При решении задач управления, в том числе и управления войсками, часто возникает ряд однотипных задач:

• оценка пропускной способности направления связи, железнодорожного узла, госпиталя и т. п.;
• оценка эффективности ремонтной базы;
• определение количества частот для радиосети и др.

Все эти задачи однотипны в том смысле, что в них присутствует массовый спрос на обслуживание. В удовлетворении этого спроса участвует определенная совокупность элементов, образующая систему массового обслуживания (СМО) (рис. 2.9).

Элементами СМО являются:

• входной (входящий) поток требований (заявок) на обслуживание;
• приборы (каналы) обслуживания;
• очередь заявок , ожидающих обслуживания;
• выходной ( выходящий) поток обслуженных заявок;
• поток не обслуженных заявок;
• очередь свободных каналов (для многоканальных СМО).

Входящий поток - это совокупность заявок на обслуживание. Часто заявка отождествляется с ее носителем. Например, поток неисправной радиоаппаратуры, поступающий в мастерскую объединения, представляет собой поток заявок - требований на обслуживание в данной СМО.

Как правило, на практике имеют дело с так называемыми рекуррентными потоками, - потоками, обладающими свойствами:

• стационарности;
• ординарности;
• ограниченного последействия.

Первые два свойства мы определили ранее. Что касается ограниченного последействия, то оно заключается в том, что интервалы между поступающими заявками являются независимыми случайными величинами.

Рекуррентных потоков много. Каждый закон распределения интервалов порождает свой рекуррентный поток . Рекуррентные потоки иначе называют потоками Пальма.

Поток с полным отсутствием последействия, как уже отмечалось, называется стационарным пуассоновским. У него случайные интервалы между заявками имеют экспоненциальное распределение:

здесь - интенсивность потока.

Название потока - пуассоновский - происходит от того, что для этого потока вероятность появления заявок за интервал определяется законом Пуассона:

Поток такого типа, как отмечалось ранее, называют также простейшим. Именно такой поток предполагают проектировщики при разработке СМО. Вызвано это тремя причинами.

Во-первых , поток этого типа в теории массового обслуживания аналогичен нормальному закону распределения в теории вероятностей в том смысле, что к простейшему потоку приводит предельный переход для потока, являющегося суммой потоков с произвольными характеристиками при бесконечном увеличении слагаемых и уменьшении их интенсивности. То есть сумма произвольных независимых (без преобладания) потоков с интенсивностями является простейшим потоком с интенсивностью

Во-вторых , если обслуживающие каналы (приборы) рассчитаны на простейший поток заявок, то обслуживание других типов потоков (с той же интенсивностью) будет обеспечено с не меньшей эффективностью.

В-третьих , именно такой поток определяет марковский процесс в системе и, следовательно, простоту аналитического анализа системы. При других потоках анализ функционирования СМО сложен.

Часто встречаются системы, у которых поток входных заявок зависит от количества заявок, находящихся в обслуживании. Такие СМО называют замкнутыми (иначе - разомкнутыми ). Например, работа мастерской связи объединения может быть представлена моделью замкнутой СМО. Пусть эта мастерская предназначена для обслуживания радиостанций, которых в объединении . Каждая из них имеет интенсивность отказов . Входной поток отказавшей аппаратуры будет иметь интенсивность :

где - количество радиостанций, уже находящихся в мастерской на ремонте.

Заявки могут иметь разные права на начало обслуживания. В этом случае говорят, что заявки неоднородные . Преимущества одних потоков заявок перед другими задаются шкалой приоритетов.

Важной характеристикой входного потока является коэффициент вариации :

где - математическое ожидание длины интервала;

Среднеквадратическое отклонение случайной величины (длины интервала) .

Для простейшего потока

Для большинства реальных потоков .

При поток регулярный, детерминированный.

Коэффициент вариации - характеристика, отражающая степень неравномерности поступления заявок.

Каналы (приборы) обслуживания . В СМО могут быть один или несколько обслуживающих приборов (каналов). Согласно с этим СМО называют одноканальными или многоканальными.

