Как я уже писал раньше, в силу естественно-научного образования и перекоса в сторону логического осмысления и объяснения действительности, я являюсь приверженцем технического анализа рынков.

После окончания вуза и получения специальности радиофизика я занимался вопросами исследования и применения методов анализа и обработки сигналов в системах технической диагностики и контроля состояния объектов авиационной и ракетной техники. Специфика работы требовала досконального знания аналоговых и цифровых методов обработки сигналов. В ту пору мне было непонятно, почему зарубежные авторы иллюстрируют цифровые методы на примере биржевых котировок. Но когда я в конце 2000 года впервые увидел графики рыночных цен, мне стало стало все ясно. Где еще будет концентрироваться человеческий интерес и основные мозги, как не там, где пахнет живыми деньгами.
Ну и мне тоже стало крайне интересно попробовать знакомую мне методологию, принципы и математический аппарат в этой области. И деньги играли тут не главную роль, больше амбиции.

Рыночные цены в конечном итоге определяются состоянием и динамикой развития мировой экономической системы и фундаментальными факторами - ключевыми статистическими показателями состояния национальных экономик. На процессы глобального сдвига накладываются локальные тенденции изменения цен, учитывающие циклы обновления производства, сезонные факторы баланса спроса и предложения и т.д. вплоть до изменений, обусловленных влиянием экономических и политических новостей и действиями отдельных участников рынка.
Изучение характера и степени влияния макроэкономических показателей на динамику цен является предметом фундаментального анализа, который базируется на изучении статистических данных за прошедший период времени, т.е. на уже свершившемся факте.

Технический анализ основан на изучении графиков, изображающих поведение цены во времени. Применим ко всем активам, цена которых определяется на основе свободных колебаний спроса и предложения (валюты, товарные фьючерсы, опционы, ценные бумаги и многое другое), и базируется на постулатах, вытекающих из теории Доу. Основной из этих постулатов формулируется так: рынок учитывает все. Цена является следствием и исчерпывающим отражением всех движущих сил рынка. Любой фактор, влияющий на цену (экономический, политический или психологический) уже учтен рынком и включен в цену. Все, что влияет на цену, обязательно на этой самой цене и отразится. С помощью ценовых графиков рынок сам объявляет о своих намерениях внимательному аналитику, задача которого правильно и вовремя интерпретировать эти намерения.

Естественный подход радиофизика - это анализ графика цен - функции времени, представляющей своего рода сигнал, который необходимо проанализировать и выделить из него интересующую нас информацию. А это технический анализ.

Техническим анализом и конструированием индикаторов кто только не занимался и чего только не наворотили. Но испорченный физическим факультетом ум не признавал методы, за которыми не стояло ясного и прозрачного физического смысла и интерпретации результатов. Одним из наиболее красивых и эффективных индикаторов, за которыми что-то стоит является индикатор границ Боллинджера (Bollinger Bands), который строит каналы в единицах среднеквадратического отклонения сигма цены от среднего значения и основывается на критерии трех сигма.

Правило трёх сигм означает, что практически все значения нормально распределённой случайной величины с вероятностью 0,9973 лежат в интервале +-3 сигма от среднего значения. Не будем вдаваться в обсуждение вопроса, насколько обосновано применение критерия к рынкам, которые не подчиняются нормальному закону распределения и не являются стационарными.

Нормальное распределение и границы отклонений.

Вероятности попадания случайной величины в заданные интервалы.

Как мы уже говорили в техническом анализе среднеквадратическое отклонение используется для построения каналов Боллинджера.
Принцип построения индикатора очень прост. В заданном временном окне определяется средняя цена и среднеквадратическое отклонение от среднего, а затем от этой средней цены вверх и вниз откладываются расстояния в единицах среднеквадратического отклонения, указывающие не верхнюю и нижнюю границу канала. Далее окно сдвигается на один отсчет вправо, вычисления повторяются и т.д. В результате получается график простого скользящего среднего и две границы, сверху и снизу, отстоящие от среднего на заданное число единиц среднеквадратического отклонения, обычно это 2 сигма.

Пример индикатора приведен на рисунке внизу.

Индикатор границ Боллинджера и его применение.

