Главная Проверки Устройство состоит из трех независимых. Задачи из тестов с решениями

Устройство состоит из трех независимых. Задачи из тестов с решениями

ЗАДАЧИ ИЗ ТЕСТОВ С РЕШЕНИЯМИ

Задача 1. Из урны, в которой находятся 12 белых и 10 черных шаров, вынимают наудачу один шар. Тогда вероятность того, что этот шар будет черным, равна…

Решение.

Воспользуемся формулой , где n m A . В нашем случае возможны n =12+10=22 элементарных исхода испытания, из которых благоприятствующими являются m =10 исходов. Следовательно, .

Задача 2. Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет четное число очков, равна…

Решение.

Воспользуемся формулой , где n - общее число возможных элементарных исходов испытания, а m - число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A . В нашем случае возможны n =6 элементарных исходов испытания (на верхней грани появится одно, два,…, шесть очков), из которых благоприятствующими являются три исхода (два, четыре и шесть очков). Следовательно, m =3 и .

Задача 3. Из урны, в которой находятся 6 черных и 10 белых шаров, вынимают одновременно 2 шара. Тогда вероятность того, что оба шара будут белыми, равна…

Решение.

Воспользуемся формулой , где n - общее число возможных элементарных исходов испытания, а m - число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь два шара из 16 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь два белых шара из десяти имеющихся, то есть . Следовательно, .

Задача 4. Два предприятия производят разнотипную продукцию. Вероятности их банкротства в течение года равны 0,1 и 0,2 соответственно. Тогда вероятность того, что в течение года обанкротится хотя бы одно предприятие, равна…

Решение.

Введем обозначения событий: A 1 - обанкротится первое предприятие; A 2 - обанкротится второе предприятие; A - обанкротится хотя бы одно предприятие; - ни одно предприятие не обанкротится. Тогда = , где A i . причем . Так как, по условию задачи, события A 1 и A 2 независимы, то .

Задача 5. Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадания в цель для первого и второго стрелков равны 0,7 и 0,85 соответственно. Тогда вероятность того, что в цель попадет только один стрелок, равна …

Решение.

Введем обозначения событий: A 1 - в цель попадет первый стрелок, A 2 - в цель попадет второй стрелок, A - в цель попадет только один стрелок. Тогда = + , где - событие, противоположное событию A i , причем . Так как, по условию задачи, события A 1 и A 2 несовместны и независимы, то

Задача 6. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы этих элементов (в течение рабочего дня) равны соответственно 0,9, 0,8 и 0,7. Тогда вероятность того, что в течение рабочего дня будут работать безотказно все три элемента, равна…

Решение.

Введем обозначения событий: A i - в течение рабочего дня безотказно работает i - ый элемент, A – в течение рабочего дня работают безотказно все три элемента. Тогда A = A 1 · A 2 · A 3 . Так как, по условию задачи, события A 1 , A 2 и A 3 независимы, то P (A )= P (A 1 · A 2 · A 3 )=

P (A 1 )·P(A 2 )·P(A 3 )=0,9·0,8·0,7=0,504.

Задача 7. В первой урне 3 черных и 7 белых шаров. Во второй урне 4 белых и 6 черных шаров. В третьей урне 11 белых и 9 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна…

Решение.

A (вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности: .

Здесь: - вероятность того, что шар извлечен из первой урны; - вероятность того, что шар извлечен из второй урны; - вероятность того, что шар извлечен из третьей урны. - условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из первой урны; - условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из второй урны; - условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из третьей урны.
Тогда .

Задача 8. В первой урне 6 черных и 4 белых шара. Во второй урне 2 белых и 18 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар извлечен из первой урны, равна…

Решение.

Предварительно вычислим вероятность события A (вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: .

Здесь: - вероятность того, что шар извлечен из первой урны; - вероятность того, что шар извлечен из второй урны; - условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из первой урны; - условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из второй урны.
Тогда .
Теперь вычислим условную вероятность того, что шар извлечен из первой урны, если он оказался белым, по формуле Байеса:
.

