2.2 Многоканальная СМО с ожиданием

Система с ограниченной длиной очереди. Рассмотрим канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (для одного канала) ; число мест в очереди .

Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:

нет очереди:

Все каналы свободны;

Занят один канал, остальные свободны;

Заняты -каналов, остальные нет;

Заняты все -каналов, свободных нет;

есть очередь:

Заняты все n-каналов; одна заявка стоит в очереди;

Заняты все n-каналов, r-заявок в очереди;

Заняты все n-каналов, r-заявок в очереди.

ГСП приведен на рис. 17. У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью , по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна , умноженному на число занятых каналов.

Рис. 17. Многоканальная СМО с ожиданием

Граф типичен для процессов размножения и гибели, для которой решение ранее получено. Напишем выражения для предельных вероятностей состояний, используя обозначение : (здесь используется выражение для суммы геометрической прогрессии со знаменателем ).

Таким образом, все вероятности состояний найдены.

Определим характеристики эффективности системы.

Вероятность отказа. Поступившая заявка получает отказ, если заняты все n-каналов и все m-мест в очереди:

(18)

Относительная пропускная способность дополняет вероятность отказа до единицы:

Абсолютная пропускная способность СМО:

(19)

Среднее число занятых каналов. Для СМО с отказами оно совпадало со средним числом заявок, находящихся в системе. Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе: последняя величина отличается от первой на среднее число заявок, находящихся в очереди.

Обозначим среднее число занятых каналов . Каждый занятый канал обслуживает в среднем -заявок в единицу времени, а СМО в целом обслуживает в среднем А-заявок в единицу времени. Разделив одно на другое, получим:

Среднее число заявок в очереди можно вычислить непосредственно как математическое ожидание дискретной случайной величины:

(20)

Здесь опять (выражение в скобках) встречается производная суммы геометрической прогрессии (см. выше (11), (12) - (14)), используя соотношение для нее, получаем:

Среднее число заявок в системе:

Среднее время ожидания заявки в очереди. Рассмотрим ряд ситуаций, различающихся тем, в каком состоянии застанет систему вновь пришедшая заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.

Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие члены в математическом ожидании равны нулю). Если заявка придет в момент, когда заняты все n-каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное (потому что «поток освобождений» -каналов имеет интенсивность ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать в течение времени (по на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди -заявок, ей придется ждать в среднем в течение времени . Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже m-заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслужена). Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующие вероятности:

(21)

Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, отметим, что это выражение отличается от выражения для средней длины очереди (20) только множителем , т. е.

.

Среднее время пребывания заявки в системе, так же, как и для одноканальной СМО, отличается от среднего времени ожидания на среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:

.

Системы с неограниченной длиной очереди. Мы рассмотрели канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более m-заявок.

Так же, как и ранее, при анализе систем без ограничений необходимо рассмотреть полученные соотношения при .

Вероятности состояний получим из формул предельным переходом (при ). Заметим, что сумма соответствующей геометрической прогрессии сходится при и расходится при >1. Допустив, что <1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:

(22)

Вероятность отказа, относительная и абсолютная пропускная способность. Так как каждая заявка рано или поздно будет обслужена, то характеристики пропускной способности СМО составят:

Среднее число заявок в очереди получим при из (20):

,

а среднее время ожидания - из (21):

.

Среднее число занятых каналов , как и ранее, определяется через абсолютную пропускную способность:

.

Среднее число заявок, связанных с СМО, определяется как среднее число заявок в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов):

Пример 2. Автозаправочная станция с двумя колонками (n = 2) обслуживает поток машин с интенсивностью =0,8 (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины:

В данном районе нет другой АЗС, так что очередь машин перед АЗС может расти практически неограниченно. Найти характеристики СМО.

Поскольку<1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:

и т. д.

Среднее число занятых каналов найдем, разделив абсолютную пропускную способность СМО А==0,8 на интенсивность обслуживания =0,5:

Вероятность отсутствия очереди у АЗС будет:

Среднее число машин в очереди:

Среднее число машин на АЗС:

Среднее время ожидания в очереди:

Среднее время пребывания машины на АЗС:

СМО с ограниченным временем ожидания. Ранее рассматривались системы с ожиданием, ограниченным только длиной очереди (числом m-заявок, одновременно находящихся в очереди). В такой СМО заявка, разраставшая в очередь, не покидает ее, пока не дождется обслуживания. На практике встречаются СМО другого типа, в которых заявка, подождав некоторое время, может уйти из очереди (так называемые «нетерпеливые» заявки).

Рассмотрим СМО подобного типа, предполагая, что ограничение времени ожидания является случайной величиной.

Предположим, что имеется n-канальная СМО с ожиданием, в которой число мест в очереди не ограничено, но время пребывания заявки в очереди является некоторой случайной величиной со средним значением, таким образом, на каждую заявку, стоящую в очереди, действует своего рода пуассоновский «поток уходов» с интенсивностью:

Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. Найдем для него вероятности состояний. Нумерация состояний системы связывается с числом заявок в системе - как обслуживаемых, так и стоящих в очереди:

нет очереди:

Все каналы свободны;

Занят один канал;

Заняты два канала;

Заняты все n-каналов;

есть очередь:

Заняты все n-каналов, одна заявка стоит в очереди;

Заняты все n-каналов, r-заявок стоят в очереди и т. д.

Граф состояний и переходов системы показан на рис. 23.

Рис. 23. СМО с ограниченным временем ожидания

Разметим этот граф, как и раньше; у всех стрелок, ведущих слева направо, будет стоять интенсивность потока заявок . Для состояний без очереди у стрелок, ведущих из них справа налево, будет, как и раньше, стоять суммарная интенсивность потока обслуживании всех занятых каналов. Что касается состояний с очередью, то у стрелок, ведущих из них справа налево, будет стоять суммарная интенсивность потока обслуживания всех n-каналов плюс соответствующая интенсивность потока уходов из очереди. Если в очереди стоят r-заявок, то суммарная интенсивность потока уходов будет равна .

Как видно из графа, имеет место схема размножения и гибели; применяя общие выражения для предельных вероятностей состояний в этой схеме (используя сокращенные обозначения , запишем:

(24)

Отметим некоторые особенности СМО с ограниченным ожиданием сравнительно с ранее рассмотренными СМО с «терпеливыми» заявками.

Если длина очереди не ограничена и заявки «терпеливы» (не уходят из очереди), то стационарный предельный режим существует только в случае (при соответствующая бесконечная геометрическая прогрессия расходится, что физически соответствует неограниченному росту очереди при ).

Напротив, в СМО с «нетерпеливыми» заявками, уходящими рано или поздно из очереди, установившийся режим обслуживания при достигается всегда, независимо от приведенной интенсивности потока заявок . Это следует из того, что ряд для в знаменателе формулы (24) сходится при любых положительных значениях и .

Для СМО с «нетерпеливыми» заявками понятие «вероятность отказа» не имеет смысла - каждая заявка становится в очередь, но может и не дождаться обслуживания, уйдя раньше времени.

Относительная пропускная способность, среднее число заявок в очереди. Относительную пропускную способность q такой СМО можно подсчитать следующим образом. Очевидно, обслужены будут все заявки, кроме тех, которые уйдут из очереди досрочно. Подсчитаем, какое в среднем число заявок покидает очередь досрочно. Для этого вычислим среднее число заявок в очереди:

На каждую из этих заявок действует «поток уходов» с интенсивностью . Значит, из среднего числа -заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, -заявок в единицу времени и всего в единицу времени в среднем будет обслуживаться -заявок. Относительная пропускная способность СМО будет составлять:

Среднее число занятых каналов по-прежнему получаем, деля абсолютную пропускную способность А на :

(26)

Среднее число заявок в очереди. Соотношение (26) позволяет вычислить среднее число заявок в очереди , не суммируя бесконечного ряда (25). Из (26) получаем:

а входящее в эту формулу среднее число занятых каналов можно найти как математическое ожидание случайной величины Z, принимающей значения 0, 1, 2,..., n с вероятностями ,:

В заключение заметим, что если в формулах (24) перейти к пределу при (или, что то же, при ), то при

Очередь длины k, остается в ней с вероятностью Pk и не присоединяется к очереди с вероятностью gk=1 - Pk,". именно так обычно ведут себя люди в очередях. В системах массового обслуживания, являющихся математическими моделями производственных процессов, возможная длина очереди ограничена постоянной величиной (емкость бункера, например). Очевидно, это частный случай общей постановки. Некоторые...

В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже известных показателей - абсолютной А и относительной Q пропускной способности, вероятности отказа P отк. , среднего числа занятых каналов (для многоканальной системы) будем рассматривать также следующие: L сист. - среднее число заявок системе; Т сист. - среднее время пребывания заявки в системе; L оч. - среднее число заявок в очереди (длина очереди); Т оч. - среднее время пребывания заявки в очереди; Р зан.. - вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).
Одноканальная система с неограниченной очередью. На практике часто встречаются одноканальные СМО с неограниченной очередью (например, телефон-автомат с одной будкой). Рассмотрим задачу.
Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживании - интенсивность μ. Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.
Система может находиться в одном из состояний S 0 , S 1 , S 2 , …, S k , по числу заявок, находящихся в СМО: S 0 - канал свободен; S 1 - канал занят (обслуживает заявку), очереди нет, S 2 - канал занят, одна заявка стоит в очереди; ... S k - канал занят, (k-1) заявок стоят в очереди и т.д.
Граф состояний СМО представлен на рис. 8.

Рис. 8
Это процесс гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний, в котором интенсивность потока заявок равна λ, а интенсивность потока обслуживании μ.
Прежде чем записать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время t→∞, очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если ρ<1, т.е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предельные вероятности существуют. Если ρ≥1, очередь растет до бесконечности.

