Цифры

Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:

М ы D арим С очные L имоны, Х ватит V сем I х.

Соответственно M, D, C, L, X, V, I

Примеры

Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV . Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII - в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: V M = 6000.

Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется для упрощения. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:

• 999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 - MIM вместо MCMXCIX
• 95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
• 1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 - MLM вместо MCML

Повсеместно записывать число «четыре» как «IV» стали только в XIX веке , до этого наиболее часто употреблялась запись «IIII». Однако запись «IV» можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых годом. На циферблатах часов в большинстве случаев традиционно используется «IIII» вместо «IV» , главным образом, по эстетическим соображениям: такое написание обеспечивает визуальную симметрию с цифрами «VIII» на противоположной стороне, а перевёрнутую «IV» прочесть труднее, чем «IIII».

Применение

В русском языке римские цифры используются в следующих случаях.

• Номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.
• Порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II.
• Номер тома в многотомной книге (иногда - номера частей книги, разделов или глав).
• В некоторых изданиях - номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия.
• Маркировка циферблатов часов «под старину».
• Иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война , XXII съезд КПСС и т. п.

В других языках сфера применения римских цифр может иметь особенности, например, в западных странах римскими цифрами иногда записывается номер года.

Расширение

Римские цифры предоставляют возможность записывать числа от 1 до 3999 (MMMCMXCIX). Для решения этой проблемы были созданы [кто? ] расширенные римские цифры .

Юникод

Стандарт Юникод определяет символы для представления римских цифр, как часть Числовых форм (англ. Number Forms ), в области знаков с кодами с U+2160 по U+2188. Например, MCMLXXXVIII может быть представлено в форме ⅯⅭⅯⅬⅩⅩⅩⅧ . Этот диапазон включает как строчные, так и прописные цифры от 1 (Ⅰ или I) до 12 (Ⅻ или XII), в том числе и комбинированные глифы для составных чисел, таких как 8 (Ⅷ или VIII), главным образом для обеспечения совместимости с восточноазиатскими наборами символов в таких промышленных стандартах, как JIS X 0213, где эти символы определены. Комбинированные глифы используются для представления чисел, которые ранее составлялись из отдельных символов (например, Ⅻ вместо его представления как Ⅹ и Ⅱ ). В дополнение к этому, глифы существуют для архаичных форм записи чисел 1000, 5000, 10 000, большой обратной C (Ɔ ), поздней формы записи 6 (ↅ , похожей на греческую стигму : Ϛ ), ранней формы записи числа 50 (ↆ , похожей на стрелку, указывающую вниз ↓⫝⊥ ), 50 000, и 100 000. Следует отметить, что маленькая обратная c, ↄ не включена в символы римских цифр, но включена в стандарт Юникод как прописная клавдиева буква Ↄ .

Символы в диапазоне U+2160-217F присутствуют только для совместимости с другими стандартами, которыми определены эти символы. В обиходе применяются обычные буквы латинского алфавита. Отображение таких символов требует наличия программного обеспечения, поддерживающего стандарт Юникод, и

Замечание 1

Данная система относится к непозиционной системе счисления, использующей для записи чисел буквы латинского алфавита.

Обозначение чисел

Обозначение чисел в Древнем Риме напоминало первый способ греческой нумерации. Римлянами были приняты специальные обозначения не только для чисел $1$, $10$, $100$ и $1000$, но и для чисел $5$, $50$ и $500$. Римские цифры выглядели следующим образом:

Рисунок 1.

Представленные в таблице семь чисел называли узловыми и с их помощью можно было записывать любые многозначные числа. Изначально написание римских цифр несколько отличалось от тех цифр, которыми мы привыкли оперировать в настоящее время. Их внешний вид со временем претерпел небольшие изменения.

По поводу происхождения римских цифр ученые до сих пор ведут споры. Существует несколько взглядов на данную проблему. Если присмотреться внимательнее к цифрам $1$, $5$ и $10$, то можно заметить, на что они похожи:

знак $I$ – на палочку;

знак $V$ - на раскрытую руку;

$X$ – на две скрещенные руки.

Но существует и другое объяснение этому факту.

