Видеоурок «Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня» - наглядное пособие, с помощью которого учителю легче сформировать умения и навыки в решении задач, содержащих выражения с квадратным корнем. В ходе урока напоминаются теоретические основы, служащие основанием для проведения операций над числами и переменными, имеющимися в подкоренном выражении, описывается решение множества видов задач, которые могут потребовать умения пользоваться формулами преобразования выражений, содержащих квадратный корень, даются методы избавления от иррациональности в знаменателе дроби.

Видеоурок начинается с демонстрации названия темы. Отмечается, что ранее на уроках выполнялись преобразования рациональных выражений. При этом использовались теоретические сведения об одночленах и многочленах, методы работы с многочленами, алгебраическими дробями, а также формулы сокращенного умножения. В данном видеоуроке рассматривается введение операции по извлечению квадратного корня для преобразования выражений. Ученикам напоминаются свойства операции по извлечению квадратного корня. Среди таких свойств указано, что после извлечения квадратного корня из квадрата числа получается само число, корень произведения двух чисел равен произведению двух корней от этих чисел, корень частного двух чисел равен частному корней от членов частного. Последнее рассмотренное свойство - извлечение квадратного корня из числа, возведенного в четную степень √a 2 n , которое в результате образует число в степени a n . Рассмотренные свойства действительны для любых неотрицательных чисел.

Рассматриваются примеры, в которых требуются преобразования выражений, содержащих квадратный корень. Указано, что в данных примерах предусмотрено, что aи b являются неотрицательными числами. В первом примере необходимо упростить выражения √16a 4 /9b 4 и √a 2 b 4 . В первом случае применяется свойство, определяющее, что корень квадратный произведения двух чисел равен произведению корней из них. В результате преобразования получается выражение ab 2 . Во втором выражении используется формула преобразования квадратного корня частного в частное корней. Итогом преобразования является выражение 4a 2 /3b 3 .

Во втором примере необходимо вынести из-под знака квадратного корня множитель. Рассматривается решение выражений √81а, √32а 2 , √9а 7 b 5 . На примере преобразования четырех выражений показывается, как применяется формула преобразования корня произведения нескольких чисел для решения подобных задач. При этом отдельно отмечаются случаи, когда выражения содержат числовые коэффициенты, параметры в четной, нечетной степени. В результате преобразования получаются выражения √81а=9√а, √32а 2 =4а√2, √9а 7 b 5 =3а 3 b 2 √ab.

В третьем примере необходимо произвести операцию, противоположную той, что в предыдущей задаче. Для внесения множителя под знак квадратного корня также необходимо уметь пользоваться изученными формулами. Предлагается в выражениях 2√2 и 3a√b/√3a внести множитель перед скобками под знак корня. Используя известные формулы, множитель, стоящий перед знаком корня, возводится в квадрат и помещается в виде множителя в произведение под знаком корня. В первом выражении в результате преобразования получается выражение √8. Во втором выражении сначала применяется формула коня произведения для преобразования числителя, а затем формула корня частного - для преобразования всего выражения. После сокращения числителя и знаменателя в подкоренном выражении, получается √3ab.

В примере 4 необходимо выполнить действия в выражениях (√a+√b)(√a-√b). Для решения данного выражения вводятся новые переменные, заменяющие одночлены, содержащие знак корня √a=х и √b=у. после подстановки новых переменных, очевидна возможность использования формулы сокращенного умножения, после чего выражение получает вид х 2 -у 2 . Возвращаясь к исходным переменным, получаем a-b. Второе выражение (√a+√b) 2 также можно преобразовать с помощью формулы сокращенного умножения. После раскрытия скобок получаем результат a+2√ab+b.

В примере 5 производится разложение на множители выражений 4a-4√ab+b и х√х+1. Для решения данной задачи необходимо выполнить преобразования, выделить общие множители. После применения свойств квадратного корня для решения первого выражения сумма преобразуется в квадрат разности (2√а-√b) 2 . Для решения второго выражения необходимо занести под корень множитель перед знаком корня, а затем применить формулу для суммы кубов. Результатом преобразования становится выражение (√х+1)(х 2 -√х+1).