Для определения предельных вероятностей состояний воспользуемся формулами (16), (17) для процесса гибели и размножении (здесь мы допускаем известную нестрогость, так как ранее эти формулы были получены для случая конечного числа состояний системы). Получим (32)
Так как предельные вероятности существуют лишь при ρ < 1, то геометрический ряд со знаменателем
ρ < 1, записанный в скобках в формуле (32), сходится к сумме, равной . Поэтому
(33)
и с учетом соотношений (17)

найдем предельные вероятности других состояний
(34)
Предельные вероятности p 0 , p 1 , p 2 , …, p k ,… образуют убывающую геометрическую профессию со знаменателем р < 1, следовательно, вероятность р 0 - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
Среднее число заявок в системе L сист. определим по формуле математического ожидания, которая с учетом (34) примет вид
(35)
(суммирование от 1 до ∞, так как нулевой член 0p 0 =0).
Можно показать, что формула (35) преобразуется (при ρ < 1) к виду
(36)
Найдем среднее число заявок в очереди L оч. Очевидно, что
(37)
где L об. - среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.
Среднее число заявок под обслуживанием определим по формуле математического ожидания числа заявок под обслуживанием, принимающего значения 0 (если канал свободен) либо 1 (если канал занят):

т.е. среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят:
(38)
В силу (33)
(39)
Теперь по формуле (37) с учетом (36) и (39)
(40)
Доказано, что при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе (в очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т.е.
(41)
(42)
Формулы (41) и (42) называются формулами Литтла. Они вытекают из того, что в предельном, стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность λ.
На основании формул (41) и (42) с учетом (36) и (40) среднее время пребывания заявки в системе определится по формуле:
(43)
а среднее время пребывания заявки в очереди
(44)
Многоканальная СМО с неограниченной очередью . Рассмотрим задачу. Имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживании - интенсивность μ. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.

Система может находиться в одном из состояний S 0 , S 1 , S 2 ,…, S k ,…, S n ,…, - нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S 0 - в системе нет заявок (все каналы свободны); S 1 - занят один канал, остальные свободны; S 2 - заняты два канала, остальные свободны;..., S k - занято k каналов, остальные свободны;..., S n - заняты все n каналов (очереди нет); S n+1 - заняты все n каналов, в очереди одна заявка;..., S n+r - заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди,....

Граф состояний системы показан на рис. 9. Обратим внимание на то, что в отличие от предыдущей СМО, интенсивность потока обслуживаний (переводящего систему из одного состояния в другое справа налево) не остается постоянной, а по мере увеличения числа заявок в СМО от 0 до n увеличивается от величины m до nm, так как соответственно увеличивается число каналов обслуживания. При числе заявок в СМО большем, чем n, интенсивность потока обслуживании сохраняется равной nm.

Рис. 9
Можно показать, что при r/n < 1 предельные вероятности существуют. Если r/n > 1, очередь растет до бесконечности. Используя формулы (16) и (17) для процесса гибели и размножения, можно получить следующие формулы для предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью
(45)
(46)
(47)
Вероятность того, что заявка окажется в очереди,
(48)
Для n-канальной СМО с неограниченной очередью, используя прежние приемы, можно найти:
среднее число занятых каналов
(49)
среднее число заявок в очереди
(50)
среднее число заявок в системе
(51)
Среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания заявки в системе, как и ранее, находятся по формулам Литтла (42) и (41).
Замечание. Для СМО с неограниченной очередью при r < 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа P отк = 0, относительная пропускная способность Q = 1, а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А = l.

СМО с ограниченной очередью

СМО с ограниченной очередью. СМО с ограниченной очередью отличаются от рассмотренных выше задач лишь тем, что число заявок в очереди ограничено (не может превосходить некоторого заданного т). Если новая заявка поступает в момент, когда все места в очереди заняты, она покидает СМО необслуженной, т.е. получает отказ.
Очевидно: для вычисления предельных вероятностей состояний и показателей эффективности таких СМО может быть использован тот же подход, что и выше, с той разницей, что суммировать надо не бесконечную прогрессию (как, например, мы делали при выводе формулы (33)), а конечную.
Среднее время пребывания заявки в очереди и в системе, как и ранее, определяем по формулам Литтла (44) и (43).
СМО с ограниченным временем ожидания. На практике часто встречаются СМО с так называемыми "нетерпеливыми" заявками. Такие заявки могут уйти из очереди, если время ожидания превышает некоторую величину. В частности, такого рода заявки возникают в различных технологических системах, в которых задержка с началом обслуживания может привести к потере качества продукции, в системах оперативного управления, когда срочные сообщения теряют ценность (или даже смысл), если они не поступают на обслуживание в течение определенного времени.

В простейших математических моделях таких систем предполагается, что заявка может находиться в очереди случайное время, распределенное по показательному закону с некоторым параметром υ, т.е. можно условно считать, что каждая заявка, стоящая в очереди на обслуживание, может покинуть систему с интенсивностью υ.
Соответствующие показатели эффективности СМО с ограниченным временем получаются на базе результатов, полученных для процесса гибели и размножения.

В заключение отметим, что на практике часто встречаются замкнутые системы обслуживания , у которых входящий поток заявок существенным образом зависит от состояния самой СМО. В качестве примера можно привести ситуацию, когда на ремонтную базу поступают с мест эксплуатации некоторые машины: понятно, что чем больше машин находится в состоянии ремонта, тем меньше их продолжает эксплуатироваться и тем меньше интенсивность потока вновь поступающих на ремонт машин. Для замкнутых СМО характерным является ограниченное число источников заявок, причем каждый источник "блокируется" на время обслуживания его заявки (т.е. он не выдает новых заявок). В подобных системах при конечном числе состояний СМО предельные вероятности будут существовать при любых значениях интенсивностей потоков заявок и обслуживании. Они могут быть вычислены, если вновь обратиться к процессу гибели и размножения.

4. ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

4.1. Классификация систем массового обслуживания и их показатели эффективности

Системы, в которых в случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства для обслуживания этих заявок, называются системами массового обслуживания (СМО).

СМО могут быть классифицированы по признаку организации обслуживания следующим образом:

Системы с отказами не имеют очередей.

Системы с ожиданием имеют очереди.

Заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты:

Покидает систему с отказами;

Становится в очередь на обслуживание в системах с ожиданием при неограниченной очереди или на свободное место при ограниченной очереди;

Покидает систему с ожиданием при ограниченной очереди, если в этой очереди нет свободного места.

В качестве меры эффективности экономической СМО рассматривают сумму потерь времени:

На ожидание в очереди;

На простои каналов обслуживания.

Для всех видов СМО используются следующие показатели эффективности :

- относительная пропускная способность - это средняя доля поступающих заявок, обслуживаемых системой;

- абсолютная пропускная способность - это среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени;

- вероятность отказа - это вероятность того, что заявка покинет систему без обслуживания;

- среднее число занятых каналов - для многоканальных СМО.

Показатели эффективности СМО рассчитываются по формулам из специальных справочников (таблиц). Исходными данными для таких расчетов являются результаты моделирования СМО.

4.2. Моделирование системы массового обслуживания:

основ­ные параметры, граф состояний

При всем многообразии СМО они имеют общие черты , которые позволяют унифицировать их моделирование для нахождения наиболее эффективных вариантов организации таких систем .

Для моделирования СМО необходимо иметь следующие исходные данные:

Основные параметры;

Граф состояний.

Результатами моделирования СМО являются вероятности ее состояний, через которые выражаются все показатели ее эффективности.

Основные параметры для моделирования СМО включают:

Характеристики входящего потока заявок на обслуживание;

Характеристики механизма обслуживания.

Рассмотрим характеристики потока заявок .

Поток заявок - последовательность заявок, поступающих на обслуживание.

Интенсивность потока заявок - среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени.

Потоки заявок бывают простейшими и отличными от простейших.

Для простейших потоков заявок используются модели СМО.

Простейшим , или пуассоновским называется поток, являющийся стационарным , одинарным и в нем отсутствуют последействия .

Стационарность означает неизменность интенсивности поступления заявок с течением времени.

Одинарным поток заявок является в том случае, когда за малый промежуток времени вероятность поступления более чем одной заявки близка к нулю.

Отсутствие последействия заключается в том, что число заявок, поступивших в СМО за один интервал времени, не влияет на количество заявок, полученных за другой интервал времени.

Для отличных от простейших потоков заявок используются имитационные модели.

Рассмотрим характеристики механизма обслуживания .

Механизм обслуживания характеризуется:

- числом каналов обслуживания ;

Производительностью канала, или интенсивностью обслуживания - средним числом заявок, обслуживаемых одним каналом в единицу времени;

Дисциплиной очереди (например, объемом очереди , порядком отбора из очереди в механизм обслуживания и т. п.).

Граф состояний описывает функционирование системы обслуживания как переходы из одного состояния в другое под действием потока заявок и их обслуживания.

Для построения графа состояний СМО необходимо:

Составить перечень всех возможных состояний СМО;

Представить перечисленные состояния графически и отобразить возможные переходы между ними стрелками;

Взвесить отображенные стрелки, т. е. приписать им числовые значения интенсивностей переходов, определяемые интенсивностью потока заявок и интенсивностью их обслуживания.

4.3. Вычисление вероятностей состояний

системы массового обслуживания

Граф состояний СМО со схемой "гибели и рождения" представляет собой линейную цепочку, где каждое из средних состояний имеет прямую и обратную связь с каждым из соседних состояний, а крайние состояния только с одним соседним:

Число состояний в графе на единицу больше, чем суммарное число каналов обслуживания и мест в очереди.

СМО может быть в любом из своих возможных состояний, поэтому ожидаемая интенсивность выхода из какого-либо состояния равна ожидаемой интенсивности входа системы в это состояние. Отсюда система уравнений для определения вероятностей состояний при простейших потоках будет иметь вид:

где - вероятность того, что система находится в состоянии

- интенсивность перехода, или среднее число переходов системы в единицу времени из состояния в состояние .

Используя эту систему уравнений, а также уравнение

вероятность любого -ого состояния можно вычислить по следующему общему правилу :

вероятность нулевого состояния рассчитывается как

а затем берется дробь, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей потоков по стрелкам, ведущим слева направо от состояния до состояния а в знаменателе - произведение всех интенсивностей по стрелкам, идущим справа налево от состояния до состояния , и эта дробь умножается на рассчитанную вероятность

Выводы по четвертому разделу

Системы массового обслуживания имеют один или несколько каналов обслуживания и могут иметь ограниченную или неограниченную очередь (системы с ожиданием) заявок на обслуживание, не иметь очереди (системы с отказами). Заявки на обслуживание возникают в случайные моменты времени. Системы массового обслуживания характеризуются следующими показателями эффективности: относительная пропускная способность, абсолютная пропускная способность, вероятность отказа, среднее число занятых каналов.

