Временной ряд (ряд динамики) – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

факторы, формирующие тенденцию ряда;

факторы, формирующие циклические колебания ряда;

случайные факторы.

При различных сочетаниях в изучаемом явлении или процессе этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы.

Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию.

Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а также с фазой бизнес-цикла, в которой н
аходится экономика страны.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты.

Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

§ 5.2. Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда .

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Рассмотрим пример.

Пример 1. Расчет коэффициентов автокорреляции уровней для временного ряда расходов на конечное потребление .

Пусть имеются следующие условные данные о средних расходах на конечное потребление (, д. е.) за 8 лет (таблица 1).

Таблица 1

Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда расходов на конечное потребление, д. е.

Разумно предположить, что расходы на конечное потребление в текущем году зависят от расходов на конечное потребление предыдущих лет.

Определим коэффициент корреляции между рядами и
и измерим тесноту связи между расходами на конечное потребление текущего и предыдущего годов. Добавим в табл. 1 временной ряд
.

Одна из рабочих формул для расчета коэффициента корреляции имеет вид:

.

В качестве переменной мы рассмотрим ряд
, в качестве переменной– ряд
. Тогда приведенная выше формула примет вид

,

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка , так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и
, т. е. при лаге 1.

Для данных примера 1 соотношения (2) составят:

Используя формулу (1), получаем коэффициент автокорреляции первого порядка:

.

Полученное значение свидетельствует об очень тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущего и непосредственно предшествующего годов и, следовательно, о наличии во временном ряде расходов на конечное потребление сильной линейной тенденции.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и
и определяется по формуле

,

,

Для данных из примера 1 получим:

Построим табл. 2.

Полученные результаты еще раз подтверждают вывод о том, что ряд расходов на конечное потребление содержит линейную тенденцию.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом . С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше
.

Подставив полученные значения в формулу (3), имеем:

.

Таблица 2

Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка для временного ряда расходов на конечное потребление, д. е.

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции:

Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда . График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка, ряд содержит циклические колебания с периодичностью вмоментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты () и циклической (сезонной) компоненты ().

Временной ряд расходов на конечное потребление, рассмотренный нами в примере 1, содержит только тенденцию, так как коэффициенты автокорреляции его уровней высокие.

Пример 2 Автокорреляционная функция и выявление структуры ряда.

Пусть имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона за 16 кварталов (табл. 3).

Таблица 3

Потребление электроэнергии жителями региона, млн. кВт ч

Нанесем эти значения на график:

Определим коэффициент корреляции первого порядка. Он составит:
. Отметим, что расчет этого коэффициента производился по 15, а не по 16 парам наблюдений. Это значение свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих уровней. Однако, как следует из графика, структура этого ряда такова, что каждый следующий уровеньзависит от уровня
и
в гораздо большей степени, чем от уровня
. Рассчитаем коэффициенты автокорреляции до порядка 8. Получим автокорреляционную функцию этого ряда. Ее значения и коррелограмма приведены в таблице 4.

Таблица 4

Коррелограмма временного ряда потребления электроэнергии

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде, во-первых , линейной тенденции, во-вторых , сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда (см. график).

Аналогично, если, например, при анализе временного ряда наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции уровней второго порядка, ряд одержит циклические колебания в два периода времени, т.е. имеет пилообразную структуру .

Временной ряд является нестационарным , если он содержит такие систематические составляющие как тренд и цикличность.

Нестационарные временные ряды характеризуются тем, что значения каждого последующего уровня временного ряда корреляционно зависят от предыдущих значений.

Автокорреляцией уровней временного ряда называется корреляционная зависимость между настоящими и прошлыми значениями уровней данного ряда.

Лагом l называется величина сдвига между рядами наблюдений.

Лаг временного ряда определяет порядок коэффициента автокорреляции. Например, если уровни временного ряда x t и x t–1 корреляционно зависимы, то величина временного лага равна единице. Следовательно, данная корреляционная зависимость определяется коэффициентом автокорреляции первого порядка между рядами наблюдений x 1 …x n–1 и x 2 …x n . . Если лаг между рядами наблюдений равен двум, то данная корреляционная зависимость определяется коэффициентом автокорреляции второго порядка и т. д.

