Алгоритм
См. также
Напишите отзыв о статье "Алгоритм Джонсона"
Ссылки
Литература
- Томас Х. Кормен и др. Алгоритмы: построение и анализ. - 2-е изд. - М .: Издательский дом «Вильямс» , 2007. - С. 726. - ISBN 5-8459-0857-4 .
- Томас Х. Кормен и др. Алгоритмы: построение и анализ. - 1-е изд. - М .: МЦНМО , 2004. - С. 523. - ISBN 5-900916-37-5 .
|
||||||||||||||||||||||||
Отрывок, характеризующий Алгоритм Джонсона
– Нет, я, кажется, домой поеду…– Как домой, да вы вечер у нас хотели… И то редко стали бывать. А эта моя… – сказал добродушно граф, указывая на Наташу, – только при вас и весела…
– Да, я забыл… Мне непременно надо домой… Дела… – поспешно сказал Пьер.
– Ну так до свидания, – сказал граф, совсем уходя из комнаты.
– Отчего вы уезжаете? Отчего вы расстроены? Отчего?.. – спросила Пьера Наташа, вызывающе глядя ему в глаза.
«Оттого, что я тебя люблю! – хотел он сказать, но он не сказал этого, до слез покраснел и опустил глаза.
– Оттого, что мне лучше реже бывать у вас… Оттого… нет, просто у меня дела.
– Отчего? нет, скажите, – решительно начала было Наташа и вдруг замолчала. Они оба испуганно и смущенно смотрели друг на друга. Он попытался усмехнуться, но не мог: улыбка его выразила страдание, и он молча поцеловал ее руку и вышел.
Пьер решил сам с собою не бывать больше у Ростовых.
Петя, после полученного им решительного отказа, ушел в свою комнату и там, запершись от всех, горько плакал. Все сделали, как будто ничего не заметили, когда он к чаю пришел молчаливый и мрачный, с заплаканными глазами.
На другой день приехал государь. Несколько человек дворовых Ростовых отпросились пойти поглядеть царя. В это утро Петя долго одевался, причесывался и устроивал воротнички так, как у больших. Он хмурился перед зеркалом, делал жесты, пожимал плечами и, наконец, никому не сказавши, надел фуражку и вышел из дома с заднего крыльца, стараясь не быть замеченным. Петя решился идти прямо к тому месту, где был государь, и прямо объяснить какому нибудь камергеру (Пете казалось, что государя всегда окружают камергеры), что он, граф Ростов, несмотря на свою молодость, желает служить отечеству, что молодость не может быть препятствием для преданности и что он готов… Петя, в то время как он собирался, приготовил много прекрасных слов, которые он скажет камергеру.
Петя рассчитывал на успех своего представления государю именно потому, что он ребенок (Петя думал даже, как все удивятся его молодости), а вместе с тем в устройстве своих воротничков, в прическе и в степенной медлительной походке он хотел представить из себя старого человека. Но чем дальше он шел, чем больше он развлекался все прибывающим и прибывающим у Кремля народом, тем больше он забывал соблюдение степенности и медлительности, свойственных взрослым людям. Подходя к Кремлю, он уже стал заботиться о том, чтобы его не затолкали, и решительно, с угрожающим видом выставил по бокам локти. Но в Троицких воротах, несмотря на всю его решительность, люди, которые, вероятно, не знали, с какой патриотической целью он шел в Кремль, так прижали его к стене, что он должен был покориться и остановиться, пока в ворота с гудящим под сводами звуком проезжали экипажи. Около Пети стояла баба с лакеем, два купца и отставной солдат. Постояв несколько времени в воротах, Петя, не дождавшись того, чтобы все экипажи проехали, прежде других хотел тронуться дальше и начал решительно работать локтями; но баба, стоявшая против него, на которую он первую направил свои локти, сердито крикнула на него:
– Что, барчук, толкаешься, видишь – все стоят. Что ж лезть то!
– Так и все полезут, – сказал лакей и, тоже начав работать локтями, затискал Петю в вонючий угол ворот.
Петя отер руками пот, покрывавший его лицо, и поправил размочившиеся от пота воротнички, которые он так хорошо, как у больших, устроил дома.