Моделирование систем массового обслуживания осуществляется для нахождения наиболее эффективных вариантов их организации и предполагает следующие исходные данные для этого: основные параметры, граф состояний. К таким данным относятся следующие: интенсивность потока заявок, количество каналов обслуживания, интенсивность обслуживания и объем очереди. Число состояний в графе на единицу больше, чем сумма числа каналов обслуживания и мест в очереди.

Вычисление вероятностей состояний системы массового обслуживания со схемой «гибели и рождения» осуществляется по общему правилу.

Вопросы для самопроверки

Какие системы называются системами массового обслуживания?

Как классифицируются системы массового обслуживания по признаку их организации?

Какие системы массового обслуживания называются системами с отказами, а какие – с ожиданием?

Что происходит с заявкой, поступившей в момент времени, когда все каналы обслуживания заняты?

Что рассматривают в качестве меры эффективности экономической системы массового обслуживания?

Какие используются показатели эффективности системы массового обслуживания?

Что служит исходными данными для расчетов показателей эффективности систем массового обслуживания?

Какие исходные данные необходимы для моделирования систем массового обслуживания?

Через какие результаты моделирования системы массового обслуживания выражают все показатели ее эффективности?

Что включают основные параметры для моделирования систем массового обслуживания?

Чем характеризуются потоки заявок на обслуживание?

Чем характеризуются механизмы обслуживания?

Что описывает граф состояний системы массового обслуживания

Что необходимо для построения графа состояний системы массового обслуживания?

Что представляет собой граф состояний системы массового обслуживания со схемой «гибели и рождения»?

Чему равно число состояний в графе состояний системы массового обслуживания?

Какой вид имеет система уравнений для определения вероятностей состояний системы массового обслуживания?

По какому общему правилу вычисляется вероятность любого состояния системы массового обслуживания?

Примеры решения задач

1. Построить граф состояний системы массового обслуживания и привести основные зависимости ее показателей эффективности.

а) n-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

Основные параметры:

Каналов ,

Интенсивность потока ,

Интенсивность обслуживания .

Возможные состояния системы:

Все каналов заняты ( заявок в системе).

Граф состояний:

Относительная пропускная способность ,

Вероятность отказа ,

Среднее число занятых каналов .

б) n-канальная СМО с m-ограниченной очередью

Возможные состояния системы:

Все каналы свободны (ноль заявок в системе);

Один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);

Два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);

...................................................................................

Все каналы заняты, две заявки в очереди;

Все каналы заняты, заявок в очереди.

Граф состояний:

в) Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Возможные состояния системы:

Все каналы свободны (ноль заявок в системе);

Канал занят, ноль заявок в очереди;

Канал занят, одна заявка в очереди;

...................................................................................

Канал занят, заявка в очереди;

....................................................................................

Граф состояний:

Показатели эффективности системы:

,

Среднее время пребывания заявки в системе ,

,

,

Абсолютная пропускная способность ,

Относительная пропускная способность .

г) n-канальная СМО с неограниченной очередью

Возможные состояния системы:

Все каналы свободны (ноль заявок в системе);

Один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);

Два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);

...................................................................................

Все каналов заняты ( заявок в системе), ноль заявок в очереди;

Все каналы заняты, одна заявка в очереди;

....................................................................................

Все каналы заняты, заявок в очереди;

....................................................................................

Граф состояний:

Показатели эффективности системы:

Среднее число занятых каналов ,

Среднее число заявок в системе ,

Среднее число заявок в очереди ,

Среднее время пребывания заявки в очереди .

2. Вычислительный центр имеет три ЭВМ. В центр поступает на решение в среднем четыре задачи в час. Среднее время решения одной задачи - полчаса. Вычислительный центр принимает и ставит в очередь на решение не более трех задач. Необходимо оценить эффективность центра.

РЕШЕНИЕ. Из условия ясно, что имеем многоканальную СМО с ограниченной очередью:

Число каналов ;

Интенсивность потока заявок (задача / час);

Время обслуживания одной заявки (час / задача), интенсивность обслуживания (задача / час);

Длина очереди .

Перечень возможных состояний:

Заявок нет, все каналы свободны;

Один канал занят, два свободны;

Два канала заняты, один свободен;

Три канала заняты;

Три канала заняты, одна заявка в очереди;

Три канала заняты, две заявки в очереди;

Три канала заняты, три заявки в очереди.

Граф состояний:

Рассчитаем вероятность состояния :

Показатели эффективности:

Вероятность отказа (все три ЭВМ заняты и три заявки стоят в очереди)

Относительная пропускная способность

Абсолютная пропускная способность

Среднее число занятых ЭВМ

3. (Задача с использованием СМО с отказами.) В ОТК цеха работают три контролера. Если деталь поступает в ОТК, когда все контролеры заняты обслуживанием ранее поступивших деталей, то она проходит непроверенной. Среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение часа, равно 24, среднее время, которое затрачивает один контролер на обслуживание одной детали, равно 5 мин. Определить вероятность того, деталь пройдет ОТК необслуженной, насколько загружены контролеры и сколько их необходимо поставить, чтобы (* - заданное значение ).

РЕШЕНИЕ. По условию задачи , тогда .

1) Вероятность простоя каналов обслуживания:

,

3) Вероятность обслуживания:

4) Среднее число занятых обслуживанием каналов:

.

5) Доля каналов, занятых обслуживанием:

6) Абсолютная пропускная способность:

При . Произведя аналогичные расчеты для , получим

Так как , то произведя расчеты для , получим

ОТВЕТ. Вероятность того, что при деталь пройдет ОТК необслуженной, составляет 21%, и контролеры будут заняты обслуживанием на 53%.

Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 95%, необходимо не менее пяти контролеров.

4. (Задача с использованием СМО с неограниченным ожиданием.) Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров () для обслуживания вкладчиков . Поток вкладчиков поступает в сберкассу с интенсивностью чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного вкладчика мин.

Определить характеристики сберкассы как объекта СМО.

РЕШЕНИЕ. Интенсивность потока обслуживания , интенсивность нагрузки .

1) Вероятность простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня (см. предыдущую задачу №3):

.

2) Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми:

.

3) Вероятность очереди:

.

4) Среднее число заявок в очереди:

.

5) Среднее время ожидания заявки в очереди:

мин.

6) Среднее время пребывания заявки в СМО:

7) Среднее число свободных каналов:

.

8) Коэффициент занятости каналов обслуживания:

.

9) Среднее число посетителей в сберкассе:

ОТВЕТ. Вероятность простоя контролеров-кассиров равна 21% рабочего времени , вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,8%, среднее число посетителей в очереди 0,236 чел., среднее время ожидания посетителями обслуживания 0,472 мин.

5. (Задача с применением СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.) Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили с грузом прибывают в разное время с интенсивностью машин в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя автомашинами (). В магазине работают три фасовщика (), каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течение ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 ч.

Определить, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была .

РЕШЕНИЕ. Определим интенсивность загрузки фасовщиков:

Авт./дн.

1) Найдем вероятность простоя фасовщиков при отсутствии машин (заявок):

причем 0!=1,0.

2) Вероятность отказа в обслуживании:

.

3) Вероятность обслуживания:

Так как , произведем аналогичные вычисления для , получим), при этом вероятность полной обработки товара будет .

Задания для самостоятельной работы

Для каждой из следующих ситуаций определить:

a) к какому классу относится объект СМО;

b) число каналов ;

c) длину очереди ;

d)интенсивность потока заявок ;

e) интенсивность обслуживания одним каналом;

f) количество всех состояний объекта СМО.

В ответах указать значения по каждому пункту, используя следующие сокращения и размерности:

a) ОО – одноканальная с отказами; МО – многоканальная с отказами; ОЖО – одноканальная с ожиданием с ограниченной очередью; ОЖН - одноканальная с ожиданием с неограниченной очередью; МЖО – многоканальная с ожиданием с ограниченной очередью; МЖН - многоканальная с ожиданием с неограниченной очередью;

b) =… (единиц);

c) =… (единиц);

d) =ххх/ххх (единиц /мин);

e) =ххх/ххх (единиц /мин);

f) (единиц).

1. Дежурный по администрации города имеет пять телефонов. Телефонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора составляет 2 мин.

2. На стоянке автомобилей возле магазина имеются 3 места, каждое из которых отводится под один автомобиль. Автомобили прибывают на стоянку с интенсивностью 20 автомобилей в час. Продолжительность пребывания автомобилей на стоянке составляет в среднем 15 мин. Стоянка на проезжей части не разрешается.

3. АТС предприятия обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Средняя продолжительность разговоров составляет 1 мин. На станцию поступает в среднем 10 вызовов в сек.

4. В грузовой речной порт поступает в среднем 6 сухогрузов в сутки. В порту имеются 3 крана, каждый из которых обслуживает 1 сухогруз в среднем за 8 ч. Краны работают круглосуточно. Ожидающие обслуживания сухогрузы стоят на рейде.

5. В службе «Скорой помощи» поселка круглосуточно дежурят 3 диспетчера, обслуживающие 3 телефонных аппарата. Если заявка на вызов врача к больному поступает, когда диспетчеры заняты, то абонент получает отказ. Поток заявок составляет 4 вызова в минуту. Оформление заявки длится в среднем 1,5 мин.

6. Салон-парикмахерская имеет 4 мастера. Входящий поток посетителей имеет интенсивность 5 человек в час. Среднее время обслуживания одного клиента составляет 40 мин. Длина очереди на обслуживание считается неограниченной.

7. На автозаправочной станции установлены 2 колонки для выдачи бензина. Около станции находится площадка на 2 автомашины для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем одна машина в 3 мин. Среднее время обслуживания одной машины составляет 2 мин.

8. На вокзале в мастерской бытового обслуживания работают три мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую за 1 ч, равно 20. Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента, равно 6 мин.

9. АТС поселка обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Время переговоров в среднем составляет около 3 мин. Вызовы на станцию поступают в среднем через 2 мин.

10. На автозаправочной станции (АЗС) имеются 3 колонки. Площадка при станции, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более одной машины, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю станцию. В среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин.

11. В небольшом магазине покупателей обслуживают два продавца. Среднее время обслуживания одного покупателя – 4 мин. Интенсивность потока покупателей – 3 человека в минуту. Вместимость магазина такова, что одновременно в нем в очереди могут находиться не более 5 человек. Покупатель, пришедший в переполненный магазин, когда в очереди уже стоят 5 человек, не ждет снаружи и уходит.

