4. D96BFF Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

t t t t единиц товара.

Григорий готов выделять 6 800 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

• Подобные задания
• Ответ

467F27 Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

Григорий готов выделять 30 250 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

• Пример решения
• Подобные задания
• Ответ

9DA759 Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

• Пример решения
• Подобные задания
• Ответ

15B94F Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара.

Владимиру нужно каждую неделю производить 410 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

• Подобные задания
• Ответ

9B66B1 Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей.

Владимиру нужно каждую неделю производить 520 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

• Пример решения
• Подобные задания
• Ответ

D84C39 Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей.

Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

• Пример решения
• Подобные задания
• Ответ

D0B0C0 Строительство нового завода стоит 75 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x 2 + x + 7 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px − (0,5x 2 + x + 7). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года?

• Подобные задания
• Ответ

89F37B Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t 2 тыс. рублей в конце года t (t =1;2;…). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1+r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

• Подобные задания
• Ответ

Решение различных экономических
задач в формате ЕГЭ часто сводится к
отысканию
экстремальных
(минимальных или максимальных)
значений
некоторой
функции.
Нередко такими функциями являются
линейная функция или квадратичная
функция

Линейная функция y=kx+m

1) Если задан промежуток, которому
принадлежит х, то экстремальное
значение функция принимает на
одном из концов промежутка.

Линейная функция y=kx+m

2)
Если
линейная
функция
рассматривается только на множестве
целых чисел, то число из этого
промежутка, при котором функция
принимает
наибольшее
или
наименьшее
значение,
будет
ближайшим целым числом к тому
концу промежутка, на котором она
принимает
соответствующее
экстремальное значение

Квадратичная функция

y ax 2 bx c
Квадратичная функция принимает
экстремальное значение при
b
x
2a

№1. Индивидуальный предприниматель за 288 тысяч рублей приобрёл цех по производству носков. Затраты на изготовление х тысяч пар носков в мес

№1.
Индивидуальный предприниматель за 288 тысяч рублей
приобрёл цех по производству носков. Затраты на изготовление х
тысяч пар носков в месяц составляют (x²+6x+7) тысяч рублей.
Если продавать одну пару носков по с рублей, то прибыль от
продажи х тысяч пар носков в месяц составит сх - (x²+6x+7)
тысяч рублей (с>6). Предприниматель имеет возможность
изготавливать и продавать такое количество пар носков, которое
обеспечивает наибольшую прибыль. При каком наименьшем
значении с предприниматель окупит затраты на покупку цеха не
более чем за 32 месяца?

№2 Крупный бизнесмен является владельцем двух заводов, выпускающих одинаковую продукцию. На втором заводе используется более современное

оборудование, позволяющее за
одинаковое время с первым заводом производить больше
продукции, чем на первом заводе. Известно, что если рабочие
первого завода трудятся суммарно t² часов в неделю, то за это
время они производят 2t единиц товара. А если рабочие второго
завода трудятся суммарно t² часов в неделю, то за это время они
производят 5t единиц товара. За обоих заводах за 1 час работы
рабочему платят 500 рублей. Какое наибольшее число единиц
продукции можно будет выпустить на обоих заводах при
условии, что заработную плату на предстоящую неделю можно
будет выплатить в размере 1 450 000 рублей?

10.

11.

12. Задание для самостоятельной работы

1) Затраты на строительство нового аквапарка составляют
50 млн рублей. Стоимость обслуживания х тысяч
посетителей за сезон равна 0,25х²+4х+6 млн рублей. Если за
обслуживание одного посетителя за сезон брать с тысяч
рублей (с>4), то прибыль за обслуживание х тысяч
посетителей за сезон будет равна сх-(0,25х²+4х+6) млн рублей.
По окончанию строительства у руководства аквапарка будет
возможность организовать обслуживание такого числа
посетителей, которое обеспечивает максимальную прибыль.
При каком наименьшем значении с окупятся затраты на
строительство аквапарка не более чем за 5 сезонов?

