12.3. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОГО ОПОРНОГО ПЛАНА

Для определения опорного плана существует несколько методов: метод северо-западного угла (диагональный метод), метод наименьшей стоимости (минимального элемента ), метод двойного предпочтения и метод аппроксимации Фогеля .

Кратко рассмотрим каждый из них:

1. Метод северо-западного угла. Следуя этому методу, начинают с того, что приписывают неизвестной (расположенной в северо-западном углу таблицы) максимальное значение, допускаемое ограничениями на спрос и объем производства. После этого вычеркивают соответствующий столбец (или строку), фиксируя этим, что остальные неизвестные вычеркнутого столбца (строки) полагаются равными нулю. Если ограничения, представляемые столбцом и строкой, выполняются одновременно, то можно вычеркнуть либо столбец, либо строку (это условие автоматически гарантирует обнаружение нулевых базисных переменных, если таковые встречаются). После того спрос и объем производства во всех невычеркнутых строках и столбцах, приведены в соответствие с установленным значением переменной, максимально допустимое значение приписывается первому невычеркнутому элементу нового столбца (строки). Процесс завершается, когда остается невычеркнутой в точности одна строка (или один столбец).

2. Метод наименьшей стоимости. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую и в клетку (i , j ), которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел и . Затем из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс размещения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

3. Метод двойного предпочтения. Суть метода заключается в следующем. В каждом столбце отмечают знаком «√» клетку с наименьшей стоимостью. Затем то же проделывают в каждой строке. В результате некоторые клетки имеют отметку «√√». В них находится минимальная стоимость, как по столбцу, так и по строке. В эти клетки помещают максимально возможные объемы перевозок, каждый раз исключая из рассмотрения соответствующие столбцы или строки. Затем распределяют перевозки по клеткам, отмеченным знаком «√». В оставшейся части таблицы перевозки распределяют по наименьшей стоимости.

4. Метод аппроксимации Фогеля. Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Вычислить штраф для каждой строки (столбца), вычитая наименьший элемент этой строки (столбца) из следующего за ним по величине элемента той же строки (столбца).

2. Отметить строку или столбец с самым большим штрафом (если таких несколько, выбрать из них любую строку или любой столбец). В отмеченной строке или столбце выбрать переменную с самой низкой стоимостью и придать ей наибольшее возможное значение. Скорректировать объем производства и спроса и вычеркнуть строку или столбец, соответствующие выполненному ограничению. Если ограничения по строке и столбцу выполняются одновременно, то вычеркнуть либо строку, либо столбец, а оставшемуся столбцу (строке) приписать нулевой спрос (объем производства). Строка (или столбец) с нулевым объемом производства (или спросом) не используется в дальнейших вычислениях (на шаге 3).

3. а) Если невычеркнутой остается только одна строка или один столбец, то закончить вычисления.

Б) Если невычеркнутой остается только одна строка (столбец) с положительным объемом производства (спроса), найти базисные переменные в этой строке (столбце), используя метод наименьшей стоимости.

В) Если всем невычеркнутым строкам и столбцам соответствуют нулевые объемы производства и величины спроса, найти нулевые базисные переменные, используя метод наименьшей стоимости.

Г) В других случаях вычислить новые значения штрафов для невычеркнутых строк и столбцов и перейти к шагу 2 (строки и столбцы с нулевыми значениями объема производства и спроса не должны использоваться при вычислении этих штрафов).

На начальном этапе решения транспортной задачи необходимо получить первоначальный опорный план. Как это сделать, подробно описано в статье Как решить транспортную задачу . После получения опорного плана необходимо проверить его на невырожденность.

Правило: количество базисных (заполненных) клеток в первоначальном плане ВСЕГДА должно быть равно m + n - 1, где m - количество поставщиков, n - количество потребителей транспортной задачи.

Что же делать, если количество заполненных ячеек опорного плана меньше необходимого?

На некотором шаге получения первоначального плана может сложиться ситуация, когда одновременно удовлетворяются потребности магазина и опустошается склад. В этом случае происходит "потеря" базисной клетки. Это приводит к тому, что система определения потенциалов имеет не единственное решение.