12. Железнодорожную станцию дачного поселка обслуживает касса с двумя окнами. В выходные дни, когда население активно пользуется железной дорогой, интенсивность потока пассажиров составляет 0,9 чел./мин. Кассир затрачивает на обслуживание пассажира в среднем 2 мин.

Для каждой из указанных в вариантах СМО интенсивность потока заявок равна и интенсивность обслуживания одним каналом . Требуется:

Составить перечень возможных состояний;

Построить граф состояний по схеме "гибели и размножения".

В ответе указать для каждой задачи:

Количество состояний системы;

Интенсивность перехода из последнего состояния в предпоследнее.

Вариант № 1

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 1 заявку

2. 2-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 31-канальная СМО с 1-ограниченной очередью

5. 31-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 2

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 2 заявки

2. 3-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 30-канальная СМО с 2-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 30-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 3

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 3 заявки

2. 4-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 29-канальная СМО с 3-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 29-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 4

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 4 заявки

2. 5-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 28-канальная СМО с 4-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 28-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 5

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 5 заявок

2. 6-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 27-канальная СМО с 5-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 27-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 6

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 6 заявок

2. 7-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 26-канальная СМО с 6-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 26-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 7

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 7 заявок

2. 8-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 25-канальная СМО с 7-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 25-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 8

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 8 заявок

2. 9-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 24-канальная СМО с 8-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 24-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 9

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 9 заявок

2. 10-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 23-канальная СМО с 9-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 23-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 10

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 10 заявок

2. 11-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 22-канальная СМО с 10-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 22-канальная СМО с неограниченной очередью

б) СМО с неограниченным ожиданием:

– средние число заявок в очереди;

– средние число заявок в системе;

– среднее время ожидания заявки в очереди;

– среднее время пребывания заявки в системе;

– среднее число занятых каналов.

в) СМО с ограниченным временем ожидания.

Для этого типа СМО интерес представляют обе группы характеристик, как относительная и абсолютная пропускная способность, так и характеристики ожидания.

Для анализа процесса, протекающего в СМО, необходимо знать следующие параметры системы:

– число каналов n ;

– интенсивность потока заявок;

– производительность каждого канала (средние число заявок в единицу времени);

– условие образования очереди.

Под интенсивностью потока заявок (интенсивность нагрузки) понимается среднее число вызовов в 1 час. За единицу измерения интенсивности нагрузки (T – среднее время занятия станции при одном вызове) принимается 1 Эрланг (1 часо-занятие в час). В течение суток нагрузка изменяется, достигая максимума в час наибольшей нагрузки (ЧНН).

Все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, считаются пуассоновскими. Если рассматриваются немарковские СМО, то это оговаривается особенно.

В теории массового обслуживания в общем случае принята 5-ти буквенная система обозначения А/В/k/r/m, представленная на рис. 5.16.

Рис. 5.16. Нотация СМО с очередями

В заключении сделаем ряд выводов.

1. Основной проблемой многоканальной передачи сообщений является повышение эффективности использования дорогостоящих трактов передачи (линий связи). С этой целью тракт передачи предоставляется для одновременной и независимой передачи сигналов от большого числа источников сообщений. Передаваемый по тракту передачи групповой сигнал формируется из канальных сигналов, удовлетворяющих условию линейной независимости или ортогональности.

2. К основным способам разделения канальных сигналов относятся частотное и временное разделение, разделение по фазе и по форме, кодовое разделение. Предельное число каналов в многоканальной системе при одновременной независимой передаче определяется базой группового сигнала.

3. Пропускная способность систем многоканальной связи ограничивается не только мощностью шума в канале, но также мощностью взаимных помех между каналами. Поэтому увеличить пропускную способность многоканальной системы за счет увеличения мощности канальных сигналов нельзя. Для снижения уровня взаимных помех приходится вводить защитные промежутки, что приводит к снижению эффективности использования многоканальных трактов.

4. Наиболее перспективными являются цифровые многоканальные системы с временным разделением в сочетании со статистическим кодированием.

5. С целью организации обмена информацией между территориально разделенными пользователями системы передачи и каналы объединяются в сети связи – системы передачи и распределения информации, в состав которых входят оконечные пункты, узлы коммутации и каналы передачи, взаимодействующие между собой по определенному регламенту, определяемому протоколами многоуровневой архитектуры сетей передачи информации (эталонной модели ВОС).

6. Перспективными направлениями развития современных сетей связи являются: создание интегральных цифровых сетей, внедрение систем синхронной цифровой иерархии, внедрение цифровых систем интегрального обслуживания и широкополосных цифровых систем интегрального обслуживания, создание интеллектуальных сетей.

Контрольные вопросы

1. Назовите основные преимущества многоканальной связи.

2. Нарисуйте структурную схему многоканальной системы и поясните принцип её работы.

3. Каким требованиям должны удовлетворять канальные сигналы при формировании группового сигнала системы многоканальной передачи?

4. Запишите условие линейной независимости сигналов и поясните её физическую сущность.

5. В чём состоит различие между ортогональными и линейно независимыми сигналами?

6. Приведите геометрическую трактовку условия линейного разделения сигналов при многоканальной передаче.

7. Сформулируйте принципы построения коммутационных систем на основе коммутации каналов, сообщений и пакетов.

8. Перечислите основные цели и функции, реализуемые различными уровнями эталонной модели взаимодействия открытых систем.

9. Приведите классификацию систем массового обслуживания.

10. Назовите основные характеристики систем массового обслуживания.

1. Теория электрической связи [Текст]: учебник для вузов / А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский, В.И. Коржик и др. – М.: Радио и связь, 1999. 432 с.

2. Теория электрической связи [Текст]: учебное пособие / К.К. Васильев, В.А. Глушков, А.В. Дормидонтов и др.; под общ. ред. К.К. Васильева. – Ульяновск: УлГТУ, 2008. – 452 с.

3. Лев, А.Ю. Теоретические основы многоканальной связи [Текст]: учебник для вузов /А.Ю. Лев. – М.: Связь, 1978. 192 с.

4. Основы многоканальной связи [Текст]: учебник для вузов /Баева Н.Н., Бобровская И.К., Брескин В.А и др. – М.: Связь, 1975. 328 с.

5. Гордиенко, В.Н., Тверецкий М.С. Многоканальные телекоммуникационные системы [Текст]: учебник для вузов / В.Н. Гордиенко, М.С. Тверецкий. – М.: Горячая линия – Телеком, 2007. 416 с.

6. Кириллов, В.И. Многоканальные системы передачи [Текст]: учебник / В.И. Кириллов. – М.: Новое знание, 2002. 751 с.

7. Теория телетрафика [Текст]: учебник для вузов / Б.С. Лившиц, А.Л. Пшеничников, А.Б. Харкевич. – М.: Связь, 1979. 224 с.

6. Анализ эффективности и элементы оптимизации систем связи

Развитие сетей и систем связи требует решения самых разнообразных задач, связанных как с оптимальным построением новых, так и с улучшением эффективности использования существующих сетей и систем связи. Решение задач оптимального построения систем с учётом исходных данных связано с выбором стратегии действий, результатом которых может стать создание системы или сети связи, обладающих некоторыми наперёд заданными свойствами. Задачи построения оптимальных систем и сетей связи относятся к задачам их синтеза и, как правило, относятся к классу технико-экономических задач, связанных с поиском оптимального решения по ряду экономических категорий (капиталовложения, эксплуатационные расходы, расходы дефицитного сырья и т.п.).

Другие задачи, связанные с изучением существующих систем и сетей связи, с разработкой мероприятий, обеспечивающих возможность увеличения их пропускной способности или придания им новых свойств (например, повышения надёжности), относятся к задачам анализа.

6.1. Методология системного анализа и оптимизации систем связи

Сложность задач, связанных с построением систем и сетей связи резко возрастает по мере увеличения их масштаба. Это обусловлено их комбинаторной природой. В связи с этим решение этих задач необходимо проводить на основе системного подхода.

6.1.1. Основы системного похода при анализе и синтезе систем и сетей связи

Решение подобных задач как за один приём, так и при простом разбиении всей большой задачи на ряд мелких последовательных этапов редко приводит к успеху. Поэтому для создания таких систем необходим определенный идео­логический и организационный план, пронизывающий весь процесс создания, на­чиная от фазы исследовательской проработки до фазы изготовления, испытаний и применения опытного образца. Необходимость системного подхода при создании систем и сетей связи обусловливается увеличением темпов развития науки и производства, возрастанием сложности систем и, как следствие, увеличением длительности разработки. Создание подобных систем требует больших капиталовложений, в результате чего требуются гарантии того, что будет создана систе­ма с нужными свойствами. Отсюда выявляется основ­ное целевое назначение системного подхода в создании систем и сетей связи – сокращение периода разработки системы между моментом возникновения потребности в созда­нии подобной системы и моментом ввода её в эксплуата­цию при сохранении соответствия качества выполняе­мых функций требуемому для достижения поставленных целей.

Принцип системного подхода базируется на представлении объекта (системы или сети связи) как сложной системы с учётом её специфических связей и свойств. Термин «сложная система» ассоциируется с объектом составным, представляющим собой совокупность отдельных частей, и в то же время объектом комплексным, от­дельные части которого функционируют в тесном взаимодей­ствии и составляют с некоторой точки зрения единое целое. Основными отличительными признаками сложных систем являются:

– наличие большого количества взаимно связанных и взаимодействующих между собой элементов;

– сложность функции, выполняемой системой и направленной на достижение заданной цели функционирования;

– возможность разбиения системы на подсистемы, цели функционирования которых подчинены общей цели функциони­рования всей системы;

– наличие управления (часто имеющего иерархическую структуру), разветвлённой информационной сети и интенсивных потоков информации;

– наличие взаимодействия с внешней средой и функционирование в условиях воздействия случайных факторов.

Система опре­деляется как целостное образование, состоящее из связанных между собой элементов. Поэтому система обладает собственными свойствами, не вытекаю­щими непосредственно из свойств её элементов. Главное свойство системы – её законченность, которая рассматривается как целостность. Концепция целост­ности является основой методологии системного подхода. Специфика сложной системы не исчерпывается особенностями составляющих её элементов, а свя­зана, прежде всего, с характером взаимосвязей между элементами. Совокупность устойчивых связей между элементами, определяющих целостность и основные свойства системы, образует структуру системы.

