Каждая фирма, взявшись за производство конкретного продукта, стремится добиться максимальной прибыли. Проблемы, связанные с производством продукции, могут быть разделены на три уровня:

  1. Перед предпринимателем может стоять вопрос о том, как производить заданное количество продукции на определенном предприятии. Эти проблемы относятся к вопросам краткосрочной минимизации издержек производства;
  2. предприниматель может решать вопросы о производстве оптимального, т.е. приносящего большую , количество продукции на определенном предприятии. Эти вопросы касаются долгосрочной максимизации прибыли;
  3. перед предпринимателем может стоять выяснения наиболее оптимальных размеров предприятия. Подобные вопросы относятся к долгосрочной максимизации прибыли.

Найти оптимальное решение можно на основе анализа взаимосвязи между издержками и объемом производства (выработкой). Ведь прибыль определяется разницей между выручкой от реализации продукции и всеми издержками. А выручка, и издержки зависят от объема производства. В качестве инструмента анализа этой зависимости экономическая теория использует производственную функцию.

Производственная функция определяет максимальный объем выпуска продукции при каждом заданном количестве ресурсов. Эта функция описывает зависимость между затратами ресурсов и выпуском продукции, позволяя определить максимально возможный объем выпуска продукции при каждом заданном количестве ресурсов, или минимально возможное количество ресурсов для обеспечения заданного объема выпуска продукции. Производственная функция суммирует только технологически эффективные приемы комбинирования ресурсов для обеспечения максимального выпуска продукции. Любое усовершенствование в технологии производства способствующее росту производительности труда, обусловливает новую производственную функцию.

ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ – функция, отображающая зависимость между максимальным объемом производимого продукта и физическим объемом факторов производства при данном уровне технических знаний.

Поскольку объем производства зависит от объема использованных ресурсов, то зависимость между ними может быть выражена в виде следующей функциональной записи:

Q = f(L,K,M),

где Q – максимальный объем продукции, произведенной при данной технологии и определенных факторах производства;
L – труд; К – капитал; М – материалы; f – функция.

Производственная функция при данной технологии обладает свойствами, которые определяют соотношение между объемом производства и количеством используемых факторов. Для разных видов производства производственные функции различны, тем не менее? все они имеют общие свойства. Можно выделить два основных свойства.

  1. Существует предел для роста объема выпуска, который может быть достигнут ростом затрат одного ресурса при прочих равных условиях. Так, в фирме при фиксированном количестве машин и производственных помещений имеется предел роста выпуска путем увеличения дополнительных рабочих, поскольку не будет обеспечен машинами для работы.
  2. Существует определенная взаимная дополняемость (комплектарность) факторов производства, однако без уменьшения объема выпуска вероятна и определенная взаимозаменяемость данных факторов производства. Так, для выпуска блага могут быть использованы различные комбинации ресурсов; можно произвести это благо при использовании меньшего объема капитала и большего объема затрат труда, и наоборот. В первом случае производство считается технически эффективным в сравнении со вторым случаем. Однако существует предел того, насколько труд может быть заменен большим объемом капитала, чтобы не сократилось производство. С другой стороны, имеется предел применения ручного труда без использования машин.

В графической форме каждый вид производства может быть представлен точкой, координаты которой характеризуют минимально необходимые для выпуска данного объема продукции ресурсы, а производственная функция – линией изокванты.

Рассмотрев производственную функцию фирмы, перейдем к характеристике следующих трех важных понятий: общего (совокупного), среднего и предельного продукта.

Рис. а) Кривая общего продукта (ТР); б) кривая среднего продукта (АР) и предельного продукта (МР)

На рис. показана кривая общего продукта (ТР), который изменяется в зависимости от величины переменного фактора X. На кривой ТР отмечены три точки: В – точка перегиба, С – точка, которая принадлежит касательной, совпадающей с линией, соединяющей данную точку с началом координат, D – точка максимального значения ТР. Точка А перемещается по кривой ТР. Соединив точку А с началом координат, получим линию ОА. Опустив перпендикуляр из точки А на ось абсцисс, получим треугольник ОАМ, где tg а есть отношение стороны AM к ОМ, т. е. выражение среднего продукта (АР).

Проведя через точку А касательную, получим угол Р, тангенс которого будет выражать предельный продукт МР. Сопоставляя треугольники LAM и ОАМ, находим, что до определенного момента тангенс Р по величине больше tg а. Таким образом, предельный продукт (МР) больше среднего продукта (АР). В том случае, когда точка А совпадает с точкой В, тангенс Р принимает максимальное значение и, следовательно, предельный продукт (МР) достигает наибольшего объема. Если точка А совпадает с точкой С, то значение среднего и предельного продукта равны. Предельный продукт (МР), достигнув максимального значения в точке В (рис. 22, б), начинает Сокращаться и в точке С пересечется с графиком среднего продукта (АР), который в этой точке достигает максимального значения. Затем и предельный, и средний продукт сокращаются, но предельный продукт уменьшается опережающими темпами. В точке максимума общего продукта (ТР) предельный продукт МР = 0.

Мы видим, что наиболее эффективное изменение переменного фактора X наблюдается на отрезке от точки В до точки С. Здесь предельный продукт (МР), достигнув своего максимального значения, начинает уменьшаться, средний продукт (АР) еще увеличивается, общий продукт (ТР) получает наибольший прирост.

Таким образом, производственная функция – это функция, позволяющая определить максимально возможный объем выпуска продукции при различных сочетаниях и количествах ресурсов.

В теории производства традиционно используются двухфакторная производственная функция, в которой объем производства, является функцией использования ресурсов труда и капитала:

Q = f (L, K).

Она может быть представлена в виде графика или кривой. В теории поведения производителей при определенных допущениях существует единственная комбинация ресурсов, при которой минимизируются затраты на ресурсы при данном объеме производства.