Задача 9. С первого станка на сборку поступает 45%, со второго – 55% всех деталей. Среди деталей первого станка 90% стандартных, второго – 80%. Тогда вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется нестандартной, равна …

Решение.

Для вычисления вероятности события A (взятая наудачу деталь окажется нестандартной) применим формулу полной вероятности: . Здесь: - вероятность того, что деталь поступила с первого станка; - вероятность того, что деталь поступила с второго станка; - условная вероятность того, что деталь нестандартная, если она изготовлена на первом станке; - условная вероятность того, что деталь нестандартная, если она изготовлена на втором станке.
Тогда

P (A )=0,45(1-0,9)+0,55(1-0,8)=0,045+0,11=0,155.

Задача 10. С первого станка на сборку поступает 20%, со второго – 80% всех деталей. Среди деталей первого станка 90% стандартных, второго – 70%. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Тогда вероятность того, что эта деталь изготовлена на первом станке, равна …

Решение.

Предварительно вычислим вероятности события A (взятая наудачу деталь окажется стандартной) по формуле полной вероятности: .

Здесь: - вероятность того, что деталь поступила с первого станка; - вероятность того, что деталь поступила с второго станка; - условная вероятность того, что деталь стандартная, если она изготовлена на первом станке; - условная вероятность того, что деталь стандартная, если она изготовлена на втором станке.
Тогда 0,2∙0,9+0,8∙0,7=0,74..
Теперь вычислим условную вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке, если она оказалась стандартной, по формуле Байеса:
.

Задача 11.

Решение.

По определению F (x )= P (X < x ).

Тогда
а) при , F (x )= P (X <1)=0,
б) при , F (x )= P (X =1)=0,1,
в) при ,

F (x )= P (X =1)+ P (X =3)=0,1+0,3=0,4,
г) при x > 5,

F(x)=P(X=1)+ P(X=3)+P(X=5)+P(X=6)= 0,1+0,3+0,6=1.
Следовательно,

Задача 12. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей

Тогда значения a и b могут быть равны…

Решение.

Так как сумма вероятностей возможных значений равна 1, то a + b =1-0,1-0,2=0,7. Этому условию удовлетворяет ответ: a =0,4, b =0,3.

Задача 13. X и Y :

Тогда закон распределения вероятностей суммы X + Y имеет вид…

Решение.

Возможные значения x ij суммы дискретных случайных величин X + Y определяются как x ij = x i + y j , а соответствующие вероятности как произведение ).
Тогда ответ:

Задача 14. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна 0,2. Тогда математическое ожидание дискретной случайной величины X - числа появлений события A в n =100 проведенных испытаниях, равно…

Решение.

Случайная величина X подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей. Поэтому M (X )= np =100∙0,2=20.

Задача 15. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:

Тогда плотность распределения вероятностей имеет вид…

Решение.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле: f (x )= F ’(x ). Тогда , (1)’=0 и

Задача 16. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей . Тогда математическое ожидание a и дисперсия σ 2 этой нормально распределенной случайной величины равны…

Решение.

Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины имеет вид: . Тогда a =3 ,σ 2 =16.

Задача 17. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей

Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид…

Решение.

По определению F (x )= P (X < x ).

Тогда
а) при , F (x )= P (X <1)=0,
б) при , F (x )= P (X =1)=0,2,
в) при ,

F (x )= P (X =1)+ P (X =2)=0,2+0,1=0,3,
г) при ,

F (x )= P (X =1)+ P (X =2)+ P (X =4)=0,2+0,1+0,3=0,6,
д) при x > 6,

F(x)=P(X=1)+ P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)=1.
Следовательно,

Задача 18. Даны две независимые дискретные случайные величины X и Y :

Решение.

