, порядковые радиусы не формируют одномерный равномерный пуассоновский процесс на . Однако, тем не менее они образуют неоднородный пуассоновский процесс, и генерация таких процессов будет рассмотрена в следующем разделе.

Неоднородные пуассоновские процессы

Бывают такие ситуации, когда события происходят в «случайные моменты времени», но некоторые моменты более возможны, чем другие. Это случай прибытий в центры интенсивной терапии, предложений работ в компьютерных центрах и травмы игроков НХЛ. Для этих случаев очень хорошей моделью является модель неоднородного пуассоновского процесса, определённого здесь ради удобства на = T
UNTIL False

Пример 1.2. Однородный пуассоновский процесс

Для особого случая λ(t)=λ, Λ(t)=λt несложно видеть, что InvΛ(E+Λ(T))=T+E/λ, в результате чего мы снова получаем экспоненциальный метод.

Пример 1.3.

Для моделирования утреннего потока автомобилей перед часом пик, мы иногда можем взять λ(t)=t, тогда Λ(t)=t^2/2 и получим шаг

Если функцию интенсивности можно представить в виде суммы функций интенсивности, т. е. ,

0 < T i1 < T i2 <… T in - независимые реализации отдельных неоднородных пуассоновских процессов, то объединённая упорядоченная последовательность образует реализацию неоднородного пуассоновского процесса с функкцией интенсивности λ(t). Это относится к методу композиции, но разница теперь состоит в том, что нам нужны реализации всех компонентов процесса. Декомпозицию можно использовать, когда существует естественное разложение, продиктованное аналитической формой λ(t). Поскольку основная операция в слиянии процессов - взять минимальное значение из n процессов, для больших n преимущество может предоставить хранение моментов времени в куче из n элементов.

В итоге получим метод композиции:

Сгенерировать T,...,T для n пуассоновских процессов и хранить эти значения вместе с индексами соответствующих процессов в таблице
T = 0 (текущее время)
k = 0
REPEAT
Найти минимальный элемент T в таблице и удалить его
k = k + 1
T[k] = T
Сгенерировать T и вставить в таблицу
UNTIL False

Третий общий принцип - это принцип утоньшения (Льюис и Шедлер, 1979). Аналогично тому, что происходит в методе отклонения, предполагаем, что существует лёгкая доминирующая функция интенсивности λ(t) <= μ(t) для любого t.

Тогда идея состоит в том, чтобы сгенерировать однородный Пуассоновский процесс на части положительной полуплоскости между 0 и μ(t), затем рассмотреть однородный пуассоновский процесс под λ и, наконец, вернуть x-компоненты событий в этом процессе. Это требует следующей теоремы.

Теперь рассмотрим метод утоньшения Льюиса и Шедлера:

T = 0
k = 0
REPEAT
Сгенерировать Z, первое событие в неоднородном пуассоновском процессе с функцией интенсивности μ, который происходит после момента времени T. Присвоить T = Z
Сгенерировать равномерно распределённую на случайную величину U
IF U <= λ(Z)/μ(Z)
THEN k = k + 1, X[k] = T
UNTIL False

Утверждается, что последовательность X k так сгенерированная образует неоднородный пуассоновский процесс с функцией интенсивности λ. Заметим, что мы взяли неоднородный процесс 0 < Y1 < Y2 <… с функцией интенсивности μ и убрали некоторые точки. Насколько мы знаем, (Y i ,U i μ(Y i) - однородный пуассоновский процесс с единичной интенсивностью на кривой, если U i независимые одинаково распределённые равномерно на случайные величины в силу теоремы 1.3. Таким образом, подпоследовательность на кривой λ определяет однородный пуассоновский процесс с единичной интенсивностью на этой кривой (часть 3. теоремы 1.3). Наконец, взятие x-координат только этой подпоследовательности даёт нам неоднородный пуассоновский процесс с функцией интенсивности λ.
Неоднородный пуассоноский процесс с функцией интенсивности μ обычно моделируют методом инверсии.