13. 2) Олеся является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинако

2) Олеся является владельцем двух заводов в разных городах. На
заводах производятся абсолютно одинаковые товары при
использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном
из заводов суммарно трудятся t² часов в неделю, то за это время
они производят 3t единиц товара. За каждый час работы на
заводе, расположенном в первом городе, Олеся платит рабочему
400 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, - 500
рублей. Олеся готова выделить 1 800 000 рублей в неделю на
оплату труда рабочих. Какое наибольшее число деталей можно
произвести за неделю на этих двух заводах?

Условие

Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то за эту неделю они произведут $t$ единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.

Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение

Пусть на оплату труда рабочих первого завода выделено $x$ руб., а второго — оставшиеся $(900000-x)$ руб. Тогда на первом заводе можно оплатить $\frac{x}{250}$ часов работы, а на втором — $\frac{900000-x}{200}$ часов работы. По условию, если рабочие трудятся ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то за эту неделю они произведут$t$ единиц товара. Значит, количество произведённого за неделю товара равно квадратным корням из этих величин, поэтому для ответа на вопрос задачи требуется найти наибольшее значение функции

\[=\frac{1}{100}\left(2\sqrt{10x}+5\sqrt{1800000-2x} \right)\]

на отрезке $0\le x\le 900000$.

Найдём производную:

\[{f}"=\frac{1}{100}\left(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{x}}-\frac{5}{\sqrt{1800000-2x}} \right)=\]

\[=\frac{1}{100}\cdot \frac{\sqrt{18000000-20x}-5\sqrt{x}}{\sqrt{18000000-20x}\sqrt{x}}\]

Решая уравнение ${f}"=0$, получаем:

\[\sqrt{18000000-20x}-5\sqrt{x}=0;\]

Поскольку производная непрерывной функции f положительна на интервале (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и отрицательна на интервале (400 000; 900 000), функция f достигает наибольшего на отрезке значения в точке 400 000, так как это-единственная точка максимума. Найдём его:

Тем самым, наибольшее возможное количество товара, которое могут произвести рабочие за неделю при заданном размере оплаты труда, равно 90 единицам.

Григорий является владельцем двух Задача 17: производительность труда и производная 2 days ago 10:50

Facebook Twitter Google Plus LinkedIn Instagram

"/>

Досрочный ЕГЭ 2015. Задание 19 https://vk.com/video175186113_171068811 Презентация эксперта ЕГЭ.
Какое наименьшее количество учащихся может быть в этом классе. Два завода, минимизация расходов, школьная задача. Владимиру нужно каждую неделю производить единиц товара.
Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач. Просмотр реальных КИМов ЕГЭ
Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Ответы на реальные КИМы ЕГЭ: 40 часов в неделю, за 1 неделю завод
На предприятии трудятся 30 рабочих,каждый из них работает по 40 часов в неделю,за 1 неделю завод выпускает 800 костюмов. Она измеряется количеством потребительных стоимостей, созданных в единицу времени, или величиной времени
Телефонная компания предоставляет на выбор три реальных варианта заданий ЕГЭ КИМы ФИПИ 2015 года. Поиск math exam help единиц товара можно произвести за неделю
Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Досрочный ЕГЭ 2015 по математике. Задание 19.
На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
maths onnline exam helper Досрочный ЕГЭ 2015
Задание 19. Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара.

Comments 12 Comments

3 years ago

Представляем вашему вниманию Самый быстрый онлайн тест на IQ!
https://ru.pinterest.com/pin/489766528208227206/

При рытье колодца глубиной свыше 10 м за первый метр заплатили 1000 руб., а за каждый следующий на 500 руб. больше, чем за предыдущий. Сверх того за весь колодец дополнительно было уплачено 10 000 руб. Средняя стоимость 1 м оказалась равной 6250 руб. Определите глубину колодца.
Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары - стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Вид тары Себестоимость,
1 ц. Отпускная цена,
1 ц.
стеклянная 1500 руб. 2100 руб.
жестяная 1100 руб. 1750 руб.
ГИА Задание 2. Модуль "Алгебра" Решение неравенств, координатная прямая. Видео-уроки по математике учителя полностью можно увидеть и заказать на сайте
Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).
Быстрый тест на IQ