Тогда закон распределения вероятностей суммы X + Y имеет вид…

Возможные значения x ij суммы дискретных случайных величин X + Y определяются как x ij = x i + y j , а соответствующие вероятности как произведение p ij = p i ∙ q j = P (X = x i ) ∙ P (Y = y j ).
Тогда правильным будет ответ:
.

Задача 19. Основная гипотеза имеет вид H 0 : σ 2 =4. Тогда конкурирующей может являться гипотеза…

Решение.

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит основной гипотезе. Условию σ 2 =4 противоречит H 1 :σ 2 >4.

Задача 20. r В =0,85 и выборочные средние квадратические отклонения σ X =3,2 σ Y =1,6. Тогда выборочный коэффициент регрессии X на Y равен…

Решение.

X на Y вычисляется по формуле: . Тогда .

Задача 21. y =-1,56-2,3 x .

Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен…

(Варианты ответа: |1,56 | - 0,87 | - 2,3 | 0,87)

Решение.

Значение выборочного коэффициента корреляции, во-первых, принадлежит промежутку [-1,1], а во-вторых, его знак совпадает со знаком выборочного коэффициента регрессии. Этим условиям удовлетворяет значение -0,87.

Задача 22. Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид y =6-3 x . Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен…

(Варианты ответов: 0,9 | -3,0 | 6,0 | - 0,9)

Решение.

Задача 23. Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид y =-5+2 x . Тогда выборочный коэффициент регрессии равен…

Решение.

Если выборочное уравнение парной регрессии имеет вид y =α+β x , то выборочный коэффициент регрессии равен β. То есть β=2.

Задача 24. При построении выборочного уравнения парной регрессии вычислены: выборочный коэффициент корреляции r В =0,75 и выборочные средние квадратические отклонения σ X =1,1 σ Y =2,2. Тогда выборочный коэффициент регрессии X на Y равен…

Решение.

Выборочный коэффициент регрессии X на Y вычисляется по формуле: . Тогда .

Задача 25 . Мода вариационного ряда 1,2,2,3,3,3,4 равна…

Решение.

Модой вариационного ряда называется варианта, имеющая наибольшую частоту. Такой вариантой является варианта 3, частота которой равна

трем.

Задача 26 . Медиана вариационного ряда 3,4,5,6,7,12 равна…

Решение.

Медианой вариационного ряда называется варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Так как в середине ряда располагаются две варианты: 5 и 6, то медиана равна их средней арифметической 5,5.

Задача 27 . Размах варьирования вариационного ряда 3,5,5,7,9,10,16 равен…

Решение.

Размах варьирования вариационного ряда определяется как R = x max - x min , получаем: .

Задача 29. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n =20:

Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна…

Решение.

Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле: . То есть Задача 31 . Дана интервальная оценка (8,45;9,15) математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точечная оценка математического ожидания равна…

Решение.

Интервальная оценка математического ожидания нормально распределенного количественного признака представляет собой интервал, симметричный относительно точечной оценки. Тогда точечная оценка будет равна .

Задача 32. Дана интервальная оценка (10,45;11,55) математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точность этой оценки равна…

Тогда значение a равно…

Решение.

Так как объем выборки вычисляется как n =(a +7+5+3) h , то a =50/2-7-5-3=10.

Теорема сложения вероятностей совместных событий . Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Если события несовместны, то P(AB)=0 и формула принимает вид:

Теорема умножения вероятностей . Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло:

Если события независимы, то P(B/A)=P(B) и формула принимает вид:

Пример 16. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй – 5 белых и 7 черных шара. Из первой урны случайно взяли 3 шара, а из второй – 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

1) все шары одного цвета;

2) только 3 белых шара;

3) хотя бы один белый шар;

Решение. Шары вынимают из обеих урн независимо. Элементарными событиями будут сочетания по 3 шара из 10 или по 2 из 12. Введем обозначение событий:A 1 – все вынутые шары одного цвета, А 2 – среди извлеченных шаров только 3 белых, А 3 – среди извлеченных шаров имеется хотя бы один белый.