Многоканальные СМО могут состоять из однотипных или разнотипных приборов. Обслуживающими приборами могут быть:

• линии связи;
• мастера ремонтных органов;
• взлетно-посадочные полосы;
• транспортные средства;
• причалы;
• парикмахеры, продавцы и др.

Основная характеристика канала - время обслуживания. Как правило, время обслуживания - величина случайная.

Обычно практики полагают, что время обслуживания имеет экспоненциальный закон распределения:

где - интенсивность обслуживания, ;

Математическое ожидание времени обслуживания.

То есть процесс обслуживания - марковский, а это, как теперь нам известно, дает существенные удобства в аналитическом математическом моделировании.

Кроме экспоненциального встречаются -распределение Эрланга, гиперэкспоненциальное, треугольное и некоторые другие. Это нас не должно смущать, так как показано, что значение критериев эффективности СМО мало зависят от вида закона распределения вероятностей времени обслуживания.

При исследовании СМО выпадает из рассмотрения сущность обслуживания, качество обслуживания .

Каналы могут быть абсолютно надежными , то есть не выходить из строя. Вернее, так может быть принято при исследовании. Каналы могут обладать конечной надежностью . В этом случае модель СМО значительно сложнее.

Очередь заявок . В силу случайного характера потоков заявок и обслуживания пришедшая заявка может застать канал (каналы) занятым обслуживанием предыдущей заявки. В этом случае она либо покинет СМО не обслуженной, либо останется в системе, ожидая начало своего обслуживания. В соответствии с этим различают:

• СМО с отказами;
• СМО с ожиданием.

СМО с ожиданием характеризуются наличием очередей. Очередь может иметь ограниченную или неограниченную емкость: .

Исследователя обычно интересуют такие статистические характеристики, связанные с пребыванием заявок в очереди:

• среднее количество заявок в очереди за интервал исследования;
• среднее время пребывания (ожидания) заявки в очереди. СМО с ограниченной емкостью очереди относят к СМО смешанного типа.

Нередко встречаются СМО, в которых заявки имеют ограниченное время пребывания в очереди независимо от ее емкости. Такие СМО также относят к СМО смешанного типа.

Выходящий поток - это поток обслуженных заявок, покидающих СМО.

Встречаются случаи, когда заявки проходят через несколько СМО: транзитная связь , производственный конвейер и т. п. В этом случае выходящий поток является входящим для следующей СМО. Совокупность последовательно связанных между собой СМО называют многофазными СМО или сетями СМО .

Входящий поток первой СМО, пройдя через последующие СМО, искажается и это затрудняет моделирование . Однако следует иметь в виду, что при простейшем входном потоке и экспоненциальном обслуживании (то есть в марковских системах) выходной поток тоже простейший . Если время обслуживания имеет не экспоненциальное распределение, то выходящий поток не только не простейший, но и не рекуррентный.

Заметим, что интервалы между заявками выходящего потока, это не то же самое, что интервалы обслуживания. Ведь может оказаться, что после окончания очередного обслуживания СМО какое-то время простаивает из-за отсутствия заявок. В этом случае

Поток заявок явл пуассоновским, если выполняются 3 условия:

Интенсивность потока событий () – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени.

Рассмотрим некоторые свойства (виды) потоков событий.

Поток событий называется стационарным , если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

В частности, интенсивность стационарного потока постоянна. Поток событий неизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят закономерного характера, и среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.

Поток событий называется потоком без последствий , если для любых двух непересекающихся участков времени и (см. рис. 2) число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга и вызваны каждое своими собственными причинами.

Поток событий называется ординарным , если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами:

Вероятность события (приход заявки) на малом интервале времени пропорциональна длине этого интервала.

Вер-ть 2 событий на малом интервале пренебрежимо мала.

Вер-ть поступления заявки не зависит от предыдущих событий.

Простейший поток имеет наиболее простое математическое описание. Он играет среди потоков такую же особую роль, как и закон нормального распределения среди других законов распределения. А именно, при наложении достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему.

Простейшие СМО и их характеристики. Многоканальные и одноканальные системы без потерь с неограниченным ожиданием и источником с бесконечным числом требований. Условие существования конечной средней очереди для многоканальных систем.

