Имеется деталей и два станка. Каждая деталь должна сначала пройти обработку на первом станке, затем — на втором. При этом -ая деталь обрабатывается на первом станке за времени, а на втором — за времени. Каждый станок в каждый момент времени может работать только с одной деталью.
Требуется составить такой порядок подачи деталей на станки, чтобы итоговое время обработки всех деталей было бы минимальным.
Эта задача называется иногда задачей двухпроцессорного обслуживания задач, или задачей Джонсона (по имени S.M. Johnson, который в 1954 г. предложил алгоритм для её решения).
Стоит отметить, что когда число станков больше двух, эта задача становится NP-полной (как доказал Гэри (Garey) в 1976 г.).
Построение алгоритма
Заметим вначале, что можно считать, что порядок обработки деталей на первом и втором станках должен совпадать . В самом деле, т.к. детали для второго станка становятся доступными только после обработки на первом, а при наличии нескольких доступных для второго станка деталей время их обработки будет равно сумме их независимо от их порядка — то выгоднее всего отправлять на второй станок ту из деталей, которая раньше других прошла обработку на первом станке.
Рассмотрим порядок подачи деталей на станки, совпадающий с их входным порядком: .
Обозначим через время простоя второго станка непосредственно перед обработкой -ой детали (после обработки -ой детали). Наша цель — минимизировать суммарный простой :
Для первой детали мы имеем:
Для второй — т.к. она становится готовой к отправке на второй станок в момент времени , а второй станок освобождается в момент времени , то имеем:
Третья деталь становится доступной для второго станка в момент , а станок освобождается в , поэтому:
Таким образом, общий вид для выглядит так:
Посчитаем теперь суммарный простой . Утверждается, что он имеет вид:
(В это можно убедиться по индукции, либо последовательно находя выражения для суммы первых двух, трёх, и т.д. .)
Воспользуемся теперь перестановочным приёмом : попробуем обменять какие-либо два соседних элемента и и посмотрим, как при этом изменится суммарный простой.
По виду функции выражений для понятно, что изменятся только и ; обозначим их новые значения через и .
Таким образом, чтобы деталь шла до детали , достаточно (хотя и не необходимо), чтобы:
(т.е. мы проигнорировали остальные, не изменившиеся, аргументы максимума в выражении для , получив тем самым достаточное, но не необходимое условие того, что старое меньше либо равно нового значения)
Отняв 
от обеих частей этого неравенства, получим:
или, избавляясь от отрицательных чисел, получаем:
Тем самым, мы получили компаратор : отсортировав детали по нему, мы, согласно приведённым выше выкладкам, придём к оптимальному порядку деталей, в котором нельзя переставить местами никакие две детали, улучшив итоговое время.
Впрочем, можно ещё больше упростить сортировку, если посмотреть на этот компаратор с другой стороны. Фактически он говорит нам о том, что если минимум из четырёх чисел достигается на элементе из массива , то соответствующая деталь должна идти раньше, а если на элементе из массива — то позже. Тем самым мы получаем другую форму алгоритма: отсортировать детали по минимуму из , и если у текущей детали минимум равен , то эту деталь надо обработать первой из оставшихся, иначе — последней из оставшихся.
Так или иначе, получается, что задача Джонсона с двумя станками сводится к сортировке деталей с определённой функцией сравнения элементов. Таким образом, асимптотика решения составляет .
Реализация
Реализуем второй вариант описанного выше алгоритма, когда детали сортируются по минимуму из , и затем отправляются в начало либо в конец текущего списка.
struct item { int a, b, id; bool operator< (item p) const { return min(a,b) < min(p.a ,p.b ) ; } } ; sort (v.begin () , v.end () ) ; vector< item> a, b; for (int i= 0 ; i< n; ++ i) (v[ i] .a <= v[ i] .b ? a : b) .push_back (v[ i] ) ; a.insert (a.end () , b.rbegin () , b.rend () ) ; int t1= 0 , t2= 0 ; for (int i= 0 ; i< n; ++ i) { t1 + = a[ i] .a ; t2 = max(t2,t1) + a[ i] .b ; }Здесь все детали хранятся в виде структур , каждая из которых содержит значения и и исходный номер детали.