Пусть из первой урны извлечены: В 1 – 3 белых шара, В 2 – 2 белых и один черный, В 3 – 1 белый и 2 черных, В 4 – 3 черных шара. Из второй урны извлечены:D 1 – 2 белых шара,D 2 – 1 белый и 1 черный шар,D 3 – 2 черных шара.

1) Найдем P(A 1). Для этого выразим событиеA 1 черезB i иD k:A 1 =B 1 D 1 +B 4 D 3 . СобытияB i иD k независимы, аB 1 D 1 иB 4 D 3 – несовместны, поэтому

Количество элементарных равновозможных исходов для первой и второй урны соответственно равны:

Найдем количество благоприятных исходов для событий B i ,D k:

Следовательно:

2) A 2 =B 1 D 3 +B 2 D 2 +B 3 D 1 .

3) Для отысканияP(A 3) введем противоположное событие 3: среди извлеченных шаров нет белых. Тогда Р( 3)
,

Пример 17 . Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за времяt) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0.6; 0.7; 0.8. Найти вероятности того, что за времяtбезотказно будут работать:

только один элемент;

2) только два элемента;

3) все три элемента;

Решение. Введем обозначения событий:A 1 – безотказно работает только один элемент, А 2 – только два, А 3 – все три, В – безотказно работает первый элемент, С – работает второй,D– работает третий. По условию задачиP(B)=0.6;P(C)=0.7;P(D)=0.8.

1) A 1 =B
+С
+
D. Тогда:

2) A 2 =BC+BD+ CD,

П ример 18. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что безотказно будут работать:

1) хотя бы 2 элемента;

2) хотя бы 1 элемент;

Решение. Пусть событие Е – работают хотя бы 2 элемента, К – работает хотя бы 1 элемент.

2) Введем противоположное событиеk̅ - отказали все три элемента. Тогда:

Пример 19 . Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. Рассматриваются события: А – выпадение герба на первой монете;D– выпадение хотя бы одного герба;E– выпадение хотя бы одной цифры;F– выпадение герба на второй монете. Определить, зависимы или независимы пары событий: 1)AиE, 2)AиF, 3)DиE, 4)DилиF.

Решение. Для независимых событий условная вероятность равна безусловной, а для зависимых – они не равны. Выпишем все исходы испытания: г, г; г, ц; ц, г; ц, ц и определим в каждом случае безусловные и условные вероятности.

20.Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

21. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

22. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятности того, что деталь содержится: а) не более чем в трех ящиках; б) не менее чем в двух ящиках.

23. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

24. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

25. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз.

26. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

27. При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за космическим объектом, объект обнаруживается с вероятностью p. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других. Найти вероятность того, что приnциклах объект будет обнаружен.

28. Имеется mрадиолокационных станций, каждая из которых за один цикл обзора обнаруживает объект с вероятностьюp(независимо от других циклов и других станций). За времяTкаждая станция успевает сделатьnциклов. Найти вероятности следующих событий: А – объект будет обнаружен хотя бы одной из станций, В – объект будет обнаружен каждой станцией.

29. Завод выпускает радиолампы, каждая лампа может с вероятностью pиметь дефект. После изготовления лампы проверяются последовательно 3 контролерами: первый контролер обнаруживает имеющийся дефект с вероятностьюP 1 , второй и третий с вероятностьюP 2 иP 3 . В случае обнаружения дефекта изделие бракуется. Определить вероятность событий: А – изделие будет забраковано, В – изделие будет забраковано вторым контролером, С – изделие будет забраковано всеми контролерами.

30. В технической системе некоторые узлы дублированы. Схемы дублирования узлов и их надежности указаны на рисунках. Определить надежность Р системы.