Расчет производственной функции фирмы – это поиск оптимума, среди многих вариантов, предусматривающих различные сочетания факторов производства, такого, который даёт максимально возможный объем выпуска продукции. В условиях растущих цен и денежных затрат фирма, т.е. издержек на приобретение факторов производства, расчет производственной функции сосредоточен на поисках такого варианта, который обеспечил бы максимизацию прибыли при наименьших издержках.

Расчет производственной функции фирмы, стремящийся к достижению равновесия между предельными издержками и предельным доходом, будет сосредоточен на поиски такого варианта, который обеспечит необходимый выпуск продукции при минимальных издержках производства. Минимальные издержки определяются на стадии расчетов производственной функции методом замещения, вытеснения дорогостоящих или возросших в цене факторов производства альтернативными, более дешевыми. Замещение осуществляется с помощью сравнительного экономического анализа взаимозаменяемых и взаимодополняемых факторов производства их рыночных цен. Удовлетворительным будет такой вариант, в котором комбинация факторов производства и заданный объем выпуска продукции соответствует критерию наименьших издержек производства.

Существует несколько видов производственной функции. Основными из них являются:

  1. Нелинейная ПФ;
  2. Линейная ПФ;
  3. Мультипликативная ПФ;
  4. ПФ «затраты-выпуск».

Производственная функция и выбор оптимального размера производства

Производственная функция – это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов.

Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология – новая производительная функция.

С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.

Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:

  1. Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение – не у всех будут места).
  2. Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

В наиболее общем виде производственная функция выглядит следующим образом:

Q = f (K,L,M,T,N),

где L – объем выпуска;
K – капитал (оборудование);
М – сырье, материалы;
Т – технология;
N – предпринимательские способности.

Наиболее простой является двухфакторная модель производственной функции Кобба-Дугласа, с помощью которой раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К). Эти факторы взаимозаменяемы и взаимодополняемые

Q = AK α * L β ,

где А – производственный коэффициент, показывающий пропорциональность всех функций и изменяется при изменении базовой технологии (через 30-40 лет);
K, L – капитал и труд;
α, β – коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и труда.

Если = 0,25, то рост затрат капитала на 1% увеличивает объем производства на 0,25%.

На основе анализа коэффициентов эластичности в производственной функции Кобба-Дугласа можно выделить:

  1. пропорционально возрастающую производственную функцию, когда α + β = 1 (Q = K 0,5 * L 0,2).
  2. непропорционально – возрастающую α + β > 1 (Q = K 0,9 * L 0,8);
  3. убывающую α + β < 1 (Q = K 0,4 * L 0,2).

Оптимальные размеры предприятий не абсолютны по своей природе, а поэтому не могут устанавливаться вне времени и вне района размещения, так как они различны для разных периодов и экономических районов.

Оптимальный размер проектируемого предприятия должен обеспечить минимум затрат ли максимум прибыли, рассчитанных по формулам:

Тс+С+Тп+К*Ен_ – минимум, П – максимум,

где Тс – затраты на доставку сырья и материалов;
С – затраты на производство, т.е. себестоимость продукции;
Тп – затраты на доставку готовой продукции до потребителей;
К – капитальные затраты;
Ен – нормативный коэффициент эффективности;
П – прибыль предприятия.

Сл., под оптимальными размерами предприятий понимаются такие, которые обеспечивают выполнение заданий плана по выпуску продукции и приросту производственных мощностей с минусом приведенных затрат (с учетом капитальных вложений в сопряженные отрасли) и максимально возможной народнохозяйственной эффективностью.

Проблема оптимизации производства и соответственно ответа на вопрос, каким должен быть оптимальный размер предприятия, со всей остротой встала и перед западными предпринимателями, президентами компаний и фирм.

Те же, кому не удалось достичь необходимых масштабов, оказались в незавидном положении производителей с высокими издержками, обреченных на существование на грани разорения и в конечном счете банкротства.

Однако сегодня те американские компании, которые все еще стремятся преуспеть в конкурентной борьбе за счет экономии на концентрации производства, не столько выигрывают, сколько теряют. В современных условиях такой подход изначально ведет к снижению не только гибкости, но и эффективности производства.

Кроме этого, предприниматели помнят: небольшой размер предприятий означает меньший объем инвестиций и, следовательно, меньший финансовый риск. Что касается чисто управленческой стороны проблемы, то американские исследователи отмечают, что предприятия с числом занятых более 500 человек становятся плохо управляемыми, неповоротливыми и слабо реагируют на возникающие проблемы.

Поэтому ряд американских компаний в 60-е годы пошел на разукрупнение своих отделений и предприятий с целью существенного уменьшения размеров первичных производственных звеньев.

Помимо простого механического разукрупнения предприятий, организаторы производства проводят радикальную реорганизацию внутри предприятий, формируя в них командные и бригадные орг. структуры взамен линейно-функциональных.

При определении оптимального размера предприятия фирмы пользуются концепцией минимального эффективного размера. Он представляет собой просто наименьший объем производства, при котором фирма может минимизировать свои долгосрочные средние издержки.

Производственная функция и выбор оптимального размера производства.

Производством называется любая человеческая деятельность по преобразованию ограниченных ресурсов - материальных, трудовых, природных - в готовую продукцию. Производственная функция характеризует зависимость между количеством используемых ресурсов (факторов производства) и максимально возможным объемом выпуска, который может быть достигнут при условии, что все имеющиеся ресурсы используются наиболее рациональным образом.