«Эталонной» задачей теории расписаний является проблема составления расписания работы технологической линии, известная в литературе под названием задачи Джонсона, по имени С.М.Джонсона, получившего основные аналитические результаты для простейших ситуаций (вариантов) – частных постановок этой задачи .
Проблемы теории расписаний с вычислительной точки зрения отличаются большой сложностью. Для того чтобы разобраться в возникающих трудностях и наметить возможные общие подходы, целесообразно первоначально рассмотреть некоторые простейшие задачи, не лишенные вместе с тем прикладного значения.
8.1.1 Постановка детерминированной задачи упорядочения,
построение и исследование математической модели
Начнем с рассмотрения простейших формализованных ситуаций и математических моделей, постепенно учитывая те особенности, которые характерны для решения реальных практических задач теории расписаний.
Сложность проблем теории расписаний продемонстрируем на примере решения задачи о составлении расписания работы технологической линии (задача Джонсона).
Традиционная постановка задачи Джонсона состоит в следующем: требуется выбрать порядок обработки деталей (изделий), сформировать (составить) расписание работы технологической линии, обеспечивающее минимальное суммарное время выполнения всего задания, а именно за минимальное время осуществить обработку группы из т деталей, каждая из которых должна последовательно пройти обработку на каждом из п станков, образующих технологическую линию. Предполагается заданным t ij - время обработки i -ой детали (i = 1,…, m ) на j -ом станке (j =1,…,n ).
Основными ограничениями задачи являются:
1) время перехода (передачи) деталей от одного станка к другому (с одной технологической операции на другую) незначительно, и им можно пренебречь;
2) каждая деталь обрабатывается в строго определенном технологическом порядке;
3) каждое обслуживание (обработка каждой детали на каждом станке) не может начинаться до тех пор, пока соответствующий станок (требуемый для обслуживания) еще занят обработкой предыдущей детали, то есть занят выполнением технологической операции над деталью предыдущей в очереди подач (запуска в обработку);
4) каждое обслуживание (обработка каждой детали на каждом станке) должно быть полностью завершено прежде, чем начнется следующее (обработка соответствующей детали – выполнение технологической операции на следующем станке технологической линии), то есть строгое соблюдение последовательного вида движения каждого предмета труда.
Рассматриваемая задача – одна из типичных задач оперативно-календарного планирования для машиностроительных предприятий мелкосерийного и единичного производства.
Если в группе детали различны, то, очевидно, общее время обработки всех деталей данной группы зависит от порядка, в котором детали запускаются на обработку.
По математической постановке она представляет собой комбинаторную задачу на перестановки и поэтому возможно построение оптимального графика в результате полного перебора всех вариантов. Следовательно, для выявления оптимальной последовательности запуска деталей на обработку, вообще говоря, требуется полный перебор всех возможных вариантов. Однако получение решения путем прямого перебора всех возможных вариантов и с помощью компьютера становится невозможным даже при сравнительно малом числе данных (деталей, операций, станков). Это обусловлено тем, что даже если ограничиться ситуациями, когда порядок запуска на первый станок сохраняется и в дальнейшем, при поступлении деталей на последующие станки, общее число вариантов будет равно m !.
Неоспоримое и неоценимое значение метода полного перебора заключается в том, что он принципиально всегда «под рукой». Для конечных множеств допустимых решений, в частности, для задачи Джонсона, это означает, следовательно, что существует конечный алгоритм решения задачи, т. е. задача разрешима за конечное время. Проблема, правда, заключается в том, что для метода полного перебора это «конечное» время оказывается неприемлемо большим уже даже в простых ситуациях.
Так, если предположить, что в задаче поиска оптимальной очередности, в случае всего 10 деталей затрачивается всего лишь одна минута, на построение каждого варианта расписания и вычисление соответствующего ему значения функции-критерия (критерия оптимальности). Тогда нетрудно подсчитать, что при использовании метода полного перебора (число вариантов равно 10!, то есть 3 628 800 вариантов) и даже при двадцатичетырехчасовом рабочем дне эту задачу пришлось бы решать... почти семь лет. В случае же 20 деталей (число вариантов равно 20!, то есть 2,433*1018 вариантов) даже с помощью современных, быстродействующих компьютеров такая задача методом полного перебора решалась бы более 77 тысяч лет!