Примеры систем массового обслуживания (СМО): телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, станочные и другие технологические системы, системы управления гибких производственных систем и т.д.

Каждая СМО состоит из какого–то количества обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания (это станки, транспортные тележки, роботы, линии связи, кассиры, продавцы и т.д.). Всякая СМО предназначена для обслуживания какого–то потока заявок (требований), поступающих в какие-то случайные моменты времени.

Обслуживание заявки продолжается какое–то, вообще говоря, случайное время, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что в какие–то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными). В другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

простейшую СМО с ожиданием - одноканальная система в которую поступает поток заявок с с опр интенсивностью Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

МКУ служат для моделирования нескольких параллельно работающих объектов. Моделирование МКУ подобно моделированию прибора: транзакт поступа­ет в устройство, занимает определенное кол-во каналов, обслуживается в течение некот времени, после чего покидает МКУ, освобождая занимаемые им каналы.

Условия в реальном объекте, необходимые для использования МКУ для их представления в модели:

Объекты должны иметь одинаковую функцию распределения времени обслуживания

Одинаковые параметры этой функции.

В отличие от прибора, емкость кот всегда равна единице, емкость МКУ д.б. определена программистом. Для этого применяется специ­альная команда STORAGE (ОПРЕДЕЛИТЬ МКУ).

ИмяКоманды STORAGE A

Поле ИмяКоманды - символьное имя МКУ, а поле А - его емкость (количество каналов обслуживания), операнд А м.б. задан только в виде положительного целого числа.

Пр: MKU1 STORAGE 5 TRAKT STORAGE 30 (емкость МКУ с именем MKU1 определена равной 5, МКУ с именем TRAKT - 30).

Событие, связанное с занятием каналов обслуживания, моделируется бло­ком ENTER (ВОЙТИ), а событие, состоящее в освобождении каналов, - блоком LEAVE (ВЫЙТИ).

А – имя МКУ. В – кол-во единиц емкости МКУ, кот должен занять (освободить) транзакт. По умолч =1.

Пр: 1) ENTER BLOK3 (войти в МКУ с именем BLOK3);

2)LEAVE SEANS,3 (освободить 3 единицы емкости МКУ с именем SEANS).

Между блоками ENTER и LEAVE может находиться любое кол-во бло­ков. В частности, задержка на время обслуживания в МКУ имитируется при помощи блока ADVANCE.

Если кол-во единиц емкости, заданных операндом В блока LEAVE, превышает кол-во занятых в данный момент времени каналов МКУ, интерпретатор останавливает моделирование и выдает сообщение об ошибке.

В отношении транзактов, ожидающих занятия МКУ, действует правило «первый соответствующий с пропусками».

При входе транзакта в блок LEAVE интерпретатор приостанавливает его продвижение, позволяя очередному транзакту из цепи задержки этого МКУ войти в блок ENTER, и только после этого продвигает вышедший из МКУ транзакт в модели. Транзакт, вышедший из цепи задержки МКУ, пе­реводится в ЦТС и становится в ней последним в своем приоритетном классе.

МКУ имеют следующие СЧА: S - текущее содержимое МКУ; R -свободная емкость МКУ; SR - коэффициент использования в долях 1000; SA - целая часть среднего содержимого МКУ; SM - максимальное содержимое МКУ; SC - число занятий МКУ; ST - целая часть среднего времени занятия МКУ.

Для проектирования одноканальных устройств используют болоки Seize , Release

SEIZE A (занять) - занятие прибора транзактом. А - имя точки входа в устройство.

RELEASE A (освободить) – освобождение прибора транзактом, по истечении времени обслуживания.

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

1) A - абсолютную пропускную способность СМО , т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

2) Q - относительную пропускную способность , т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

3) P_{\text{otk}} - вероятность отказа , т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

4) \overline{k} - среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

Одноканальная система (СМО) с отказами

Рассмотрим задачу. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью \lambda . Поток обслуживании имеет интенсивность \mu . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Примечание. Здесь и в дальнейшем предполагается, что все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, будут простейшими. К ним относится и поток обслуживании - поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. Среднее время обслуживания обратно по величине интенсивности \mu , т.е. \overline{t}_{\text{ob.}}=1/\mu .