31. Пустьпространство S = {1, 3, 5, 7, 9, 11} и три его подмножества:

А = {1, 3, 5}, В = {7, 9, 11} и С = (1, 3, 9, 11}. Найдите

A U В А∩В A ∩ B ∩С A - В

B U C A ∩ С ∩ B A - С (A - В) U В

A U C В ∩ С A ∩ С - А (А - В) U С

32. Используя операции над множествами, докажите справедливость следующих выражений:

а) А U (А ∩ В) = А,

б) A U (B ∩ C ) = (A U B ) ∩ (A U C ) ,

в) А U (А ∩ В)=А U В,

г) (A ∩B) U (A ∩ B) U (A ∩ B) = A.

33. Пусть каждому элементу введенных в задаче 31 пространства и подпространств соответствует вероятность 1/6. Найдите следующие вероятности:

а) Р(A ), б) Р(B ), в)Р(С ), г) Р(A U B ), д) Р(A U C ), е) Р ((A - С ) U B ).

34. Два полупроводниковых диода соединены последовательно. Вероятность короткого замыкания каждого из них составляет 0,05, а обрыва - 0,1. Если считать, что неисправность, возникшая в одном диоде, не влияет па работу другого, то какова вероятность работоспособности цепи?

Вариант №19

1. Устройство состоит из трёх независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы 1 элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t , если:

а) работают только основные элементы; б) включен 1 резервный элемент; в) включены 2 резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента равна 0,1 и устройство отказывает, если работает менее трёх элементов.

2. В круг радиуса 8 случайным образом брошена точка так, что ее любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри лежащего в круге квадрата со стороной 5.

3. В урне 12 шаров, из них 8 – окрашенные. Найти вероятность того, что ровно 2 из 4-х вынутых наудачу шаров окрашены.

4. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе №1, 20 деталей – на заводе №2 и 18 деталей – на заводе №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе №1, отличного качества равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9.

А) Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

В) Извлеченная деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что она изготовлена на заводе №3.

5. Рабочий за смену проверяет на наличие брака 225 деталей. Вероятность того, что деталь не будет бракована, равна 0,8. Какова вероятность того, что не бракованных деталей будет ровно 165 штук?

6. Вероятность появления события в каждом из 600 независимых испытаний равна 0,4 .Найти вероятность того, что интересующее событие появится от 210 до 252 раз.

X и Y

X	-3	-2				Y	-4
p	0,2	0,4	0,2	0,2		p	0,3	0,7

Z=2X-4Y. Х.

8. Составить ряд распределения случайной величины Х -числа выпадений “решки” при п =6 бросаниях монеты. Определить вероятность того, что при подбрасываниях “решка” выпадет: а) ровно три раза; б) более трех раз; в) не более трех раз. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х .

9. Случайная величина X F(x X X :

Х .

10. Диаметр детали, изготавливаемой на станке, - случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 25см и средним квадратическим отклонением 0,4см. Найти вероятность того, что две наудачу взятые детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16см.

Вариант №20

1. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному 3 кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются:

а) без возвращения;

б) с возвращением (извлеченный кубик возвращается в мешочек).

2. В круг радиуса 6 случайным образом брошена точка так, что ее любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри лежащего в круге квадрата со стороной 4.

3. В урне 12 шаров, из них 6 – окрашенные. Найти вероятность того, что ровно 2 из 3-х вынутых наудачу шаров окрашены.

4. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй – 20, из них 4 белых. Из каждой урны на удачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят 1 шар.

А) Найти вероятность того, что взят белый шар.

В) Извлечен белый шар. Какова вероятность, что он был вынут из второй урны?

5. Рабочий за смену проверяет на наличие брака 150 деталей. Вероятность того, что деталь не будет бракована, равна 0,6. Какова вероятность того, что не бракованных деталей будет ровно 75 штук?

6. Вероятность появления события в каждом из 300 независимых испытаний равна 0,75 .Найти вероятность того, что интересующее событие появится от 210 до 225 раз.

7. Независимые дискретные величины X и Y заданы законами распределения:

X	-2	-1				Y
p	0,2	0,5	0,1	0,2		p	0,3	0,7

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайной величины Z=2X-3Y. Найти и построить функцию распределения дискретной случайной величины Х.