Граница Боллинджера представляют собой две линии, удаленные от скользящей средней на величины, пропорциональные среднеквадратическому отклонению цен закрытия от скользящей средней. Этот параметр характеризует волатильность рынка, соответственно ширина канала с ростом волатильности также будет возрастать.
Решение на основе анализа ВВ принимается, когда цена либо поднимается выше верхней линии сопротивления ВВ, либо опускается ниже нижней линии поддержки ВВ. Если же график цены колеблется между этими двумя линиями, то надежных сигналов о покупке/продаже на основе анализа ВВ не подается. Решение об открытии позиции принимается только тогда, когда график цены пересекает линию ВВ для возврата в нормальное состояние.
Иногда выход за границу ВВ означает «ложный пробой», т.е. когда цены только попробовали новый уровень и сразу же вернулись назад. В данном случае появляется возможность для работы против тренда, но следует внимательно оценить - а правда ли пробой оказался «ложным». Хорошим подтверждением в таких случаях является показатель объема, который при ложном пробое должен резко снизиться.
Дополнительные сигналы линий ВВ. Схождение ВВ наблюдается, когда рынок успокаивается и на нем не видны значительные колебания. Происходит консолидация к продолжению действующего или появлению нового тренда. Расхождение ВВ наблюдается при усилении действующего тренда или начале нового. Расхождение при возросших объемах является хорошим подтверждением тренда. Средняя является хорошим уровнем поддержки на бычьем рынке и хорошим уровнем сопротивления на медвежьем рынке.

Индикатор хорош и я им одно время пользовался.
Но в модификации - заменил простое скользящее среднее на экспоненциальное (причины могут объяснить в комментариях), а девиацию, используемую для вычисления сигма, на среднеквадратическое отклонение цены от экспоненциальной средней. В дальнейшем параметры индикатора были сильно модифицированы и от классического Bollinger Bands остался только принцип - три сигма.

Сегодня индикатор выглядит так.

Синяя линия в центре - скользящая средняя.

Вверх и вниз от нее отложены каналы +-сигма, +-2*сигма и +-3*сигма.
Правила интерпретации и использования примерно такие же, как и для классического индикатора BB. Но нет той суетливости в принятии решений.
Параметры индикатора автоматически настраиваются на тайм-фрейм.
Рекомендуемые таймфреймы и параметры для использования:
Недельный график - долгосрочный тренд – цикл 2-3 года;
Дневной график - среднесрочный тренд – цикл 5-7 месяцев;
График Н4 - краткосрочный тренд – цикл 30-40 дней;
График Н1 - локальный тренд – цикл 4-6 дней;
График М15 - дневной тренд – цикл 15-30 часов;
График М5 - внутридневной тренд - цикл 4-6 часов;
График М1 - часовой тренд - цикл 50-70 минут.

P.S. Сам я этим индикатором практически не пользуюсь, так как в наборе инструментов SWT-метода есть каналы волатильности, решающие сходные задачи. Желающим могу выслать.
Поскольку Тимофей еще не ввел в чат возможность обмена файлами, пишите в личку свой e-mail.
Плюс к сообщению приветствуется, но для получения индикатора не обязателен.
Да, совсем забыл. Работает только в терминале МТ4. До МТ5 руки не доходят из-за ненадобности.

P.P.S. Да, прошу извинить. Рассылать буду раз в сутки по мере накопления запросов.

• Ключевые слова:

Случайной величины. Стандартное отклонение используют при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического , при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

где - стандарт, стандартное отклонение, несмещенная оценка среднеквадратического отклонения случайной величины X относительно её математического ожидания; - дисперсия; - i-й элемент выборки; - среднее арифметическое выборки; - объём выборки.

Следует отметить отличие стандарта (в знаменателе n − 1 ) от корня из дисперсии(среднеквадратического отклонения)(в знаменателе n ), при малом объёме выборки оценка дисперсии через последнюю величину является несколько смещенной, при бесконечно большом объёме выборки разница между указанными величинами исчезает. Выборка - лишь часть генеральной совокупности. Генеральная совокупность - абсолютно все возможные результаты. Получить результат, не входящий в генеральную совокупность абсолютно невозможно в принципе. Для случая с бросанием монетки генеральной совокупностью является: решка, ребро, орел. а вот пара орел-решка уже лишь выборка. Для генеральной совокупности математическое ожидание совпадает с истинным значением оцениваемого параметра. А вот для выборки не факт. Математическое ожидание выборки имеет смещение относительно истинного значения параметра. В силу этого, среднеквадратичная ошибка больше чем дисперсия, так как дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения от среднего значения, а среднеквадратичное отклонение - математическое ожидание отклонения от истинного значения. Разница в том, от чего ищем отклонение, когда дисперсия, то от среднего и не важно истинное это среднее или ошибочно, а когда среднеквадратичное отклонение, то ищем отклонение от истинного значения.