При увеличении величины лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на единицу. Поэтому максимальный порядок коэффициента автокорреляции рекомендуется брать равным n/4 , где n – количество уровней временного ряда.

Автокорреляция между уровнями временного ряда оценивается с помощью выборочного коэффициента автокорреляции, который рассчитывается по формуле:

где x t *x t-l – среднее арифметическое произведения двух рядов наблюдений, взятых с лагом l :

x t x 1+l ,x 2+l ,…,x n :

x t-l – значение среднего уровня ряда x 1 ,x 2 ,…,x n–l :

G(x t), G(x t–l) – средние квадратические отклонения, рассчитанные для рядов наблюдений x 1+l ,x 2+l ,…,x n и x 1 ,x 2 ,…,x n–l соответственно.

Структуру временного ряда можно определить, рассчитав несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. В результате данных вычислений можно выявить лаг l , для которого значение выборочного коэффициента автокорреляции r l является наибольшим.

Анализ структуры временного ряда с помощью коэффициентов автокорреляции стоится на следующих правилах:

1) исследуемый временной ряд содержит только трендовую компоненту, если наибольшим является значение коэффициента автокорреляции первого порядка r l–1 ;

2) исследуемый временной ряд содержит трендовую компоненту и колебания периодом l, если наибольшим является коэффициент автокорреляции порядка l. Эти колебания могут быть как циклическими, так и сезонными;

3) если ни один из коэффициентов автокорреляции r l (l =1,L ) не окажется значимым, то делается один из двух возможных выводов:

а) данный временной ряд не содержит трендовой и циклической компонент, а его колебания вызваны воздействием случайной компоненты, т. е. ряд представляет собой модель случайного тренда;

б) данный временной ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой необходимо провести его дополнительный анализ.

Графическим способом анализа структуры временного ряда является построение графиков автокорреляционной и частной автокорреляционной функций.

Автокорреляционной функцией называется функция оценки коэффициента автокорреляции в зависимости от величины временного лага между исследуемыми рядами.

Графиком автокорреляционной функции является коррелограмма.

Частная автокорреляционная функция отличается от автокорреляционной функции тем, что при её построении устраняется корреляционная зависимость между наблюдениями внутри лагов.

При наличии тенденции в ряде динамики уровни ряда характеризуются автокорреляцией, т.е. каждый последующий уровень ряда зависит от предыдущего. Например, цена на товар сегодня, как правило, зависит от цены вчерашнего дня. Корреляционная связь между последовательными значениями уровней динамического ряда называется автокорреляцией уровней динамического ряда .

Для измерения автокорреляции уровней динамического ряда используется коэффициент автокорреляции уровней

где у, – фактические уровни динамического ряда; у с_ Т – уровни того же динамического ряда, но сдвинутые на τ шагов во времени; τ – величина лага (сдвига во времени), принимающая значения 1,2, 3,.... и определяющая порядок коэффициента автокорреляции.

При τ = 1 рассчитывается коэффициент автокорреляции первого порядка, т.е. измеряется корреляция текущих значений уровней динамического ряда уг с предшествующими уровнями уг_г.

При τ = 2 изучается зависимость текущих уровней ряда у, с уровнями этого же ряда, сдвинутыми на 2 временных шага у ,_2, т.е. рассчитывается коэффициент автокорреляции второго порядка, а при х = 3 – соответственно третьего порядка, при X = к – коэффициент автокорреляции к-го порядка. Чем длиннее динамический ряд, тем выше может быть порядок коэффициента автокорреляции уровней.

Коэффициент автокорреляции уровней ряда практически рассчитывается по формуле линейного коэффициента корреляции. Поэтому его величина изменяется в пределах от -1 до +1. Чем ближе его величина , тем сильнее зависимость текущих уровней динамического ряда от предыдущих.