Производственная функция обладает следующими свойствами:

  1. Существует предел увеличения производства, который может быть достигнут при увеличении одного ресурса и постоянстве прочих ресурсов. Если, например, в сельском хозяйстве увеличивать количество труда при постоянных количествах капитала и земли, то рано или поздно наступает момент, когда выпуск перестает расти.
  2. Ресурсы дополняют друг друга, но в определенных пределах возможна и их взаимозаменяемость без сокращения выпуска. Ручной труд, например, может заменяться использованием большего количества машин, и наоборот.
  3. Чем длиннее временной период, тем большее количество ресурсов может быть пересмотрено. В этой связи различают мгновенный, короткий и длительный периоды. Мгновенный период - период, когда все ресурсы являются фиксированными. Короткий период - период, когда, по крайней мере, один ресурс является фиксированным. Длительный период – период, когда все ресурсы являются переменными.

Обычно в микроэкономике анализируется двухфакторная производственная функция, отражающая зависимость выпуска (q) от количества используемых труда (L ) и капитала (K ). Напомним, что под капиталом понимаются средства производства, т.е. количество машин и оборудования, используемое в производстве и измеряемое в машино-часах. В свою очередь количество труда измеряется в человеко-часах.

Как правило, рассматриваемая производственная функция выглядит так:

q = AK α L β

A, α, β - заданные параметры. Параметр А - это коэффициент совокупной производительности факторов производства. Он отражает влияние технического прогресса на производство: если производитель внедряет передовые технологии, величина А возрастает, т. е. выпуск увеличивается при прежних количествах труда и капитала. Параметры α и β - это коэффициенты эластичности выпуска соответственно по капиталу и труду. Иными словами, они показывают, на сколько процентов изменяется выпуск при изменении капитала (труда) на один процент. Коэффициенты эти положительны, но меньше единицы. Последнее означает, что при росте труда при постоянном капитале (либо капитала при постоянном труде) на один процент производство возрастает в меньшей степени.

Построение изокванты

Приведенная производственная функция говорит о том, что производитель может заменять труд капиталом и капитал трудом, оставляя выпуск неизменным. Например, в сельском хозяйстве развитых стран труд является высокомеханизированным, т.е. на одного работника приходится много машин (капитала). Напротив, в развивающихся странах тот же объем производства достигается за счет большого количества труда при незначительном капитале. Это позволяет построить изокванту (рис. 8.1).

Изокванта (линия равного продукта) отражает все комбинации двух факторов производства (труда и капитала), при которых выпуск остается неизменным. На рис. 8.1 рядом с изоквантой проставлен соответствующий ей выпуск. Так, выпуск q 1 , достижим при использовании L 1 труда и K 1 капитала или с использованием L2 труда и K2 капитала.

Рис. 8.1. Изокванта

Возможны и другие комбинации объемов труда и капитала, минимально необходимых для достижения данного выпуска.

Все комбинации ресурсов, соответствующих данной изокванте, отражают технически эффективные способы производства. Способ производства A является технически эффективным в сравнении со способом В, если он требует использования хотя бы одного ресурса в меньшем количестве, а всех остальных не в больших количествах в сравнении со способом В. Соответственно способ В является технически неэффективным в сравнении с А. Технически неэффективные способы производства не используются рациональными предпринимателями и не относятся к производственной функции.

Из вышесказанного вытекает, что изокванта не может иметь положительный наклон, как это показано на рис. 8.2.

Отрезок, выделенный пунктиром, отражает все технически неэффективные способы производства. В частности, в сравнении со способом А способ В для обеспечения одинакового выпуска (q 1 ) требует того же количества капитала, но большего количества труда. Очевидно, поэтому, что способ B не является рациональным и не может приниматься в расчет.

На основе изокванты можно определить предельную норму технической замены.

Предельная норма технической замены фактора Y фактором X (MRTS XY) - это количество фактора Y (например, капитала), от которого можно отказаться при увеличении фактора X (например, труда) на 1 ед., чтобы выпуск не изменился (остаемся на прежней изокванте).

Рис. 8.2. Технически эффективное и неэффективное производство

Следовательно, предельная норма технической замены капитала трудом исчисляется по формуле
При бесконечно малых изменениях L и K она составляет
Таким образом, предельная норма технической замены есть производная функции изокванты в данной точке. Геометрически она представляет собой наклон изокванты (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Предельная норма технической замены

При движении сверху - вниз вдоль изокванты предельная норма технической замены все время убывает, о чем говорит уменьшающийся наклон изокванты.

Если же производитель увеличивает и труд, и капитал, то это позволяет ему достичь большего выпуска, т.е. перейти на более высокую изокванту (q2). Изокванта, расположенная правее и выше предыдущей, соответствует большему объему выпуска. Совокупность изоквант образует карту изоквант (рис. 8.4).

Рис. 8.4. Карта изоквант

Особые случаи изоквант

Напомним, что приведенные изокванты соответствуют производственной функции вида q = AK α L β . Но бывают и другие производственные функции. Рассмотрим случай, когда имеет место совершенная замещаемость факторов производства. Допустим, например, что на складских работах можно использовать квалифицированных и неквалифицированных грузчиков, причем производительность квалифицированного грузчика в N раз выше, чем неквалифицированного. Это означает, что мы можем заменить любое количество квалифицированных грузчиков неквалифицированными в соотношении N к одному. И наоборот, можно заменить N неквалифицированных грузчиков одним квалифицированным.

Производственная функция при этом имеет вид: q = ax + by , где x - число квалифицированных рабочих, y - число неквалифицированных рабочих, а и b - постоянные параметры, отражающие производительность соответственно одного квалифицированного и одного неквалифицированного рабочего. Соотношение коэффициентов а и b - предельная норма технической замены неквалифицированных грузчиков квалифицированными. Она постоянна и равна N: MRTSxy = a/b = N .

Пусть, например, квалифицированный грузчик в состоянии в единицу времени обработать 3 т груза (это будет коэффициент а в производственной функции), а неквалифицированный - только 1 т (коэффициент b). Значит, работодатель может отказаться от трех неквалифицированных грузчиков, дополнительно нанимая одного квалифицированного грузчика, чтобы выпуск (общий вес обработанного груза) при этом остался прежним.