Правило 3-х сигм () - практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале . Более строго - не менее чем с 99,7 % достоверностью, значение нормально распределенной случайной величины лежит в указанном интервале. При условии что величина истинная, а не полученная в результате обработки выборки. Если же истинная величина неизвестна, то следует пользоваться не σ , а s . Таким образом, правило 3-х сигм преобразуется в правило трех s

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Правило трёх сигм" в других словарях:

Дисперсия случайной величины мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или.… … Википедия

- (англ. six sigma) концепция управления производством, разработанная в корпорации Motorola в 1980 е годы и популяризированная в середине 1990 х после того, как Джек Уэлч применил её как ключевую стратегию в General Electric. Суть… … Википедия

- (синонимы: среднеквадратичное отклонение, квадратичное отклонение; близкие термины: стандартное отклонение, стандартный разброс) в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины … Википедия

Стандартное отклонение (иногда среднеквадратичное отклонение) в теории вероятности и статистике наиболее распространенный показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. Измеряется в единицах… … Википедия

Плотность вероятности Зеленая лин … Википедия

НЕРВНАЯ СИСТЕМА - НЕРВНАЯ СИСТЕМА. Содержание: I. Эмбриогенез, гистогенез и филогенез Н.с. . 518 II. Анатомия Н. с................. 524 III. Физиология Н. с................ 525 IV. Патология Н.с................. 54? I. Эмбриогенез, гистогенез и филогенез Н. е.… … Большая медицинская энциклопедия

Самая многочисленная группа губок. Это преимущественно мягкие эластичные формы. Скелет их образован одноосными иглами. Всегда имеется в том или ином количестве спонгин, с помощью которого иглы склеиваются между собой в пучки или волокна … Биологическая энциклопедия

В медицине совокупность методов количественного изучения и анализа состояния и (или) поведения объектов и систем, относящихся к медицине и здравоохранению. В биологии, медицине и здравоохранении в круг явлений, изучаемых с помощью М.м., входят… … Медицинская энциклопедия

Содержание 1 Менеджмент на основе хозяйственной деятельности 2 Разработка деловой ситуации 3 … Википедия

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Расчёт себестоимости по видам деятельности (Activity Based Costing, ABC) ­ это специальная модель описания затрат, которая идентифицирует работы фирмы … Википедия

При проведении практических вычислений за единицу измерения отклонения случайной величины, подчиненной нормальному закону от ее центра рассеивания (математического ожидания), принимают среднеквадратичное отклонение а. Тогда на основании формулы (7) § 17 получаются полезные при различных вычислениях равенства

Эти результаты геометрически изображены на рис. 439.

Почти достоверно, что случайная величина (ошибка) не отклонится от математического ожидания по абсолютной величине больше чем на Это предположение называют правилом трех сигм.

В теории стрельбы и при обработке различных статистических материалов бывает полезно знать вероятность попадания случайной величины в интервалы (0, Е),

При плотности распределения, определяемой по формуле (1) § 19. Знание этих вероятностей во многих случаях сокращает вычисления и помогает при анализе явлений.

При вычислении этих вероятностей будем пользоваться формулой (8) § 19 и таблицей функции

Результаты вычислений геометрически изображены на рис. 440, который называется шкалой рассеивания ошибок. Из этих расчетов следует, что практически достоверно, что значение случайной величины попадает в интервал Вероятность того, что значение случайной величины попадает вне этого интервала, меньше 0,01.

Пример 1. Производится один выстрел по полосе шириной 100 м. Прицеливание рассчитывалось на среднюю линию полосы, которая перпендикулярна к плоскости полета снаряда. Рассеивание подчиняется нормальному закону с вероятным отклонением по дальности Определить вероятность попадания в полосу (рис. 441). Срединное отклонение по дальности в теории стрельбы обозначают боковое .