При системном подходе любой объект рассматривается как некоторая сис­тема, которую можно разделить на подсистемы. Каждая из этих подсистем мо­жет быть разделена на подсистемы более низкого уровня и т. д. Система имеет иерархическую структуру.

Исследование любой системы предполагает создание модели системы, позволяющей предсказывать ее поведение в определенном диапазоне условий. Модель – описание системы, отображающее определенную группу ее свойств; углубление описания – это детализация модели. Математическая модель является основой для решения главных системо­технических задач:

– анализа – определения численных зна­чений показателей эффективности при заданных парамет­рах системы и характеристиках внешней среды, фиксиро­ванной структуре и алгоритме взаимодействия элементов;

– синтеза – выбора оптимальной структуры, алгоритмов вза­имодействия, параметров системы, оптимального управле­ния системой и др.

Свойства системы, прежде всего, определяются её целевым назначением (целями функционирования), которое трактуется как совокупность задач, решае­мых данной системой. Для получения желаемого результата необходимо со­вершить определённую совокупность операций, направленных на достижение поставленной задачи. Эти операции реализуются за счёт использования неко­торых ресурсов системы. В телекоммуникационных системах (ТС) такими операциями являются кодирование, модуляция, усиление сигнала, селекция сигналов, демодуляция, декодирование и т.п., а ресурсами системы являются мощность сигнала и полоса частот кана­ла. Все признаки сложной системы имеют и телекоммуникационные системы (ТС):

1) они являются информационными системами, смысл функционирования этих систем – транспортировка (перенос) информации;

2) состоят из двух основных подсистем: технической и пользовательской, взаимодействие этих различных по своей физической сущности подсистем определяет структуру и функции ТС;

3) являются «большими» сис­темами, содержащими огромное количество компонентов, многие из которых – сами большие системы либо многофункциональные устройства. Компоненты ТС имеют различное устройство и выполняют различные функции;

4) ТС многосвязные: их различные компоненты соединены между собой и имеют как прямые, так и обратные связи. Структура и топология ТС переменны, управляемы, зависят от пользователей;

5) ТС являются крупномасштаб­ными системами, охватывающими крупные территории и интегри­рующимися в мировую систему телекоммуникаций, они взаимно проникающие. Процессы в ТС могут проходить с различными скоростями;

6) ТС являются пространственно-распределенными и содержат как дискретные, так и непрерывные (пространственно-протяжённые) компоненты. Элементы системы могут быть стационарными (статическими) или движущимися (дина­мическими). Такая природа ТС порожда­ет особую специфику происходящих в них процессов;

7) ТС являются эргатическими (эргатическия система – сложная система управления, составным элементом которой выступает человек-оператор (или группа операторов));

8) ТС являются немарковскими с точки зрения протекающих в них процессов. Это означает, что пове­дение системы определяется не только текущим состоянием, но и предысторией, причём довольно длительной, а также скрытыми воз­можностями, включающимися спонтанно в определённых условиях.

9) ТС нелинейны. Важно отметить следующие моменты:

– нелинейная зависимость между различными видами оборудования в системе – техническая нелинейность;

– нелинейная зависимость между нагрузкой, создаваемой або­нентами системы, и пропускной способностью системы. Абонент­ская нагрузка существенно ситуационна, пропускная способность определяется инженерными решениями.

10)ТС синергетичны, т. е. самоор­ганизуемы и склонны к самостоятельному автономному поведению, обладают способностями к самосохранению и противодействию внешним воздействиям, устранению произошедших изменений вну­тренними средствами (в определённых пределах), а также функцио­нальной инертностью;

11) ТС находятся в непрерывном развитии;

12) они наукоёмки и базируются на перспективных технических разработках;

13) ТС являются сложными систе­мами высокого уровня, т. е. сверхсложными. Сверхсложными называ­ются системы, состоящие из нескольких сложных систем. Сложность образуется в результате взаимодействия ряда указанных выше факторов: многокомпонентности; нелинейности; большого числа степе­ней свободы; наличия памяти.

В отличие от сложных систем у про­стых систем выходные параметры функционально связаны с входны­ми воздействиями.

Телекоммуникационная система как техниче­ская система имеет ряд специфических особенностей. Наиболее существенны­ми из них являются объект (продукт) передачи и среда (условия).

Объектом передачи в ТС является информация, природа которой чрезвычайно сложна, и наши знания о ней пока лишь самые общие. Определить количественную меру информации с учётом её ценности, а тем более семантики весьма затруд­нительно.

Среда в ТС – это не только линия (среда распространения сигнала), ис­пользуемая для передачи сигналов от передатчика к приёмнику, но и другие системы естественного и искусственного происхождения, оказывающие опре­делённые воздействия на ТС. Обычно это мешающие воздействия (помехи и искажения), затрудняющие качественную передачу информации по каналу свя­зи. Необходимость борьбы с вредными воздействиями помех существенно ус­ложняет ТС.

Для исследования того или иного явления или технического объекта (телекоммуникационной системы) в создаваемой для про­ведения исследований модели объекта должны быть отображены наиболее существенные его свойства и признаки. Модель пред­ставляет собой отра­жение системы, её образ, используемый для решения задач анализа и синтеза реальной системы. В зависимости от задач и целей моделирования оно может производиться на раз­личных уровнях абстракции. Модель используется для по­следую­щих теоретических и экспериментальных исследований системы. В про­цессе этих исследований модель может совершенствоваться с целью более пол­ного отражения свойств реальной системы.

Модель – это частичное или полное описание системы, пред­ставленное в виде схем, чертежей, математических формул (соот­ношений), имитационных программ для ЭВМ и т. п. Математиче­ская модель технической системы пред­ставляет собой совокуп­ность математических соотношений, отображающих структуру системы, алгоритмы её функционирования, статистические харак­те­ристики канала, сигнала и помех, технические и экономические показатели системы.

Стохастический характер помех и непредсказуемость сооб­щений и сигналов обусловливают широкое использование вероят­ностных моделей.

Применение декомпозиции сложной системы на отдельные подсистемы и раздельная оптимизация элементов системы не га­рантирует оп­тимизации системы в целом. Для системного анализа характерен переход от анализа отдель­ных элементов (блоков) к анализу альтернативных вариантов построения системы как еди­ного целого с интеграционной оценкой их эффективности.

6.1.2. Общая методология оптимизации телекоммуникационных систем

Качество работы ТС характеризуется совокупностью большого числа показателей, основными из которых являются помехоустойчивость, скорость передачи, пропускная способность, дальность действия, электромагнитная совместимость, масса и габариты аппаратуры, стоимость, экологическая совместимость. Совокупность показателей качества СПИ можно записать в виде вектора

Q = {q 1 , q 2, … , q n }. (6.1)

Оптимальной (наилучшей) считается такая система S , которой соответствует наибольшее (наименьшее) значение некоторой функции j (q 1 , q 2, … , q n) от частных показателей качества q 1 , q 2, … , q n . Величина Q называется обобщенным показателем качества (эффективностью ) системы , а функция j – целевой функцией (критерием качества ) системы .

Любая оценка эффективности ТС производится с целью принятия определённого решения. Так, при проектировании требуется определить совокупность параметров системы, при которых достигается наибольшая эффективность. Количественная оценка эффективности должна удовлетворять определённым требованиям:

– она должна достаточно полно характеризовать систему в целом и иметь ясный физический смысл;

– оценка эффективности системы должна быть конструктивной – пригодной как для анализа, так и для синтеза системы;

– наконец, она должна быть достаточно простой для вычисления и удобной для практического использования.

Современные сложные ТС не могут быть охарактеризованы одним показателем. Оценка по нескольким показателям является более полной и более предметной, позволяющей охарактеризовать различные свойства системы. Нужно иметь несколько показателей, характеризующих основные наиболее существенные свойства системы (информационные, технические, экономические и т. п.). Во многих случаях достаточно двух показателей, например помехоустойчивость и скорость передачи, частотная и энергетическая эффективность, технический эффект и затраты.

Окончательное решение, как правило, принимается не только на основании расчёта, но и на опыте, интуиции и других эвристических категорий, а также на дополнительных соображениях, которые не были учтены при построении математической модели.

В общем случае задача оптимизации ТС сводится к нахождению максимума целевой функции Y(S ) = max j(q 1 , q 2, … , q n) при вариации системы S (её структуры и значений её параметров) с учётом исходных данных и ограничений на структуру и параметры системы.

Если задана целевая функция Y(S ) и определена совокупность допустимых систем (или их вариантов) S 1 , S 2 ,…, S N , то оптимизация сводится к задаче выбора из конечного числа N заданных систем, т.е. к выбору системы, которой соответствует наибольшее (наименьшее) из значений Y 1 = j(S 1), Y 2 = j(S 2), …, Y N = j(S N).

Более сложной задачей является задача оптимизации (синтеза) структуры системы. Если структура системы достаточно полно описана известными функциями с конечным числом параметров, то задача сводится к оптимизации этих параметров. В частном случае, когда целевая функция и все функции, определяющие ограничения, линейно зависят от параметров x 1 , x 2 ,…, x m , задача сводится к линейному программированию. В некоторых случаях задачу удаётся решить аналитически на основании методов функционального анализа.

В общем виде решение задачи оптимизации ТС может оказаться очень сложным и мало пригодным для принятия решения. В этом случае применяют поэтапную процедуру оптимизации. Сначала, например, производится оптимизация по информационным параметрам, а затем – по технико-экономическим показателям. На первом этапе определяется структурная схема системы, позволяющая оценить её основные потенциальные характеристики, выбрать способы модуляции и методы кодирования, методы обработки сигнала в приёмнике. Затем определяются алгоритмы функционирования и параметры отдельных блоков системы. Завершающим этапом является конструирование системы.