Чтобы обойти эту ситуацию, добавим к базисным ячейкам недостающее количество ячеек с нулевыми значениями. Нулевое значение поставим в клетку, стоящую рядом с базисной клеткой, которая обусловила "пропажу" базисного значения.

Вырожденность опорного решения транспортной задачи - пример 1:

Построить первоначальный план для следующей ситуации:

Количество поставщиков (складов) = 3, количество потребителей (магазинов) = 4

60 + 30 + 40 = 40 + 50 + 10 + 30 - спрос равен предложению - задача закрытая.

Методом северо - западного угла получим опорный план.

Начинаем с самой верхней левой ячейки.

Потребности первого магазина выполнены полностью, но на складе еще остался груз. Заполняем дальше.

Остатки груза с первого склада 60 - 40 = 20 перевозим в магазин второй. При этом, первый склад опустел, но потребности магазина не выполнены полностью.

Переходим ко второму складу. Все 30 единиц груза переносим в магазин второй, потребности которого совпали с предложением склада 50 - 20 = 30.

При данном распределении склад опустошается и потребности второго магазина выполняются полностью. Происходит потеря базисной клетки!

В данном случае необходимо к базисным клеткам добавить клетку с нулевым значением, расположенную рядом с только что заполненной, которая обусловила потерю.

Продолжим.

С третьего склада направим 10 единиц груза в магазин 4 для полного выполнения его потребностей. На 3-м складе остается 40 - 10 = 30 единиц груза, которые перенесем в последний магазин.

Опорный план составлен.

Количество базисных ячеек равно 6 = 3 + 4 - 1. Условие невырожденности выполнено!

Вырожденность опорного решения транспортной задачи - пример 2:

Три торговых склада поставляют продукцию в четыре магазина. Наличие продукции на складах и потребности магазинов приведены в следующей таблице. Построим первоначальный план транспортной задачи:

Задача закрытая:

12 + 10 + 14 = 36

4 + 18 + 8 + 6 = 36

Первоначальный план получим методом северо - угла.

Начнем с заполнения ячейки (1;1).

Запасы первого склада распределили по первому и второму магазину, при этом запасы склада исчерпаны, а потребность второго магазина не удовлетворена. Переходим ко второму складу.

Все 10 единиц груза направляем во второй магазин, потребности которого на данный момент равны 18 - 8 = 10. Заметим, что на данном шаге одновременно удовлетворяются потребности второго магазина и закончились запасы второго склада. Произошла потеря одного базисного значения.

Ничего страшного, если вы упустите этот момент при получении опорного плана. Главное не забыть проверить условие невырожденности перед проверкой плана на оптимальность. Проанализировав уже полученное распределение груза, нетрудно найти момент, когда была "потеряна" базисная клетка.

Чтобы компенсировать потерю, мы должны ввести нулевую ячейку, рядом с заполненной. Можем поместить ее правее, левее или ниже значения 10.

Закончим заполнение таблицы:

Получили первоначальный план методом северо - западного угла. Количество базисных ячеек равно 4 + 3 - 1 = 6.

Можно приступать к решению задачи методом потенциалов!

Предположим, что каноническая задача ЛП имеет не совсем специальный вид, а к примеру, правые части уравнений системы ограничений могут быть отрицательны.
Этот случай возникает при решении задачи о рационе . Канонический вид задачи выглядит так:

F = 20х 1 + 20х 2 + 10х 3 → min.

Запишем задачу в симплекс-таблицу (табл. 1).

Таблица 1

Базисное решение, соответствующее базису {x 4 , x 5 , x 6 } и равное (0; 0; 0; -33; 23; -12), не является допустимым ввиду отрицательности х 4 < 0, x 5 < 0, x 6 < 0.

Сформулируем правило нахождения допустимого опорного плана .
Если в столбце свободных членов есть отрицательные элементы, выберите из них наибольший по модулю, а в его строке - любой отрицательный. Взяв этот элемент в качестве разрешающего пересчитайте таблицу по прежним правилам 2-5 .
Если в полученной таблице все элементы столбца свободных членов стали положительны либо 0, то данное базисное решение можно взять в качестве первоначального опорного плана. . Если в столбце свободных членов не все элементы неотрицательны, то еще раз воспользоваться этим правилом.
Проведем этот шаг для задачи о рационе. В качестве разрешающей строки табл. 1 нужно выбрать первую. А разрешающим элементом выберем, к примеру, элемент -4.