Изокванта в данном случае является линейной (рис. 8.5).

Рис. 8.5. Изокванта при совершенной заменяемости факторов

Тангенс угла наклона изокванты равен предельной норме технической замены неквалифицированных грузчиков квалифицированными.

Еще одна производственная функция - функция Леонтьева. Она предполагает жесткую дополняемость факторов производства. Это означает, что факторы могут использоваться только в строго определенной пропорции, нарушение которой технологически невозможно. Например, авиационный рейс может быть нормально осуществлен при наличии как минимум одного самолета и пяти членов экипажа. При этом нельзя увеличивать самолето-часы (капитал), одновременно сокращая человеко-часы (труд), и наоборот, и сохранять неизменным выпуск. Изокванты в данном случае имеют вид прямых углов, т.е. предельные нормы технической замены равны нулю (рис. 8.6). В то же время можно увеличивать выпуск (количество рейсов), увеличивая в одной и той же пропорции и труд, и капитал. Графически это означает переход на более высокую изокванту.

Рис. 8.6. Изокванты в случае жесткой дополняемости факторов производства

Аналитически такая производственная функция имеет вид: q = min {aK; bL}, где а и b - постоянные коэффициенты, отражающие производительность соответственно капитала и труда. Соотношение этих коэффициентов определяет пропорцию использования капитала и труда.

В нашем примере с авиарейсом производственная функция выглядит так: q = min{1K; 0,2L}. Дело в том, что производительность капитала здесь составляет один рейс на один самолет, а производительность труда - один рейс на пять человек или 0,2 рейса на одного человека. Если авиакомпания располагает самолетным парком в 10 машин и имеет 40 человек летного персонала, то ее максимальный выпуск составит: q = min{ 1 х 8; 0,2 х 40} = 8 рейсов. Два самолета при этом будут простаивать на земле из-за нехватки персонала.

Взглянем, наконец, на производственную функцию, предполагающую существование ограниченного числа производственных технологий для производства заданного количества продукции. Каждой из них соответствует определенное состояние труда и капитала. В результате мы имеем ряд опорных точек в пространстве «труд-капитал», соединив которые, получаем ломаную изокванту (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Ломаные изокванты при наличии ограниченного числа производственных методов

На рисунке видно, что выпуск продукции в объеме q1 можно получить при четырех комбинациях труда и капитала, соответствующих точкам А, B, С и D. Возможны также и промежуточные комбинации, достижимые в тех случаях, когда предприятие совместно использует две технологии для получения определенного совокупного выпуска. Как всегда, увеличив количества труда и капитала, мы переходим на более высокую изокванту.

Производством называется любая человеческая деятельность по преобразованию ограниченных ресурсов – материальных, трудовых, природных - в готовую продукцию. Производственная функция характеризует зависимость между количеством используемых ресурсов (факторов производства) и максимально возможным объемом выпуска, который может быть достигнут при условии, что все имеющиеся ресурсы используются наиболее рациональным образом.

Производственная функция обладает следующими свойствами:

1 Существует предел увеличения производства, который может быть достигнут при увеличении одного ресурса и постоянстве прочих ресурсов. Если, например, в сельском хозяйстве увеличивать количество труда при постоянных количествах капитала и земли, то рано или поздно наступает момент, когда выпуск перестает расти.

2 Ресурсы дополняют друг друга, но в определенных пределах возможна и их взаимозаменяемость без сокращения выпуска. Ручной труд, например, может заменяться использованием большего количества машин, и наоборот.

Производство не может создавать продукцию из ничего. Процесс производства связан с потреблением различных ресурсов. В число ресурсов входит все то, что необходимо для производственной деятельности, – и сырье, и энергия, и труд, и оборудование, и пространство.

Для того чтобы описать поведение фирмы, необходимо знать, какое количество продукта она может произвести, используя ресурсы в тех или иных объемах. Мы будет исходить из допущения, что фирма производит однородный продукт, количество которого измеряется в натуральных единицах - тоннах, штуках, метрах и т. д. Зависимость количества продукта, которое может произвести фирма, от объемов затрат ресурсов получила название производственной функции .

Но предприятие может по-разному осуществить производственный процесс, используя разные технологические способы, разные варианты организации производства, так что и количество продукта, получаемое при одних и тех же затратах ресурсов, может быть разным. Руководители фирмы должны отклонить варианты производства, дающие меньший выход продукта, если при тех же самых затратах каждого вида ресурса можно получить больший выход. Точно так же они должны отклонить варианты, требующие больших затрат хотя бы одного ресурса без увеличения выхода продукта и сокращения затрат других ресурсов. Варианты, отклоняемые по этим соображениям, носят название технически неэффективных .

Допустим, ваша фирма производит холодильники. Для изготовления корпуса нужно раскроить листовое железо. В зависимости от того, как будет размечен и раскроен стандартный лист железа, из него можно вырезать больше или меньше деталей; соответственно для изготовления определенного количества холодильников потребуется меньше или больше стандартных листов железа. При этом расход всех остальных материалов, труда, оборудования, электроэнергии останется без изменения. Такой вариант производства, который может быть улучшен путем более рационального раскроя железа, должен быть признан технически неэффективным и отклонен.


Технически эффективными называют варианты производства, которые нельзя улучшить ни увеличением производства продукта без увеличения расхода ресурсов, ни сокращением затрат какого-либо ресурса без снижения выпуска и без увеличения затрат других ресурсов. Производственная функция учитывает только технически эффективные варианты. Ее значение – это наибольшее количество продукта, которое может произвести предприятие при данных объемах потребления ресурсов.

Рассмотрим вначале простейший случай: предприятие производит единственный вид продукции и расходует единственный вид ресурса. Пример такого производства довольно трудно найти в действительности. Даже если рассмотреть предприятие, оказывающее услуги на дому у клиентов без применения какого-либо оборудования и материалов (массаж, репетиторство) и затрачивающее только труд работников, нам пришлось бы допустить, что работники обходят клиентов пешком (не используя услуг транспорта) и договариваются с клиентами без помощи почты и телефона.