Пример 1.4. Функция с циклической интенсивностью

Следующий пример также принадлежит Льюису и Шедлеру (1979). Рассмотрим функцию с циклической интенсивностью λ(t)= λ(1+cos(t)) с очевидным выбором доминирующей функции μ=2λ.

Тогда алгоритм моделирования примет вид:

T = 0
k = 0
REPEAT
Сгенерировать экспоненциальную случайную величину E c параметром 1
T = T + E/(2λ)
Сгенерировать равномерную на случайную величину U
IF U <= (1+cos(T))/2
THEN k = k + 1, X[k] = T
UNTIL False

Нет нужды говорить о том, что можно использовать здесь теорему о двух милиционерах, чтобы избежать вычисления косинуса в большинстве случаев.

Заключительное слово об эффективности алгоритма, когда моделируется неоднородный пуассоновский процесс на множестве . Среднее число событий, которое необходимо от доминирующего процесса, равно в то время, как среднее число возвращённых случайных величин равно
Отношение средних величин может быть рассмотрено как объективная мера эффективности, сравнимая в духе константы отклонения в стандартном методе отклонения. Заметим, что мы не можем использовать среднюю величину отношения, поскольку она, в общем случае, была бы равна бесконечности в силу положительной вероятности того, что ни одна величина не возвратится.

Пусть в предприятие сервиса через случайные интервалы времени обращаются клиенты, при этом поток заказов однороден (однотипные заказы) и в единицу времени обращается X клиентов. Вероятность прихода клиента не зависит от числа уже обратившихся клиентов, вероятность того, что одновременно обратятся сразу два клиента, мала. Кроме того, число обратившихся клиентов зависит от рассматриваемого интервала времени и не зависит от начала рассмотрения.

Тогда модель математически можно описать следующим образом. Пусть р к (х) означает вероятность прибытия к клиентов в интервале времени длительностью х, p 0 (t ) - вероятность того, что за время (0, /) не будет ни одного клиента, что, согласно (14.2), соответствует вероятности того, что интервал времени до прибытия первого клиента больше, чем t.

Рис. 14.2.

1. Если ijH т2 два неперекрывающихся интервала (рис. 14.2), то предположение о независимости имеет вид:

2. Среднее значение времени между прибытиями клиентов равно

3. Вероятность того, что клиент не придет в течение интервала времени нулевой длительности,

4. Вероятность того, что клиент не придет в течение интервала времени бесконечной длительности,

Такой поток заказов считается простейшим. Поток заказов называется простейшим, или пуассоновским, если он обладает тремя свойствами: стационарен, ординарен и без последействия.

Свойство стационарности к событий потока на любом интервале времени т зависит только от числа к и длительности т.

Свойство ординарности характеризуется тем, что вероятность появления более одного события за малый интервал времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события.

Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления к событий потока на любом интервале времени т не зависит от того, появились или не появились события в моменты, предшествующие началу рассматриваемого интервала.

Пуассоновский поток играет фундаментальную роль в теории систем массового обслуживания, как нормальный процесс в статистике. Большинство других процессов, используемых в системах массового обслуживания, получаются путем модификации пуассоновского.

Рис. 14.3.

Часто на практике трудно установить, обладает ли поток перечисленными выше свойствами. В частности, установлено, что если поток представляет собой сумму (суперпозицию) очень большого числа независимых стационарных потоков, влияние каждого из которых на весь суммарный поток ничтожно мало, то этот суммарный поток при условии его ординарности близок к простейшему. На рис. 14.3 показан пример образования суммарного потока. Указанное свойство сродни центральной предельной теореме нормального распределения.

Рис. 14.4.

Случайный процесс N(t), описывающий такой поток и соответствующий числу прибывших клиентов, является дискретным и в случайные моменты времени может принимать только целочисленные значения. Процесс нестационарный, так как может только возрастать. Реализация процесса показана на рис. 14.4.