Таблица 2

базисные				свободные

Заметим, что переменная х 1 вошла в базис вместо х 4 , все вычисления осуществлялись по правилу 2-5. В правом столбце еще остался отрицательный элемент, воспользуемся правилом еще раз. Строка переменной х 6 - разрешающая, а в качестве разрешающего элемента возьмем, к примеру, 3 / 2 , здесь есть некоторая возможность выбора.

Таблица 2

базисные				свободные

Полученный базисный план х * = (х 1 , х 2 , х 3, х 4 , х 5 , х 6) = (7, 0, 5/2, 0, 1/2, 0) является допустимым и, к тому же, оказывается оптимальным, т.к. в индексной строке нет отрицательных элементов. Оптимальное значение целевой функции равно F* = 165. Действительно,
F = 20х 1 + 20х 2 + 10х 3 = 20 · 7 + 0 + 10· = 140 + 25 = 165.

В этой задаче не пришлось улучшать найденный первоначальный опорный план, т.к. он оказался оптимальным. Иначе, мы должны были вернуться к III этапу.

Решение задачи о плане симплекс-методом

Задача. Предприятие располагает тремя видами сырья и намеревается выпускать четыре вида продукции. Коэффициенты в таблице 3.12 указывают затраты соответствующего вида сырья на единицу определенного вида продукции, а также прибыль от реализации единицы продукции и общие запасы ресурсов. Задача: найти оптимальный план производства продукции, при котором будет обеспечена максимальная прибыль.

Таблица 3

Составим математическую модель. Пусть х 1 , х 2 , х 3 , х 4 - количество продукции I, II, III, IV вида соответственно в плане. Тогда количество используемого сырья и его запасы выразятся в неравенствах:

F = 3x 1 + 5x 2 + 4x 3 + 5x 4 → max.

Целевая функция выражает собой общую суммарную прибыль, полученную от реализации всей плановой продукции, а каждое из неравенств выражает затраты определенного вида продукции. Понятно, что затраты не должны превышать запасов сырья.

Приведем задачу к канонической форме и к специальному виду, введя дополнительные переменные х 5 , х 6 , х 7 в каждое из неравенств.
Очевидно, что, если первого ресурса необходимо для производства плановой продукции 5х 1 + 0,4х 2 + 2х 3 + 0,5х 4 , то х 5 обозначает просто излишки первого ресурса как разность между имеющимся запасом и требуемым для производства. Аналогично х 6 и х 7 . Итак, дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Запишем задачу в таблицу 4, предварительно выписав ее каноническую форму:

I этап . Это задача специального вида, базис составляют переменные { х 5 , х 6 , х 7 }, правые части уравнений неотрицательны, план х = (0, 0, 0, 0, 400, 300, 100) - опорный. Он соответствует симплекс-таблице.

Таблица 4

базисные					свободные

II этап . Проверим план на оптимальность. Так как в индексной F -строке есть отрицательные элементы, то план неоптимален, переходим к III этапу.

III этап . Улучшение опорного плана. Выберем в качестве разрешающего столбца четвертый, но могли бы выбрать и второй, т.к. в обоих (-5). Остановившись на четвертом, выберем в качестве разрешающего элемента 1, т.к. именно на нем достигается минимум соотношений . С разрешающим элементом 1 проводим преобразование таблицы по правилам 2-5 (табл. 5).

Таблица 5

Полученный план опять неоптимален, т.к. в F -строке есть отрицательный элемент -5 . этот столбец разрешающий.

В качестве разрешающего элемента выбираем 5, т.к. .

Пересчитываем еще раз таблицу. Заметим, что пересчет удобно начинать с индексной строки, т.к. если в ней все элементы неотрицательны, то план оптимален, и чтобы его выписать, достаточно пересчитать столбец свободных членов, нет необходимости вычислять "внутренность" таблицы (табл. 6).

Таблица 6

базисные					свободные

План оптимален, т.к. в индексной строке нет отрицательных элементов, выписываем его.