Если ряд характеризуется четко выраженной тенденцией, то для него коэффициент автокорреляции первого порядка приближается к +1. Так, для рассмотренного ранее ряда динамики заработной платы работника коэффициент автокорреляции уровней первого порядка составил 0,9987, демонстрируя тесную связь последующих уровней ряда от предыдущих.

Поскольку в примере рассчитывается коэффициент автокорреляции первого порядка, т.е. когда τ = 1, формула его расчета приобретает вид

(5.2)

где у, – уровни ряда в момент времени f; yf_j – те же уровни ряда, но сдвинутые на год, т.е.уровни ряда в момент времени (t – 1) (предыдущий год).

Так как оба ряда (у, иум) для расчета коэффициента автокорреляции должны быть одинаковой длины, то первое значение по ряду уг в расчетах не участвует. По нашему примеру необходимые суммы для подсчета отдельных элементов формулы коэффициента автокорреляции уровней составили

Соответственно коэффициент автокорреляции уровней составит

Методика расчета коэффициентов автокорреляции более высоких порядков та же, но при этом число коррелируемых пар уменьшается. В нашем примере их восемь (ct = 2 по t = 9). Если же увеличим лаг до 2 лет, т.е. τ = 2, то останется семь коррелируемых пар (с t = 3 по ί = 9), при τ = 3 будет шесть коррелируемых пар (с t = 4 по t = 9). Ввиду уменьшения числа наблюдений при расчете коэффициента автокорреляции уровней, увеличение величины лага не беспредельно: принято считать, что максимальная величина лага должна быть не более чем п / 4 (n – длина динамического ряда). Для нашего примера при л = = 9 максимальная величина лага составит 2 года (τ = 2).

Для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка составим таблицу.

Таблица 5.1. Расчет коэффициента автокорреляции уровней второго порядка (для ряда динамики заработной платы работника)

* Подсчитано без первых двух строк

Так как теперь в расчете участвует семь коррелируемых пар и , то первые две строки табл. 5.1 не принимаются во внимание. Коэффициенты автокорреляции разных порядков принято обозначать где указывает на номер порядка коэффициента автокорреляции. Формула расчета коэффициента автокорреляции второго порядка следующая:

где

Соответственно коэффициент автокорреляции равен

В рассмотренном примере уровни динамического ряда имеют тенденцию к возрастанию, и коэффициенты автокорреляции приближаются к +1. Аналогичная картина будет наблюдаться и при тенденции к уменьшению уровней динамического ряда. Например, лесовосстановление в России за 1995–2002 гг. характеризуется тенденцией к снижению. Уровни ряда (в тыс. га) составили:

Коэффициенты автокорреляции первого и второго порядков оказались равными η = 0,812 и г2 =0,885, что подтверждает наличие тенденции в ряду динамики. При этом г, > 0 и г2 > 0, хотя ряд и имеет тенденцию к снижению. Чем тенденция по ряду динамики более четкая, тем ближе г, и г2 к +1.

Для стационарного динамического ряда с небольшими колебаниями уровней, гг достаточно близок к нулю и может принимать небольшое отрицательное значение. Так, предположим, что уровни ряда приняли следующие значения (последовательно во времени):

Коэффициент автокорреляции первого порядка составил -0,209, а коэффициент автокорреляции второго порядка составил 0,056.

Серию коэффициентов автокорреляции уровней ряда с последовательным увеличением величины лага принято называть автокорреляционной функцией (АКФ).

Для стационарного временного ряда с увеличением величины лага взаимосвязь у с и y,_t ослабевает и АКФ характеризуется монотонным убыванием, что графически должно представлять затухающую кривую (рис. 5.7).

По стационарному ряду АКФ оценивается исходя из формулы коэффициента автокорреляции

(5.3)

где n – длина временного ряда; τ –временной сдвиг; – средняя арифметическая по исходному ряду .

