Имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью. Она характеризуется следующими показателями :

Предельные вероятности:

, , . . . , , ,…, ,… (10)

Вероятность того, что заявка окажется в очереди:

(11)

(13)

Среднее время нахождения в очереди:

(15)

Среднее время нахождения заявки в очереди:

Рассмотрим пример решения задачи многоканальной СМО с ожиданием.

Задача . В магазине к кассам поступает поток покупателей с интенсивностью 81 человек в час. Средняя продолжительность обслуживания кассиром одного покупателя tобсл = 2 мин. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания узла расчета.

По условию λ=81(чел./час)= 81/60=1,35 (чел./мин.). По формулам (1, 2):

= λ/μ= λ * tобсл = 1,35 * 2 = 2,7

<1, т.е. при n > = 2,7. Таким образом, минимальное количество кассиров n =3.

Найдем характеристики обслуживания СМО при n=3.

Вероятность того, что в кассах отсутствуют покупатели, по формуле (9):

= (1+2,7+2,7 /2!+2,7 /3!+2,7 /3!(3-2,7)) = 0,025

В среднем 2,5 % времени кассиры будут простаивать.

Вероятность того, что в кассах будет очередь, определим по формуле (11):

P = (2,7 /3!(3-2,7))0,025 = 0,735

Среднее число покупателей, находящихся в очереди рассчитывается по формуле (13):

L = (2,7 /(3*3!(1-2,7/3) ))*0,025 = 7,35 (чел.)

T =7,35/1,35 = 5,44 (мин.)

Определим среднее число покупателей в кассах по формуле (15):

L =7,35+2,7=10,05 (чел.)

Среднее время нахождения покупателей в кассах находится по формуле (16):

T =10,05/1,35=7,44 (мин)

Среднее число кассиров, занятых обслуживанием покупателей, по формуле (12) =2,7.

Коэффициент (доля) занятых обслуживанием кассиров вычисляется по следующей формуле:

Абсолютная пропускная способность узла расчета A=1,35 (чел./мин), или 81 (чел./час), т.е. 81 покупатель в час. Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке касс при наличии трех кассиров.

Системы массового обслуживания с ограниченной очередью

Имеется n-канальная СМО с ограниченной очередью. Число заявок в очереди ограничено числом m. Если заявка поступает в момент, когда в очереди уже m заявок, она не обслуживается. Такая СМО характеризуется следующими показателями :

Предельные вероятности:

(17)

, , . . . , , ,…, (18)

Вероятность отказа:

(19)

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число занятых каналов:

Среднее число заявок в очереди:

(23)

Среднее число заявок в системе:

Пример оптимизации СМО

Показатели работы системы массового обслуживания могут использоваться для решения оптимизационных задач.

Задача.

Определить оптимальное количество причалов в порту с минимальными затратами, если известно, что за год было обслужено 270 судов. Разгрузка одного судна длится в среднем 12 часов. Пеня за простой судна в порту составляет 100 тыс.р./сут.. Затраты на причал 150 тыс.р./сут. Расчеты приведены в таблице.

Решение.

По условию

λ=270(судов/год)=270/360=0,75(судов/сут.),

tобсл=12ч=12/24=0,5 сут.

По формулам (1, 2):

= λ/μ= λ * tобсл = 0,75 * 0,5 = 1,5

Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии /n <1, т.е. при n > = 1,5. Таким образом, минимальное количество причалов n =2.

Найдем характеристики обслуживания СМО порта при количестве причалов n=2.

Вероятность того, что в порту отсутствуют суда, вычислим по формуле (9):

В среднем 1,4 % времени причалы будут простаивать.

Среднее число судов, находящихся в очереди рассчитывается по формуле (13):

Среднее время ожидания в очереди вычисляется по формуле (14):

T =1,93/0,75 = 2,57 (сут.)

Определим среднее число судов в порту по формуле (15):

L =1,93+1,5=3,43 (судна)

Среднее время нахождения судов в порту находится по формуле (16):

T =3,43 /0,75 =4,57 (сут)

Среднее число занятых причалов (12) =1,5.

Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке порта при наличии двух причалов.

Найдем суммарную пеню за простой судов в порту в сутки. Для этого перемножим пеню за простой судна в порту и среднее число судов в очереди:

= * L .