Производственная функция – показывает зависимость количества продукта, которое может произвести фирма, от объемов затрат используемых факторов

Q = f (x1, x2…xn)

Q = f (K, L),

где Q - объем выпуска

x1, x2…xn – объемы применяемых факторов

K - объем капитального фактора

L - объем трудового фактора

Итак, предприятие, затрачивая ресурс в количестве х , может произвести продукт в количестве q . Производственная функция

Производство - основная область деятельности фирмы. Фирмы используют производственные факторы, которые называются также вводимыми (входными) факторами производства..

Производственная функция - это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов .

Производственная функция может быть представлена множеством изоквант, связанных с различными уровнями объема производства. Такой вид функции, когда устанавливается явная зависимость объема производства продукции от наличия или потребления ресурсов, называется функцией выпуска.

В частности, широко используются функции выпуска в сельском хозяйстве, где с их помощью изучается влияние на урожайность таких факторов, как, напр., разные виды и составы удобрений, методы обработки почвы. Наряду с подобными производственной функцией используются обратные к ним функции производственных затрат. Они характеризуют зависимость затрат ресурсов от объемов выпуска продукции (строго говоря, они обратны только к ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами). Частными случаями ПФ можно считать функцию издержек (связь объема продукции и издержек производства), инвестиционную функцию: зависимость потребных капиталовложений от производственной мощности будущего предприятия .

Существует широкий выбор алгебраических выражений, которые можно использовать для представления производственных функций. Простейшая модель - это специальный случай общей модели анализа производства. Если фирме доступен только один вид деятельности, то производственную функцию можно представить прямоугольными изоквантами с постоянной отдачей от масштаба. Возможность изменять соотношение факторов производства отсутствует, и эластичность замены, безусловно, равна нулю. Это крайне специализированная производственная функция, но ее простота объясняет ее широкое применение во многих моделях .

Математически производственные функции могут быть представлены в различных формах - от столь простых, как линейная зависимость результата производства от одного исследуемого фактора, до весьма сложных систем уравнений, включающих рекуррентные соотношения, которыми связываются состояния изучаемого объекта в разные периоды времени ..

Производственная функция графически представляется семейством изоквант. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем производства она отражает. В отличие от кривой безразличия, каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска.

Рисунок 2 _ Изокванты, соответствующие различному объему производства

На рис. 1 представлено три изокванты, соответствующие объему производства в 200, 300 и 400 единиц продукции. Можно сказать, что для выпуска 300 единиц продукции необходимо K 1 единиц капитала и L 1 единиц труда или K 2 единиц капитала и L 2 единиц труда, или любая другая их комбинация из того множества, которое представлено изоквантой Y 2 = 300.

В общем случае в множестве X допустимых наборов производственных факторов выделяется подмножество X c , называемое изоквантой производственной функции, которое характеризуется тем, что для всякого вектора справедливо равенство

Таким образом, для всех наборов ресурсов, соответствующих изокванте, оказываются равными объемы выпускаемой продукции. По существу изокванта представляет собой описание возможности взаимной замены факторов в процессе производства продукции, обеспечивающей неизменный объем производства. В связи с этим оказывается возможным определить коэффициент взаимной замены ресурсов, используя дифференциальное соотношение вдоль любой изокванты

Отсюда коэффициент эквивалентной замены пары факторов j и k равен:

Полученное соотношение показывает, что если производственные ресурсы замещаются в отношении, равном отношению приростных продуктивностей, то количество производимой продукции остается неизменным. Нужно сказать, что знание производственной функции позволяет охарактеризовать масштабы возможности осуществить взаимную замену ресурсов в эффективных технологических способах. Для достижения этой цели служит коэффициент эластичности замены ресурсов по продукции

который вычисляется вдоль изокванты при неизменном уровне затрат прочих производственных факторов. Величина sjk представляет собой характеристику относительного изменения коэффициента взаимной замены ресурсов при изменении соотношения между ними. Если отношение взаимозаменяемых ресурсов изменится на sjk процентов, то коэффициент взаимной замены sjk изменится на один процент. В случае линейной производственной функции коэффициент взаимной замены остается неизменным при любом соотношении используемых ресурсов и поэтому можно считать, что эластичность s jk = 1. Соответственно большие значения sjk свидетельствуют о том, что возможна большая свобода в замене производственных факторов вдоль изокванты и при этом основные характеристики производственной функции (продуктивности, коэффициент взаимозамены) будут меняться очень слабо .

Для степенных производственных функций для любой пары взаимозаменяемых ресурсов справедливо равенство s jk = 1.

Представление эффективного технологического множества с помощью скалярной производственной функции оказывается недостаточным в тех случаях, когда нельзя обойтись единственным показателем, описывающим результаты деятельности производственного объекта, но необходимо использовать несколько (М) выходных показателей (рисунок 3).

Рисунок 3 _ Различные случаи поведения изоквант

В этих условиях можно использовать векторную производственную функцию

Важное понятие предельной (дифференциальной) продуктивности вводится соотношением

Аналогичное обобщение допускают все остальные главные характеристики скалярных ПФ.

Подобно кривым безразличия изокванты также подразделяются на различные типы.

Для линейной производственной функции вида

где Y объем производства; A , b 1 , b 2 параметры; K , L затраты капитала и труда, и полном замещении одного ресурса другим изокванта будет иметь линейную форму (рисунок 4, а).

Для степенной производственной функции

Тогда изокванты будут иметь вид кривых (рисунок 4,б).

Если изокванта отражает лишьодин технологический способ производства данного продукта, то труд и капитал комбинируются в единственно возможном сочетании (рисунок 4,в).