Решение. Воспользуемся формулой (7) § 19. В нашем случае . Следовательно,

Замечание. Приближенно можно было бы решить задачу, не пользуясь таблицами функции , а воспользоваться шкалой рассеивания (рис. 440).

Как известно, на рынках относительно часто нарушаются законы нормального распределения случайной величины: в каких-то инструментах чаще, в каких-то реже.

По моим наблюдениям, валютные пары менее подвержены нарушениям нормального распределения, чем акции или золото.

В золоте относительно часто происходят отклонения значения цены от нормального распределения на 3 или 4 средних квадратичных отклонения (сигмы).

Здесь, как говорят статистики, наибольшая дисперсия (разброс случайной величины).

Основной закон дисперсии:

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что случайная величина отстоит от своего математического ожидания более чем на k стандартных отклонений, составляет менее 1/k². Так, например, как минимум в 95 % случаев случайная величина, имеющая нормальное распределение, удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % - не более чем на три.

Приведу еще одну цитату из википедии

Правило трёх сигм (3σ) - практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале (x¯−3σ;x¯+3σ). Более строго - приблизительно с 0,9973 вероятностью значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале (при условии, что величина x¯ истинная, а не полученная в результате обработки выборки).

На рисунке показан график USDJPY с нанесенными на нем 2σ и 3σ.

Как мы видим, пара достигла вчера значения сигма равного 3. Для валютного рынка это чересчур много и мы видим, что сегодня пара начала корректироваться вниз.

Теперь начинается консолидация, которая может затянуться очень надолго.

На мой взгляд ближайшие месяцы пара USDJPY проведет в коридоре 110-115. У меня очень большая уверенность, что до конца года USDJPY обязательно побывает в районе 110. Для этого есть много причин, о которых я напишу в других статьях.

3 сигмы на недельном графике AUDJPY

В продолжение темы о дисперсии приведу еще один рисунок. На нем показан недельный график AUDJPY.

На нем очень хорошо видно, что вслед за касанием линии 3σ всегда происходит достаточно крупный разворот и пара проходила в противоположную сторону как минимум 7-8 фигур и это движение занимает много недель.

Если в ближайшие дни AUDJPY достигнет этого уровня, то с большой вероятностью можно ожидать повторения этого сценария.

Правило 3 сигм в статистика

т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027=1-0,9973. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм:

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математиче­ского ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

Определение: Непрерывная случайная величина X, функция плотности которой задается выражением

называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение.

Величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий обычно подчиняется показательному распределению. Другими словами, величина промежутка времени между появлениями двух последовательных редких событий подчиняется зачастую показательному распределению.

Как видно из формулы, показательное распределение определяется только одним параметром m .

Найдем функцию распределения показательного закона, используя свойства дифференциальной функции распределения:

Графики дифференциальной и интегральной функций показательного распределения имеют вид:

Правило трёх сигм

Стандартное отклонение (иногда среднеквадратичное отклонение) - в теории вероятности и статистике наиболее распространенный показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. Измеряется в единицах измерения самой случайной величины. Равен корню квадратному из дисперсии случайной величины. Стандартное отклонение используют при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

где - стандарт, стандартное отклонение, несмещенная оценка среднеквадратического отклонения случайной величины X относительно её математического ожидания; - дисперсия; - i-й элемент выборки; - среднее арифметическое выборки; - объём выборки.

Следует отметить отличие стандарта (в знаменателе n − 1) от корня из дисперсии(среднеквадратического отклонения)(в знаменателе n ), при малом объёме выборки оценка дисперсии через последнюю величину является несколько смещенной, при бесконечно большом объёме выборки разница между указанными величинами исчезает. Выборка - лишь часть генеральной совокупности. Генеральная совокупность - абсолютно все возможные результаты. Получить результат, не входящий в генеральную совокупность абсолютно невозможно в принципе. Для случая с бросанием монетки генеральной совокупностью является: решка, ребро, орел. а вот пара орел-решка уже лишь выборка. Для генеральной совокупности математическое ожидание совпадает с истинным значением оцениваемого параметра. А вот для выборки не факт. Математическое ожидание выборки имеет смещение относительно истинного значения параметра. В силу этого, среднеквадратичная ошибка больше чем дисперсия, так как дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения от среднего значения, а среднеквадратичное отклонение - математическое ожидание отклонения от истинного значения. Разница в том, от чего ищем отклонение, когда дисперсия, то от среднего и не важно истинное это среднее или ошибочно, а когда среднеквадратичное отклонение, то ищем отклонение от истинного значения.