6.2. Методы повышения помехоустойчивости, помехоза­щищённости и пропускной способности реальных каналов связи

6.2.1. Показатели эффективности систем связи

Повышение помехоустойчивости и эффективности ТС является одной из важнейших проблем современной теории и техники связи. Основные исследования сосредоточены на создании ТС, в которых достигаются скорость и достоверность передачи, близкие к предельным. Реализация таких систем возможна только на основе комплексного подхода с учётом всех видов преобразований, которым подвергаются сообщения и сигналы. Основным направлением повышения эффективности ТС является использование наиболее совершенных способов передачи (кодирования и модуляции) и приёма (демодуляции и декодирования), позволяющих наиболее полно использовать шенноновскую пропускную способность канала при высокой верности передачи. Практически это позволяет повысить верность или скорость передачи информации (или то и другое) без существенного увеличения ОСШ на входе приёмника. В ЦСП имеется возможность эффективно использовать не только помехоустойчивое кодирование канала, но и кодирование источника с целью сокращения избыточности. Сжатие данных даёт возможность повысить эффективность ТС в несколько раз.

В системах, в которых используется кодирование источника с целью сокращения избыточности или помехоустойчивое кодирование (кодирование с избыточностью) канала, или то и другое вместе, оптимизация на основе традиционного критерия минимума ошибки становится затруднительной. В таких системах ошибка принципиально не ограничена – она может быть сделана произвольно малой, в то время как скорость передачи v ограничена пропускной способностью канала C . Таким образом, в ТС с кодированием важнейшим показателем эффективности является скорость передачи, при которой обеспечивается заданная верность (ошибка) передачи и приемлемая (или минимальная) сложность системы.

Скорость передачи целесообразно оценивать не в абсолютных, а в относительных единицах. Телекоммуникационные системы, обеспечивающие необходимую скорость передачи информации v при заданной помехоустойчивости, различаются степенью использования ими ресурсов канала: пропускной способности С , мощности сигнала P с и занимаемой полосы частот ΔF .

Наиболее часто для сравнительной оценки эффективности систем связи используют три показателя:

– информационная эффективность, характеризующая степень использования пропускной способности канала (относительная скорость):

– частотная эффективность, характеризующая затраты полосы частот на 1 бит информации при заданной помехоустойчивости:

– энергетическая эффективность, характеризующая расход ОСШ на единицу переданной информации:

где – мощность сигнала; – СПМ помехи (шума).

По этим показателям можно осуществить оптимизацию ТС в целом с учётом способов как модуляции – демодуляции, так и кодирования – декодирования.

Предельные характеристики вытекают из теоремы Шеннона:

При получаем предельную зависимость

Эта зависимость, графически представленная на рис. 6.1, является предельной и отражает наилучший обмен между β и γ в гауссовском непрерывном канале (ГНК).

Рис. 6.1. Эффективность систем передачи информации

Частотная эффективность g изменяется в пределах от 0 до ¥ для аналоговых систем и от 0 до для дискретных, в то время как энергетическая эффективность b ограничена сверху величиной:

Для двоичного канала (m = 2) = 2 бит/с/Гц – предел Найквиста.

Используя формулу для пропускной способности канала можно построить аналогичные предельные кривые b = f (g) для других типов каналов. На рис. 6.1 приведены предельные кривые для симметричных m -ичных каналов (m СК) и дискретно-непрерывных каналов (ДНК) при основании кода сигнала m = 2 и m = 4 и примитивном кодировании (R = 1 – скорость кода).

В ДНК при кривая энергетической эффективности асимптотически приближается к предельной кривой ГНК. При логарифмическом масштабе в соответствии с соотношением, где – отношение средних мощностей сигнала и шума, зависимости β от γ при одинаковых значениях превышения сигналов над шумом отображаются прямыми с углом наклона, равным p/4 (45º).

В реальных системах вероятность ошибки всегда имеет конечное значение и η < 1. В этом случае при заданной вероятности ошибки можно определить отдельно β и γ и построить зависимости b = f (g), аналогичные рис. 6.1. В координатах β и γ каждой реальной системе передачи дискретных сообщений будет соответствовать точка на плоскости. Все эти точки располагаются ниже предельной кривой Шеннона и ниже предельных кривых ДНК и m СК. Вид этих кривых зависит от вида модуляции, кода и способа обработки сигналов (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Энергетическая и частотная эффективности систем с многопозиционными сигналами и корректирующими кодами

Цифры на кривых рис. 6.2 показывают число позиций дискретного сигнала. Кривые рассчитаны для оптимального приёма сигналов при равной априорной вероятности их передачи и вероятности ошибки на бит. При этом принималось: занимаемая полоса частот ∆ – для ЧМ и ∆ – для ФМ. Здесь T – длительность передачи 1 бита.

6.2.2. Эффективность систем связи

Эффективность систем передачи дискретныз сообщений. В системах передачи дискретных сообщений (СПДС) сигнал формируется с помощью кодирования и модуляции. При этом кодирование производится обычно в два этапа: кодирование источника с целью сокращения его избыточности æ и и кодирование канала с целью уменьшения ошибки (за счёт введения избыточности кода æ к). Тогда выражение для информационной эффективности СПДС можно представить в виде произведения

где – æ и – эффективность кодера источника; æ к – эффективность кодера канала; – эффективность модема, которая зависит от вида модуляции и способа обработки сигнала в канале.

Средняя скорость передачи информации в СПДС при использовании многопозиционных сигналов длительностью Т равна

(бит/с), (6.9)

где – скорость кода.

Тогда (6.10)

и γ = æ и /∆F = , (6.11)

где – энергия сигнала; – энергия, затрачиваемая на передачу 1 бита информации (битовая энергия).

Значения ОСШ (Е в /N 0) вычисляются в заданном канале по формулам или соответствующим графикам для вероятности ошибки p .

Эффективность аналоговых и цифровых систем передачи. В аналоговых системах передачи (АСП) (системах передачи непрерывных сообщений) скорость источника v и определяется эпсилон – производительностью источника. Для гауссовского источника:

где ∆F c – полоса частот сигнала, в пределах которой СПМ сигнала s (t ) – считается равномерной; ρ вых – ОСП на выходе приёмника.

Тогда формулу для информационной эффективности (6.2) можно записать в следующем виде

В табл. 6.1 приведены результаты расчета выигрыша g , обобщенного выигрыша g ¢ и информационной эффективности h для некоторых систем передачи непрерывных сообщений при заданном значении r вых = 40 дБ.

Таблица 6.1.

Результаты расчета g , g ¢ и h для различных систем модуляции

Система модуляции	a = F к / F с	g = r вых / r вх	g¢ = g/ a	h =v и /С ¢
АМ		0,2	0,1	0,42
БМ				0,50
ОМ
ФМ			11,1	0,12
ЧМ			33,3	0,17
ФИМ-АМ			33,3	0,17
ИКМ-АМ			12,5	0,23
ИКМ-ЧМ				0,32
ИКМ-ФМ				0,48
ИС

Выигрыш g и обобщенный выигрыш g ¢ рассчитывались по соответствующим формулам для оптимального приёма сигналов. При этом полагалось, что во всех системах передаётся одно и то же сообщение с наивысшей частотой F c и пик-фактором П = 3. Там же для сравнения приведены также результаты расчета для идеальной системы(ИС).

Из анализа данных табл. 6.1 следует, что наибольшую информационную эффективность имеет система с однополосной модуляцией (ОМ). Однако помехоустойчивость этой системы (выигрыш), так же как и систем АМ и БМ, низкая и верность передачи может быть повышена только за счет увеличения мощности сигнала. Необходимо помнить, что порог помехоустойчивости в системах ОМ и АМ отсутствует. Одноканальные системы ЧМ и ФИМ-АМ одинаковы. В этих системах, а также в цифровых системах с ИКМ, высокая помехоустойчивость может быть достигнута за счёт увеличения ширины спектра сигнала, т.е. за счет частотной избыточности. Во всех этих системах резко выражен порог помехоустойчивости (рис. 6.1).

На рис. 6.3 приведены кривые энергетической и частотной эффективности аналоговых и цифровых систем связи, из которых следует, что эффективность реальных систем существенно ниже предела Шеннона.

Рис. 6.3. Энергетическая и частотная эффективность аналоговых и цифровых систем связи

Аналоговые системы ОМ, АМ и узкополосная ЧМ обеспечивают высокую частотную эффективность g при сравнительно низкой энергетической эффективности b. Применение этих систем целесообразно в каналах с хорошей энергетикой (при больших значениях r вх) или в тех случаях, когда требуемое значение r вых мало.

Цифровые системы обеспечивают высокую энергетическую эффективность при достаточно хорошей частотной эффективности. В каналах с ограниченной энергетикой (при малых значениях r вх) преимущества ЦСП особенно заметны.

В системах проводной связи важнейшим показателем является частотная эффективность. Здесь определяющим является требование наилучшего использования полосы частот канала при заданной верности передачи. Этому требованию наиболее полно отвечает ОМ.

В системах космической связи определяющим является требование наилучшего использования мощности сигнала при заданной верности передачи. Этому требованию наиболее полно удовлетворяют ЦСП с ФМ и ОФМ. Эффективность этих систем можно существенно повысить, используя корректирующие коды.

Эффективность многоканальных систем связи снижается за счёт несовершенства системы разделения сигналов. Для таких систем можно пользоваться следующими расчётными формулами

где – усреднённая эффективность методов модуляции по всем n каналам (отношение средней скорости передачи информации в одном v и, i (парциальном) канале к средней пропускной способности канала C i );
– эффективность метода разделения, которая определяется как сумма отношений пропускной способности парциальных каналов к пропускной способности общего канала.

Величины С¢ и С¢ i определяются для гауссовских каналов по формуле Шеннона.

В общем случае величина h р зависит не только от числа каналов n, но и от ОСШ r в канале. Поэтому сравнивать разные методы разделения необходимо при одинаковых значениях r. Расчеты показывают, что наиболее эффективным является метод временного разделения каналов (ВРК), менее эффективным – метод частотного разделения по форме (РФК). При ВРК в каждый момент времени передается один сигнал, и поэтому пропускная способность не зависит от числа каналов В такой системе при отсутствии защитных промежутков между каналами h р = 1. При ЧРК пропускная способность канала с ограниченной средней мощность сигнала также не зависит от числа каналов и при отсутствии защитных полос h р = 1. Однако при ограничении пиковой мощности сигнала картина резко меняется, и величина h р уменьшается с увеличением n. При РФК между парциальными каналами делится только мощность, полоса частот и время передачи используются всеми сигналами одновременно. В этом случае h р уменьшается с увеличением n , причем амплитудное ограничение сигнала слабо влияет на эту зависимость.