В нашем примере АКФ для стационарного ряда составила: г, = -0,209; г 2 = 0,056; г3 = -0,114; г4 – -0,356; г5 = 0,057; г6 = -0,074; г7 = -0,003. Однако при ограниченной длине динамического ряда поведение АКФ в виде рис. 5.7 не всегда соблюдается.

АКФ дает представление о внутренней структуре динамического ряда. С помощью АКФ можно определить наличие или отсутствие в ряду динамики периодических колебаний и соответственно величину периода колебаний: она равна той величине лага τ, при которой коэффициент автокорреляции уровней наибольший.

Предположим, что объем продаж товара за 18 мес. характеризуют следующим образом (рис. 5.8).

График показывает наличие тенденции, а также периодических колебаний. Это подтверждает и АКФ:

Рис. 5.7.

Рис. 5.8

Достаточно высокое значение коэффициента автокорреляции первого порядка (Г] = 0,863) означает наличие тенденции в ряде динамики. Вместе с тем максимальное значение коэффициента автокорреляции наблюдается при лаге 3 и кратном ему лаге 6, т.е. для ряда характерна регулярная колеблемость уровней через 3 мес.: подъем в течение 3 мес. сменяется спадом в следующий месяц. Иными словами, волнообразное изменение объема продаж повторяется через 3 мес., что и демонстрирует АКФ. Для динамического ряда с монотонной тенденцией к возрастанию (или уменьшению) уровней АКФ имеет значения, близкие к +1, которые медленно снижаются с возрастанием величины лага. Например, за 60 кварталов динамика объема продаж характеризовалась уравнением тренда

где у – объем продаж в тыс. руб.;

Коэффициент детерминации для него составил 0,973, характеризуя хорошее качество описания тенденции ряда: отклонения фактических уровней ряда от теоретических, обусловленных тенденцией, составляют всего 2,7%. АКФ для данного ряда оказалась следующей: rj = 0,991; г2 = 0,984; г3 = 0,980; г4 = = 0,979; г5 = 0,973; г6 = 0,968; г7 = 0,963; г8 = 0,965; г9 = 0,963; гю = 0,962; ги = 0,959; г12 = 0,957; г13 = 0,952; г14 = 0,955; г15 = 0,943.

Если ряд характеризуется сменой тенденций, то АКФ примет значения, стремительно уменьшающиеся с возрастанием величины лага, сопровождаемые иногда сменой знака коэффициента автокорреляции. Так, например динамический ряд описывается параболой второго порядка (рис. 5.9).

АКФ оказывается следующей:

Рис. 5.9.

Похожая ситуация имеет место, например, при анализе динамики числа раненых в ДТП (на 100 тыс. человек населения) за 1999–2008 гг. по Тюменской области. Тенденция описывается параболой видау = 80,537 + 45,756t- 3,5053г2. Коэффициенты автокорреляции уровней с увеличением величины лага составили: 0,831; 0,588; 0,179; -0,544.

Иными словами, знание АКФ может помочь при подборе модели рассматриваемого динамического ряда.

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда .

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:

(4.2)

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Свойства коэффициента автокорреляции.

1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции.

2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом .

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .

После расчетов необходимо определить на каком лаге коэффициент будет максимальным (как правило, это первый лаг) и оценить его значимость. Предпосылкой для решения данной задачи является возможность проявления ошибки репрезентативности при анализе выборочных данных. Проверяется статистическая гипотеза: генеральный коэффициент автокорреляции равен нулю (следовательно, полученное значение выборочного коэффициента автокорреляции является следствием проявление случайной ошибки репрезентативности). Альтернативная гипотеза: генеральный коэффициент автокорреляции отличен от нуля (следовательно, полученное значение выборочного коэффициента автокорреляции может рассматриваться как оценка неизвестного генерального коэффициента автокорреляции по выборочным данным). Гипотезы проверяются через расчет t-критерия Стьюдента и сравнение расчетного значения с теоретическим.

Где r – коэффициент автокорреляции, σ r – стандартная ошибка коэффициента автокорреляции.