Петя чувствовал, что он имеет непрезентабельный вид, и боялся, что ежели таким он представится камергерам, то его не допустят до государя. Но оправиться и перейти в другое место не было никакой возможности от тесноты. Один из проезжавших генералов был знакомый Ростовых. Петя хотел просить его помощи, но счел, что это было бы противно мужеству. Когда все экипажи проехали, толпа хлынула и вынесла и Петю на площадь, которая была вся занята народом. Не только по площади, но на откосах, на крышах, везде был народ. Только что Петя очутился на площади, он явственно услыхал наполнявшие весь Кремль звуки колоколов и радостного народного говора.
Одно время на площади было просторнее, но вдруг все головы открылись, все бросилось еще куда то вперед. Петю сдавили так, что он не мог дышать, и все закричало: «Ура! урра! ура!Петя поднимался на цыпочки, толкался, щипался, но ничего не мог видеть, кроме народа вокруг себя.
На всех лицах было одно общее выражение умиления и восторга. Одна купчиха, стоявшая подле Пети, рыдала, и слезы текли у нее из глаз.
– Отец, ангел, батюшка! – приговаривала она, отирая пальцем слезы.
Cтраница 2
Для вычислений показателей методом Джонсона составляют вариационный ряд, в каждом интервале которого изделия, достигшие предельного состояния mi; группируют после К приостановленных.
Кислотность поверхности определяли методом Джонсона путем титрования w - бутиламином образцов катализаторов, суспендированных в бензоле, применяя в качестве индикатора фенилазонафтиламин.
Значительно позднее Кори и Опползер сообщили о других примерах использования метода Джонсона. Они показали, что бутилиден - и этилидендифенилсульфураны реагируют с различными карбонильными соединениями, образуя при этом соответствующие эпоксиды с хорошим выходом / Эти авторы сообщили об отсутствии стереоселективности рассматриваемой реакции, в то время как Джонсон и Граби отмечали стереоселективное образование гронс-эпоксидов.
Наиболее распространенными методами обработки результатов незавершенных испытаний являются метод максимального правдоподобия и метод Джонсона (РТМ 37.001.006 - 74), позволяющие учесть практически всю имеющуюся информацию об отказавших и приостановленных изделиях. Процесс обработки включает в себя установление закона распределения случайной величины, определение параметров этого закона, расчет основных показателей надежности. В этой последовательности и рассмотрим основные правила обработки результатов незавершенных испытаний по указанным выше методам.
При больших объемах информации (N 50 и m / N 0 2) и сгруппированных данных применяют метод Джонсона.
Используя экспериментальные данные по теплоемкости 2-метилбутана и 2-метилпентана, опубликованные в справочной литературе, рассчитана молярная теплоемкость гомологов 2-диметилалканов по предложенной нами формуле и методом Джонсона и Хуанга.
Учитывая, что теплоемкость 2-метилбутана и 2-метилпентана экспериментально изучена , в настоящей работе с применением методов, описанных в и , вычислена молярная теплоемкость 2-метилалканов и показано, что большие расхождения, которые дает метод Джонсона и Хуанга для некоторых жидких углеводородов, обусловлены структурой молекулы.
Кеталь удаляет воду, используя ее на расщепление до спирта и ацетона. Однако, согласно некоторым данным , ни метод Джонсона и др. с использованием НС1 вместо НВг, ни последняя методика не годятся для получения н-амиловых эфиров.
Как видно из таблицы, данные авторов завышены. Это объясняется тем, что они необоснованно пользуются методом Джонсона (В. Н. Русских) для обработки последних гармоник, который справедлив только для первой гармоники.
Напомним, что первый вариант имеет строгое и эффективное решение, называемое по имени его создателя алгоритмом (методом) Джонсона. Второй вариант можно при определенных условиях также свести к решению методом Джонсона, но результат при этом будет не обязательно оптимальным. Беллман, однако оно трудоемко. Эффективная эвристическая процедура его разрешения известна под названием CDS-алгоритм. Этот алгоритм распространяет метод Джонсона на общий случай постановки задачи и обеспечивает околооптимальное решение. Существуют и другие подходы, которые используют теорию очередей и компьютерное моделирование, чтобы решить эту проблему. Но все они трудоемки и сложны и в то же время не гарантируют нахождения оптимальной последовательности.