Если же детали различны и порядок запуска на первый станок может не сохраняется в дальнейшем, при поступлении деталей на последующие станки, то, очевидно, общее время обработки всех деталей рассматриваемой группы зависит от порядка, в котором детали запускаются на обработку на каждый станок. Следовательно, общее число возможных вариантов возрастет до огромного числа (m !) n .
Решение подобных комбинаторных задач «в лоб» при большом числе различных деталей (для реальных практических задач) оказывается недоступным даже для самых мощных компьютеров.
Следовательно, чтобы разработать метод точного решения такого рода задач, необходимо предложить что-то лучшее, чем примитивный перебор всех возможных вариантов порядка (очередности) запуска.
С.Джонсоном (S.Joynson) данная задача была решена для двух и трех станков (операций) и произвольного числа деталей, обрабатываемых строго последовательно на этих станках (то есть каждая деталь сначала проходит обработку на первом станке, затем на втором и на третьем). Уже в случае трех станков решение получается сложным, а распространение этого метода (алгоритма Джонсона) на случай четырех и более станков невозможно.
Рассматриваемую задачу, безусловно, можно свести к задаче линейного программирования, но число переменных и число ограничений настолько велико, что решение задачи этим методом невозможно даже с помощью современных компьютеров. Поэтому для решения практических задач оперативно-календарного планирования предлагаются эвристические методы.
Оставив
пока в стороне вопрос об общих приемах
сокращения объема перебора вариантов
порядка (очередности) запуска, рассмотрим
частный вариант постановки задачи
Джонсона, когда число станковn
=2.
В этом частном случае удается установить
простые приемы нахождения порядка
запуска деталей, обеспечивающего
наименьшую продолжительность выполнения
задания (наименьшую длительность
расписания), то есть минимальное суммарное
время обработки группы из m
деталей (m
=6),
каждая из которых должна последовательно
пройти обработку на каждом из двух
станков (сначала на первом, а затем на
втором станках), образующих технологическую
линию. Время обработки i
-ой
детали (i
=1,…,m
)
на j
-ом
станке (j
=1,2)
t
ij
предполагается заданным, и, как правило,
для
.
В таблице
8.1 представлены исходные данные
рассматриваемого примера.
Таблица 8.1 - Исходные данные для задачи Джонсона и ее решение
|
детали, i |
Время обработки i -ой детали на j
-ом
станке, |
очереди, k |
|
|
| |||
(мин.)
Изобразим графически процесс обработки деталей на двух станках для следующей произвольно выбранной очередности запуска деталей в обработку: А→Б→В→Г→Д→Е (рисунок 8.1) (нумерация деталей и последовательность их обработки совпадают).
Рисунок 8.1 – График процесса обработки группы деталей на двух станках
На рисунке 8.1
-
суммарное время обработки группы изт
деталей (т
=6), то есть длительность
совокупного производственного цикла
– время, которое пройдет от момента
начала обработки первой детали (i
=А)
на первом станке (j
=1)
до момента окончания обработки последней
детали (i
=Е) на втором
станке (j
=2) рассчитывается
по формуле (8.1.1) и в рассматриваемом
примере равно 41 мин.
где
- время обработкиi
-ой
детали на втором станке,i
=
1,…,
m
;
- суммарное время обработки всех деталей
на втором станке;
- суммарное время простоя второго станка
(оборудования на второй операции);
- время простоя второго станка между
окончанием выполнения работы по обработке
(i
-1)-ой детали на этом
станке и началом обработкиi
-ой
детали на том же самом станке (для детали
первой очереди запуска
);
- время обработки деталиk
k
=
1,…,
m
;
- время обработки деталиk
-ой
очереди запуска на втором станке,k
=
1,…,
m
-1;
Критерием оптимальности в данной постановке задачи и соответственно в экономико-математической модели является минимизация длительности совокупного производственного цикла
Так как суммарное время обработки всех
деталей на втором станке, то есть сумма
известна и в формуле (8.1.2) для любой
очередности запуска деталей является
константой, то для того, чтобы обеспечить
наименьшее значение длительности
совокупного производственного цикла
необходимо минимизировать суммарное
время простоя оборудования на второй
операции (время простоя второго станка):
В нашем примере время простоя второго станка:
Если для решения рассматриваемой задачи использовать метод полного перебора, то при наличии m деталей и двух станков и при условии, что все детали обрабатываются сначала на первом, а затем на втором станке в одинаковом порядке на каждом из них, как было показано выше, существуетm ! возможных вариантов (последовательностей), то есть для нашего примера имеется 6!=720 вариантов.