Определим затраты по обслуживанию причалов в сутки: = *n.

Для двух причалов в сутки

Суммарные затраты составят: С= + =193+300=493(ден.ед.)

Суммарные затраты по условию задачи должны быть минимальны.

Рассчитаем суммарные затраты для количества причалов n = 2, 3, 4. Расчеты приведены в таблице. Как видно из таблицы, минимальные затраты достигаются при n = 3. Следовательно, для минимизации затрат необходимо 3 причала.

Таблица 1.- Расчет оптимального числа причалов

Показатель	Количество причалов
Интенсивность потока судов	0,75	0,75	0,75
Интенсивность обслуживания судов	0,5	0,5	0,5
Интенсивность нагрузки причала	1,5	1,5	1,5
Вероятность, что все причалы свободны	0,14	0,21	0,22
Среднее число судов в очереди	1,93	0,24	0,04
Среднее время пребывания судна в очереди, сут.	2,57	0,32	0,06
Среднее число судов в порту	3,43	1,74	1,54
Среднее время пребывания судна в порту, сут	4,57	2,32	2,06
Пеня за простой судна в порту, ден.ед./сут. ()	100,00	100,00	100,00
Затраты по обслуживанию причала в сутки, ден.ед./сут. ()	150,00	150,00	150,00
Суммарная пеня за простой судов в порту в сутки, ден.ед. ()	192,86	23,68	4,48
Суммарные затраты по обслуживанию причалов в сутки, ден.ед. ()	300,00	450,00	600,00
Суммарные затраты, ден.ед.(С)	492,86	473,68	604,48

Варианты заданий

Таблица 2 - Варианты заданий

Номер варианта
Задача
Номер варианта
Задача

1. В парикмахерской в зависимости от сложности стрижки, мастер выполняет работу в среднем за 30 мин. Посетители приходят в среднем через 25 мин. За каждый час работы мастер зарабатывает 300 ден.ед.. Очередь ограничена до 4 человек. Если в очереди больше 4 человек, клиент уходит, и потери за час составляют 150 ден.ед. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить оптимальное количество мастеров.

2. Автомобили подъезжают на АЗС со средней частотой 2 автомобиля за 5 минут. Заправка автомобиля в среднем длится 3 минуты. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить количество колонок, чтобы средняя длина очереди не превышала 3 авт.

3. Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин. На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 30 минут. На осмотр поступает в среднем 36 машин в сутки. Если машина, прибывшая в пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт осмотра не обслуженной. Определить вероятности состояний и характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра. Определить количество каналов, чтобы относительная пропускная способность была не меньше 0,8.

4. В срочной мастерской по починке обуви в зависимости от сложности ремонта мастеру требуется в среднем 15 мин. Посетители приходят в среднем через каждые 14 мин. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить количество мастеров, чтобы средняя длина очереди не превышала 5 заказов.

5. В справочной оператор дает справку в среднем за 4 мин. Звонки поступают каждые 3мин. Если операторы заняты, то звонок не обслуживается. Определить вероятности состояний и характеристики обслуживания справочной. Определить количество каналов, чтобы относительная пропускная способность была не меньше 0,75.

6. В зависимости от количества продуктов у покупателя кассиру в магазине требуется в среднем на один чек 2 мин. Покупатели подходят к кассе с интенсивностью 81 человек/час. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить количество кассиров, чтобы средняя длина очереди не превышала 4 покупателей.

7. Диспетчеру в АТП в зависимости от типа автомобиля требуется в среднем на выдачу одного маршрутного листа 20 минут. Заявки на автомобили поступают в среднем через каждые 30 минут. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить количество диспетчеров, чтобы средняя длина очереди не превышала 2 заявок.

8. Требуется оценить работу АТС. Если все линий связи заняты, то абонент выбывает из системы. Звонки поступают с интенсивностью 2 вызов/мин.. Продолжительность разговоров распределена экспоненциально, и в среднем равна 1,5 мин. Определить предельные вероятности и показатели эффективности системы. Определить количество операторов, чтобы относительная пропускная способность АТС была не меньше 0,9.