Изначально числа от $1$ до $9$ изображались соответствующим количеством вертикальных палочек. Для изображения десятка делали следующее: нарисовав $9$ палочек, десятой их перечеркивали. Чтобы не писать много палочек, перечеркивали одну. Так появилось изображение знака $X$. Изображение же знака $V$ (число $5$) получили путем разрезания знака $X$ (число $10$) пополам. В свою очередь, соседний с римлянами народ этруски, который был завоеван Римской империей, употреблял для написания числа $5$ нижнюю часть символа $X$, а сами римляне использовали верхнюю.

При обозначении числа $100$ перечеркивали палочку дважды или использовали изображение кружка с точкой внутри. Очевидно, $50$ обозначалось половиной этого знака.

Не утихают и споры ученых по поводу происхождения других римских цифр, Вероятнее всего, обозначения $C$ и $M$ связаны с римскими названиями сотни и тысячи. Тысячу римляне называли «милле» (слово «миля» когда-то обозначало путь в тысячу шагов).

Замечание 2

Для легкого запоминания буквенных обозначений цифр в порядке убывания используют мнемоническое правило:

$M$ы $D$арим $C$очные $L$имоны, $X$ватит $V$сем $I$х

Что соответствует $M, D, C, L, X, V, I$.

Правила записи чисел

При обозначении цифр римляне записывали такое их количество, чтобы их сумма достигала требуемого числа. Например, число $8$ они записывали как $VIII$, а число $382$ как: $CCCLXXXII$. При написании данного числа можно отметить, что в начале пишутся большие цифры, а только потом маленькие.

Однако иногда римляне делали обратное, т.е. меньшую цифру ставили перед большей, это значило, что требуется не складывать, а вычитать.

Пример 1

Например, число $4$ обозначалось $IV$ (без одного пять), а число $9 – IX$ (без одного десять). Запись $XC$ обозначала $90$ (без одного сто). Перед цифрой, большей по значению, могла стоять только одна цифра, меньшего значения ($IV$ – верная запись числа, $IIV$ – неверная запись).

Если рядом стояли две одинаковые цифры, то их значения складывались. Например: $CC – 200$, $XX – 20$. Причем, одна и та же цифра не могла быть написана подряд более трех раз.

В любом числе одни и те же цифры $V$, $L$, $D$ не могли использоваться отдельно друг от друга более одного раза ($DC$ и $DL$ – верная запись чисел, $VV$ – неверная запись числа).

Другим правилом является то, что если перед цифрой, большего значения, стоит цифра, меньшего значения, то последняя может быть представлена только одной из цифр $I$, $X$, $C$ ($IX$ – верная запись числа, $VX$ – неверная запись).

Если же перед цифрой, большего значения, стоит цифра, меньшего значения, то после большей цифры в этой паре может стоять цифра, имеющая значение меньше того, которое имеет меньшая цифра пары ($CDX$ – верная запись числа, $CDC$ – неверная запись).

Если цифра упоминалась в числе как меньшая, находящаяся перед большей, то она не могла использоваться ещё раз (если читать слева направо) в этом числе, кроме тех ситуаций, когда она выступала в роли большей цифры, следующей за меньшей ($CDXC$ – верная запись числа, $CDCC$ - неверная запись).

В случае, когда за цифрой с большим значением следовала цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом являлся отрицательным. Примеры, которые иллюстрируют общие правила написания чисел в римской системе счисления, приведены в таблице:

Рисунок 2.

Самое большое число, которое могли обозначить римляне, было $100000$. Поэтому обычно в названиях крупных денежных сумм слова «сотен тысяч» опускались. Запись означала $10$ тыс. сотен, т.е. миллион.

Мы привели несколько правил написания чисел, которые использовались в римской системе счисления. Так что, если вы теперь, путешествуя где-то в Европе, заметите на старинном здании надпись римскими цифрами $MDCCCXLIV$, то легко сможете определить, что он построен в $1844$ году.

Правила выполнения арифметических операций с числами

Сложение и вычитание .

Сложить два римских числа достаточно просто. Например:

$XIX + XXVI = XXXV$

Сложение выполняется в следующей последовательности:

а) $IX + VI = XV$ ($I$ после $V$ "уничтожает" $I$ перед $X$);

б) $X + XX = XXX$ (при добавлении еще одного $X$, получаем $XXXX$, или $XL$).