г) Ломаные изокванты

Рисунок 4 - Разные варианты изоквант

Такие изокванты иногда называют изоквантами леонтьевского типа по имени американского экономиста В.В. Леонтьева, который положил такой тип изокванты в основу разработанного им метода inputoutput (затраты выпуск).

Ломаная изокванта предполагает наличие ограниченного количества технологий F (рисунок 4,г).

Изокванты подобной конфигурации используются в линейном программировании для обоснования теории оптимального распределения ресурсов. Ломаные изокванты наиболее реалистично представляют технологические возможности многих производственных объектов. Однако в экономической теории традиционно используют главным образом кривые изокванты, которые получаются из ломаных при увеличении числа технологий и увеличении соответственно точек излома .

Наиболее широко распространены мультипликативно-степенные формы представления производственных функций. Их особенность состоит в следующем: если один из сомножителей равен нулю, то результат обращается в нуль. Легко заметить, что это реалистично отражает тот факт, что в большинстве случаев в производстве участвуют все анализируемые первичные ресурсы и без любого из них выпуск продукции оказывается невозможным. В самой общей форме (она называется канонической) эта функция записывается так:

Здесь коэффициент А, стоящий перед знаком умножения, учитывает размерность, он зависит от избранной единицы измерений затрат и выпуска. Сомножители от первого до n-го могут иметь различное содержание в зависимости от того, какие факторы оказывают влияние на общий результат (выпуск). Напр., в ПФ, которая применяется для изучения экономики в целом, можно в качестве результативного показателя принять объем конечного продукта, а сомножителей - численность занятого населения x1, сумму основных и оборотных фондов x2, площадь используемой земли x3. Только два сомножителя у функции Кобба-Дугласа, с помощью которой была сделана попытка оценить связь таких факторов, как труд и капитал, с ростом национального дохода США в 20-30-е гг. ХХ в.:

N = A · Lб · Kв,

где N - национальный доход; L и K - соответственно объемы приложенного труда и капитала (подробнее см.;Кобба-Дугласа функция).

Степенные коэффициенты (параметры) мультипликативно-степенной производственной функции показывают ту долю в процентном приросте конечного продукта, которую вносит каждый из сомножителей (или на сколько процентов возрастет продукт, если затраты соответствующего ресурса увеличить на один процент); они являются коэффициентами эластичности производства относительно затрат соответствующего ресурса. Если сумма коэффициентов составляет 1, это означает однородность функции: она возрастает пропорционально росту количества ресурсов. Но возможны и такие случаи, когда сумма параметров больше или меньше единицы; это показывает, что увеличение затрат приводит к непропорционально большему или непропорционально меньшему росту выпуска - эффект масштаба .

В динамическом варианте применяются разные формы производственной функции. Например в 2-факторном случае: Y(t) = A(t) Lб(t) Kв(t), где множитель A(t) обычно возрастает во времени, отражая общий рост эффективности производственных факторов в динамике.

Логарифмируя, а затем дифференцируя по t указанную функцию, можно получить соотношения между темпами прироста конечного продукта (национального дохода) и прироста производственных факторов (темпы прироста переменных принято здесь описывать в процентах).

Дальнейшая “динамизация” ПФ может заключаться в использовании переменных коэффициентов эластичности.

Описываемые ПФ соотношения носят статистический характер, т. е. проявляются только в среднем, в большой массе наблюдений, поскольку реально на результат производства воздействуют не только анализируемые факторы, но и множество неучитываемых. Кроме того, применяемые показатели как затрат, так и результатов неизбежно являются продуктами сложного агрегирования (напр., обобщенный показатель трудовых затрат в макроэкономической функции вбирает в себя затраты труда разной производительности, интенсивности, квалификации и т. д.).

Особая проблема - учет в макроэкономических ПФ фактора технического прогресса (подробнее см. в ст. “Научно-технический прогресс”). С помощью ПФ изучается также эквивалентная взаимозаменяемость факторов производства (см. Эластичность замещения ресурсов), которая может быть либо неизменной, либо переменной (т. е. зависимой от объемов ресурсов). Соответственно функции делят на два вида: с постоянной эластичностью замены (CES - Constant Elasticity of Substitution) и с переменной (VES - Variable Elasticity of Substitution) (см. ниже).

На практике применяются три основных метода определения параметров макроэкономических ПФ: на основе обработки временных рядов, на основе данных о структурных элементах агрегатов и о распределении национального дохода. Последний метод называется распределительным.

При построении производственной функции необходимо избавляться от явлений мультиколлинеарности параметров и автокорреляции - в противном случае неизбежны грубые ошибки.

Приведем некоторые важные производственные функции.

Линейная производственная функция:

P = a1x1 + ... + anxn,

где a1, ..., an - оцениваемые параметры модели: здесь факторы производства замещаемы в любых пропорциях.

Функция CES:

P = A [(1 - б) K-b + бL-b]-c/b,

в этом случае эластичность замещения ресурсов не зависит ни от K, ни от L и, следовательно, постоянна:

Отсюда и происходит название функции.

Функция CES, как и функция Кобба- Дугласа, исходит из допущения о постоянном убывании предельной нормы замещения используемых ресурсов. Между тем эластичность замещения капитала трудом и, наоборот, труда капиталом в функции Кобба-Дугласа, равная единице, здесь может принимать различные значения, не равные единице, хотя и является постоянной. Наконец, в отличие от функции Кобба-Дугласа логарифмирование функции CES не приводит ее к линейному виду, что вынуждает использовать для оценки параметров более сложные методы нелинейного регрессионного анализа .

Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология - новая производительная функция. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.

Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:

  • 1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение - не у всех будут места).
  • 2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

В наиболее общем виде производственная функция выглядит следующим образом:

где - объем выпуска;

K- капитал (оборудование);

М- сырье, материалы;

Т - технология;

N - предпринимательские способности.