Система S (СМО) имеет два состояния: S_0 - канал свободен, S_1 - канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 6.

В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид (см. выше правило составления таких уравнений)

\begin{cases}\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end{cases}

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие p_0+p_1=1 , найдем из (18) предельные вероятности состояний

P_0=\frac{\mu}{\lambda+\mu},\quad p_1=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S_0 (когда канал свободен) и S_1 (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа P_{\text{otk}}:

Q=\frac{\mu}{\lambda+\mu}\,

P_{\text{otk}}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,.

Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока отказов

A=\frac{\lambda\mu}{\lambda+\mu}\,.

Пример 5. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью \lambda , равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

Решение. Имеем \lambda=90 (1/ч), \overline{t}_{\text{ob.}}=2 мин. Интенсивность потока обслуживании \mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{2}=0,\!5 (1/мин) =30 (1/ч). По (20) относительная пропускная способность СМО Q=\frac{30}{90+30}=0,\!25 , т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит P_{\text{otk}}=0,\!75 (см. (21)). Абсолютная пропускная способность СМО по (29) A=90\cdot0.\!25=22,\!5 , т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

Многоканальная система (СМО) с отказами

Рассмотрим классическую задачу Эрланга . Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью \lambda . Поток обслуживании имеет интенсивность \mu . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k,\ldots,S_n , где S_k - состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 7.

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью \lambda . Интенсивность же потока обслуживании, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S_2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S_1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет 2\mu . Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния S_3 (три канала заняты) в S_2 , будет иметь интенсивность 3\mu , т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.

В формуле (16) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния

P_0={\left(1+ \frac{\lambda}{\mu}+ \frac{\lambda^2}{2!\mu^2}+\ldots+\frac{\lambda^k}{k!\mu^k}+\ldots+ \frac{\lambda^n}{n!\mu^n}\right)\!}^{-1},

где члены разложения \frac{\lambda}{\mu},\,\frac{\lambda^2}{2!\mu^2},\,\ldots,\,\frac{\lambda^k}{k!\mu^k},\,\ldots,\, \frac{\lambda^n}{n!\mu^n} , будут представлять собой коэффициенты при p_0 в выражениях для предельных вероятностей p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n . Величина

\rho=\frac{\lambda}{\mu}

называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала . Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь

P_0={\left(1+\rho+\frac{\rho^2}{2!}+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1},

P_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac{\rho^2}{2!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.

Формулы (25) и (26) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все я каналов системы будут заняты, т.е.

P_{\text{otk}}= \frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.

Относительная пропускная способность - вероятность того, что заявка будет обслужена:

Q=1- P_{\text{otk}}=1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.

Абсолютная пропускная способность:

A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.

Среднее число занятых каналов \overline{k} есть математическое ожидание числа занятых каналов:

\overline{k}=\sum_{k=0}^{n}(k\cdot p_k),

где p_k - предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (25), (26).

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы A есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем \mu заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов

\overline{k}=\frac{A}{\mu}

Или, учитывая (29), (24):

\overline{k}=\rho\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.

Пример 6. В условиях примера 5 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.

Решение. Интенсивность нагрузки канала по формуле (25) \rho=\frac{90}{30}=3 , т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора \overline{t}_{\text{ob.}}=2 мин. поступает в среднем 3 заявки на переговоры.

Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) n=2,3,4,\ldots и определим по формулам (25), (28), (29) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при n=2 имеем

З_0={\left(1+3+ \frac{3^2}{2!}\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4 и т.д.

Значение характеристик СМО сведем в табл. 1.

По условию оптимальности Q\geqslant0,\!9 , следовательно, в телевизионном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае Q=0,\!9 - см. табл. 1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок (A=80,\!1) , а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (30) \overline{k}=\frac{80,\!1}{30}=2,\!67 .