8. Всхожесть семян свеклы составляет 90%. Составить ряд распределения случайной величины Х -числа взошедших семян, если посеяно 5 семеян. Определить вероятность того, что среди пяти посеянных семян взойдет: а) ровно два; б) более двух; в) не более двух. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х .

9. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей F(x ). Найти: а) плотность распределения вероятностей случайной величины X , б) вероятность попадания случайной величины в интервал ; в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X :

Построить графики функции и плотности распределения случайной величины Х .

10. Пусть Х – случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием 1,6 и средним квадратическим отклонением 1. Какова вероятность того, что при четырех испытаниях эта случайная величина попадет хотя бы один раз в интервал (1; 2)?

Вариант №21

1. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий: а) только одно стандартно; б) оба стандартны; в) стандартно хотя бы одно.

2. . В круг радиуса 10 случайным образом брошена точка так, что ее любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри лежащего в круге квадрата со стороной 5.

3. В урне 10 шаров, из них 6 – окрашенные. Найти вероятность того, что ровно 2 из 3-х вынутых наудачу шаров окрашены.

4. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8.

А) Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень.

В) Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

5. Рабочий за смену проверяет на наличие брака 400 деталей. Вероятность того, что деталь не будет бракована, равна 0,9. Какова вероятность того, что не бракованных деталей будет ровно 372 штуки?

6. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,36 .Найти вероятность того, что интересующее событие появится от 225 до 255 раз.

7. Независимые дискретные величины X и Y заданы законами распределения:

X	-1					Y
p	0,2	0,5	0,1	0,2		p	0,6	0,4

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайной величины Z=4X-Y. Найти и построить функцию распределения дискретной случайной величины Х.

8. Стрелок произвел 6 выстрелов с вероятностью поражения цели при отдельном выстреле 0,7. Составить ряд распределения случайной величины Х -числа поражений цели. Определить вероятность того, что среди 6 выстрелов поражений мишени будет: а) ровно четыре; б) более четырех; в) не более четырех. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х .

9. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей F(x ). Найти: а) плотность распределения вероятностей случайной величины X , б) вероятность попадания случайной величины в интервал (-1; 2); в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X :

Построить графики функции и плотности распределения случайной величины Х .

10. Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием 5см и средним квадратическим отклонением 0,9см. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь имеет диаметр в пределах от 4 до 7см.

Вариант №22

1. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий: а) только два изделия высшего сорта; б) ни одного изделия высшего сорта; в) хотя бы одно изделие высшего сорта.

2. В круг радиуса 9 случайным образом брошена точка так, что ее любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри лежащего в круге квадрата со стороной 4.

3. В лотерее 10 билетов, из которых 4 выигрышных. Какова вероятность, что выиграют два билета при покупке четырех билетов.

4.Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

5. Рабочий за смену проверяет на наличие брака 600 деталей. Вероятность того, что деталь не будет бракована, равна 0,6. Какова вероятность того, что не бракованных деталей будет ровно 375 штук?

6. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,5 .Найти вероятность того, что интересующее событие появится от 190 до 215 раз.

7. Независимые дискретные величины X и Y заданы законами распределения:

X	-2	-1				Y	-1
p	0,3	0,2	0,4	0,1		p	0,6	0,4

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайной величины Z=5X-Y. Найти и построить функцию распределения дискретной случайной величины Х.

8. Вероятность рождения мальчика 0,52. Составить ряд распределения случайной величины Х -числа рождений мальчиков среди 4 новорожденных. Определить вероятность того, что среди 4 новорожденных мальчиков будет: а) ровно три; б) более трех; в) не более трех. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х .

9. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей F(x ). Найти: а) плотность распределения вероятностей случайной величины X , б) вероятность попадания случайной величины в интервал (3;6); в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X :

Построить графики функции и плотности распределения случайной величины Х .