4 years ago

Учительница на уроке литературы вызывает Вовочку Путина к доске.
- Вова, ты Пушкина знаешь?
- Нет.
- А Лермонтова знаешь?
- Нет.
- А Некрасова?
- Нет.
- Тогда садись, двойка, и пусть родители зайдут в школу.
После уроков Путин Вова останавливает учительницу и спрашивает:
- Ты Димку Медведева знаешь?
- Нет.
- А Тольку Кудрина - Вырви Глаз?
- Нет.
- А Кольку Окурка?
- Нет.
- Так зачем ты на уроке меня своей бандой пугала?

Верхняя Пышма, Свердловская область
Вот когда там был менеджмент, делопроизводство и экономика, то вообще хорошо было. А теперь высшая математика, психология и статистика
#Объявление Математика. Статистика. Физика. Экономика #samara
Спешу обрадовать тех, кто не смог выбрать: Статистика+Экономика+Математика = ЭКОНОМЕТРИКА И она у вас еще впереди!

4 years ago

Доклады: Студент Саня плохо защитил диплом и ушёл защищать родину.
Шутки юмора математиков.
Есть нечего, контрольную решу.
Репетиторы шутят анекдоты.
Целый день на парах! НАУЧУ ЧИТАТЬ ЛЮБОГО! Уроки английского чтения с нуля. Урок: Учи английский, контрольные задания по математике 11 класс. ЕГЭ по математике на 100 баллов: секреты, о которых не говорят школьные учителя. Мастер-класс 1 марта "Сдай ЕГЭ по математике на 100 баллов!". В программе: Как не растерять баллы. Ловушки ЕГЭ-2015. Оформление задач в части С (задачи 16 и 17). Где взять дополнительные баллы. Секретные ссылки, о которых рассказано на Мастер-классе, можно найти здесь - это ссылки на Видеокурсы для подготовки к ЕГЭ 2016 года.
Вышка и yandex проведут Всероссийскую математическую контрольную в день числа «Пи» – 14 марта
контрольные задания по информатике 10 класс
Репетитор Султанов

4 years ago

Учительница спрашивает у второклассника:
- Лёня, сколько будет 1+1?
- Не знаю.
- Ну, вот папа принёс одно яблоко, а потом ещё одно, что получится?
- А он яблоки не носит.
- А что он носит?
- Мясо.
- Ну вот принёс он один кусок, а потом ещё один, что получилось?
- А он кусками не носит.
- А чем он носит?
- Ляжками.
- Ну вот, принёс он одну ляжку, а потом ещё одну, что получилось?
- Задница.

Ответом к заданиям является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в бланк ответов справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно. Часть 1 Иван Павлович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 22 мили в час? Считайте, что 1 миля равна 1609 м. Ответ округлите до целого числа.
ЕГЭ 2015 Федеральный институт педагогических измерений. Издательство «Национальное образование» Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку - целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма - это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок. Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 30 б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться х? в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Задачи этого типа появились в ЕГЭ относительно недавно, но застали врасплох как учеников, так и многих учителей. А всё потому что решаются они с помощью производной — инструмента, совершенно непривычного для второй части экзамена.

Задача 17. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

В приведённом условии есть важный момент, после осознания которого у вас вообще не будет проблем с решением подобных задач. Дело в том, что величина $t$, указанная для первого завода и для второго — это не одно и то же число ! Другими словами, суммарное время рабочих на первом и другом заводе будет разным.