Сложность вычитания римских чисел приблизительно такая же. Например, для вычитания из $500$ числа $263$ уменьшаемое число необходимо для начала разложить на более мелкие составляющие, а затем сократить повторяющиеся в уменьшаемом и вычитаемом знаки:

$D - CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII = CCXXXVII$

Умножение .

С умножением дело обстояло гораздо сложнее.

Допустим, требовалось умножить $126$ на $37$ (у римлян знаков действий не было, названия действий писали словами).

$CXXVI \cdot XXXVII$

Приходилось умножать множимое на каждую цифру множителя отдельно, а затем складывать все произведения.

Такая техника выполнения умножения аналогична умножению многочленов.

Деление .

Выполнение деления было очень сложным в римской системе счисления. Для этого использовался специальный инструмент – абак (древние счеты). Только высоко образованные люди умели и могли работать с ним.

Использование римской системы счисления

Хотя римская нумерация была не совсем удобной, однако она распространилась по всей ойкумене – так называли древние греки известный им обитаемый мир. Римляне – это завоеватели, они поработили и подчинили себе многие страны, что привело к росту их империи. С порабощенных народов они собирали огромные налоги, а для этого им необходимо было пользоваться обозначениями чисел. Поэтому жителям этих стран приходилось, проклиная своих поработителей, учить римскую нумерацию. И даже после крушения Римской империи, в деловых бумагах Западной Европы осталась применяться эта неудобная нумерация. Неудобна она тем, что выполнять арифметические действия с многозначными числами в этой системе тяжело. И все-таки римская нумерация использовалась в Италии до $13$ века, а в других странах Западной Европы до $16$ века.

Недостатком римской системы счисления стало то, что у нее отсутствуют формальные правила записи чисел и, соответственно, правила арифметических действий с многозначными числами. В связи с тем, что система не совсем удобна и сложна, в настоящее время мы ее используем только там, где это действительно удобно: для нумерации глав и томов в литературе, для определения веков и порядковых номеров монархов в истории, при оформлении ценных бумаг, для маркировки циферблата часов и в ряде других случаев.

В ходе урока учащиеся пополняют свой запас знаний о непозиционных системах, в частности о римской системе счисления. Какие числа считаются в этой системе узловыми, по каким правилам записывают остальные числа, об истории происхождения этих чисел, изменением со времени их записи. Объяснение учителя дополняет сообщение учащегося, который готовит к научно - практической конференции исследовательскую работу по данной теме.

По ходу лекции учитель делает важные записи на доске, а учащиеся переносят их в свои тетради. После объяснения нового материала учащиеся применяют полученные знания о записи чисел на практике, выполняя тренировочные упражнения. Учащиеся переводят число, записанное римскими цифрами в запись арабскими, и наоборот, число в римской системе записывают арабскими цифрами. Для выполнения этого задания на каждой парте лежат по две карточки, на которых написано число римскими и арабскими цифрами. Учащиеся, работая в паре, должны осуществить взаимный переход.

Далее вниманию учащихся предлагается несколько занимательных, творческих задач, среди которых и задачи со спичками. Выполняя это задание, учащиеся могут работать в группах, оформляя решение маркерами на листах формата А-3. Все группы работают над одним и тем же заданием, а затем по одному представителю от каждой группы показывают решение одной из задач у доски.

Для подведения итогов урока и рефлексии учитель использует прием «Незаконченные предложения» или анкету «Как прошел урок», а также прием «Цветовая феерия».
В качестве домашнего задания учащимся предлагается составить викторину или тест из 5-7 вопросов на проверку знаний и умений по изученной теме.

Тип урока: комбинированный.

Цель урока : повышение интереса к предмету за счет использование богатого исторического, наглядного материала, занимательных задач; расширение кругозора обучающихся.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Объяснение нового материала (экскурс в историю)

Вступительное слово учителя : На последнем уроке математики мы с вами познакомились с различными непозиционными системами счисления, а в частности с египетской, китайской и славянской нумерацией. Сегодня мы поговорим подробно о римской системе счисления, которая тоже является непозиционной.
Вопрос к вам, ребята: Какая система называется непозиционной?