Известен весьма простой алгоритм для нахождения оптимальной последовательности (порядка) обработки т деталей на двух станках – алгоритм Джонсона.
Указанный алгоритм включает следующие основные шаги:
1) выбирается деталь с наименьшей продолжительностью обработки на одном из станков; в нашем примере на первой итерации это деталь Б ;
2) выбранная деталь помещается в начало очереди, если наименьшая продолжительность обработки соответствует первому станку, или в конец очереди, если – второму станку; в нашем примере деталь Б помещается в конец очереди (k =6);
3) строка(и) таблицы 8.1, соответствующая(ие) выбранной(ым) детали(ям) исключается(ются) из дальнейшего рассмотрения (вычеркивается(ются));
4) выбирается деталь среди оставшихся со следующей наименьшей продолжительностью обработки на одном из станков; в нашем примере на второй итерации это деталь В , на третьей итерации это детальЕ , на четвертой итерации это деталиА иГ , на последней итерации это детальД ;
5) выбранная деталь помещается ближе к началу или к концу очереди по указанному в шаге 2 правилу; в нашем примере на второй итерации деталь В помещается ближе к концу очереди (k =5), перед детальюБ , на третьей итерации детальЕ помещается в начало очереди (k =1), на четвертой итерации детальА k =4), а детальГ помещается в начало очереди (k =2), на последней итерации детальД помещается ближе к концу очереди (k =3);
6) если определена очередность запуска для всех деталей, то решение получено, иначе переходим к шагу 3.
В итоге реализации данного алгоритма можно получить оптимальное расписание работы двух станков (рисунок 8.2). В нашем примере (см. таблицу 8.1) найдена оптимальная очередность запуска деталей в обработку - Е→Г→Д→А→В→Б . В последней графе таблицы 8.1 показан номер очереди запуска (k ) соответствующей детали в обработку на каждом станке технологической линии.
№ операции
Рисунок 8.2 – График оптимального расписания работы двух станков
После выбора оптимальной очередности
запуска деталей в обработку по формуле
5 определяется суммарное время простоя
второго станка
,
которое является минимальным из всех
возможных.
(8.1.5)
Затем рассчитывается длительность совокупного производственного цикла по следующей формуле:
Полученная таким образом величина длительности совокупного производственного цикла, также является минимальной из всех возможных для заданных условий.
В задаче Джонсона общее время производственного цикла зависит от порядка запуска деталей в обработку. Пусть имеется n деталей, каждая из которых должна последовательно пройти обработку сначала на первом, затем на втором станке. Предполагается заданным время t ij обработки i -й детали на j -м станке (i=1,2,...,n; j=1,2). Требуется определить такой порядок запуска деталей, при котором общая длительность их обработки на обоих станках будет минимальной.
Назначение сервиса . С помощью онлайн калькулятора можно решить задачу Джонсона для частного варианта ее постановки, когда число станков n=2 . При этом рассчитывается длительность совокупного производственного цикла для найденной оптимальной очередности запуска деталей в обработку. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (Пример оформления).
ИНСТРУКЦИЯ . Для решения задачи необходимо задать количество деталей (строк).
Вставьте данные из Excel (A - первый столбец,B - второй столбец), нажмите Далее.
Правило Джонсона
Вначале детали, подлежащие обработке, условно делят на две группы. В первую группу относят детали, для которых время обработки на первом станке не превышает времени обработки на втором станке. Остальные детали образуют вторую группу. Вначале следует обрабатывать детали первой группы в порядке возрастания длительности их обработки на первом станке. Затем должны обрабатываться детали второй группы в порядке убывания времени их обработки на втором станке.Алгоритм Джонсона
- В обработку сначала запускают детали, требующие минимальное время обработки на первом станке в порядке возрастания этого времени.