Наиболее простой является двухфакторная модель производственной функции Кобба - Дугласа, с помощью которой раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К).

Эти факторы взаимозаменяемы и взаимодополняемы. Еще в 1928 году американские ученые - экономист П. Дуглас и математик Ч. Кобб - создали макроэкономическую модель, позволяющую оценить вклад различных факторов производства в увеличении объема производства или национального дохода. Эта функция имеет следующий вид:

где А - производственный коэффициент, показывающий пропорциональность всех функций и изменяется при изменении базовой технологии (через 30-40 лет);

K, L- капитал и труд;

б,в -коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и труда.

Если б = 0,25, то рост затрат капитала на 1% увеличивает объем производства на 0,25%.

На основе анализа коэффициентов эластичности в производственной функции Кобба - Дугласа можно выделить:

1) пропорционально возрастающую производственную функцию, когда

2) непропорционально - возрастающую

3) убывающую

Рассмотрим короткий период деятельности фирмы, в котором из двух факторов переменным является труд. В такой ситуации фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов (рисунок 5).

Рисунок 5_ Динамика и взаимосвязь общего среднего и предельного продуктов

На рисунке 5 виден график производственной функции Кобба - Дугласа с одной переменной изображен - кривая ТРн .

Функция Кобба-Дугласа имела долгую и успешную жизнь без серьезных соперников, но недавно ей составила сильную конкуренцию новая функция Эрроу, Ченери, Минхаса и Солоу, которую мы будем называть сокращенно SMAC. (Браун и Де Кани также разработали эту функцию независимо). Основное отличие функции SMAC заключается в том, что вводится постоянная эластичности замещения у, отличная от единицы (как в функции Кобба-Дугласа) и нуля: как в модели затраты- выпуск .

Разнообразие рыночных и технологических условий, какое наблюдается в современной экономике, внушает мысль о невозможности удовлетворить основным требованиям разумного агрегирования, за исключением, может быть, отдельных фирм в одной и той же отрасли или ограниченных секторов экономики .

Таким образом, в экономико-математических моделях производства каждая технология графически может быть представлена точкой, координаты которой отражают минимально необходимые затраты ресурсов K и L для производства данного объема выпуска. Множество таких точек образуют линию равного выпуска, или изокванту. Т.е., производственная функция графически представляется семейством изоквант. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем производства она отражает. В отличие от кривой безразличия, каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска. Обычно в микроэкономике анализируется двухфакторная производственная функция, отражающая зависимость выпуска от количества используемых труда и капитала.

Рассмотрим простейшие модели производства и потребления. Модели производства строятся с помощью производственных функций, а модели потребления на основе целевой функции потребления.

Производственные функции и их характеристики

Простейшую модель производства можно представить как некоторую систему, перерабатывающую различные виды ресурсов в готовую продукцию.

В качестве ресурсов могут выступать:

  1. сырье;
  2. трудовые затраты;
  3. энергозатраты;
  4. научно-исследовательские ресурсы;
  5. технологические ресурсы;
  6. транспортные ресурсы и др.

Производственной функцией называется зависимость между объёмом произведённой продукции у, и затратами различных видов ресурсов, необходимых для выпуска этой продукции :
.
На практике для упрощения модели часто используют двухфакторную производственную функцию , включающую два вида ресурсов:
1. материальные , включающие затраты сырья, энергии, транспортные и др. ресурсы;
2. трудовые ресурсы .
Производственная функция должна удовлетворять ряду требований :
1. Без затрат ресурсов нет выпуска: f (0,0)=0.
2. С увеличением затрат любого из ресурсов выпуск растёт, т.е. производственная функция должна быть возрастающей по любому из факторов.
3. Закон убывания эффективности : при одних и тех же абсолютных увеличениях затрат любого из ресурсов Δх прирост объёма производства Δу тем меньше, чем больше выпуск продукции. Другими словами, производственная функция должна быть выпуклой по каждому аргументу.
Зная производственную функцию, можно рассчитать ряд числовых характеристик . Рассмотрим основные из них.
1. Средней производительностью
, ,
которые имеют смысл среднего выпуска продукции из расчета единичных затрат данного ресурса.
Если - материальные затраты, а - трудовые, то A 1 называется капиталоотдачей, а А 2 - называетсяпроизводительностью труда.
2. Предельной или маржинальной производительностью по каждому ресурсу называются величины:
, .
Эти величины показывают приближённо на сколько единиц изменится выпуск, если затраты того или иного ресурса изменятся на единицу: .
3. Частной эластичностью по каждому ресурсу называются величины:

Эластичности приближенно показывают на сколько процентов изменится выпуск, если затраты того или иного ресурса изменятся на один процент: .
Величина называется полной эластичностью или эластичностью производства .
4. Технологической нормой замены называется величина , которая приближенно показывает как изменится выпуск, если единицу одного ресурса заменить единицей другого.
ПРИМЕР. Производственная функция имеет вид . Найти средние и предельные производительности, эластичности, технологическую норму замены.
Решение.
Средние производительности равны:

Предельные производительности равны:

Эластичности равны:

Технологическая норма замены есть
.