IV этап . Базисные переменные {x 5 , x 2 , x 4 } принимают значения из столбца свободных членов, а свободные переменные равны 0. Итак, оптимальный план х * = (0, 40, 0, 100, 334, 0, 0) и F * = 700. Действительно, F = 3х 1 + 4х 3 + 5х 2 + 5х 4 = 5 · 40 + 5 · 100 = 700. Т. е. для получения максимальной прибыли в 700 руб. предприятие должно выпускать изделия II вида в количестве 40 штук, IV - вида в количестве 100 штук, изделия I и III вида производить невыгодно. При этом сырье второго и третьего вида будет израсходовано полностью, а сырья первого вида останется 334 единицы (х 5 = 334, х 6 = 0, х 7 = 0).

Графический метод.

ГМ состоит из двух этапов.

2) Среди всех решений необходимо найти такое решение при котором Z достигает своего либо max или min.

Grad показывает наискорейшее возрастание функции. (С – коэффициент) (линии уровня)

Возможные случаи

1. задача имеет единственное решение.

2. Задача имеет – бесконечно много решений.

3. Задача не имеет решений а) нет ОДР б) в случаи когда zmax - ф-ия не ограниченной сверху линией уровня и наоборот.

Графический метод можно применять если имеется только две переменные или задача может быть приведена с помощью эквивалентных преобразований к задаче с двумя переменными.

Свойства допустимых планов.

1) Выпуклая линейная комбинация точек. х1 х2 …хk сумма вида α1х1+ α2х2+ ...+ αkxk , где αi =1 (αi>=0 αi – коэффициент линейной комбинации).

2) Выпуклым множеством называется такое множество т. Д на плоскости, когда вместе с любыми двумя точками Х1є Д; Х2 є Д принадлежащим множеству Д. Ему принадлежит и их выпуклая Л.К. х=tx1+(1-t)x2 є Д 0<=t<=1

3) Крайняя точка – т.Х выпуклого множества называется крайней если она не может быть представлена в виде выпуклой Л.К. любых двух точек этого множества (n=2)

Опорное решение – это допустимое базисное решение имеющая не более чем m положительных элементов, и причем векторы столбца матрицы соответственно положительны координатам вектора линейны независимы.

Свойства допустимых планов.

Теорема №1

Множество допустимых планов З.Л.П. выпукла если оно не пусто.

Дано: Д- не является пустым множеством – ОДР

Доказать Ж Д- выпуклое множество.

Х1 єД; Х2 єД,то оно удовлетворяет системе ограничений в З.Л.П. Z=cx->max Ax=b X>=0

Ax1=b 0<=t<=1

Ax2=b (1-t) => tAx1+(1-t)Ax2=bt+b(1-t) = A=b

x1; x2>=0 => x>=0

Ax=b X- решение задачи.

Х = tx1+(1-t)x2 0<=t<=1, согласно опр. Имеем выпуклое множество – Д, т.к. с любыми двумя точками ему принадлежит и их выпуклая Л.К.

Теорема № 2

Если целевая функция имеет максимум на выпуклом многограннике решений, то это максимум достигается в вершине многогранника..

Дано: Zmax->X 0 Док-ть X 0- вершина.

Док-во: Дан многогранник. А,В,С,Д,Е – вершины. (Док-во проведем от противного)

X 0 – не вершина, тогда согласно опр. Крайней точки, X 0 – не крайняя точка, и может быть представлена в виде выпуклой Л.К. точек хi є ОДР

C X 0 >Cxi (т.к. С X 0 ->max)

X 0 = αiXi αi=1 αi>=0

Найдем значение функции Z=C X 0 =CαiXi=αiCXi<αiCX 0 =CX 0 αi=CX 0

В каждом слагаемом сменим Xi на Х 0

СХ 0

Теорема №3

Об альтернативном оптимуме.

Если целвевая функция достигает своего оптимального значения в нескольких вершинах (т) х1 х2 хk , то она достигает оптимального значения в их выпуклой линейной комбинации.

Дано: Док-ть: х= αiXi

Xi , i:=1,k αi=1 αi>=0 CX=d

Найдем Z=СХ=CαiXi=αiCXi=αid=dαi=d

Теорема № 4

Вектор Х является опорным решением тогда и только тогда, если он является вершиной многогранника.

Если переменных n>3 то говорят гиперплоскость, положение точек в т – мерном пространстве.

ИДЕЯ СИМПЛЕКС МЕТОДА.

Симплекс метод является универсальным.