- В обработку запускаются сначала детали, требующие максимальное время обработки на последнем станке в порядке убывания этого времени.
- В обработку запускаются сначала детали, у которых “узкое место” находится дальше от начала процесса обработки (“узким местом” для данной детали называется станок, на котором обработка этой деталей занимает наибольшее время).
- Обрабатываются вначале детали, у которых суммарное время обработки на всех станках максимальное в порядке убывания этого времени.
Общий случай задачи выбора последовательности обработки деталей на двух станках, если детали должны пройти обработку на одном станке, а затем на втором и на станке не может обрабатываться больше одной детали, рассмотрел в 1954 г. С. Джонсон. Метод решения такой задачи называют алгоритмом Джонсона.
Рассмотрим участок с двумя агрегатами. Совокупность деталей должна последовательно пройти обработку на первом агрегате, а потом на втором. Между агрегатами отсутствует склад, поэтому занятость второго агрегата задерживает освобождение первого. Требуется выбрать очередность обработки деталей, обеспечивающую меньшее суммарное время занятости участка. Это время рассчитывается от момента начала обработки первой детали на первом агрегате до окончания обработки последней детали на втором агрегате.
Очевидным является вывод, что выигрыша во времени можно достигнуть только за счет параллельной работы агрегатов. Длительная занятость первого агрегата, пока второй стоит, так же как и занятость второго, когда первый агрегат уже закончил работу, нерациональны. Отсюда ясно, что на первое место в очередности следует поставить деталь с меньшим временем обработки на первом агрегате. Аналогично на последнее место следует поставить деталь, у которой самое короткое время обработки на втором агрегате. Если это правило распространить на всю совокупность деталей, то получим алгоритм Джонсона.
Обобщения алгоритма Джонсона Значительно больший практический интерес представляло бы решение задачи, подобной задаче о двух станках, для произвольного количества m станков, на которых должны последовательно пройти обработку п деталей. Анализируя алгоритм Джонсона для задачи о двух станках, можно извлечь из него рекомендации, применимые и к общему случаю последовательной обработки деталей на п танках при произвольном m. Обобщения алгоритма Джонсона: 1. В обработку сначала запускают детали, требующие минимальное время обработки на первом станке в порядке возрастания этого времени. 2. В обработку запускаются сначала детали, требующие максимальное время обработки на последнем станке в порядке убывания этого времени. 3. В обработку запускаются сначала детали, у которых “узкое место” находится дальше от начала процесса обработки (“узким местом” для данной детали называется станок, на котором обработка этой деталей занимает наибольшее время). 4. Обрабатываются вначале детали, у которых суммарное время обработки на всех станках максимальное в порядке убывания этого времени.
Каждое из вышеописанных обобщений алгоритма Джонсона в определенных условиях имеет свои преимущества и свои недостатки. Каждое из этих правил в определенной степени логично. Применение первого из них способствует скорейшему вовлечению в обработку второго станка. Второе правило позволяет уменьшить конечный простой первого станка. Третье правило способствует наиболее быстрому "проскакиванию" к концу технологической линии тех деталей, для которых обработка на первом станке занимает меньшее время, с тем, чтобы освободить первый станок деталям, для которых он является узким местом. К сожалению, эти правила не совместимы друг с другом: последовательность обработки, найденная с использованием одного из них, не соответствует последовательности, полученной по другим правилам.
Пример решения задачи методом Джонсона Время обработки, мин Станок деталь 1 2 3 4 5 Суммарное время обработки 2 5 10 1 5 8 7 5 1 10 3 5 10 2 3 7 7 4 4 5 9 3 1 10 7 4 8 3 1 4 1 2 9 8 2 8 9 2 6 11 25 29 23 27 30 20 22 36
В результате решения задачи по четырем выше указанным рекомендациям получаем такой порядок запуска деталей в обработку: – по первой рекомендации: 7 -1 -3 -6 -2 -4 -8 -5; – по второй рекомендации: 2 -8 -5 -4 -6 -3 -7 -1; – по третьей рекомендации: 2 -8 -5 -7 -3 -1 -6 -4; – по четвертой рекомендации: 8 -5 -2 -4 -1 -3 -7 -6. Примечание. Если по какой-либо рекомендации две, или больше деталей оказываются равноценными, то для определения их приоритетов следует воспользоваться какой-либо другой рекомендацией. Например, по рекомендациям вторая и восьмая детали равноценны, но по первой рекомендации целесообразно в обработку запустить сначала вторую деталь, т. к. время ее обработки на первом станке меньше, чем у восьмой детали.