Пример 6 демонстрирует решение задачи, где нужно упростить выражение (а√а+3√3)(√а-√3)/((√а-√3) 2 +√3а). Решение задания выполняется в четыре действия. В первом действии числитель преобразуется в произведение с помощью формулы сокращенного умножения - суммы кубов двух чисел. Во втором действии преобразуется знаменатель выражения, который получает вид а-√3а+3. После преобразования становится возможным сокращение дроби. В последнем действии применяется также формула сокращенного умножения, которая помогает получить окончательный результат а-3.

В седьмом примере необходимо избавиться от квадратного корня в знаменателях дробей 1/√2 и 1/(√3-√2). При решении задания используется основное свойство дроби. Чтобы избавиться от корня в знаменателе, числитель и знаменатель умножаются на одинаковое число, с помощью которого подкоренное выражение возводится в квадрат. В результате вычислений получаем 1/√2=√2/2 и 1/(√3-√2)=√3+√2.

Указываются особенности математического языка при работе с выражениями, содержащими корень. Отмечается, что содержание квадратного корня в знаменателе дроби означает содержание иррациональности. А об избавлении от знака корня в таком знаменателе говорят как об избавлении от иррациональности в знаменателе. Описываются методы, как можно избавиться от иррациональности - для преобразования знаменателя вида √а необходимо умножить числитель одновременно со знаменателем на число √а, а для устранения иррациональности для знаменателя вида √а-√b, числитель и знаменатель умножаются на сопряженное выражение √а+√b. Отмечается, что избавление от иррациональности в таком знаменателе очень части облегчает решение задачи.

В конце видеоурока рассматривается упрощение выражения 7/√7-2/(√7-√5)+4/(√5+√3). Чтобы упростить выражение, применяются рассмотренные выше способы избавления от иррациональности в знаменателе дробей. Полученные выражения складываются, после чего упрощенный вид выражения имеет вид √5-2√3.

Видеоурок «Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня» рекомендуется применять на традиционном школьном уроке для формирования навыков решения заданий, в которых содержится квадратных корень. С этой же целью видео может быть использовано учителем в ходе дистанционного обучения. Также материал может быть рекомендован ученикам для самостоятельной работы дома.

1 слайд

Урок в 8 классе Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Учитель математики: Янес Светлана Юрьевна МБОУ «ЗСОШ №1 Завьяловского района» Алтайского края

2 слайд

Основные свойства квадратного корня из неотрицательного числа. ? ? Повторить основные свойства арифметического корня и выйти на проблему. Как найти √48 и √125? Определить тему урока и поставить цели на урок. Перейти на слайд №3. По щелчку мыши открываются ответы в таблице, появляется знак вопроса.

3 слайд

Тема:Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Цель: Учиться выполнять операцию извлечения квадратного корня. Учиться использовать эту операцию в преобразовании выражений. 1.Организовать проверку домашнего задания. У доски 3 ученика. №14.20 (в,г) и № 14,23 (в,г) № 14.7 (в,г) № 14.19 (в,г) Решение и ответы в приложении №3. 2. Карточки для индивидуальной работы учащихся. (Приложение №1) Перейти к слайду №4, организация устной работы с учащимися.

4 слайд

№1 Представьте заданное число в виде произведения двух таких множителей, чтобы один из них являлся квадратом некоторого натурального числа. Например: 12=4 3. 1 2 3 18 40 54 20 44 56 24 45 60 27 48 63 Цель: Повторение пройденного материала и подготовка к восприятию нового. Задание выполняют в парах по рядам. Ответы для проверки на слайде №5.

5 слайд

1 2 3 18=9 2 40=4 10 54=9 6 20=4 5 44=4 11 56=4 14 24=4 6 45=9 5 60=4 15 27=9 3 48=16 3 63=9 7

6 слайд

№2. Представьте в виде произведения степеней, так чтобы показатель первого множителя был на 1 меньше. Задание выполняют в парах по рядам. Ответы для проверки открываются после щелчка мыши по столбцам таблицы. Подводится итог. Проверяется работа учащихся у доски, оценивается. Для проверки работ по карточкам перейти на слайд №7.