Правило 3-х сигм () - практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале . Более строго - не менее чем с 99,7 % достоверностью, значение нормально распределенной случайной величины лежит в указанном интервале. При условии что величина истинная, а не полученная в результате обработки выборки. Если же истинная величина неизвестна, то следует пользоваться не σ , а s . Таким образом, правило 3-х сигм преобразуется в правило трех s

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Правило трёх сигм» в других словарях:

Правило трех сигм - Дисперсия случайной величины мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или.… … Википедия

Шесть сигм - (англ. six sigma) концепция управления производством, разработанная в корпорации Motorola в 1980 е годы и популяризированная в середине 1990 х после того, как Джек Уэлч применил её как ключевую стратегию в General Electric. Суть… … Википедия

Среднеквадратическое отклонение - (синонимы: среднеквадратичное отклонение, квадратичное отклонение; близкие термины: стандартное отклонение, стандартный разброс) в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины … Википедия

Выборочное стандартное отклонение - Стандартное отклонение (иногда среднеквадратичное отклонение) в теории вероятности и статистике наиболее распространенный показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. Измеряется в единицах… … Википедия

Нормальное распределение - Плотность вероятности Зеленая лин … Википедия

НЕРВНАЯ СИСТЕМА - НЕРВНАЯ СИСТЕМА. Содержание: I. Эмбриогенез, гистогенез и филогенез Н.с. . 518 II. Анатомия Н. с. 524 III. Физиология Н. с. 525 IV. Патология Н.с. 54? I. Эмбриогенез, гистогенез и филогенез Н. е.… … Большая медицинская энциклопедия

Отряд Кремнероговые губки (Cornacuspongida) - Самая многочисленная группа губок. Это преимущественно мягкие эластичные формы. Скелет их образован одноосными иглами. Всегда имеется в том или ином количестве спонгин, с помощью которого иглы склеиваются между собой в пучки или волокна … Биологическая энциклопедия

Математи́ческие ме́тоды - в медицине совокупность методов количественного изучения и анализа состояния и (или) поведения объектов и систем, относящихся к медицине и здравоохранению. В биологии, медицине и здравоохранении в круг явлений, изучаемых с помощью М.м., входят… … Медицинская энциклопедия

Расчет себестоимости по видам деятельности - Содержание 1 Менеджмент на основе хозяйственной деятельности 2 Разработка деловой ситуации 3 … Википедия

Расчёт себестоимости по видам деятельности - Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Расчёт себестоимости по видам деятельности (Activity Based Costing, ABC) ­ это специальная модель описания затрат, которая идентифицирует работы фирмы … Википедия

Правило трёх сигм

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм .

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа :

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Это правило называется правилом трех сигм .

Не практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание а = 65 т и средним квадратичным отклонением s = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (100×65 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т.

Т.к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.

Получаем :

Пример. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – а = 2 – математическое ожидание и s = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.

Плотность распределения имеет вид:

Построим график :

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3).

Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2.

Тот же результат может быть получен с использованием нормированной функции Лапласа.

Центральная предельная теорема Ляпунова

Теорема. Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

На практике для большинства случайных величин выполняются условия теоремы Ляпунова.

Правило 3 сигм в статистика

Здравствуйте!
Скажите а существует ли многомерный аналог правила трёх сигм.
В частности аналог правила трёх сигм для двумерного нормального распределения.
Спасибо.

Ну, например, для стандартного нормального случайного вектора вероятность попасть в круг P(X^2+Y^2

как такового аналога не существует. Просто можно самому расчитать эти вероятности, как это сделали Вы.
Спасибо.

Я могу просто быть не в курсе каких-то инженерно-известных формул.

Скажем, артиллерийское правило считать, что снаряды вне прямоугольника 8Вдх8Вб не ложатся.
(Вд, Вб и Вб это «вероятные отклонения», то есть такие, для которые вероятность получить отклонения более 1Во 50%, то же, что семиинтерквартильные отклонения; приблизительно равны 2/3Сигма).
Очевидно, это правило почти соответствует применению правила «3Сигма» к каждой координате.
Однако в многомерном случае появляется проблема учёта зависимости случайных величин, которая заставляет либо постулировать их независимость (и применять «3Сигма» по каждой величине в отдельности), либо узнавать корреляции и проводить полный расчёт вместо «правила большого пальца».