9. В банке в зависимости от сложности запроса клиента кассиру требуется в среднем 10 минут. Клиенты подходят к нему в среднем через каждые 12 минут. Кассир зарабатывает 15000 ден.ед. за месяц. Очередь ограничена до 6 человек. Если в очереди больше 6 человек, клиент уходит, и потери за час составляют 200 ден.ед. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить оптимальное количество кассиров.

10. В среднем на одну транзакцию у банкомата уходит 2 минуты. Клиенты подходят к нему в среднем через каждые 20 минут. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить количество банкоматов, чтобы средняя длина очереди не превышала 2 человек.

11. В магазине продавцу в зависимости от покупателя требуется в среднем на одну покупку 10 мин. Покупатели подходят к нему в среднем через каждые 5 мин. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить количество продавцов, чтобы средняя длина очереди не превышала 5 человек.

12. В отделе заказов мебельной фабрики менеджеру по продажам в зависимости от заказа клиента требуется в среднем на оформление одного заказа 25 минут. Клиенты приходят в среднем через каждые 30 минут. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить количество менеджеров, чтобы средняя длина очереди не превышала 3 человек.

Порядок выполнения работы

1.Рассчитайте в системе Excel показатели системы массового обслуживания по формулам, приведенным в методичке. Количество каналов обслуживания n=1, 2, 3...k перебирается для нахождения оптимального значения по варианту. Предполагается, что входные потоки и обслуживание соответствуют пуассоновскому распределению.

2.Проведите анализ полученных результатов.

3.Составьте отчет.

1) Цель работы;

2) постановка задачи;

3) результаты расчетов, проведенных в Excel;

4) выводы по выполнению работы.

Контрольные вопросы

1. Что включает в себя понятие система массового обслуживания?

2. Какие существуют виды систем массового обслуживания?

3. Что относится к основным характеристикам и показателям эффективности систем массового обслуживания?

4. Укажите основные свойства (характеристики) входящего потока требований?

5. Перечислите основные особенности и характеристики систем массового обслуживания с ожиданием?

6. Каковы основные характеристики СМО с отказами?

7. Приведите примеры различных видов СМО?

Библиографический список

1. Афанасьев М.Ю. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения. / М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов.- М.:ИНФРА, 2003.-444с.

2. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, приниципы, методология./ Е.С. Вентцель.-М.: Высшая школа, 2001.-208с.

3. Зайченко Ю.П. Исследование операций./ Ю.П. Зайченко.- К.: Вища школа, 1975.-320с.

4. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций. / П.В. Конюховский.- СПб.: Питер, 2001.-192с.

5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Исследование операций в экономике./ Н.Ш. Кремер, Б.А. Бутко, И.М. Тришин.- М.:Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.-407с.

1. Кудрявцев Е.М. GPSS World.Основы имитационного моделирования различных систем.- М.: ДМК Пресс, 2004.- 320 с.

2. Советов В.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. - М.: Высшая школа, 1985

3. Советов В.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: курсовое проектирование. - М.: Высшая школа, 1989

Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью

Пусть на вход СМО, имеющей каналов обслуживания, поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью. Интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна, а максимальное число мест в очереди равно.

Граф такой системы представлен на рисунке 7.

Рисунок 7 - Граф состояний многоканальной СМО с ограниченной очередью

Все каналы свободны, очереди нет;

Заняты l каналов (l = 1, n), очереди нет;

Заняты все n каналов, в очереди находится i заявок (i = 1, m).

Сравнение графов на рисунке 2 и рисунке 7 показывает, что последняя система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):

Выражения для финальных вероятностей легко найти из формул (4) и (5). В результате получим:

Образование очереди происходит, когда в момент поступления в СМО очередной заявки все каналы заняты, т.е. в системе находятся либо n, либо (n+1),…, либо (n + m - 1) заявок. Т.к. эти события несовместны, то вероятность образования очереди p оч равна сумме соответствующих вероятностей:

Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е.:

Относительная пропускная способность равна:

Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется по формуле (11) и может быть записано в виде:

Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, может быть записано в виде:

Среднее число заявок, находящихся в СМО:

Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди определяется формулами (12) и (13).

Многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью

Граф такой СМО изображен на рисунке 8 и получается из графа на рисунке 7 при.