Ссылки
Литература
- Томас Х. Кормен и др. Алгоритмы: построение и анализ. - 2-е изд. - М .: Издательский дом «Вильямс» , 2007. - С. 726. - ISBN 5-8459-0857-4.
- Томас Х. Кормен и др. Алгоритмы: построение и анализ. - 1-е изд. - М .: МЦНМО , 2004. - С. 523. - ISBN 5-900916-37-5.
| |||||||||||||||
Алгоритм Джонсона
Алгоритм Джонсона позволяет найти кратчайшие пути между всеми парами вершин взвешенного ориентированного графа. Данный алгоритм работает, если в графе содержатся ребра с положительным или отрицательным весом, но отсутствуют циклы с отрицательным весом.
Алгоритм
Дан граф с весовой функцией. Если веса всех ребер в графе неотрицательные, можно найти кратчайшие пути между всеми парами вершин, запустив алгоритм Дейкстры один раз для каждой вершины. Если в графе содержатся ребра с отрицательным весом, но отсутствуют циклы с отрицательным весом, можно вычислить новое множество ребер с неотрицательными весами, позволяющее воспользоваться предыдущим методом. Новое множество, состоящее из весов ребер должно удовлетворять следующим свойствам.
· Для всех ребер новый вес.
· Для всех пар вершин путь является кратчайшим путем из вершины в вершину с использованием весовой функции тогда и только тогда, когда -- также кратчайший путь из вершины в вершину с весовой функцией.
Сохранение кратчайших путей
Пусть дан взвешенный ориентированный граф с весовой функцией, и пусть -- произвольная функция, отображающая вершины на действительные числа. Для каждого ребра определим:
Пусть -- произвольный путь из вершины в вершину является кратчайшим путем с весовой функцией тогда и только тогда, когда он является кратчайшим путем с весовой функцией, то есть равенство равносильно равенству Кроме того, граф содержит цикл с отрицательным весом с использованием весовой функции тогда и только тогда, когда он содержит цикл с отрицательным весом с использованием весовой функции.
Изменение веса
1. Для данного графа создадим новый граф, где, для некоторой новой вершины, а.
2. Расширим весовую функцию таким образом, чтобы для всех вершин выполнялось равенство.
Недостатком этого алгоритма является то, что в общем случае работа алгоритма может занять значительное время. /3/
Алгоритм муравья
Главная идея алгоритма муравья (метода муравьиных колоний) состоит в моделировании поведения колонии муравьев, которые способны находить кратчайший путь от муравейника до источника пищи и приспосабливаться к изменяющимся условиям внешней среды, находя новый кратчайший путь, если старый в силу каких-либо обстоятельств оказывается недоступным. При движении муравей откладывает феромон, отмечая свой путь, и эту информацию используют другие муравьи. Таким образом, взаимодействие между агентами (муравьями) происходит посредством непрямой коммуникации. /22/
Если моделировать перемещение муравьев на некотором графе, ребра которого представляют собой пути возможного перемещения муравьев, то помимо положительной обратной связи (откладывания феромона) необходимо моделировать отрицательную обратную связь, т.е. испарение феромона. Наличие отрицательной обратной связи гарантирует, что муравьи будут искать другие пути от колонии до источника пищи, т.е. найденное локально оптимальное решение не будет единственным. Решением задачи будет наиболее обогащенный феромоном путь на ребрах графа, который является оптимальным.
Муравьиные алгоритмы позволяют получить решения многих дискретных комбинаторных задач не хуже вышеперечисленных алгоритмов. Чрезвычайно хорошие результаты муравьиной оптимизации получаются для распределенных систем, параметры которых изменяются во времени. Особенностью муравьиных алгоритмов является не-конвергентность - даже после многих итераций одновременно исследуется множество разных решений, что позволяет не застревать в локальных оптимумах. /4/
В данной работе для решения задачи коммивояжера был выбран алгоритм муравья.