Ответ учащихся: Cистема называется непозиционной, если значение знака не зависит от его положения в записи числа.
Римской системой счисления пользовались в Европе в средние века, но и в настоящее время без неё нельзя обойтись во многих областях. Что вам известно про эту нумерацию?
У римлян были специальные обозначения для чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Римские цифры имели такой вид:

Эти семь чисел назывались узловыми и с их помощью можно записать любое многозначное число. Первоначально римские цифры немного отличались от тех цифр, какими мы привыкли пользоваться сейчас. Они претерпели небольшие изменения в написании.
О происхождении римских цифр нет достоверных сведений, по этому поводу среди ученых до сих пор идут споры. Существует несколько взглядов на эту проблему.
Посмотрите внимательно на цифры 1, 5 и 10. На что они похожи?

Ответ : 1 – палочка, 10 – крест, мы видели их на обозначении группы крови, в учебнике истории.

– А есть ли что-то у человека, с чем можно связать эти обозначения?

Ответ: один – один палец, 5 – ладошка, рука, десять – две руки.

– Действительно, ребята, существует мнение, что цифры I,V,X есть суть палец, открытая рука и две такие руки. Но есть и другое объяснение этому факту.

Выступление учащегося: Первоначально числа от одного до девяти обозначалось соответственным числом вертикальных палочек. Когда счет шел десятками, нарисовав девять палочек, десятой их перечеркивали. А чтобы не писать так много палочек, перечеркивали одну палочку. Отсюда и произошел знак X.

Вопрос учащимся : Посмотрите на знаки обозначающие числа 5 и 10. Есть ли между ними какая то связь?

Ответ : Пять – это половина от десяти, галочка – половинка крестика.

Действительно, число 5 обозначалось половиной такого креста, обозначающего число 1о. Причем соседи римлян этруски, завоеванные Римской империей, употребляли для числа 5 нижнюю часть креста, а сами римляне верхней.
Для обозначения числа 100 перечеркивали палочку два раза или применяли кружок с точкой внутри. Очевидно, 50 обозначалось половиной этого знака. Число 1000 изображалось значком (I), а число 500 знаком I).
Также возможно, для обозначения числа 100 (centum) стали писать С, а для 1000(mille) букву M. Когда-то слово «миля» обозначало путь в тысячу двойных шагов.

Выступление учащегося : римские цифры долго держались в школьных учебниках и после проникновения в Европу современных цифр и поэтому назывались школьными.

Вопрос : Как вы считаете ребята, удобна ли римская нумерации в использовании?

Ответ : Римская нумерация не слишком удобна, чтобы записать даже некоторые однозначные цифры нужно писать два знака, для записи многозначного – еще больше. Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно.

– Да, ребята, вы совершенно правы, у римской нумерации есть свои определенные недостатки и неудобства. Но темнее менее, римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в некоторых странах Западной Европы до XVI века. Когда-то римляне завоевали многие страны и присоединили к своей империи. Со всех стран взимали огромные налоги, используя свои обозначения. Так что пришлось жителям этих стран учить римскую нумерацию, посылая проклятия на головы поработителей.

– Мы с вами не являемся жителями стран Римской империи, тогда для чего нам с вами в настоящее время знать римскую нумерацию?

Ответ : Чтобы понимать время на часах, определять дату в учебнике истории или у экспоната в музее, на уроке математики, в художественной литературе, для обозначения номера главы и т.п.

Вопрос : Если в римской нумерации есть только обозначения для цифр 1,5,10, 50, 100, 500, 1000, то, как записывать остальные числа?

Ответ : Для этого есть определенные правила. Остановимся на них подробнее (читают правила в учебнике с комментариями).

1. Если цифра с большим значением стоит слева от цифры с меньшим значением, то их значение складывается. Например: 6 – VI, 11 – XI, 60 – LX
2. Если цифра с меньшим значением стоит слева от цифры с большим значением, то из большего вычитается меньшее. Например: 4 – IV, 9 – IX, 40 – XL, 90 – XC.
3. Если рядом стоят две одинаковые цифры, то их значение складывается. Например: СС – 200, XX – 20.
4. Одна и та же цифра не может быть написана подряд более трех раз.

III. Практическое применение правил для перевода арабских цифр в римскую нумерацию и наоборот

– Сейчас мы с вами потренируемся записывать числа арабскими цифрами и наоборот, переходить в римскую нумерацию. У каждого на столе две карточки. Я попрошу вас число, записанное римскими цифрами записать арабскими, а записанное арабскими записать римскими. На выполнение задания у вас две минуты. Это задание вы выполняете в парах с соседом по парте.