В течение малого интервала времени процесс может остаться в том же состоянии или изменить его (увеличить число клиентов на единицу). Другими словами, процесс из состояния Sj может перейти только в состояние $ ,. Пусть вероятность изменения состояния в малом интервале времени dx равна A,dx+o(dx), где А>0. Вероятность сохранения прежнего состояния l-^dx + o(dx). Так как поток ординарен, вероятность смены состояния более одного раза в интервале (/, t+ dx) есть бесконечно малая величина o(dx) высшего порядка по сравнению с dx.

Обозначим вероятность того, что N(t) = n, как р п (х), где x - t-t 0 - интересующий нас интервал времени, т.е. процесс за время х совершил п скачков. Пусть р п (х) зависит только от х и не зависит от начального момента t 0 , от которого отсчитывается х. Поэтому, несмотря на то что процесс нестационарный, случайное число появления запросов на сервис N(t) = п за интервал времени х = t-t Q является постоянной (стационарной) величиной.

Предположим также, что N(t ) не зависит от числа реализаций события, произошедших в любые интервалы времени, предшествующие т, т.е. процесс обладает свойством отсутствия последействия. Вычислим вероятность p n (x + dx) того, что в интервале (x+dx) произойдет п событий.

Очевидно, для того чтобы в интервале (х+dx) произошло п событий, должны совершиться два взаимоисключающих события:

О произошло п событий в интервале х и 0 событий в интервале dx. Вероятность этого в силу независимости равна р п (т)(1 - Xdx);

О произошло п - 1 событий в интервале т и 1 событие в интервале dx. Вероятность этого равна р { (x)A.dx.

Таким образом,

Перенесем в левую часть р п (х) и поделим на dx:

Перейдя к пределу при dx -? 0, получим дифференциальное уравнение:

Рассчитаем вероятность /? 0 (х)того, что на интервале (x+dx) событие не наступит ни разу. Ясно, что для этого событие не должно наступить в интервале х и в интервале dx. Вероятность этого равна /? 0 (х)(1-Ых).

Таким образом,

Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид:

Объединив (14.12) и (14.13) и положив начало рассмотрения процесса с момента^ = 0, а х = t, получим систему дифференциальных уравнений:

Зададимся следующими начальными условиями:

которые означают, что в начальный момент t 0 событие не произошло.

Как видно, уравнения (14.14) и (14.15) являются частным случаем уравнений Колмогорова-Чепмена в дифференциальной форме (13.11) для абсолютных вероятностей и описанный процесс является марковским.

Для нахождения общего решения системы удобно использо-

вать преобразование Лапласа. Пусть p{i) Применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (14.14) системы с учетом начальных условий (14.16), получаем

По теореме о начальном состоянии оригинала

По теореме о конечном состоянии оригинала

Полученные характеристики соответствуют рассматриваемой модели.

Обратное преобразование Лапласа (14.17) будет

Применяя преобразование Лапласа к обеим частям (14.15) с учетом начальных условий (14.16), получаем

Согласно (14.17) и (14.18),

По таблице преобразований Лапласа

Используя (14.20), из (14.19) получаем распределение Пуассона

которое дает вероятность того, что в момент t > 0 система находится в состоянии N(f) = п или что за время произойдет п изменений.

Рис. 14.5. Независимые пуассоновские процессы Хт { и Хх 2

Таким образом, число событий внутри фиксированного интервала в пуассоновском потоке распределено по закону Пуассона. При этом число событий N(t { ,t 2) и N{t 3 ,t 4) на неперекрываю- щихся интервалахT t = t 2 -1 { и т 2 = t 4 -1 3 , где t { независимы (рис. 14.5).

На рис. 14.6 показаны плотности вероятности прибытия 0,1,2, 3, 4 клиентов при поступлении их по пуассоновскому закону для интенсивностей X = 0,5 (рис. 14.6, а) и X = 1 (рис. 14.6, б). Как видно, с ростом интенсивности повышается вероятность прибытия клиентов в первые моменты времени.