Рисунок 8 - Граф состояний многоканальной СМО с неограниченной очередью

Формулы для финальных вероятностей можно получить из формул для n-канальной СМО с ограниченной очередью при. При этом следует иметь в виду, что при вероятность р 0 = р 1 =…= p n = 0, т.е. очередь неограниченно возрастает. Следовательно, этот случай практического интереса не представляет и ниже рассматривается лишь случай. При из (26) получим:

Формулы для остальных вероятностей имеют тот же вид, что и для СМО с ограниченной очередью:

Из (27) получим выражение для вероятности образования очереди заявок:

Поскольку очередь не ограничена, то вероятность отказа в обслуживании заявки:

Абсолютная пропускная способность:

Из формулы (28) при получим выражение для среднего числа заявок в очереди:

Среднее число обслуживаемых заявок определяется формулой:

Среднее время пребывания в СМО и в очереди определяется формулами (12) и (13).

Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди

Отличие такой СМО от СМО, рассмотренной в подразделе 5.5, состоит в том, что время ожидания обслуживания, когда заявка находится в очереди, считается случайной величиной, распределённой по показательному закону с параметром, где - среднее время ожидания заявки в очереди, а - имеет смысл интенсивности потока ухода заявок из очереди. Граф такой СМО изображён на рисунке 9.

Рисунок 9 - Граф многоканальной СМО с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди

Остальные обозначения имеют здесь тот же смысл, что и в подразделе.

Сравнение графов на рис. 3 и 9 показывает, что последняя система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):

Выражения для финальных вероятностей легко найти из формул (4) и (5) с учетом (29). В результате получим:

где. Вероятность образования очереди определяется формулой:

Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е. вероятность отказа в обслуживании:

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число заявок, находящихся в очереди, находится по формуле (11) и равно:

Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, находится по формуле (10) и равно:

Рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания с ожиданием.

Будем предполагать, что входящий поток заявок на обслуживание есть простейший поток с интенсивностью λ.

Интенсивность потока обслуживания равна μ. Длительность обслуживания – случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий.

Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Будем считать, что размер очереди ограничен и не может вместить более m заявок, т.е. заявка, заставшая в момент своего прихода в СМО m +1 заявок (m ожидающих в очереди и одну, находящуюся на обслуживании), покидает СМО.

Система уравнений, описывающих процесс в этой системе, имеет решение:

(0‑1)

Знаменатель первого выражения представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем ρ, откуда получаем

При ρ = 1 можно прибегнуть к прямому подсчету

(0‑8)

Среднее число находящихся в системе заявок.

Поскольку среднее число находящихся в системе заявок

(0‑9)

где - среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, то зная остается найти . Т.к. канал один, то число обслуживаемых заявок может равняться либо 0, либо 1 с вероятностями P 0 и P 1=1- P 0 соответственно, откуда

(0‑10)

и среднее число находящихся в системе заявок равно

(0‑11)

Среднее время ожидания заявки в очереди .

(0‑12)

т.е., среднее время ожидания заявки в очереди равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

Среднее время пребывания заявки в системе.

Время пребывания заявки в системе складывается из времени ожидания заявки в очереди и времени обслуживания. Если загрузка системы составляет 100%, то =1/μ, в противном случае = q / μ . Отсюда

(0‑13)

Содержание работы .

Подготовка инструментария эксперимента .

Выполняется аналогично в соответствии с общими правилами.

Расчет на аналитической модели .

1. В приложение Microsoft Excel подготовьте таблицу следующего вида.

2. В столбцах для параметров СМО таблицы запишите исходные данные, которые определяются по правилу:

m=1,2,3

(максимальная длина очереди).

Для каждого значения m необходимо найти теоретические и экспериментальные значения показателей СМО для таких пар значений:

= <порядковый номер в списке группы>

3. В столбцы с показателями аналитической модели впишите соответствующие формулы.

Эксперимент на имитационной модели .

1. Установите режим запусков с экспоненциально распределенным временем обслуживания, задав значение соответствующего параметра равным 1.

2. Для каждой комбинации m , и осуществите запуск модели.

3. Результаты запусков внесите в таблицу.

4. Внесите в соответствующие столбцы таблицы формулы для расчета среднего значения показателя P отк , q и А.