Пример 7. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

Решение. По условию n=3,~\lambda=0,\!25 (1/ч), \overline{t}_{\text{ob.}} =3 (ч). Интенсивность потока обслуживании \mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{3}=0,\!33 . Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24) \rho=\frac{0,\!25}{0,\!33}=0,\!75 . Найдем предельные вероятности состояний:

– по формуле (25) p_0={\left(1+0,\!75+ \frac{0,\!75^2}{2!}+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476 ;

– по формуле (26) p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac{0,\!75^2}{2!}\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033 ;

т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% - две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени - три заявки (заняты три ЭВМ).

Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, P_{\text{otk}}=p_3=0,\!033 .

По формуле (28) относительная пропускная способность центра Q=1-0,\!033=0,\!967 , т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.

По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра A=0,\!25\cdot0,\!967=0,\!242 , т.е. в один час в среднем обслуживается. 0,242 заявки.

По формуле (30) среднее число занятых ЭВМ \overline{k}=\frac{0,\!242}{0,\!33}=0,\!725 , т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на \frac{72,\!5}{3}= 24,\!2%. .

При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны - значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Рассмотрим способы моделирования на ЭВМ потоков заявок, поступающих в систему массового обслуживания. Сначала остановимся на достаточно простом и вместе с тем наиболее распространенном случае, когща в систему поступает ординарный стационарный поток однородных событий с ограниченным последействием (поток типа Пальма).

Любой поток типа Пальма может быть задан функцией плотности случайных интервалов между последовательными моментами - поступления заявок. Для моделирования его на ЭВМ достаточно построить необходимое число реализаций потока, т. е. таких неслучайных последовательностей моментов

поступления заявок в систему, интервалы между которыми являлись бы возможными значениями случайных величин описываемых функцией плотности

Процедура построения последовательности состоит в следующем. Сначала формируется Функция плотности может быть определена через по формуле Пальма (4.4). Тогда, исходя из наличия в ЭВМ электронного или алгоритмического датчика случайных чисел с равномерным распределением в интервале (0,1), приступаем к формированию Для этого одним из способов, рассмотренных в главе П, преобразуем случайное число в случайное число имеющее функцию плотности Получив полагаем

В дальнейшем процедура получения любого совпадает с процедурой формирования т. е. очередное случайное число преобразуется в случайное число имеющее функцию плотности и

Рассмотрим некоторые примеры, часто встречающиеся при решении практических задач методом статистического моделирования.

Пример 1. Простейший (пауссоновский) поток.

Как отмечалось выше, простейший (пауссоновский) поток является стационарным ординарным потоком однородных событий без последействия, т. е. одним из возможных частных случаев потоков типа Пальма. Функция плотности для простейшего потока имеет вид показательного распределения (4.6):

где - интенсивность потока, определяющая среднее значение числа заявок, поступающих в единицу времени.

Чтобы определить функцию плотности для первого интервала, воспользуемся формулой Пальма.

После несложных вычислений получаем:

Отсюда следует, что функция плотности первого интервала для простейшего потока имеет тот же вид, что и Этим свойством в общем случае, не обладают другие потоки типа Пальма.

Таким образом, для формирования реализаций простейшего потока необходимо иметь последовательность случайных чисел имеющих показательное распределение (4.6) с параметром К. Методику получения такой последовательности мы рассматривали в главе II. В соответствии с (2.15) случайные числа могут быть получены по формуле

где - случайные числа с равномерным распределением в интервале (0,1).

Последовательность моментов поступления заявок будет следующей:

Пример 2. Поток с равномерным распределением интервалов

Функция плотности рассматриваемого потока имеет вид равномерного распределения:

Можно показать, что среднее значение (математическое ожидание) случайной величины равно Поэтому среднее число заявок, поступивших в единицу времени (интенсивность потока):

Определим функцию плотности для первого интервала. По формуле Пальма аналогично формуле (4.11):

Заметим, что среднее значение длительности первого интервала может быть получено как математическое ожидание случайной величины, имеющей функцию плотности (4.16):

Перейдем к формированию первого интервала Для этого, имея случайные числа с равномерным законом распределения в интервале (0,1), необходимо получить случайное число соответствующее функции плотности (4.16). Преобразуем соотношение (4.16) следующим образом. Подставим в него вместо величины ее значение из равенства (4.15). Тогда можно записать функцию плотности

