С неотрицательными элементами такими, что

При любом i. Множество всех С. м. n-го порядка представляет собой выпуклую оболочку п n С. м., составленных из нулей и единиц. Любую С. м. Рможно рассматривать как переходных вероятностей матрицу цепи Маркова с дискретным временем.
Абсолютные величины собственных значений С. м. не превосходят единицы; является собственным значением любой С. м. Если С. м. Рнеразложима ( Маркова имеет один положительный состояний), то единица является простым собственным значением матрицы Р(т. е. имеет кратность 1); в общем случае кратность собственного значения 1 совпадает с числом положительных классов цепи Маркова Если С. м. неразложима и положительный класс состояний цепи Маркова имеет d, то всех собственных значений матрицы Р, как множество точек комплексной плоскости, переходит в себя при повороте на При d=l С. м. Ри цепь Маркова наз. непериодическими.
Левые собственные векторы С. м. Рконечного порядка, соответствующие единичному собственному значению:

и удовлетворяющие условиям определяют стационарные распределения цепи Маркова в случае неразложимой С. м. Рстационарное единственно.
Если Р - неразложимая непериодическая С. м. конечного порядка, то существует

где П - матрица, каждая строка к-рой совпадает с вектором (см. также Маркова цепь эргодическая ;для бесконечных С. м. . система уравнений (1) может не иметь ненулевых решений, удовлетворяющих условию в этом случае матрица П - нулевая). Скорость сходимости в (2) можно оценить геометрич. прогрессией с любым показателем к-рый по модулю больше всех собственных значений матрицы Р, отличных от 1.
Если - С. м. ге-го порядка, то любое ее удовлетворяет неравенству (см. ):

Описано множество М п, являющееся объединением множеств собственных значений всех С. м. n-го порядка (см. ).
С. м. удовлетворяющая дополнительному условию

наз. дважды стохастической матрицей. Множество дважды стохастич. матриц n-го порядка представляет собой выпуклую оболочку перестановочных матриц ге-го порядка (т. е. дважды стохастич. матриц, составленных из нулей и единиц). Стационарное распределение конечной цепи Маркова с дважды стохастич. матрицей Рявляется равномерным.

Лит. : Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967; Беллман Р., Введение в теорию матриц, пер. е англ., М., 1969; Маркус М., Минк X., Обзор по теории матриц и матричных неравенств, пер. с англ., М., 1972; Карпелевич Ф. И., лИзв. АН СССР. Сер. матем.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "СТОХАСТИЧЕСКАЯ МАТРИЦА" в других словарях:

В теории вероятности это матрица, чьи строки или колонки дают в сумме единицу. Содержание 1 Определения 2 Замечание 3 Cвойства … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Цепи Маркова#Переходная матрица и однородные цепи. Матрицей перехода от базиса к базису является матрица, столбцы которой координаты разложения векторов в базисе. Обозначается … Википедия

Матрица в математике, система элементов aij (чисел, функций или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции), расположенных в виде прямоугольной схемы. Если схема имеет m строк и n столбцов, то говорят о (m n) матрице.… …

Метод решения класса задач статистич. оценивания, в к ром новое значение оценки представляет собой поправку к уже имеющейся оценке, основанную на новом наблюдении. Первая процедура С. а. была предложена в 1951 X. Роббинсом(Н. Robbins) и С. Монро… … Математическая энциклопедия

I Матрица (нем. Matrize, от латинского matrix матка, источник, начало) в полиграфии, 1) сменный элемент литейной формы с углублённым (иногда фотографическим) изображением буквы или знака, используемый при отливке типографских… … Большая советская энциклопедия

Слово стохастический (от греч. στοχαστικός «умеющий угадывать») используется во многих терминах из разных областей науки, и в общем означает неопределённость, случайность чего либо. В теории вероятностей итог стохастического процесса не… … Википедия

- (др. греч. στόχος цель, предположение) означает случайность. Стохастический процесс это процесс, поведение которого не является детерминированным, и последующее состояние такой системы описывается как величинами, которые могут быть предсказаны,… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Матрицы переходных вероятностей. Матрицей перехода от базиса < a1,a2..an > к базису < b1,b2..bn > является матрица, столбцы которой разложение векторов < b1,b2..bn > в базисе… … Википедия