Имеется деталей и два станка. Каждая деталь должна сначала пройти обработку на первом станке, затем — на втором. При этом -ая деталь обрабатывается на первом станке за времени, а на втором — за времени. Каждый станок в каждый момент времени может работать только с одной деталью.
Требуется составить такой порядок подачи деталей на станки, чтобы итоговое время обработки всех деталей было бы минимальным.
Эта задача называется иногда задачей двухпроцессорного обслуживания задач, или задачей Джонсона (по имени S.M. Johnson, который в 1954 г. предложил алгоритм для её решения).
Стоит отметить, что когда число станков больше двух, эта задача становится NP-полной (как доказал Гэри (Garey) в 1976 г.).
Построение алгоритма
Заметим вначале, что можно считать, что порядок обработки деталей на первом и втором станках должен совпадать . В самом деле, т.к. детали для второго станка становятся доступными только после обработки на первом, а при наличии нескольких доступных для второго станка деталей время их обработки будет равно сумме их независимо от их порядка — то выгоднее всего отправлять на второй станок ту из деталей, которая раньше других прошла обработку на первом станке.
Рассмотрим порядок подачи деталей на станки, совпадающий с их входным порядком: .
Обозначим через время простоя второго станка непосредственно перед обработкой -ой детали (после обработки -ой детали). Наша цель — минимизировать суммарный простой :
Для первой детали мы имеем:
Для второй — т.к. она становится готовой к отправке на второй станок в момент времени , а второй станок освобождается в момент времени , то имеем:
Третья деталь становится доступной для второго станка в момент , а станок освобождается в , поэтому:
Таким образом, общий вид для выглядит так:
Посчитаем теперь суммарный простой . Утверждается, что он имеет вид:
(В это можно убедиться по индукции, либо последовательно находя выражения для суммы первых двух, трёх, и т.д. .)
Воспользуемся теперь перестановочным приёмом : попробуем обменять какие-либо два соседних элемента и и посмотрим, как при этом изменится суммарный простой.
По виду функции выражений для понятно, что изменятся только и ; обозначим их новые значения через и .
Таким образом, чтобы деталь шла до детали , достаточно (хотя и не необходимо), чтобы:
(т.е. мы проигнорировали остальные, не изменившиеся, аргументы максимума в выражении для , получив тем самым достаточное, но не необходимое условие того, что старое меньше либо равно нового значения)
Отняв 
от обеих частей этого неравенства, получим:
или, избавляясь от отрицательных чисел, получаем:
Тем самым, мы получили компаратор : отсортировав детали по нему, мы, согласно приведённым выше выкладкам, придём к оптимальному порядку деталей, в котором нельзя переставить местами никакие две детали, улучшив итоговое время.
Впрочем, можно ещё больше упростить сортировку, если посмотреть на этот компаратор с другой стороны. Фактически он говорит нам о том, что если минимум из четырёх чисел достигается на элементе из массива , то соответствующая деталь должна идти раньше, а если на элементе из массива — то позже. Тем самым мы получаем другую форму алгоритма: отсортировать детали по минимуму из , и если у текущей детали минимум равен , то эту деталь надо обработать первой из оставшихся, иначе — последней из оставшихся.
Так или иначе, получается, что задача Джонсона с двумя станками сводится к сортировке деталей с определённой функцией сравнения элементов. Таким образом, асимптотика решения составляет .
Реализация
Реализуем второй вариант описанного выше алгоритма, когда детали сортируются по минимуму из , и затем отправляются в начало либо в конец текущего списка.
struct item { int a, b, id; bool operator< (item p) const { return min(a,b) < min(p.a ,p.b ) ; } } ; sort (v.begin () , v.end () ) ; vector< item> a, b; for (int i= 0 ; i< n; ++ i) (v[ i] .a <= v[ i] .b ? a : b) .push_back (v[ i] ) ; a.insert (a.end () , b.rbegin () , b.rend () ) ; int t1= 0 , t2= 0 ; for (int i= 0 ; i< n; ++ i) { t1 + = a[ i] .a ; t2 = max(t2,t1) + a[ i] .b ; }Здесь все детали хранятся в виде структур , каждая из которых содержит значения и и исходный номер детали.