Для решения введём новые переменные: ${{a}^{2}}$ — суммарное время рабочих на первом заводе, ${{b}^{2}}$ — суммарное время на втором. С учётом производительности получим:

$\begin{align}& {{a}^{2}}\to 3a \\& {{b}^{2}}\to 4b \\\end{align}$

Таким образом, затратив суммарно ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ часов времени, мы получим $3a+4b$ единиц продукции в неделю. Всё остальное — элементарная математика, подробно описанная в видеоуроке:

В прошлый раз мы рассматривали довольно «противные» задачи, связанные с вычислением времени в задачах про кредиты. Но это было очень просто по сравнению с тем, что мы будем рассматривать сегодня, а именно экономическую задачу 17 про производительность труда, в которой требуется применять производную. Эти задачи появились в ЕГЭ по математике относительно недавно, и те, кто уже с ними столкнулся, оценили, что, во-первых, условие таких задач довольно длинное, а, во-вторых, в каждой из таких задач есть неприятная зацепка, на которой «прогорели» очень многие ученики.

Думаю, вы уже догадались, что речь идет о той самой задачи 17, когда у Григория есть два завода, и еще указана производительность труда, и требуется оценить, какое наибольшее количество продукции можно произвести на этих двух заводах, если распределить нагрузку оптимально. Но на самом деле, в этих задачах 17 нет ничего сложного, даже чуть проще, чем многие задачи на кредиты. Поэтому сейчас мы рассмотрим одно из таких заданий, внимательно пробежимся по каждому пункту и посмотрим, как именно должно выглядеть идеальное ее решение.

Задача № 1

Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Шаг первый: вводим переменные

Прежде всего, перед тем как переходить к непосредственному решению задачи 17 из ЕГЭ по математике, попытаться что-то посчитать, составить какие-то формулы, поймите одну простую вещь: величина ${{t}^{2}}$, данная и в первом, и во втором предложении, никак не связаны друг с другом. Коэффициент $t$ нам дан исключительно для того, чтобы сравнить производительность на разных заводах при одинаковом расходе времени. Думаю, это сравнение абсолютно очевидно: на первом производительность составляет $3t$, а на втором — $4t$, т.е. чуть побольше. На практике это означает следующее: давайте распишем, что происходит на каждом из них.

На первом заводе у нас расходуется ${{a}^{2}}$ времени (после замены) и производится $3a$ единиц продукции. На втором — ${{b}^{2}}$ времени и $4b$ продукции.

А теперь давайте сложим расходы времени и суммарный выпуск продукта.

Получим, что суммарный расход времени составляет ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$, а суммарный расход продукции — $3a+4b$. При этом еще раз обращаю ваше внимание: никто не говорил, что ${{a}^{2}}$ и ${{b}^{2}}$ должны быть равны. Ключевое слово здесь «если» и в первом, и во втором случае. Именно поэтому мы так смело меняем коэффициенты $t$ на $a$ в первом случае и на $b$ во втором случае.

Давайте посмотрим, что у нас получилось. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ — это суммарный расход времени. Поскольку Григорий платит рабочему 500 рублей за каждый час работы, то всего он сможет заплатить такую сумму:

Вот и первое уравнение.

На самом деле, основная сложность этой задачи 17 про производительность труда — вовсе не составление уравнения. Она состоит в том, что нужно понять, что на первом и на втором заводе время разное. Именно поэтому для первого мы везде заменили $t$ на $a$, а для второго — $t$ на $b$. В итоге как вы сейчас увидите, мы получим одно уравнение с двумя неизвестными, которое легко упрощается — одна неизвестная легко выражается через другую. И поэтому вся функция, выражающая количество произведенного товара, на самом деле зависит от одной-единственной переменной, в нашем случае это будет переменная $a$.

Далее, я думаю, все понятно: у нас есть функция, отрезок, на котором эта функция рассматривается, а все, что нам требуется найти — это наибольшее значение этой функции на данном отрезке. Вообщем, классическая задача для применения производных, в нашем случае новая задача 17 из ЕГЭ по математике.