Марковский процесс с конечным или счетным множеством состояний. Теория М. ц. возникла на основе исследований А. А. Маркова, к рый в 1907 положил начало изучению последовательностей зависимых испытаний и связанных с ними сумм случайных величин … Математическая энциклопедия

Канал связи, для к рого возможна передача информации одновременно в нескольких направлениях. Ниже описан К. м. без памяти с дискретным временем и конечными алфавитами на входах и выходах. Пусть заданы s конечных множеств Y1, ..., Ys, где… … Математическая энциклопедия

Числовая матрица называется дважды стохастической, если ее элементы неотрицательны, и в каждой строке и каждом столбце сумма элементов равна единице. Сумма всех элементов такой матрицы равна, с одной стороны, числу ее строк, а, с другой стороны, числу столбцов. Значит, дважды стохастическая матрица является квадратной. Подстановочная матрица состоит только из нулей и единиц, причем в каждой строке и каждом столбце содержится ровно одна единица. Ясно, что подстановочная матрица является дважды стохастической. Подстановочным множеством матрицы называется множество ее элементов, содержащее по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Дважды стохастические матрицы Теорема 7. Всякая дважды стохастическая матрица А = (а^) имеет подстановочное множество, состоящее из ненулевых элементов. Пусть матрица Л имеет размер п х п. Минимальное число линий, содержащих все ненулевые элементы матрицы Л, равно п, поскольку сумма элементов всей матрицы равна п, а каждой линии - 1. Рассмотрим матрицу В, которая получается из матрицы Л заменой ненулевых элементов на единицы. Минимальное число покрывающих линий матрицы В - такое же, как и для матрицы Л, то есть п. По венгерской теореме в матрице В есть п независимых единиц. Эти единицы задают подстановочное множество матрицы Очевидно, что подстановочное множество существует и для ненулевой матрицы из неотрицательных элементов с одинаковыми суммами по строкам и столбцам. Теорема 8 (Г. Биркгоф, 1946 г.). Всякая дважды стохастическая матрица представима в виде выпуклой комбинации подстановочных матриц. * Пусть Pi - подстановочная матрица, порожденная подстановочным множеством М\ из ненулевых элементов дважды стохастической матрицы Л, а число ci - наименьший элемент в М\. Тогда матрица А - С\Р\ состоит из неотрицательных элементов и имеет одинаковые суммы по строкам и столбцам, и в ней ненулевых элементов меньше, чем у исходной матрицы. Повторяя данное преобразование, через конечное число шагов приходим к равенству где - подстановочная матрица для каждого i. Пусть матрица А имеет размер п х п. Так как сумма всех элементов каждой из матриц равна п, из следует:. Таким образом, найденная линейная комбинация является выпуклой. Замечание 1. Доказательство теоремы носит конструктивный характер. Описанный процесс получения разложения называют алгоритмом Биркгофа. Поскольку каждый шаг этого алгоритма дает требуемое значение по меньшей мере одному элементу матрицы Л, а последний шаг - сразу п элементам матрицы, получаем неравенство, где к - число подстановочных матриц, через которые линейно выражается дважды стохастическая матрица Л. Известна и более точная оценка: Дважды стохастические матрицы Замечание 2. Представим каждую дважды стохастическую матрицу размера пх п точкой в п2-мерном пространстве. Геометрический смысл теоремы Биркгофа следующий: многогранник дважды стохастических матриц имеет своими вершинами подстановочные матрицы.

Рассмотрим возможных состояний некоторой системы

и последовательность моментов времени

Пусть в каждый из этих моментов времени система находится в одном и только в одном из состояний (89), причем обозначает вероятность нахождения системы в состоянии в момент времени, если известно, что в предыдущий момент времени система находилась в состоянии (,). Мы будем предполагать, что переходные вероятности не зависят от индекса (номера момента времени ).

Если матрица переходных вероятностей

задана, то говорят, что задана однородная цепь Маркова с конечным лом состояний. При этом очевидно, что

, (90)

Определение 4. Квадратная матрица называется стохастической, если матрица неотрицательна и сумма элементов каждой строки матрицы равна единице, т. е. имеют место соотношения (90).

Таким образом, для каждой однородной цепи Маркова матрица переходных вероятностей является стохастической и, наоборот, любая стохастическая матрица может быть рассматриваема как матрица переходных вероятностей некоторой однородной цепи Маркова. На этом основывается матричный метод исследования однородных цепей Маркова.