Необходимо отметить, что потоки, рассмотренные в примерах 1 и 2, отличаются благоприятной особенностью: интегралы в формуле Пальма и формулах преобразования случайных чисел берутся в конечном виде. В общем случае эти интегралы могут оказаться неберущимися. Кроме того, функции плотности иногда задаются таблично по (результатам обработки статистического материала. На практике в такого рода ситуациях пользуются приближенными методами. Интеграл в формуле Пальма вычисляется обычно для заданного набора численными методами. Это не оказывается существенно на объеме вычислений, так как формула Пальма применяется только один раз для данного потока. Преобразование случайных чисел выполняется, как правило, методом кусочной аппроксимации функции плотности в соответствии с соотношениями (2.23), (2.24) и (2.25).

Система (в нашем случае вычислительная система) изменяет свои состояния под действием потока заявок (заданий) -поступающие заявки (задания) увеличивают очередь. Число заданий в очереди плюс число заданий, которые обрабатываются ЭВМ (т.е. число заданий в системе), - это характеристика состояния системы . Очередь уменьшается, как только одна из ЭВМ заканчивает обработку (обслуживание) задания. Тотчас же на эту ЭВМ из очереди поступает стоящее впереди (или по какому-либо другому приоритету) задание и очередь уменьшается. Таким образом, число заданий в системе растет благодаря потоку заданий , а уменьшается благодаря окончанию обслуживания с помощью ЭВМ. Устройства обработки заявок в теории СМО называют каналами обслуживания. В этой теории поток заданий (заявок на обслуживание) характеризуется интенсивностью Л. - средним количеством заявок, поступающих в единицу времени (скажем, в час). Среднее время обслуживания (обработки) одного задания /о, определяет так называемую интенсивность потока обслуживания ц,  

Такой подход позволит определить число бригад при различной интенсивности потока и продолжительности обслуживания.  

В универсальном магазине (в отделе самообслуживания) на выходе планируется разместить кассы сканирования для приема от покупателей денег за товары. Интенсивность потока покупателей равна 6 чел. /мин. Интенсивность обслуживания составляет 1,4 чел./мин. Допустимая длина очереди не должна превышать трех человек.  

Учитывая, что увеличение числа заявок (заданий) в системе (т.е. номера состояния) происходит под воздействием их потока с интенсивностью /, а уменьшение - под воздействием потока обслуживания с интенсивностью г, изобразим размеченный граф состояний нашей системы (рис. 3.3).  

Наиболее общей является ситуация, когда интенсивность потока покупателей носит случайный характер, то есть подчиняется распределению Пуассона , а время обслуживания подчиняется закону обратного экспоненциального распределения . Не будем заниматься выводом формул, отметим лишь, что  

В связи с тем что потоки заявок в системе рассчитаны для средних суток, то расчеты длины очереди L и среднего времени ожидания обслуживания Тож, как и другие качественные параметры, будут сделаны неверно, так как интенсивность потока в различные часы суток различна и может меняться до 5 раз. Конечно, можно рассчитать эти параметры за каждый час отдельно, но и это будет неверно, так как СМО будет находиться в постоянном переходном процессе. В этом случае входной поток будет нестационарным и с последействием, так как математическое ожидание числа заказов в единицу времени будет меняться в 3- 5 раз, а число заказов, поступивших, например, в 18 часов, зависит от того, сколько их было фактически за каждый предыдущий час.  

Пример 3.1. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, - получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей Л = 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания - 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживании являются простейшими.  

Параметр потока обслуживания л и приведенная интенсивность потока автомобилей р определены в примере 3.2  

Заметим, что подобный расчет требуется не только при проектировании системы обслуживания он необходим при каждом серьезном изменении интенсивностей потоков заявок, их маршрутизации, трудоемкости обработки, требований к качеству обслуживания . Таким образом, необходимыми расчетными средствами должны быть оснащены не только проектировщики, но и управляющий персонал реально эксплуатируемых систем обслуживания.  