Суммарный выпуск продукции ($S$) равен:

Вот теперь задача и проявилась: имея ограничение на $a$ и $b$, нам нужно добиться того, чтобы $S$ принимала свое максимальное значение. Для начала давайте немножко поработаем с уравнением: $$

\[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=10000\]

Отсюда выразим $b$:

\[{{b}^{2}}=10000-{{a}^{2}}\]

Конечно, тут следовало бы перед выражением поставить $\pm $, однако у нас речь идет о времени, а оно не может быть отрицательным, поэтому мы берем положительное значение. Итого суммарный объем выпускаемого товара может быть выписан как функция от одной-единственной переменной $a$:

Теперь нам нужно найти максимальное значение этой функции на всей области определения, а совершенно очевидно, что величину $a$, т.е. количество товара, выпущенного на первом заводе, увеличивать до бесконечности нельзя, просто потому что корень имеет конкретную область определения — величина, стоящая под корнем, не должна быть отрицательной. Давайте запишем это:

\[{{a}^{2}}\le 10000\]

\[\left| a \right|\le 100\]

Итого мы получили классическую задачу из первой части ЕГЭ по математике: у нас есть функция, есть интервал, соответственно, нужно найти максимальное значение этой функции на заданном интервале. Давайте считать производную:

\[{S}"=3+4\cdot \frac{1\cdot \left(10000-{{a}^{2}} \right)}{2\sqrt{10000-{{a}^{2}}}}=3+\frac{4\cdot \left(-2a \right)}{2\sqrt{10000-{{a}^{2}}}}=\]

\[=3-\frac{4a}{\sqrt{10000-{{a}^{2}}}}\]

Решаем полученное уравнение:

Теперь, зная, чему равно $a$, легко найти $b$:

Однако для полного и обоснованного решения необходимо понять знак производной. Давайте начертим числовую прямую и отметим на ней $a=60$ и посмотрим, что происходит при $a>60$:

Например, если взять $a=99$ мы получим следующее:

Если посмотрим на исходное выражение, то очевидно, что $\sqrt{199}<99$, но посчитав его, получаем в ответе отрицательное число.

Отсюда следует, что$a=60$является точкой максимума, т.е. именно той, которую мы и хотели найти. Именно в ней наша исходная функция принимает исходное значение. Осталось подставить в $S$ полученное значение $a$ и $b$:

Окончательный ответ: 500 единиц товара.

Нюансы решения

Как видите, все оказалось не так уж и сложно. Единственно, что нам нужно запомнить — это то, что величина ${{t}^{2}}$, когда речь идет о первом заводе дает нам информацию о производительности труда именно на нем, т.е. связывает время, затраченное на производство и количество продукции в рамках только него.

Величина ${{t}^{2}}$, относящаяся ко второму заводу, говорит нам именно о нем и никак не связана с первым.

Более того, считать, что количество времени, затраченного рабочими на первом и на втором заводах, абсолютно одинаково — это вообще глупость, потому что в этом случае полученное уравнение оказалось бы намного проще и решалось бы как элементарное линейное: нам бы не потребовалось никаких производных, никаких доказательств, что мы получили точку максимума — мы просто бы разделили зарплату между рабочими первого и второго производств пополам.

Поэтому запомните: время, потраченное на первом и на втором заводах, разное, поэтому пусть на первом потрачено ${{a}^{2}}$ времени, а на втором — ${{b}^{2}}$. В этом случае задача действительно становится сложнее, при этом интересней и вполне достойной называться задачей 17 из ЕГЭ по математике.

Задача № 2

А в качестве десерта предлагаю решить еще одну такую же задачу 17 из ЕГЭ по математике, однако выкладки в этот раз будут минимальными, по возможности такими, какие и нужно делать на экзамене по математике.

Сергей владеет двумя промышленными заводами, выпускающими одинаковую продукцию. На втором заводе установлено современное оборудование, поэтому на нем может быть выпущено больше единиц продукции. Известно, что если рабочие первого завода суммарно трудятся ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то выпускают $t$ единиц продукции. А если рабочие второго завода суммарно трудятся ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то выпускают $2t$ единиц продукции. Ставка заработной платы рабочего составляет 500 рублей в час.