Учащимся предлагаются следующие числа:

• В римской нумерации: CCC, LIX, XCV, LX, СXV, LXI, XVI, XIV, ССX, XXIX, XXII, LXXXIX, XLIV, DXL, LXXII
• Записанные арабскими цифрами: 9,15,29,49,427,41,58,67,99,1002,600,103,124,593,1541.

Для проверки правильности выполнения задания учитель показывает на доске число, записанное римскими цифрами, а учащийся, у которого имеется карточка с этим числом записанное арабскими цифрами, должен её поднять и показать классу. Соответственно, когда учитель показывает число, записанное арабскими цифрами, ученик показывает карточку с записью этого числа в римской нумерации. Если возникает заминка, это число разбирают всем классом.
Для выполнения следующего задания я попрошу вас разделиться на малые группы по 4 человека. Каждой группе предлагается решить творческое задание на применение знаний о римской нумерации. В течение 5 минут ребята выполняют это задание на листах формата А-4, а затем представляют решение всему классу.

На этом уроке учащимся были предложены следующие задачи:

• Сколько и каких чисел в римской системе счисления можно записать, используя только три спички?
• Нельзя ли из трех спичек сделать шесть, не ломая их?
• Как из двух спичек сделать десять, не ломая их?
• Как записать число 30 , чтобы оно при зеркальном отражении не изменяло своего значения?
• С помощью девяти спичек составлено число 300. Не изменяя количества спичек, уменьшите число в 3 раза.
• Из спичек составлено равенство: VI – IV = XI. Как получит верное равенство, переложив всего одну спичку?
• В харчевню пришли 11 человек и попросили подать им рыбы. Хозяин харчевни решил не упускать случая поживиться: имея в своем распоряжении три рыбы, он обещал подать на стол гостям одиннадцать. Гости заинтересовались и даже согласились заплатить деньги вперед. Как хозяин исполнил свое обещание?

Представители от каждой группы по очереди у доски представляют решение своей задачи.

IV. Подведение итогов урока, рефлексия, домашнее задание: составить викторину из пяти вопросов, проверяющих знания и умения по римской системе счисления.

| Планирование уроков и материалы к урокам | 6 классы | Материал для любознательных | Римская система счисления

Материал
для любознательных

Римская система счисления

Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.

В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а также специальные знаки для обозначения чисел 50, 100, 500 и 1000.

Обозначения для последних четырех чисел с течением времени претерпели значительные изменения. Ученые предполагают, что первоначально знак для числа 100 имел вид пучка из трех черточек наподобие русской буквы Ж, а для числа 50 - вид верхней половинки этой буквы, которая в дальнейшем трансформировалась в знак L:

Для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Centum - сто, Demimille - половина тысячи, Mille - тысяча).

Чтобы записать число, римляне использовали не только сложение, но и вычитание ключевых чисел. При этом применялось следующее правило.

Значение каждого меньшего знака, поставленного слева от большего, вычитается из значения большего знака.

Например, запись IX обозначает число 9, а запись XI - число 11. Десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII =10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.

Десятичное число 99 имеет такое представление: XCIX = (-10 + 100) (- 1 + 10).

То, что при записи новых чисел ключевые числа могут не только складываться, но и вычитаться, имеет существенный недостаток: запись римскими цифрами лишает число единственности представления. Действительно, в соответствии с приведенным выше правилом, число 1995 можно записать, например, следующими способами:

MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,
MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5,
MVM = 1000 + (1000 - 5),
MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) и так далее.

Единых правил записи римских чисел до сих пор нет, но существуют предложения о принятии для них международного стандарта.

В наши дни любую из римских цифр предлагается записывать в одном числе не более трех раз подряд. На основании этого построена таблица, которой удобно пользоваться для обозначения чисел римскими цифрами:

Эта таблица позволяет записать любое целое число от 1 до 3999. Чтобы это сделать, сначала запишите свое число, как обычно (в десятичной системе). Затем для цифр, стоящих в разрядах тысяч, сотен, десятков и единиц, по таблице подберите соответствующие кодовые группы.

Для того чтобы записать числа, большие 3999, применяют специальные правила, но знакомство с ними выхо¬дит за рамки нашего курса.

Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать).

Римская система счисления сегодня используется в основном для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.