О Пример. В пункте химчистки имеется три аппарата для чистки. Интенсивность потока посетителей А, = 6 (посетителей в час). Интенсивность обслуживания посетителей одним аппаратом i = 3 (посетителей в час). Среднее количество посетителей, покидающих очередь, не дождавшись обслуживания, VBS (посетитель в час). Найти абсолютную пропускную способность пункта.  

Расчет производится на один год с учетом сложившихся в базисном году среднесуточного потока заявок на ремонт и интенсивности обслуживания 1 скважины.  

Величину р называют приведенной плотностью потока требований или интенсивностью нагрузки, р - это среднее число требований, приходящееся на среднее время обслуживания одного требования.  

СМОЬ СМО2 и СМО3 представляют собой пг, п2- и п3- канальные системы с неограниченной очередью и интенсивностью потоков обслуживании // , ju2 и //з, соответственно. Время повторного обслуживания заявки в  

Одноканальная СМО с ожиданием. Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью X. Интенсивность потока обслуживания равна ц (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать ц обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина , подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживании является простейшим пуассо-новским потоком событий . Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.  

Производительность канала -интенсивность простейшего потока обслуживании П0б (среднее число заявок, обслуживаемое каналом за единицу времени при непрерывной работе) in П0б = ju = onst 100 заявок/день  

Суть упрощений при описании реального предпринимательского процесса моделью СМО состоит в следующем. Во-первых, все однотипные запросы и волеизъявления дотребителей о продаже им того или иного товара или оказании некоторых конкретных услуг представляются в виде так называемого потока заявок на обслуживание. Во-вторых, сложный процесс заключения коммерческого договора купли-продажи , оказания возмездных услуг и их исполнения коммерческим предприятием моделируется аналогично в виде потока обслуживания. При этом модельным аналогом конкретного работника предприятия, который обслуживает потребителя, или конкретного аппарата самообслуживания (колонка АЗС, телефонный канал АТС и т.п.) является так называемый канал обслуживания . В-третьих, вводят допущение о том, что все существенные характеристики как потока заявок, так и потока обслуживания сосредоточены только в единственном их параметре, который называют интенсивностью потока . При этом под интенсивностью потока понимают число событий в соответствующем потоке в единицу времени. Например, под интенсив-  

Пример 3.4. Пусть -канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя (п = 3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач , поступающих на ВЦ, имеет интенсивность Л = 1 задаче в час. Средняя продолжительность обслуживания 7обсл =1,8 час. Поток заявок на решение задач и поток обслуживания этих заявок являются простейшими.  

Полученные выше результаты относились к ситуации, когда интенсивность k потока заявок на восстановление не зависит от числа k находящихся в ремонтном органе необслуженных заявок. В противном случае говорят о замкнутых системах обслуживания. При ограниченном числе R источников заявок обычно считают, что А/ = А(Л - А). Методы расчета марковских систем подобного вида хорошо известны (формулы Энгсета). Рассчитывать немарковские системы значительно сложнее. Особенно труден анализ системы, где интенсивность отказов зависит от объема ЗИПа s (запас s рассматривается как холодный резерв, не подверженный отказам). Между тем этот случай достаточно типичен. Если считать, что в рабочей системе установлены R источников заявок, то интенсивность отказов будет оставаться постоянной и равной АЛ, пока в системе восстановления не скопится k > s заявок. Тогда интенсивность потока заявок начнет убывать по закону А = X. Методика расчета подобной СМО вида M/G/l/(R + s) была предложена автором в статье , оказалась весьма громоздкой и к тому же неприменимой для многоканальных систем восстановления. Однако ап-проксимационные методы, описанные в главе 3, без труда обобщаются и на этот случай. Здесь мы отметим особенности его реализации  

Найдем способ расчета стационарных вероятностей состояний одношналъной системы с указанной зависимостью интенсивности потока от числа заявок в ней и произвольным распределением длительности обслуживания B(t).  

Сам К.Эрланг изучал эту задачу в следующих предположениях поток требований - пуассоновский с интенсивностью J длительность обслуживания распределена по показательному закону , причем средняя продолжительность обслуживания. При названных предположениях К.Эрланг показал, что если число обслуживающих устройств равно /7 , то при стационарном пуас-соновском