Х , которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина на удачу взятой детали больше 55 мм.

Вариант №23

t t безотказно будет работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) хотя бы один.

2. В круг радиуса 10 случайным образом брошена точка так, что ее любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри лежащего в круге квадрата со стороной 4.

3. В ящике 15 деталей, из них 6 – бракованные. Найти вероятность того, что ровно одна из трех вынутых деталей – бракованная.

4. Две перфораторщицы набили на разных перфокартах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй эта вероятность равна 0,1.

А) Найти вероятность того, что при сверке перфокарт будет обнаружена ошибка.

В) При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица. (Предполагается, что оба перфоратора исправны.)

5. Рабочий за смену проверяет на наличие брака 192 детали. Вероятность того, что деталь не будет бракована, равна 0,75. Какова вероятность того, что не бракованных деталей будет ровно 150 штук?

6. Вероятность появления события в каждом из 225 независимых испытаний равна 0,2 .Найти вероятность того, что интересующее событие появится от 45 до 60 раз.

7. Независимые дискретные величины X и Y заданы законами распределения:

X	-3	-1				Y	-1
p	0,1	0,3	0,4	0,2		p	0,6	0,4

8. Вероятность изготовления детали высшего сорта на данном станке равна 0,6. Составить ряд распределения случайной величины Х -числа деталей высшего сорта в выборке объема п =3. Определить вероятность того, что в выборке будет высшего сорта: а) ровно две детали; б) более двух деталей; в) не более двух деталей. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х .

Построить графики функции и плотности распределения случайной величины Х .

10. Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием 5см и средним квадратическим отклонением 0,9см. Найти вероятность того, что размер диаметра наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 2см.

Вариант №24

1. Устройство состоит из трёх элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время t ) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что за время t , безотказно будут работать: а) все три элемента; б) только два элемента; в) хотя бы один элемент.

3. Студент знает 25 из 30 вопросов экзамена. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого достаточно ответить на 3 из 5 предложенных экзаменатором вопроса.

4. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К , 30% – с заболеванием L , 20% – заболеванием М . Вероятности полного излечения болезни К равна 0,7, для L и M - 0,8 и 0,9 соответственно. Для обследования после лечения выбирается один пациент.

А) Найти вероятность того, что пациент излечен.

В) Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K .

5. Рабочий за смену проверяет на наличие брака 100 деталей. Вероятность того, что деталь не будет бракована, равна 0,9. Какова вероятность того, что не бракованных деталей будет ровно 96 штук?

6. Вероятность появления события в каждом из 300 независимых испытаний равна 0,25 .Найти вероятность того, что интересующее событие появится от 75 до 90 раз.

7. Независимые дискретные величины X и Y заданы законами распределения:

X	-2	-1				Y	-3
p	0,4	0,2	0,2	0,2		p	0,5	0,5

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайной величины Z=4X-2Y. Найти и построить функцию распределения дискретной случайной величины Х.

8. Игральная кость подбрасывается ровно пять раз. Составить ряд распределения случайной величины Х -числа выпадений пяти очков. Определить вероятность того, что пять очков выпадет: а) ровно два раза; б) более двух раз; в) не более двух раз. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х .

Построить графики функции и плотности распределения случайной величины Х .

10. Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием 5см и средним квадратическим отклонением 0,9см. Установить, в каких пределах следует ожидать размер диаметра детали, чтобы вероятность не выйти за эти границы была равна 0,95.

Вариант №25

1. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлечённых двух деталей есть а) хотя бы одна стандартная; б) только одна стандартная.

3. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают три изделия для контроля. Найти вероятность события что в полученной выборке одно изделие бракованное.

4. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника-0,9; для велосипедиста-0,8; для бегуна-0,75. Выбирается наудачу один спортсмен.

А) Найти вероятность того, что спортсмен выполнит норму.

В) Спортсмен выполнил норму. Какова вероятность того, был выбран велосипедист?