Стохастическая матрица является частным видом неотрицательной матрицы. Поэтому к ней применимы все понятия и положения предыдущих параграфов.

Отметим некоторые специфические свойства стохастической матрицы. Из определения стохастической матрицы следует, что эта матрица имеет характеристическое число 1 с положительным собственным вектором . Легко видеть, что, и обратно, всякая матрица , имеющая собственный вектор при характеристическом числе 1, является стохастической. При этом единица являются максимальным характеристическим числом стохастической матрицы, поскольку максимальное характеристическое число всегда заключено между наибольшей и наименьшей из строчных сумм, а для стохастической матрицы все строчные суммы равны единице. Таким образом, нами доказано предложение:

1° Неотрицательная матрица является стохастической тогда и только тогда, когда она имеет собственный вектор при характеристическом числе 1. Характеристическое число 1 является максимальным для стохастической матрицы.

Пусть теперь дана неотрицательная матрица , имеющая положительное максимальное характеристическое число и соответствующий этому числу положительный собственный вектор:

Введем в рассмотрение диагональную матрицу и матрицу

и в силу (91)

Таким образом,

2° Неотрицательная матрица , имеющая положительное максимальное характеристическое число и соответствующий этому числу положительный собственный вектор , всегда подобна произведению числа на некоторую стохастическую матрицу:

(92)

В предыдущем параграфе была установлена (см. теорему 7) характеристика класса неотрицательных матриц, имеющих положительный собственный вектор при . Формула (92) устанавливает тесную связь этого класса матриц с классом стохастических матриц.

Докажем теперь следующую теорему:

Теорема 10. Характеристическому числу 1 стохастической матрицы всегда соответствуют только элементарные делители первой степени.

Доказательство. Применим к стохастической матрице разложение (69) § 4:

где - неразложимые матрицы и

Здесь - неразложимые стохастические матрицы, и потому каждая из этих матриц имеет простое характеристическое число 1. Что же касается остальных неразложимых матриц , то согласно замечанию 2 на стр. 362 их максимальные характеристические числа , поскольку в каждой из этих матриц хотя бы одна строчная сумма меньше единицы.

Таким образом, матрица представима в виде

где у матрицы характеристическому числу 1 соответствуют элементарные делители первой степени, а для матрицы число 1 не является характеристическим числом. После этого справедливость теоремы непосредственно вытекает из следующей леммы:

Лемма 4. Если матрица имеет вид

где и - квадратные матрицы, и характеристическое число матрицы является характеристическим числом матрицы и не является таковым для матрицы ,

то элементарные делители матриц и , соответствующие характеристическому числу , одинаковы.

Доказательство. 1. Рассмотрим сначала случай, когда и не имеют общих характеристических чисел. Покажем, что в этом случае элементарные делители матриц и в совокупности образуют систему элементарных делителей матрицы , т. е. что при некоторой матрице

(94)

Матрицу будем искать в виде

(разбиение на блоки в соответствует разбиению в ; и - единичные матрицы). Тогда

Равенство (94") перейдет в равенство (94), если прямоугольную матрицу подберем так, чтобы она удовлетворяла матричному уравнению

В случае, когда и но имеют общих характеристических чисел, это уравнение при любой правой части всегда имеет одно определенное решение (см. гл. VIII, § 3).

2. В случае, когда матрицы и могут иметь и общие характеристические числа, мы заменим в (93) матрицу ее жордановой формой (в результате этого матрица заменится матрицей, ей подобной). При этом где в собраны все жордановы клетки с характеристическим числом . Тогда

Эта матрица подходит под разобранный ужо первый случай, поскольку матрицы и не имеют общих характеристических чисел. Отсюда следует, что элементарные делители вида одинаковы у матриц и и, следовательно, одинаковы у матриц и . Лемма доказана.

Если неразложимая стохастическая матрица имеет комплексное характеристическое число с , то матрица подобна матрице (см. (16)) и потому из теоремы 10 вытекает, что числу отвечают только элементарные делители первой степени. Пользуясь нормальной формой матрицы и леммой 4, легко распространить это утверждение и на разложимые стохастические матрицы. Таким образом, получаем с состоит из конечного числа точек на окружности с данным максимальным характеристическим числом заполняют множество .

К этому кругу вопросов относится и работа X. Р. Сулеймановой , в которой устанавливаются некоторые достаточные критерии для того, чтобы заданных вещественных чисел были характеристическими числами некоторой стохастической матрицы .