Для каждой детали найдем сумму мест во всех полученных решениях: первая деталь: (2 + 8 + 6 + 5) = 21; вторая деталь: (5 + 1 + 3) = 10; третья деталь: (3 + 6 + 5 + 6) = 20; четвертая деталь: (6 + 4 + 8 + 4) = 22; пятая деталь: (8 + 3 + 2) = 16; шестая деталь: (4 + 5 + 7 + 8) = 24; седьмая деталь: (1 + 7 + 4 + 7) = 19; восьмая деталь: (7 + 2 + 1) = 12.
Расположим детали в порядке возрастания суммы мест: 2– 8– 5– 7– 3– 1– 3– 6. Это и является новым решением. При решении конкретных задач для трех и более станков рекомендуется проанализировать результаты, полученные по каждому из этих правил, и в качестве окончательного варианта выбрать ту последовательность, которая обеспечивает минимум суммарного времени обработки.
1. Рассматриваются интервалы времени и , определяется величина .
2. Если эта величина находится в столбце , то -ю деталь помещаем на первый станок в первую очередь. Если эта величина находится в столбце , то -я деталь занимает последнее место на первом станке.
3. Вычеркиваем выбранную деталь, и продолжаем процедуру поиска, повторяя шаги 1 и 2. В случае одинаковых значений выбираем любую деталь. Полученная последовательность обработки деталей будет оптимальной.
Пример. Пусть время обработки пяти деталей на двух машинах задана в таблице:
Рисунок 6.2 – Начальное расписание
По графику видно, что начальный порядок обработки деталей допускает простои второго станка (суммарное время простоев 8 единиц), длина производственного цикла равна 30 единицам времени.
По алгоритму Джонсона определим величину . В нашем примере эта величина равна . Таким образом, деталь 2 на первом станке обрабатывается последней.
Продолжаем процедуру поиска. Среди не вычеркнутых элементов ищем . После выбора второй детали минимальное время равно 3, и оно соответствует и . Мы можем выбрать любую деталь, поэтому произвольно выбираем , т. е. помещаем на первое место деталь 1. Теперь минимальное время соответствует . Следовательно, деталь 4 ставится на предпоследнее место.
Следующая минимальная величина равна 4 ( и ). Можем назначить 2-е место на первом станке для детали 3 и 3-е место для детали 5.
| i | a i | b i | i¢ |
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 | |||
| 4 | |||
| 5 |
Полученная последовательность обработки деталей на двух станка =(1, 3, 5, 4, 2) будет оптимальной.
Эта последовательность представлена диаграммой Ганта на рис.6.3.
 |
Рисунок 6.3 – Оптимальное расписание
Из рис. 6. 3 видно, что время обработки всех деталей равно 28 единиц и суммарное время простоев - 6 единиц.
Замечание. Алгоритм Джонсона применим для последовательности деталей, проходящих последовательную обработку на 3-х станках, в двух нижеследующих случаях:
или 
.
Тогда осуществляется поиск оптимальных строк по суммам
Пример. Пусть операции над деталями задаются сроками выполнения :
| i | a i | b i | c i |
Условие 
, например, выполняется. Таким образом, мы имеем:
| i | a i | b i | c i | a i + b i | b i + c i |
и алгоритм Джонсона позволяет выбрать =(4, 2, 3, 1, 5).
Задания для самостоятельной работы
Найти решение задачи Джонсона для двух последовательных приборов. Длительности обслуживания приборами А и В приведены в таблице.
| вариант | Требование время | ||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B | |||||||||||
| t A | |||||||||||
| t B |
ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