Анализ результатов .

1. Проанализируйте результаты, полученные теоретическим и экспериментальным способами, сравнив результаты между собой.

2. Для m=3 постройте на одной диаграмме графики зависимости P отк от на теоретически и экспериментально полученных данных.

Оптимизация параметров СМО .

Решите задачу оптимизации размера числа мест в очереди m для прибора со средним временем обслуживания = с точки зрения получения максимальной прибыли. В качестве условий задачи возьмите:

- доход от обслуживания одной заявки равным 80 у.е./час,

- стоимость содержания одного прибора равным 1у.е./час.

1. Для расчетов целесообразно создать таблицу:

Первый столбец заполняется значениями чисел натурального ряда (1,2,3…).

Все клетки второго и третьего столбцов заполняются значениями и.

В клетки столбцов с четвертого по девятый переносятся формулы для столбцов таблицы раздела 0.

В столбцы с исходными данными разделов Доход, Расход, Прибыль внесите значения (см. выше).

В столбцах с вычисляемыми значениями разделов Доход, Расход, Прибыль запишите расчетные формулы:

- число заявок в единицу времени

N r =A

- суммарный доход в единицу времени

I S = I r *N r

- суммарный расход в единицу времени

E S =E s + E q *(n-1)

- прибыль в единицу времени

P = I S - E S

где

I r - доход от одной заявки ,

E s - расход на эксплуатацию одного прибора ,

E q - расход на эксплуатацию одного места в очереди .

Графики для P отк ,

- таблицу с данными для нахождения наилучшего m и значение m опт,

- график зависимости прибыли в единицу времени от m .

Контрольные вопросы :

1) Дайте краткое описание одноканальной модели СМО с ограниченной очередью.

2) Какими показателями характеризуется функционирование одноканальной СМО с отказами?

3) Как рассчитывается вероятность p 0 ?

4) Как рассчитываются вероятности p i ?

5) Как найти вероятность отказа обслуживания заявки?

6) Как найти относительную пропускную способность?

7) Чему равна абсолютная пропускная способность?

8) Как подсчитывается среднее число заявок в системе?

9) Приведите примеры СМО с ограниченной очередью.

Задачи .

1) Порт имеет один грузовой причал для разгрузки судов. Интенсивность потока составляет 0,5 заходов в сутки. Среднее время разгрузки одного судна 2 суток. Если в очереди на разгрузку стоят 3 судна, то приходящее судно направляется для разгрузки на другой причал. Найти показатели эффективности работы причала.

2) В справочную железнодорожного вокзала поступают телефонные запросы с интенсивностью 80 заявок в час. Оператор справочной отвечает на поступивший звонок в среднем 0,7 мин. Если оператор занят, клиенту выдается сообщение "Ждите ответа", запрос становится в очередь, длина которой не превышает 4 запросов. Дайте оценку работы справочной и вариант ее реорганизации

На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов; телефон-автомат с одной будкой; ЭВМ, выполняющая заказы пользователей). В теории массового обслуживания одноканальные СМО с очередью также занимают особое место (именно к таким СМО относится большинство полученных до сих пор аналитических формул для немарковских систем). Поэтому мы уделим одноканальной СМО с очередью особое внимание.

Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). На эту СМО поступает поток заявок с интенсивностью X; поток обслуживаний имеет интенсивность, обратную среднему времени обслуживания заявки Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

Среднее число заявок в системе,

Среднее время пребывания заявки в системе,

Среднее число заявок в очереди,

Среднее время пребывания заявки в очереди,

Вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Что касается абсолютной пропускной способности А и относительной Q, то вычислять их нет надобности: в силу того, что очередь неограниченна, каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому по той же причина

Решение. Состояния системы, как и раньше, будем нумеровать по числу заявок, находящихся в СМО:

Канал свободен,

Канал занят (обслуживает заявку), очереди нет,

Канал занят, одна заявка стоит в очереди,

Канал занят, заявок стоят в очереди,

Теоретически число состояний ничем не ограничено (бесконечно). Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 20.2. Это - схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью А переводит систему слева направо, а справа налево - поток обслуживаний с интенсивностью

Прежде всего спросим себя, а существуют ли в этом случае финальные вероятности? Ведь число состояний системы бесконечно, и, в принципе, при очередь может неограниченно возрастать! Да, так оно и есть: финальные вероятности для такой СМО существуют не всегда, а только когда система не перегружена. Можно доказать, что если строго меньше единицы то финальные вероятности существуют, а при очередь при растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так.

При СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы чуточку случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

Но вернемся к нашей одноканальной СМО с неограниченной очередью. Строго говоря, формулы для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения выводились нами только для случая конечного числа состояний, но позволим себе вольность - воспользуемся ими и для бесконечного числа состояний. Подсчитаем финальные вероятности состояний по формулам (19.8), (19.7). В нашем случае число слагаемых в формуле (19.8) будет бесконечным. Получим выражение для

Ряд в формуле (20.11) представляет собой геометрическую прогрессию. Мы знаем, что при ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем . При ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний существуют только при ). Теперь предположим, что это условие выполнено, и Суммируя прогрессию в (20.11), имеем

(20.12)

Вероятности найдутся по формулам:

откуда, с учетом (20.12), найдем окончательно:

Как видно, вероятности образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Как это ни странно, максимальная из них - вероятность того, что канал будет вообще свободен. Как бы ни была нагружена система с очередью, если только она вообще справляется с потоком заявок самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Найдем среднее число заявок в СМО . Тут придется немного повозиться. Случайная величина Z - число заявок в системе - имеет возможные значения с вероятностями

Ее математическое ожидание равно

(20.14)

(сумма берется не от 0 до а от 1 до так как нулевой член равен нулю).

Подставим в формулу (20.14) выражение для

Теперь вынесем за знак суммы :

Тут мы опять применим «маленькую хитрость»: есть не что иное, как производная пор от выражения значит,

Меняя местами операции дифференцирования и суммирования, получим:

Но сумма в формуле (20.15) есть не что иное, как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем ; эта сумма равна а ее производная . Подставляя это выражение в (20.15), получим:

(20.16)

Ну, а теперь применим формулу Литтла (19.12) и наймем среднее время пребывания заявки в системе:

Найдем среднее число заявок в очереди Будем рассуждать так: число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус чйсло заявок, находящихся под обслуживанием. Значит (по правилу сложения математических ожиданий), среднее число заявок в очереди равно среднему числу заявок в системе минус среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием может быть либо нулем (если канал свободен), либо единицей (если он занят). Математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что канал занят (мы ее обозначили ). Очевидно, равно единице минус вероятность того, что канал свободен;

Следовательно, среднее число заявок под обслуживанием равно

На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов; телефон-автомат с одной будкой; ЭВМ, выполняющая заказы пользователей). В теории массового обслуживания одноканальные СМО с очередью также занимают особое место (именно к таким СМО относится большинство полученных до сих пор аналитических формул для немарковских систем). Поэтому мы уделим одноканальной СМО с очередью особое внимание.

Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). На эту СМО поступает поток заявок с интенсивностью λ; поток обслуживаний имеет интенсивность μ, обратную среднему времени обслуживания заявки tоб. Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

Lсист - среднее число заявок в системе,

Wсист - среднее время пребывания заявки в системе,

Lоч - среднее число заявок в очереди,

Woч - среднее время пребывания заявки в очереди,

Рзан - вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Что касается абсолютной пропускной способности А и относительной Q, то вычислять их нет надобности: в силу того, что очередь неограниченна, каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому А=λ, по той же причине Q = 1.

Решение. Состояния системы, как и раньше, будем нумеровать по числу заявок, находящихся в СМО:

S0 - канал свободен,

S1 - канал занят (обслуживает заявку), очереди нет,

S2 - канал занят, одна заявка стоит в очереди,

Sk - канал занят, k - 1 заявок стоят в очереди.

Теоретически число состояний ничем не ограничено (бесконечно). Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 4.11. Это - схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью λ переводит систему слева направо, а справа налево - поток обслуживаний с интенсивностью μ.