6.2.3. Пути повышения эффективности систем связи

Полученные β γ – номограммы позволяют определить системы, удовлетворяющие заданным требованиям по энергетической и частотной эффективности, и установить, насколько эти показатели для реальных систем близки к предельным. Совокупность кривых b = f (g) позволяет выбрать наилучшую систему при заданных ограничениях на верность передачи. При этом можно осуществить оптимизацию по одной из частных стратегий:

1) максимизировать β при и;

2) максимизировать γ при и,

где и – области допустимых изменений β и γ.

При известных R * , F * и ОСШ область возможных значений можно разбить на четыре квадранта. Системы, расположенные в этих квадрантах, удовлетворяют требованиям:

I квадрант – β > β * и γ > γ * ;

II квадрант – β < β * ;

III квадрант – β < β * и γ < γ * ;

IV квадрант – β < β * и γ > γ * .

Возможные системы передачи можно условно разбить на две группы:

1) с высокой β-эффективностью, но малой γ (первостепенное значение имеют энергетические показатели – космические и спутниковые системы связи), необходимо обеспечить наилучшее использование мощности сигнала при заданной;

2) с высокой γ-эффективностью (системы проводной связи), необходимо добиться наилучшего использования полосы частот канала при заданной.

Повышение эффективности систем модуляции и кодирования . Для повышения информационной эффективности η необходимо повышать как эффективность систем кодирования, так и эффективность систем модуляции. Применение циклического кода в канале с ФМ или сверточного кода в канале с КАФМ позволяет получить одновременно выигрыш как β, так и γ , или, во всяком случае, выигрыш по одному из показателей без ухудшения другого.

Применение помехоустойчивого кодирования является эффективным средством повышения энергетической эффективности систем передачи информации (т.е. уменьшения минимального ОСШ для обеспечения требуемой достоверности передачи информации). При этом процесс помехоустойчивого кодирования рассматривается независимо от процесса модуляции. Ценой применения такого метода повышения энергетической эффективности системы передачи информации является уменьшение ее спектральной эффективности (т.е. расширения относительной полосы частот, занимаемых сигналом) на величину, обратно пропорциональную скорости кода.

Одно из решений, обеспечивающих высокую спектральную и энергетическую эффективность системы передачи информации, лежит в согласованном объединении процессов модуляции и помехоустойчивого кодирования в единую эффективную конструкцию, позволяющее за счёт расширения ансамбля используемых сигналов получить избыточность, необходимую для применения помехоустойчивого кода, обеспечивающего увеличение минимального эвклидова расстояния между последовательностями модулированных сигналов.

Получаемая в процессе такого объединения согласованная конструкция получила название сигнально-кодовой конструкции (СКК ) или кодовой модуляции.

Любую СКК, вне зависимости от способа согласования модуляции и кодирования, можно представить в виде каскадного кода с ансамблем сигналов на внутренней ступени кодирования и одним или несколькими помехоустойчивыми кодами на внешней. При использовании нескольких помехоустойчивых кодов говорят о построении СКК на основе обобщенного каскадного кода (ОКК). В процессе формирования модуляционного кода на входе модулятора участвуют не только двоичные комбинации с выхода помехоустойчивого кодера, но и некодированные биты. Кроме того, в процессе кодирования может производиться перемежение входной или выходной последовательности, дифференциальное кодирование и другие преобразования, существенно влияющие на свойства СКК.

В качестве помехоустойчивых кодов в СКК обычно используются свёрточные и каскадные коды, а в качестве многопозиционных сигналов – сигналы ФМ, АФМ и ЧМНФ (частотная модуляция с непрерывной фазой). Устройство, реализующее СКК, состоит из кодека, модема и согласующих устройств. Возможно построение СКК и на основе многомерных сигналов. Построение более совершенных СКК связано с усложнением их реализации. Показатели эффективности СКК определяются следующими соотношениями:

где b м и g м – показатели эффективности системы модуляции (модема); Db к – энергетический выигрыш кодирования (кодека); g к – частотная эффективность кодека.

Результаты расчётов показывают, что применение СКК позволяет получить одновременно выигрыш как по энергетической, так и по частотной эффективности или, во всяком случае, выигрыш по одному показателю, не ухудшая другой. Например, система ФМ8-СК при использовании перфорированного свёрточного кода со скоростью R = 2/3 обеспечивает энергетический выигрыш Db = 2,8 дБ без снижения величины g, а система АФМ16-СК при R = 1/2 и кодовым ограничении g = 3 обеспечивает выигрыш Dg = 2 дБ без снижения энергетической эффективности b. Информационная эффективность этих систем h » 0,6…0,7.

Согласование параметров источника и канала связи . Среди методов повышения эффективности важное место отводится методам сокращения избыточности сообщений. При передаче дискретных сообщений (ДС) для сокращения избыточности применяют статистическое кодирование. Универсальным способом сокращения избыточности ДС является укрупнение сообщений и эффективное кодирование целых блоков.

Для сокращения избыточности непрерывных сообщений используют методы декорреляции, основанные на аппроксимации непрерывных сообщений с помощью различных базисных функций. В частности, широкое применение находят методы линейного предсказания.

Для повышения эффективности передачи ДС наряду с рассмотренными методами применяют также разнесенный приём сигналов, приём в целом, системы с информационной и решающей обратной связью, системы с шумоподобными сигналами и др.

Для повышения пропускной способности и скорости передачи информации очень большое значение имеет согласование системы в информационном отношении с источником информации и с её получателем. В системах передачи информации это согласование сводится, к следующему:

– обеспечение выполнения условия v max ≤ C ;

– устранение излишней избыточности передаваемых символов, не требуемой для повышения помехоустойчивости.

Кроме того, повысить пропускную способность реального канала связи возможно применением многоуровневых и многопозиционных сигналов (кодов) и видов модуляции. При этом скорость передачи данных многоуровневой системой равна

v = (log 2 L )/T , (6.16)

где L – количество уровней.

При цифровой передаче непрерывных сообщений необходимая полоса частот канала увеличивается примерно в 10…15 раз по сравнению с аналоговой передачей. Здесь к естественной избыточности сообщения добавляется частотная избыточность сигнала. Для таких систем широко используются системы с предсказанием – АДИКМ (адаптивная дифференциальная импульсно-кодовая модуляция) и АДМ (адаптивная дельта-модуляция). Эти системы рекомендованы МСЭ для цифровой передачи со скоростью 32 кбит/с. В сочетании с интерполяцией речи АДИКМ позволяет снизить скорость до 16 и даже 9,6 кбит/с при том же качестве передачи речевой информации, что и в системах ИКМ при стандарте 64 кбит/с. Проявляется большой интерес к интерполяционным методам сжатия данных с применением кусочно - полиномиальной интерполяции на основе сплайн - функций.

Компенсация помех и искажений в канале . В реальных условиях эффективность СПИ может снижаться по целому ряду причин, основными из которых являются межсимвольные и межканальные помехи, неточность формирования и синхронизации сигнала, нестабильность тактовых и несущих частот. Случайные изменения параметров канала, наличие сосредоточенных и импульсных, чаще всего негауссовских помех также могут существенно увеличить потери информации в канале.

Осуществить обработку сигналов, при которой устранятся влияния любых помех и искажений в канале – задача практически неразрешимая. Гауссовский флуктуационный шум принципиально неустраним, его можно только ослабить до определённого предела, определяемого потенциальной помехоустойчивостью при заданном виде сигнала. Влияния сосредоточенных и импульсных помех могут быть полностью устранены. В принципе могут быть также устранены линейные и нелинейные искажения, межсимвольные и межканальные помехи. Для каждого отдельного вида помех и искажений задача их компенсации разрешима. Задача компенсации помех и искажений сильно усложняется при одновременном действии различных помех и искажений. В этом случае приёмник должен быть сложным адаптивным устройством, выполняющим большое число операций; его основными блоками будут устройства компенсации негауссовских помех и искажений и корреляционные устройства, осуществляющие оптимальную обработку сигнала при гауссовском шуме.

Таким образом, с помощью модема и устройств обработки сигнала потери в канале за счет негауссовских помех и искажений можно в принципе свести до минимума и тем самым преобразовать реальный канал, близкий к идеальному гауссовскому каналу. При этом будут созданы условия для наиболее эффективного использования корректирующего кода в канале, что позволяет достигнуть высокой эффективности СПИ в целом.

Современные элементная база и вычислительные средства позволят внедрять цифровые методы обработки сигналов, на основе которых строятся сложные алгоритмы оптимального приёма в условиях действия в канале различных помех и искажений. Для этого используются программные методы построения аппаратуры с помощь универсальных и специализированных микропроцессоров.

Таким образом, на основании изложенного выше, можно сделать следующие выводы.

1. Характерной особенностью системного анализа является переход от анализа отдельных частей (устройств) системы к анализу альтернативных вариантов построения системы как единого целого.

2. В общем случае эффективность любой технической системы определяется количеством и качеством выдаваемой продукции. В системах связи такой продукцией является передаваемая информация, количество которой определяется средней скоростью передачи бит/с, а качество – величиной ошибки.

3. Важнейшим показателем эффективности систем связи является информационная эффек­тивность определяющая степень использования системой пропускной способности канала, а также показатели и, характеризующие соответственно использование канала по мощности (энергетическая эффективность) и по частоте (частотная эффективность).

4. Зависимости между показателями β и γ носят обменный характер: увеличение одного пока­зателя связано с уменьшением другого и наоборот. Существует предельная зависимость между β и γ при η = 1 (предел Шеннона). Эта зависимость отражает наилучший обмен между показателями β и γ в непрерывном канале. В реальных системах (η < 1) обмен между β и γ зависит от способов модуляции и кодирования.

5. Обменные βγ-диаграммы позволяют сравнить системы между собой и оценить степень их приближения к идеальной шенноновской системе, позволяют сделать выбор способа моду­
ляции и кодирования при заданных условиях, определить энергетический и частотный выигрыш по сравнению с «эталонной» системой (например, ФМ-4).

6. Аналоговые системы ОМ, AM и узкополосная ЧМ обеспечивают высокую частотную эффективность γ при сравнительно низкой энергетической эффективности β. Цифровые системы обеспечивают высокую энергетическую эффективность при сравнительно хорошей частотной эффективности. При высоком качестве передачи цифровые системы и широкополосная ЧМ обеспечивают примерно одинаковую эффективность. В многоканальных сис­
темах наиболее эффективным является метод временного разделения сигналов, затем следует метод частотного разделения и метод разделения сигналов по форме.