Сергей готов платить рабочим 30 250 000 рублей в неделю. На какое максимальное количество единиц продукции он может рассчитывать?

Шаг первый: вводим переменные

Если рабочие на первом заводе трудятся ${{x}^{2}}$, то это дает нам $x$ единиц товара. На втором ${{y}^{2}}$ времени дает нам $y$ товаров. Вновь складываем расходы времени — ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ и отдельно складываем объем продукции — $x+2y$. Величина ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ — это суммарный расход времени за неделю.

Шаг второй: составляем и решаем уравнение

Поскольку за каждый час работы платится 500 рублей, то суммарный расход денег за неделю составит:

\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=60500\]

Таким способом, ограничения на ${{x}^{2}}$ и ${{y}^{2}}$ найдены.

Теперь необходимо записать сумму:

\[{{y}^{2}}=60500-{{x}^{2}}\]

Подставляем найденное значение $y$ в нашу формулу и получаем:

Находим производную этой конструкции:

\[{S}"=1+2\frac{1\left(-2x \right)}{2\sqrt{60500-{{x}^{2}}}}=1-\frac{2x}{\sqrt{60500-{{x}^{2}}}}\]

Вновь приравниваем полученное выражение к нулю:

\[\frac{1}{1}=\frac{2x}{\sqrt{60500-{{x}^{2}}}}\]

\[\sqrt{60500-{{x}^{2}}}=2x\]

\[{{x}^{2}}=\frac{60500}{5}=121\cdot 100\]

Шаг третий: находим максимальное значение функции

Мы получили критическую точку функции $S$. Теперь необходимо доказать, что это точка максимума. Для этого начертим вновь прямую, отметим на ней полученную точку 110 и возьмем любое число, больше чем 110. Однако для упрощения дальнейших выкладок предлагаю взять не рандомное число как в прошлый раз, а посчитать его с помощью следующего метода. Для начала давайте найдем $y$. Запишем такое выражение:

Очевидно, что 220 больше 110, и если мы поставим его в нашу функцию, то получим число на отмеченном интервале:

Давайте подставим:

${S}"\left(220 \right)=1-\frac{2\cdot 220}{\sqrt{60500-{{220}^{2}}}}=1-\frac{440}{\sqrt{60500-48400}}=$

$=1-\frac{440}{\sqrt{12100}}=1-\frac{440}{110}=1-4=-3$

Следовательно, справа от числа 110 мы получаем отрицательную производную, а слева, естественно, будет положительная.

Итого 110 — точка максимума. Это является строгим обоснованием.

Теперь подставляем в выражение $x$ и $y$, которые мы нашли:

Ответ: 550 единиц товара.

Ключевые моменты решения задач17 на производительность труда из ЕГЭ по математике

Все, что нам нужно знать — это:

1. Правило вычисления производных сложных функций.
2. Правила решения несложных уравнений.

Кроме того, хотел бы отметить, что не надо бояться работать с большими числами. Такие выражения, когда у нас появляются пятизначные и более числа, абсолютно типичны для последних задач 17 из ЕГЭ по математике, потому что они реально трудные. Но на самом деле, в этих задачах из ЕГЭ нет ничего трудного. Вам только нужно знать следующее:

• ${{a}^{2}}\to a$ и ${{b}^{2}}\to 2b$ — как связано затраченное время с объемом выпущенного товара;
• $S=a+2b\to \max $ — суммарный объем товара находится по несложной формуле.

Кроме того, необходимо понимать, как связано время, затраченное на первом производстве и на втором, т.е. каковы максимальны ограничения на это время.

Надеюсь, это видео поможет вам построить собственный завод, где вы будете платить рабочим по 30 млн. рублей в неделю, если такой суммы вам окажется недостаточно, заходите на наш сайт, подписывайтесь на паблик ВКонтакте и на канал в YouTube. До новых встреч!