Рис. 4.11. Граф состояний СМО в виде схемы гибели и размножения с бесконечным числом состояний

Прежде всего, спросим себя, а существуют ли в этом случае финальные вероятности? Ведь число состояний системы бесконечно, и, в принципе, при t→∞ очередь может неограниченно возрастать! Да, так оно и есть: финальные вероятности для такой СМО существуют не всегда, а только когда система не перегружена. Можно доказать, что если р строго меньше единицы (р<1), то финальные вероятности существуют, а при р ≥ 1 очередь при t →∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при р = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При р = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы немного случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

Но вернемся к нашей одноканальной СМО с неограниченной очередью. Строго говоря, формулы для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения выводились нами только для случая конечного числа состояний, но воспользуемся ими и для бесконечного числа состояний. Подсчитаем финальные вероятности состояний по формулам (4.21), (4.20). В нашем случае число слагаемых в формуле (4.21) будет бесконечным. Получим выражение для р0:

откуда

Вероятности р1, р2, ..., рk, ... найдутся по формулам:

откуда, с учетом (4.38), найдем окончательно:

p 1 = ρ(1 - ρ), = ρ2(1- ρ), . . ., pk = ρ4(1- ρ), . . . (4.39)

Как видно, вероятности р0, р1, ..., pk, ... образуют геометрическую прогрессию со знаменателем р. Как это ни странно, максимальная из них р0 - вероятность того, что канал будет вообще свободен. Как бы ни была нагружена система с очередью, если только она вообще справляется с потоком заявок (р <1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Найдем среднее число заявок в СМО Lсист. Случайная величина Z - число заявок в системе - имеет возможные значения 0, 1, 2, ..., k, ... с вероятностями р0, р1, p2, ..., рk, ... Ее математическое ожидание равно

(сумма берется не от 0 до ∞, а от 1 до ∞, так как нулевой член равен нулю).

Подставим в формулу (4.40) выражение для рk (4.39):

Теперь вынесем за знак суммы р (1 - р):

Тут мы опять применим «маленькую хитрость»: kpk-1 есть не что иное, как производная по р от выражения рk; значит,

Меняя местами операции дифференцирования и суммирования, получим:

Ну, а теперь применим формулу Литтла (4.25) и найдем среднее время пребывания заявки в системе:

Найдем среднее число заявок в очереди Lоч. Будем рассуждать так: число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус число заявок, находящихся под обслуживанием. Значит (по правилу сложения математических ожиданий), среднее число заявок в очереди Lоч равно среднему числу заявок в системе Lсист минус среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием может быть либо нулем (если канал свободен), либо единицей (если он занят). Математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что канал занят (мы ее обозначили Рзан). Очевидно, Рзан равно единице минус вероятность р0 того, что канал свободен:

и окончательно

Таким образом, все характеристики эффективности СМО найдены.

Предложим читателю самостоятельно решить пример: одноканальная СМО представляет собой железнодорожную сортировочную станцию, на которую поступает простейший поток составов с интенсивностью λ = 2 (состава в час). Обслуживание (расформирование) состава длится случайное (показательное) время со средним значением tоб = 20 (мин.). В парке прибытия станции имеются два пути, на которых могут ожидать обслуживания прибывающие составы; если оба пути заняты, составы вынуждены ждать на внешних путях. Требуется найти (для предельного, стационарного режима работы станции): среднее число составов Lсист, связанных со станцией, среднее время Wсист пребывания состава при станции (на внутренних путях, на внешних путях и под обслуживанием), среднее число Lоч составов, ожидающих очереди на расформирование (все равно, на каких путях), среднее время Wоч пребывания состава на очереди. Кроме того, попытайтесь найти среднее число составов, ожидающих расформирования на внешних путях Lвнеш и среднее время этого ожидания Wвнеш (две последние величины связаны формулой Литтла). Наконец, найдите суммарный суточный штраф Ш, который придется заплатить станции за простои составов на внешних путях, если за один час простоя одного состава станция платит штраф а (руб.). На всякий случай сообщаем ответы: Lcист = 2 (состава), Wсист = i (час), Lоч = 4/3 (состава), Wоч = 2/3 (часа), Lвнеш = 16/27 (состава), Wвнеш = 8/27 ≈ 0,297 (часа). Средний суточный штраф Ш за ожидание составов на внешних путях получим, перемножая среднее число составов, прибывающих на станцию за сутки, среднее время ожидания состава на внешних путях и часовой штраф а: Ш ≈ 14,2а.