Вероятность того, что за время t поступит не более п заказов, определяется функцией распределения

Рис. 14.6. Плотность вероятности Пуассона при X = 0,5 (а) и А. = 1 (б) 1-р(0У, 2-р{) 3-р(2У, 4-р(3);5-р(4)

Согласно (11.41), производящая функция для распределения Пуассона (14.21) по дискретному значению п

(14.23)

Математическое ожидание числа прибывших клиентов, распределенных по Пуассону, в соответствии с (11.43)

Таким образом, среднее число событий N(t) в интервале / равно U.

Дисперсия, характеризующая рассеивание числа заказов в интервале /, согласно (11.44),

Как видно, дисперсия простейшего потока равна математическому ожиданию. Данное свойство может служить критерием соответствия потока заказов простейшему.

Формула Пуассона (14.21) отражает все свойства простейшего потока. В самом деле, из формулы видно, что вероятность появления п событий за время t при заданной интенсивности А, является функцией только /, что характеризует свойство стационарности. В формуле не используется информация о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка, что характеризует свойство отсутствия последействия. Если и т 2 два неперекрывающихся интервала времени, то свойство независимости имеет место, так как

Вероятность появления более одного события за малый интервал времени р (/) = (А,/) 2 /2!. Эта вероятность пренебрежимо мала

по сравнению с вероятностью наступления одного события, равной АЛ, что характеризует свойство ординарности потока.

Найдем далее для пуассоновского процесса распределение вероятностей интервалов между двумя последовательными событиями. Пусть случайная величина Т характеризует длину этих интервалов. Обозначим через F{x) функцию распределения этой случайной величины. По определению, F(x) - это вероятность того, что Т Вероятность того, что в интервале времени не произошло событие, если оно произошло в момент t 0 , равна безусловной вероятности

т.е.

Следовательно, функция распределения длины интервала между двумя последовательными событиями имеет вид показательного закона:

Продифференцировав (14.25), получим соответствующую плотность вероятности интервала между двумя событиями:

С учетом (14.26) и (14.24) вероятность того, что заказ появится внутри интервала (x,T+dx), можно записать как

т.е. вероятность поступления заказа внутри интервала (x,T + dx) равна A,dx, не зависит от х и пропорциональна dx. Величина X называется параметром показательного закона. Поскольку X не зависит от длительности интервала х, экспоненциальное распределение не имеет памяти и не имеет возраста (см. рис. 10.7).

Таким образом, для простейшего потока с интенсивностью X случайная величина Т, представляющая интервал между соседними заказами (событиями), имеет экспоненциальное распределение с функцией распределения (14.25) и плотностью распределения (14.26). Если время между прибытиями клиентов имеет экспоненциальное распределение со средним значением Т, тогда случайная переменная N(t), представляющая число клиентов, прибывших в фиксированный интервал , имеет пуассоновское распределение с параметром Xt, где Х=/Т. В силу марковости процесса интервалы между событиями взаимно независимы. Отсюда процесс, у которого интервалы между событиями взаимно независимы и подчинены показательному закону, является пуассоновским процессом.

В соответствии с разностными уравнениями (14.11) можно изобразить граф пуассоновского процесса (рис. 14.7). Вершины графа обозначают состояния системы, которые для пуассоновского потока клиентов соответствуют числу поступивших клиентов. Над дугами показаны вероятности перехода.

Рис. 14.7.

При большом промежутке времени вероятность перехода в соседнее состояние стремится к единице, а вероятность остаться в том же состоянии - к нулю и граф на рис. 14.7 преобразуется в граф на рис. 14.8. Над дугами графа показана интенсивность, с которой осуществляются переходы. Время нахождения процесса в состоянии случайно и распределено по экспоненциальному закону с математическим ожиданием /Х. В среднем через время 1Д система переходит в следующее состояние, что соответствует поступлению очередного клиента. Так как процесс ординарен, переход возможен только в соседние состояния. Передаточная функция дуги соответствует преобразованию Лапласа экспоненциального распределения (10.47).