5. Рабочий за смену проверяет на наличие брака 625 деталей. Вероятность того, что деталь не будет бракована, равна 0,8. Какова вероятность того, что не бракованных деталей будет ровно 510 штук?

6. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,64 .Найти вероятность того, что интересующее событие появится от 400 до 430 раз.

7. Независимые дискретные величины X и Y заданы законами распределения:

X	-2	-1				Y
p	0,2	0,5	0,1	0,2		p	0,7	0,3

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайной величины Z=3X-Y. Найти и построить функцию распределения дискретной случайной величины Х.

8. Баскетболист бросает мяч в кольцо 4 раз. Вероятность попадания в кольцо при одиночном бросании 0,8. Составить ряд распределения случайной величины Х -числа попаданий мяча в кольцо. Определить вероятность того, что среди четырех бросаний мяч попадет в кольцо: а) ровно три раза; б) более трех раз; в) не более трех раз. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х .

9. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей F(x ). Найти: а) плотность распределения вероятностей случайной величины X , б) вероятность попадания случайной величины в интервал (4; 5); в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X :

Построить графики функции и плотности распределения случайной величины Х .

10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х , которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина на удачу взятой детали менее 40 мм.

Вариант №26

1. Три исследователя, независимо друг от друга, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении: а) только один из исследователей допустит ошибку; б) два исследователя допустят ошибку; в) хотя бы один из исследователей допустит ошибку.

2. В круг радиуса 7 случайным образом брошена точка так, что ее любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри лежащего в круге квадрата со стороной 5.

3. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают три изделия для контроля. Найти вероятность события что в полученной выборке два изделия бракованных.

4. Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом №1, и две коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а завода №2 - 0,9. Сборщик наудачу извлёк деталь из наудачу взятой коробки.

А) Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

В) Извлечена стандартная деталь. Найти вероятность того, что она изготовлена заводом №2.

5. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что в этих испытаниях интересующее событие наступит ровно 330 раз?

6. Рабочий за смену изготавливает 150 деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта, равна 0,4. Какова вероятность того, что деталей первого сорта будет от 78 до 96 штук?

7. Независимые дискретные величины X и Y заданы законами распределения:

X	-4	-3				Y	-6
p	0,1	0,1	0,6	0,2		p	0,4	0,6

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайной величины Z=3X-2Y. Найти и построить функцию распределения дискретной случайной величины Х.

8. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи 0,1. Приобретено 4 билета. Составить ряд распределения случайной величины Х -числа выигрышей по билету в лотереи. Определить вероятность того, что среди 4 приобретенных билетов выигрышных: а) ровно четыре билета; б) более четырех билетов; в) не более четырех билетов. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х .

Построить графики функции и плотности распределения случайной величины Х .

10. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200см, среднее квадратическое отклонение равно 0,25см. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5см и 200,5см. Найти процент стандартных деталей.

Вариант №27

1. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем и четвёртом ящике соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что деталь содержится: а) в одном ящике; б) не более чем в трёх ящиках.

3. В урне 9 шаров, из них 6 – окрашенные. Найти вероятность того, что ровно 2 из 3-х вынутых наудачу шаров окрашены.

4. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором-30 деталей, из них 24 стандартных, в третьем-10 деталей, из них 6 стандартных.

А) Найти вероятность того, что наудачу извлечённая деталь из наудачу взятого ящика стандартна.

В) Извлеченная деталь стандартна. Какова вероятность того, что она была выбрана из первого ящика?

5. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,1. Найти вероятность того, что в этих испытаниях интересующее событие наступит ровно 372 раза?

6. Рабочий за смену изготавливает 100 деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта, равна 0,2. Какова вероятность того, что деталей первого сорта будет от 72 до 84 штук?

7. Независимые дискретные величины X и Y заданы законами распределения.

Бухгалтеру о налогах и кадрах. Налоги, бухгалтерия, отчетность, ККМ

Устройство состоит из трех независимых. Задачи из тестов с решениями