Если взять фунцию плотности N-мерного нормального распределения самого общего вида и рассмотреть его сечение p(x) = a, где a — меньше плотности в максимуме, то получится эллипсоид (в двумерном случае — эллипс). Если теперь повернуть систему координат x таким образом, чтобы её оси совпадали с главными осями эллипсоида, то в этих координатах плотность распределения запишется как произведение N одномерных нормальных плотностей для координат x1, x2, . и т.д. (с разными сигмами, конечно). Для каждой координаты имеем сответствующую вероятность выхода за три сигмы. А дальше — как Вам будет удобно: Можно посчитать вероятность выхода за параллелепипед со сторонами в шесть сигм по каждой координате — это просто 1 — (1-p)^N. А можно посчитать вероятность выхода за пределы эллипсоида с полуосями в три сигмы (что более правильно) — мне это лень, но вообще-то это нетрудно.

Помогите, пожалуйста, решить задачу.

Студент иванов бросал монету N раз и у него M раз выпал герб. Величина N/2-M=100. При каком минимальном значении числа N это возможно. Использовать правило трех сигм.

Единственное число N, при котором такое возможно, равно 200+2M. Правило трёх сигм тут ни при чём, или посоветуйте Вашему преподавателю корректнее формулировать задачи.

Популярное:

• Ставки налога на прибыль в 2017-2018 году Общая ставка по налогу на прибыль организаций Размер налоговой ставки в федеральный бюджет в бюджеты субъектов РФ 2% (до 2017), 3%(с 2017 года) 18% (до 2017), (17% с 2017 […]
• В соответствии с частью 2 ст. 34 Федерального закона от 05.04.2013 N 44-ФЗ "О контрактной системе в сфере закупок товаров, работ, услуг для обеспечения государственных и муниципальных нужд" (далее - Закон N 44-ФЗ) при заключении […]
• ТРЕБОВАНИЯ ПРАВИЛ БЕЗОПАСНОСТИ В ГАЗОВОМ ХОЗЯЙСТВЕ К ОТВОДУ ПРОДУКТОВ СГОРАНИЯ ГАЗА Общие требования. При сжигании природного или искусственного газа образуются продукты сгорания, состоящие из углекислого газа (СОг), водяных […]
• Прием на работу белорусов: порядок оформления и налогообложения Осуществление трудовой деятельности иностранными гражданами на территории РФ регулируется Федеральным законом от 25.07.2002 N 115-ФЗ "О правовом положении […]
• Тестирование на тему: «Электромагнитные волны» Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок» 1. Колебания, распространяющиеся в пространстве с течением времени, называются: а) свободными г) волной б) вынужденными […]
• Организация ГБУЗ "ГКБ ИМ. В.В. ВИНОГРАДОВА ДЗМ" Юридический адрес: 117292, МОСКВА Г, ВАВИЛОВА УЛ, ДОМ 61 ОКФС: 13 - Собственность субъектов Российской Федерации ОКОГУ: 2300229 - Органы исполнительной власти субъектов […]
• Калькулятор налога на имущество организаций Как рассчитать налог на имущество организаций Форма расчета по авансовым платежам изменилась. Начиная с отчетности за первое полугодие 2017, расчет налога на имущество организаций […]
• Цена реализации акции - как определить и оспорить? Приведем пример из практики. Продавцом акций ОАО является физическое лицо (владеет 95% акций ОАО), покупателями - три юридических лица, каждое из которых приобретает по 24,9% […]

Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение из интервала (а - 3σ, а + 3σ ):

Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины окажется вне этого интервала, равна 0,0027, то есть составляет 0,27% и может считаться пренебрежимо малой. Таким образом, на практике можно считать, что все возможные значения нормально распределенной случайной величины лежат в интервале (а - 3σ, а + 3σ ).

Полученный результат позволяет сформулировать правило «трех сигм» : если случайная величина распределена нормально, то модуль ее отклонения от х = а не превосходит 3σ.

16.7. Показательное распределение.

Определение . Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х , которое описывается плотностью

В отличие от нормального распределения, показательный закон определяется только одним параметром λ . В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.