Симплекс метод – аналитический метод.

1. Находятся первоначальное, опорное решение. А)система ограничений должна быть записана в виде равенств (каноническая форма)

Б)Преобразовать что бы bi >=0 i=1,m

С)Привести систему к единичному базисному виду с неотрицательной правой частью.

Поэтому за разрешающий элемент выбирается строго положительный элемент.

Д)Приравниваем свободные к 0 , получаем первоначальное базисное неотрицательное

решение, которое является опорным решением данной задачи и соответствует вершине.

2. Рассматривая функцию цели выясняем является ли полученное решение оптимальным.

3. Если полученное решение не является оптимальным, то необходимо перейти к следующей вершине (опорному решению) Переход осуществляется по определенному правилу по которому: только одна изи базисных переменных должна перейти в свободную и только одна из свободных перейти в базисную.

Алгебра симплекс метода.

Картографическое отображение сложившейся градостроительной и экологической ситуации в результате хозяйственной и иной деятельности.

• - населённые места, имеющие определ. людность и выполняющие специфические, преим. несельскохозяйственные функции. Более крупные Г. п. почти всегда многофункциональны...

  Демографический энциклопедический словарь

• - археол...

  Уральская историческая энциклопедия

• - план,на котором показана сложившаяся на исходный срок проектирования топографическая и хозяйственная ситуация объекта планировки - опорен план - výkres stávajícího stavu...

  Строительный словарь

• - ...
• - особая организация части войск в России в 1810 - 57, совмещавшая военную службу с занятием сельским хозяйством. Были созданы в Могилевской, Новгородской, Петербургской, Херсонской и других губерниях...

  Современная энциклопедия

• - вид военных поселений, существовавших с конца 18 в. по 1861 в районе Николаева и Херсона. Адмиралтейские поселения находились также близ Санкт-Петербурга...

  Русская энциклопедия

• - особая организация войск в 1810-57. Созданы на казённых землях Санкт-Петербургской, Новгородской, Могилёвской, Херсонской и других губерний с целью уменьшения военных расходов...

  Русская энциклопедия

• - в РФ - города и поселки.См. также: Населенные пункты Поселения Российской Федерации  ...

  Финансовый словарь

• - ".....

  Официальная терминология

• - ....

  Энциклопедический словарь экономики и права

• - см. Поселения...
• - изучение судеб варварских поселенцев весьма важно для освещения социального, экономического и военного быта империи...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - особая организация войск в России в 1810-57, совмещавших военную службу с занятием сельским хозяйством. Введены Александром I для создания резерва обученных войск...
• - населённые места, обладающие определённой людностью и выполняющие преимущественно промышленные, транспортные, культурные и административно-политические функции...

  Большая Советская энциклопедия

• - остатки поселений эпохи поздней бронзы в районе г. Каркаралинска. Исследовались в 1950-х гг. экспедицией АН Казахской ССР под руководством А. Х. Маргулана...

  Большая Советская энциклопедия

• - особая организация войск в Российской империи в 1810-57 с целью уменьшения военных расходов. Совмещали военную службу с занятием сельским хозяйством...

  Большой энциклопедический словарь

"ОПОРНЫЙ ПЛАН ТЕРРИТОРИИ, ПОСЕЛЕНИЯ" в книгах

Опорный пункт «Железный»

автора DeFelice Jim

Опорный пункт «Железный» Мелкая пыль грязных дорог смешивалась с вонью реки и города, по мере того как мы продвигались в деревню. Был предрассветный час. Мы двигались к двухэтажному зданию в центре небольшого поселка к югу от Рамади, отделенного от самого города

Опорный пункт «Сокол»

Из книги Американский снайпер автора DeFelice Jim

Опорный пункт «Сокол» Армия вошла с танками, бронемашинами и грузовиками. Солдаты натащили мешков с песком и укрепили слабые места в доме. Дом, в котором мы были, располагался на углу Т-образного перекрестка двух крупных дорог, одну из которых мы назвали «Сансет». Армии

ОПОРНЫЙ ПУНКТ - ДАНИЯ

Из книги Мемуары [Лабиринт] автора Шелленберг Вальтер

ОПОРНЫЙ ПУНКТ - ДАНИЯ Гейдриха назначают заместителем рейхспротектора - Поездка в Копенгаген - Переговоры с Клаузеном - Датские национал-социалисты готовят переворот - Информационный резервуар Европы - Трения между Гиммлером и Гейдрихом - Гейдрих угрожает