Ошибка рассчитывается следующим образом:

Где n – число уровней ряда

Теоретическое значение критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 и числе степеней свобод 12 равно 2,17

Расчетное значение критерия превосходит теоретическое (16,69 против 2,17), следовательно коэффициент автокорреляции на первом лаге признается значимым.

Наличие высокой автокорреляции в сочетании со значимостью коэффициента дает нам возможность рассмотреть регрессионную модель вида

(один из видов модели регрессии). Такая модель называется авторегрессией и позволяет решать задачу экстраполяции и прогнозирования.

Практика показывает, что часто в отклонениях от тренда сохраняется автокорреляция. Прежде чем приступить к расчету коэффициента корреляции по остаткам, необходимо проверить наличие в них автокорреляции. Проверяемая статистическая гипотеза (H0:) формулируется следующим образом:

H0: автокорреляция в анализируемом динамическом ряду отсутствует.

Наиболее распространенным статистическим критерием оценки автокорреляции в отклонениях от тренда, является критерий Дарбина – Уотсона (d0 ), статистика критерия определяется по следующей формуле:

,

где – случайные отклонения от тренда .

Значение критерия изменяется в интервале от «0» до «4». При 0 < d < 2 - автокорреляция положительная,

если 2 < d < 4 – автокорреляция отрицательная.

Близость величины критерия к «2» говорит об отсутствии или несущественной автокорреляции. Оценки, получаемые по критерию «d», являются интервальными. Существуют таблицы распределения значений критерия Дарбина – Уотсона, составленные для различных уровней значимости. Таблицы составлены с учетом числа наблюдений в динамическом ряду и числа переменных в уравнении тренда.

По таблице в каждом конкретном случае находят нижнюю ( ) и верхнюю ( ) границы критерия. Результат сравнения расчетного значения с табличным интерпретируется следующим образом:

1. > , - H0 - принимается;

2. < , - H0 - отвергается;

3. , необходимо дальнейшее исследование (например, по более протяженному временному ряду).

Для проверки остатков на наличие автокорреляции можно просто рассчитать коэффициенты автокорреляции по остаткам. Данная задача решается аналогично задаче оценки автокорреляции динамических рядов. Единственное отличие: исходные данные в этом случае – это остатки по оптимальному тренду (берутся из отчетов)

Отсутствие автокорреляции в остатках определяется по величине коэффициента (меньше 0,5 – автокорреляция отсутствует). Решение данной задачи дополнительно подтверждает качество выбора тренда.

Кросс-корреляция динамических рядов – это корреляционная зависимость между динамическими рядами с заданным временным смещением (лагом). Внимание! Расчет коэффициентов кросс-корреляции проводится по остаткам с оптимальных трендов по динамическим рядам. Необходимость исключения трендовой составляющей динамического ряда объясняется тем, что при коррелировании уровней однонаправленных рядов значительно искажаются (завышаются результаты расчетов).

Остатки по двум динамическим рядам берутся из отчетов по оптимальным трендам.

Смещение (лаг) задается по аналогии с задачей автокорреляции.

Вторым отличием является необходимость рассмотрения прямой и обратной зависимости.

Последовательность задания исходных данных значения в данном случае не имеет, так как в любом случае рассматривается прямая зависимость – импорт к экспорту, и обратная – экспорт к импорту соответственно.

Третье отличие - на нулевом лаге смещение не задается

По полученным коэффициентам кросс-корреляции строится коррелограмма

По аналогии с решением задачи автокорреляции необходимо оценить значимость максимального коэффициента кросс-корреляции (как правило, это коэффициент на нулевом лаге).

Наличие высокой кросс-корреляции в сочетании со значимостью коэффициента дает нам возможность рассмотреть регрессионную модель вида

(в качестве модели регрессии выбирается оптимальный тренд. В данном случае линейный). Такая модель называется регрессионной моделью с включением фактора времени) и позволяет решать задачу экстраполяции и прогнозирования.

Уровни второго динамического ряда с заданным смещением на величину лага