Найдем функцию распределения показательного закона:

Следовательно,

Теперь можно найти вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в интервал (а, b ):

Значения функции е -х можно найти из таблиц.

16.8. Функция надежности.

Пусть элемент (то есть некоторое устройство) начинает работать в момент времени t 0 = 0 и должен проработать в течение периода времени t . Обозначим за Т непрерывную случайную величину – время безотказной работы элемента, тогда функция F (t ) = p (T > t ) определяет вероятность отказа за время t . Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время равна

R (t ) = p (T > t ) = 1 – F (t ).

Эта функция называется функцией надежности .

16.9. Показательный закон надежности.

Часто длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение, то есть

F (t ) = 1 – e - λt .

Следовательно, функция надежности в этом случае имеет вид:

R (t ) = 1 – F (t ) = 1 – (1 – e -λt ) = e -λt .

Определение . Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством

R (t ) = e - λt ,

где λ – интенсивность отказов.

Пример. Пусть время безотказной работы элемента распределено по показательному закону с плотностью распределения f (t ) = 0,1 e - 0,1 t при t ≥ 0. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 10 часов.

Решение. Так как λ = 0,1, R (10) = e -0,1 · 10 = e -1 = 0,368.

16.10. Математическое ожидание.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М (Х ) = х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + х п р п .

Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то
, если полученный ряд сходится абсолютно.

Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним , так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольше-го.

Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучай-ная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непре-рывных случайных величин.

Пример. Найдем математическое ожидание случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных. Составим ряд распределения для Х . Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3. Тогда

Пример 2. Определим математическое ожидание случайной величины Х – числа бросков монеты до первого появления герба. Эта величина может принимать бесконечное число значений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Ряд ее распределения имеет вид:

+(при вычислении дважды использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
, откуда).

Свойства математического ожидания.

Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

М (С ) = С.

Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью р = 1, то М (С ) = С ·1 = С .

Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания:

М (СХ ) = С М (Х ).

Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения

то ряд распределения для СХ имеет вид:

Тогда М (СХ ) = Сх 1 р 1 + Сх 2 р 2 + … + Сх п р п = С ( х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + х п р п ) = СМ (Х ).

Определение. Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы .

Определение. Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY , возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y , а соответствующие им вероят-ности равны произведениям вероятностей сомножителей.

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M (XY ) = M (X )M (Y ).

Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:

Тогда ряд распределения для XY выглядит так:

Следовательно, M (XY ) = x 1 y 1 ·p 1 g 1 + x 2 y 1 ·p 2 g 1 + x 1 y 2 ·p 1 g 2 + x 2 y 2 ·p 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + y 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M (X )·M (Y ).

Замечание 1. Аналогично можно доказать это свойство для большего количества возможных значений сомножителей.

Замечание 2. Свойство 3 справедливо для произведения любого числа независимых случайных величин, что доказывается методом математической индукции.

Определение. Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х + Y , возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y ; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или незави-симых) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M (X + Y ) = M (X ) + M (Y ).

Доказательство.

Вновь рассмотрим случайные величины, заданные рядами распределения, приведен-ными при доказательстве свойства 3. Тогда возможными значениями X + Y являются х 1 + у 1 , х 1 + у 2 , х 2 + у 1 , х 2 + у 2 . Обозначим их вероятности соответственно как р 11 , р 12 , р 21 и р 22 . Найдем М (Х +Y ) = (x 1 + y 1)p 11 + (x 1 + y 2)p 12 + (x 2 + y 1)p 21 + (x 2 + y 2)p 22 =

= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).

Докажем, что р 11 + р 22 = р 1 . Действительно, событие, состоящее в том, что X + Y примет значения х 1 + у 1 или х 1 + у 2 и вероятность которого равна р 11 + р 22 , совпадает с событием, заключающемся в том, что Х = х 1 (его вероятность – р 1). Аналогично дока-зывается, что p 21 + p 22 = р 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2 . Значит,

M (X + Y ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X ) + M (Y ).

Замечание . Из свойства 4 следует, что сумма любого числа случайных величин равна сумме математических ожиданий слагаемых.

Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броске пяти игральных костей.

Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при броске одной кости:

М (Х 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
Тому же числу равно математическое ожидание числа очков, выпавших на любой кости. Следовательно, по свойству 4М (Х )=