План организации территории

Из книги Сезонный календарь для садовода автора Куропаткина Марина Владимировна

План организации территории Перед тем как приступить к посадке плодово-ягодных растений, крайне необходимо разработать план будущего сада.Схема посадки растенийДля начала нужно определить расстояние между кустарниками и деревьями, так как при слишком близком

Опорный край державы

Из книги Немцы на Южном Урале автора Моисеев Александр Павлович

Опорный край державы Златоустовский горный округ с его уникальной «прививкой» немецкого мастерства развивался стремительно. Преуспевали и оружейники: начиная с 1829 года, Златоустовские клинки были представлены на всех выставках в стране и в зарубежье. К выставкам

Опорный горизонт

БСЭ

Опорный пункт

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ОП) автора БСЭ

ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ В ФОТОГРАФИИ МЕЛКИЙ ПЛАН, СРЕДНИЙ ПЛАН, КРУПНЫЙ ПЛАН (ФРАГМЕНТ)

Из книги Фотосъемка. Универсальный самоучитель автора Кораблев Дмитрий

ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ В ФОТОГРАФИИ МЕЛКИЙ ПЛАН, СРЕДНИЙ ПЛАН, КРУПНЫЙ ПЛАН (ФРАГМЕНТ) Эти понятия являются базовыми в фотографической композиции. Если брать изображение человека или какого-либо объекта, то на мелком плане они будут изображены полностью на фоне какого-либо

Опорный элемент Current

Из книги Основы объектно-ориентированного программирования автора Мейер Бертран

Опорный элемент Current В качестве опорного элемента можно использовать Current, обозначающий текущий экземпляр класса (о текущем экземпляре см. лекцию 7). Сущность, описанная в классе A как like Current, будет считаться в нем имеющей тип A, а в любом B, порожденном от A, - имеющей тип B.Эта

Из книги Градостроительный кодекс Российской Федерации. Текст с изменениями и дополнениями на 2009 год автора Автор неизвестен

Статья 46. Особенности подготовки документации по планировке территории, разрабатываемой на основании решения органа местного самоуправления поселения или органа местного самоуправления городского округа 1. Решение о подготовке документации по планировке территории

Какие затраты включены в опорный план!

Из книги Основы управления проектами автора Пресняков Василий Федорович

Какие затраты включены в опорный план! Опорный план BCWS - это сумма счетов издержек, а каждый счет издержек - это сумма издержек наборов работ, входящих в этот счет.Четыре типа затрат обычно включают в опорный план - затраты на труд и затраты на оборудование, затраты на

Лекция 14. Опорный «скелет» личности

Из книги Деловая психология автора Морозов Александр Владимирович

Лекция 14. Опорный «скелет» личности Все, что говорилось до сих пор, можно отнести к любому человеку. У каждого есть тот или иной темперамент, характер, более или менее разнообразные способности, каждый хранит в себе множество простых и сложных ролей. Наконец, у каждого

ОПОРНЫЙ «СКЕЛЕТ» ЛИЧНОСТИ

Из книги Очерк психологии личности автора Леонтьев Дмитрий Борисович

ОПОРНЫЙ «СКЕЛЕТ» ЛИЧНОСТИ

ГЛАВА XI ИСПАНСКИЙ «ОПОРНЫЙ ПУНКТ»

Из книги Тайны английской секретной службы автора Кукридж Е Х

ГЛАВА XI ИСПАНСКИЙ «ОПОРНЫЙ ПУНКТ» Каждому, кто отваживался высказать предположение, что Америка может стать активным союзником Англии, фюрер пояснял, что его интуиция отвергает возможность приобретения вымирающей демократией Англии каких-либо друзей. Но это было

Опорный инструмент

Из книги Художественная обработка металла. Ковка автора Мельников Илья

Опорный инструмент Основной опорой, на которой производят ковку, является наковальня.Наковальни подразделяется на безрогие, однорогие и двурогие. Масса наковальни колеблется от 150 до 350 кг. Наибольшее распространение получили двурогие наковальни массой до 200