7. В системах передачи дискретных сообщений энергетическую эффективность можно суще­ственно повысить путём применения корректирующих кодов, а за счёт применения много­позиционных сигналов повысить частотную эффективность. Применение каскадных сигнально-кодовых конструкций на основе корректирующих кодов и многопозиционных сиг­налов позволяет повысить одновременно как энергетическую, так и частотную эффектив­ность. Эффективными, в частности, являются конструкции на основе свёрточных кодов и многопозиционных сигналов с ФМ, АФМ, ЧМНФ.

8. Для сокращения избыточности источника непрерывных сообщений широко используется дифференциальное кодирование (кодирование с предсказанием), позволяющее существенно повысить эффективность ЦСП. Так, АДИКМ в сочетании с интерполяцией речи позво­ляет снизить скорость цифрового потока с 64 кбит/с при ИКМ до 16 и даже 9,6 кбит/с, а в сочетании с вокодерами – до 2,4 кбит/с. Наибольшая эффективность ЦСП достигается
при совместном кодировании источника и канала.

9. В высокоэффективных СПИ (η > 0,6) кодек источника, кодек канала и модем должны быть хорошо согласованы между собой с учётом характеристик непрерывного канала. Кодирование и модуляцию следует рассматривать как единый процесс построения наилучшего сигнала, а демодуляцию и декодирование – как наилучший способ обработки сигна­ла.

10. Задача оптимизации СПИ сводится к нахождению такого варианта системы, при котором потребителю в единицу времени доставляется максимальное количество бит информации при заданной верности передачи. Экономическим показателем при этом являются приведённые годовые затраты или стоимость передачи одного бита в секунду. Сопоставление эффекта и затрат позволяет выбрать наилучший вариант системы при заданных условиях и
ограничениях.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте задачи анализа и синтеза систем связи.

2. Сформулируйте принципы системного подхода.

3. Сформулируйте основные отличительные признаки сложных систем.

4. Назовите основные признаки сложных систем в телекоммуникационных системах.

5. Дайте определение математической модели системы.

6. Дайте общее определение эффективности и критерия качества системы.

7. Каким требованиям должна удовлетворять комплексная оценка эффективности?

8. Сформулируйте в общем виде задачу оптимизации технической системы.

9. Что такое бета – эффективность, гамма – эффективность и эта – эффективность?

10. Какие системы связи по эффективности ближе к пределу, определяемому формулой Шеннона?

11. Сформулируйте основные пути повышения эффективности систем связи.

12. Сформулируйте пути повышения эффективности систем модуляции и кодирования.

1. Теория электрической связи [Текст]: учебник для вузов / А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский, В.И. Коржик и др. – М.: Радио и связь, 1999. – 432 с.

2. Теория электрической связи [Текст]: учебное пособие / К.К. Васильев, В.А. Глушков, А.В. Дормидонтов и др.; под общ. ред. К. К. Васильева. – Ульяновск: УлГТУ, 2008. – 452 с.

3. Бусленко, Н.П. Моделирование сложных систем [Текст]/ Бусленко Н. П. – М.: Наука, 1978. – 400 с.

4. Денисов, А.А. Теория больших систем управления [Текст]: учебное пособие для вузов /А.А. Денисов, Д.Н. Колесников. – Л.: Энергоиздат, Ленигр. отд – ние, 1982. – 288 с.

Более сложные задачи теории массового обслуживания

В этом параграфе мы кратко рассмотрим некоторые вопросы, относящиеся к немарковским СМО. До сих пор все формулы нами выводились или, по крайней мере, могли быть выведены читателем, вооруженным схемой гибели и размножения, формулой Литтла и умением дифференцировать. То, что будет рассказано в данном параграфе, читателю придется принять на веру.

До сих пор мы занимались только простейшими СМО, для которых все потоки событий, переводящий их из состояния в состояние, были простейшими. А как быть, если они не простейшие? Насколько реально это допущение? Насколько значительны ошибки, к которым оно приводит, когда оно нарушается? На все эти вопросы мы попытаемся ответить здесь.

Как это ни грустно, но надо признаться, что в области немарковской теории массового обслуживания похвастать нам особенно нечем. Для немарковских СМО существуют только отдельные, считанные результаты, позволяющие выразить в явном, аналитическом виде характеристики СМО через заданные условия задачи - число каналов, характер потока заявок, вид распределения времени обслуживания. Приведем некоторые из этих результатов.

1. n -канальная СМО с отказами, с простейшим потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания. В предыдущем параграфе мы вывели формулы Эрланга (20.4), (20.5) для финальных вероятностей состояний СМО с отказами. Сравнительно недавно (в 1959 г.) Б. А. Севастьянов доказал, что эти формулы справедливы не только при показательном, но и при произвольном распределении времени обслуживания.

^ 2. Одноканальная СМО с неограниченной очередью, простейшим потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания. Если на одноканальную СМО с неограниченной очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ, а время обслуживания имеет произвольное распределение с математическим ожиданием t об = 1/μ. и коэффициентом вариации v μ , то среднее число заявок в очереди равно

а среднее число заявок в системе

(21.2)

Где, как и ранее, ρ = λ/μ., a v μ - отношение среднего квадратического отклонения времени обслуживания к его математическому ожиданию. Формулы (21.1), (21.2) носят название формул Полячека - Хинчина.

Деля L оч, и L сист на λ, получим, согласно формуле Литтла, среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания в системе:

(21.3)

(21.4)

Заметим, что в частном случае, когда время обслуживания - показательное, v μ = 1 и формулы (21.1), (21.2) превращаются в уже знакомые нам формулы (20.16), (20.20) для простейшей одноканальной СМО. Возьмем другой частный случай - когда время обслуживания вообще не случайно и v μ = 0. Тогда среднее число заявок в очереди уменьшается вдвое по сравнению с простейшим случаем. Это и естественно: если обслуживание заявки протекает более организованно, «регулярно», то СМО работает лучше, чем при плохо организованном, беспорядочном обслуживании.

^ 3. Одноканальная СМО с произвольным потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания. Рассматривается одноканальная СМО с неограниченной очередью, на которую поступает произвольный рекуррентный поток заявок с интенсивностью λ и коэффициентом вариации v λ интервалов между заявками, заключенным между нулем и единицей: 0 < v λ < 1. Время обслуживания Т об также имеет произвольное распределение со средним значением t об = 1/μ и коэффициентом вариации v μ , тоже заключенным между нулем и единицей. Для этого случая точных аналитических формул получить не удается;

можно только приближенно оценить среднюю длину очереди, ограничить ее сверху и снизу.

Доказано, что в этом случае

Если входящий поток - простейший, то обе оценки - верхняя и нижняя - совпадают, и получается формула Полячека - Хинчина (21.1). Для грубо приближенной оценки средней длины очереди М. А. Файнбергом (см. ) получена очень простая формула:

(21.6)

Среднее число заявок в системе получается из L оч простым прибавлением ρ - среднего числа обслуживаемых заявок:

L сист = L оч + ρ. (21.7)

Что касается средних времен пребывания заявки в очереди и в системе, то они вычисляются через L оч и L сист по формуле Литтла делением на λ.

Таким образом, характеристики одноканальных СМО с неограниченной очередью могут быть (если не точно, то приближенно) найдены и в случаях, когда потоки заявок и обслуживании не являются простейшими.

Возникает естественный вопрос: а как же обстоит дело с многоканальными немарковскими СМО? Со всей откровенностью ответим: плохо. Точных аналитических методов для таких систем не существует. Единственное, что мы всегда можем найти, это среднее число занятых каналов k = ρ. Что касается L оч, L сист, W оч, W сист, то для них таких общих формул написать не удается.

Правда, если каналов действительно много (4-5 или больше), то непоказательное время обслуживания не страшно: был бы входной поток простейшим. Действительно, общий поток «освобождений» каналов складывается из потоков освобождений отдельных каналов, а в результате такого наложения («суперпозиции») получается, как мы знаем, поток, близкий к простейшему. Так что в этом случае замена непоказательного распределения времени обслуживания показательным приводит к сравнительно малым ошибкам. К счастью, входной поток заявок вомногих задачах практики близок к простейшему.

Хуже обстоит дело, когда входной поток заведомо не простейший. Ну, в этом случае приходится пускаться на хитрости. Например, подобрать две одноканальные СМО, из которых одна по своей эффективности заведомо «лучше» данной многоканальной, а другая - заведомо «хуже» (очередь больше, время ожидания больше). А для одноканальной СМО мы худо-бедно уже умеем находить характеристики в любом случае.

Как же подобрать такие одноканальные СМО - «лучшую» и «худшую»? Это можно сделать по-разному. Оказывается, заведомо худший вариант можно получить, если расчленить данную n -канальную СМО на п одноканальных, а общий поступающий на них простейший поток распределять между этими одноканальными СМО в порядке очереди: первую заявку - в первую СМО, вторую - во вторую и т. д. Мы знаем, что при этом на каждую СМО будет поступать поток Эрланга n -го порядка, с коэффициентом вариации, равным 1/ . Что касается коэффициента вариации времени обслуживания, то он остается прежним. Для такой одноканальной СМО мы уже умеем вычислять время пребывания заявки в системе W сист; оно будет заведомо больше, чем для исходной n -канальной СМО. Зная это время, можно дать «пессимистическую» оценку и для среднего числа заявок в очереди, пользуясь формулой Литтла и умножая среднее время на интенсивность λ общего потока заявок. «Оптимистическую» оценку можно получить, заменяя n -канальную СМО одной одноканальной, но с интенсивностью потока обслуживании в n раз большей, чем у данной, равной nμ . Естественно, при этом параметр ρ тоже должен быть, изменен, уменьшен в n раз. Для такой СМО время пребывания заявки в системе W сист уменьшается за счет того, что обслуживание продолжается в n раз меньше времени. Пользуясь измененным значением , коэффициентом вариации входящего потока v λ и времени обслуживания v μ , мы можем приближенно вычислить среднее число заявок в системе . Вычитая из него первоначальное (не измененное) значение ρ, мы получим среднее число заявок в очереди . Обе характеристики будут меньше, чем для исходной n -канальной СМО (будут представлять собой «оптимистические» оценки). От них, деля на λ, можно перейти к «оптимистическим» оценкам для времени пребывания в СМО и в очереди.