7 слайд

Знак используется для упрощения записей многих иррациональных чисел. Знак иногда называют радикалом, от латинского radix. В 1626 году нидерландский математик А.Ширар ввел близкое к современному обозначение корня V. Если над этим знаком стояла цифра 2, то это означало корень квадратный, если 3 – кубический. Лишь в 1637 году Рене Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой, применив в своей «Геометрии» современный знак корня. Этот знак вошёл во всеобщее употребление лишь в начале XVIII века. 11 21 9 21 0,4 21 0,6 2 0,12 6 Р е н е Д е к а р т 3 -1 7 -3 9 -1 0 р а д и к а л Проверка работ по карточкам. Историческая страничка. Выполняя задание «Используй найденные ответы, расставьте буквы в нужной последовательности», получают следующий результат. Карточка №1 «Рене Декарт», карточка №2 «радикал». Ученик выступает с приготовленным сообщением по теме «Рене Декарт». По щелчку мыши открывается историческая страничка. Оценить работу ребят.

8 слайд

Учиться выполнять операцию извлечения квадратного корня. Преобразование выражений. Работа по слайдам №8 и 9. По щелчку мыши появляется готовое решение, для контроля или для разбора со слабоуспевающими учащимися. 1.Какую первую цель, мы определили? Учиться выполнять операцию извлечения квадратного корня. Разобрать данные преобразования. Можно ли воспользоваться разложением числа на множители, как мы делали в устной работе? Какие свойства квадратного корня мы используем? Смогли ли мы справиться с проблемой, которая возникла в начале урока? 2. Вторая цель: Учиться использовать эту операцию в преобразовании выражений. Разобрать данные преобразования, привлекая учащихся.

9 слайд

10 слайд

Преобразование выражений. № 15.1(а,б) № 15.2(а,б) № 15.3 (а,б) № 15.4 (а,б) № 15.6 (а,б) № 15.7 (а,б) № 15.10 (а,б) № 15.11 (а,б) № 15.12 (а,б) № 15.13 (а,б) № 15.14 (а,б) № 15.8 (а,б) № 15.15 (а,б) Работа коллективная: выполняют задания у доски, выполняют задания с комментарием. Индивидуальная: самостоятельно выполняют задания из учебника. Перед организацией работы предложить классу: Изучите, какие задания можно выполнить устно, а какие письменно. (Пометить устные задания маркером.) Решение и ответы находятся в приложении №3.

11 слайд

Самостоятельная работа. Вариант 1. Вариант 2. №1 Вынеси множитель из под знака корня: №2 Упрости выражение: Цель: проверить степень полученных умений при преобразовании выражений, содержащих квадратный корень. Умение выполнять операцию – извлечение квадратного корня. Перейти на слайд №12 для самопроверки.

Цель урока : повторить свойства квадратных корней; объяснить правила вынесения множителя из-под знака корня, внесения множителя под знак корня, преобразования подобных членов; рассмотреть примеры на преобразование различной сложности; развивать умение использовать свойства квадратных корней.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Математический диктант.

(проводится с целью повторения свойств квадратных корней)

№ 1. Вычислить квадратный корень из заданных выражений: , https://pandia.ru/text/78/175/images/image004_151.gif" width="44" height="27 src=">.gif" width="33" height="24">, , https://pandia.ru/text/78/175/images/image009_94.gif" width="48" height="27 src=">.gif" width="48" height="27 src=">.gif" width="24" height="24 src=">.gif" width="25" height="24">+3-4

Обратить внимание учащихся, что все переменные в этих примерах принимают положительные значения

IV. Закрепление нового материала.

Решение заданий из задачника Мордковича А. Г. № 15.1, 15.3 (по вариантам), 15.4, 15.7(по вариантам), 15.15, 15.16, 15.21(а, в), 15.22(а, в), 15.26

Варианты 1, 3, 7 на стр. 86-91 «Алгебра 9 класс . Тематические тесты для подготовки к ГИА 2010» под редакцией

VI. Итоги урока:

Повторение изученного теоретического материала

Оцениваются практические знания по данной теме всего класса и отдельных учащихся

VII. Домашнее задание

§15 (стр.71-72), 1 уровень - № 15.2, 15.11, 15.17, 15.23

2 уровень - № 15.13, 15.20, 15.27, 15.28

Рекомендуется систематически при изучении следующих тем выполнять упражнения, связанные с преобразованиями радикалов, как показывает опыт это самая трудная тема 8 класса .