Линейная и Кобба-Дугласа производственные функции

На практике при моделировании реальных производств чаще всего используют два вида производственных функций: линейная и Кобба-Дугласа.
Линейная производственная функция имеет вид:
.
Она строится в случаях, когда объем выпуска пропорционален затратам. Однако данная функция не удовлетворяетпервому и третьему требованиям к производственным функциям, поэтому ее можно использовать для приближения реальных функций на небольших локальных участках изменения их аргументов (см. рисунок). Для выполнения второго требования необходимо выполнение условий .
Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:
.
Для выполнения всех требований к производственным функциям необходимо выполнение условий:
Найдем средние и предельные производительности, эластичности, технологическую норму замены для линейной и Кобба-Дугласа производственных функций.
Для линейной функции будет:



Таким образом, коэффициенты а 1 и а 2 линейной производственной функции имеют смысл предельных производительностей и их можно вычислять по формулам:
. (6.1)
Для производственной функции Кобба-Дугласа будет:




Таким образом, коэффициенты а 1 и а 2 производственной функции Кобба-Дугласа имеют смысл частных эластичностей и их можно вычислять по формулам:
(6.2)
Пример. Некоторое предприятие, затрачивая для производства 65 единиц материальных затрат и 17 трудовых, выпускало 120 единиц продукции. В результате расширения и увеличении материальных затрат до 68 единиц выпуск возрос до 124 единиц, а при увеличении трудозатрат до 19 единиц выпуск вырос до 127 единиц. Составить линейную производственную функцию и функцию Кобба-Дугласа.
Решение.


Линейная функция . Для нахождения параметров а 1 и а 2 используем формулу (8.1):

Получаем . Для нахождения b решаем уравнение относительно b , получаем . В итоге получаем линейную производственную функцию .
Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид . По формуле (8.2) находим коэффициенты уравнения:
.
Получаем уравнение вида . Для нахождения b подставляем в уравнение исходные данные из 2-го столбца таблицы: . Вычисляя, получаем . В результате, производственная функция имеет вид:

Целевая функция потребления

В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Рассмотрим некоторые вопросы моделирования спроса и потребления.
Рассмотрим потребителя, который в результате своего существования потребляет некоторые блага. Уровень удовлетворения потребностей потребителя обозначим через U . Предположим, что имеется n видов благ Б 1 , Б 2 ,…, Б n . В качестве благ могут выступать:
- продовольственные товары;
- товары первой необходимости;
- товары второй необходимости;
- предметы роскоши;
- платные услуги и т.д.
Пусть количество потребления каждого блага равно х 1 , х 2 ,…, х n . Целевой функцией потребления называется зависимость между степенью (уровнем) удовлетворения потребностей U и количеством потребляемых благ: х 1 , х 2 ,…,х n . Эта функция имеет вид: .
В пространстве потребительских благ каждому уравнению соответствует определенная поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ, которая называетсяповерхностью безразличия . Гиперповерхность такой кривой, называемой многомерной поверхностью безразличия, можно представить в виде: , где С - константа. Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегированных групп товаров: продукты питания Б 1 и непродовольственные товары, включая платные услуги Б 2 . Тогда уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям константы С . Для этого выражают количество потребления одного блага х 1 через другое х 2 . Рассмотрим пример.
Пример. . Найти кривые безразличия.
Решение. Кривые безразличия имеют вид , или или (при этом следует отметить, что должно выполняться ).
Каждый потребитель стремится максимизировать уровень удовлетворения потребностей, то есть . Однако, максимизации степени удовлетворения потребностей будут мешать возможности потребителя. Обозначим цену на единицу каждого блага через р 1 , р 2 ,…, р n , а доход потребителя через D . Тогда должно выполняться бюджетное ограничение , имеющее смысл закона, согласно которому затраты потребителя не должны превышать сумму дохода:
.
В результате, для нахождения оптимального набора благ необходимо решать задачу оптимального программирования:
(6.3)
Рассмотрим двухфакторную функцию потребления , где х 1 – объем потребления продуктов питания и х 2 . – потребление непродовольственных товаров и платных услуг. Кроме того, предположим, что весь доход потребитель направляет на удовлетворение своих потребностей. В этом случае бюджетное ограничение будет содержать только два слагаемых и неравенство превратиться в равенство. Задача оптимального программирования при этом примет вид:
(6.4)
Геометрически оптимальное решение имеет смысл точки касания кривой безразличия линии, соответствующей бюджетному ограничению.
Из бюджетного ограничения системы (8.4) можно выразить переменную . Подставив это выражение в целевую функцию, получаем функцию одной переменной , максимум которой можно найти из уравнения, приравняв производную к нулю: .
Пример. Целевая функция потребления имеет вид: . Цена на благо Б 1 равна 20, цена на благо Б 2 равна 50. Доход потребителя составляет 1800 единиц. Найти кривые безразличия, оптимальный набор благ потребителя, функцию спроса на первое благо по цене, функцию спроса на первое благо по доходу.
Решение. Кривые безразличия имеют вид:
.
Получаем множество гипербол расположенных в первой координатной четверти и расположенных на разном расстоянии от начала координат в зависимости от значения константы С .
Находим оптимальный набор благ. Задача оптимального программирования имеет вид:

Для ее решения выражаем их бюджетного ограничения одну переменную через другую:


Получаем .
Таким образом, оптимальный набор благ составляют 30,5 и 23,8 единиц. Находим теперь функцию спроса на первое благо по цене на него. Для этого в бюджетном ограничении вместо фиксированного значения вводим цену первого блага , получая уравнение: . Выражаем . Подставляем в целевую функцию:

Находим производную и приравниваем ее к нулю:

или , откуда находим функцию спроса на первое благо по цене: .
Находим теперь функцию спроса на первое благо по доходу. Для этого выражаем из бюджетного ограничения одну переменную через другую: . Подставляем в целевую функцию:

Находим производную и приравниваем ее к нулю:

Отсюда находим функцию спроса на первое благо по доходу:
.

Производство - это фактически процесс превращения одних продуктов в другие. В процессе которого из совокупности простого получается что-то более сложное по своей сущности. Производственная функция Кобба-Дугласа, как и любая другая, отражает существующую взаимосвязь между полученным результатом и комбинацией факторов, которые использовались для его достижения. Различия между разными моделями состоят в глубине их охвата реального положения дел. Самой простой является линейная, которая отражает взаимосвязь между количеством работников и реальным выпуском. Производственная модель Кобба-Дугласа рассматривает уже не только труд как ресурс для получения результата, но и капитал. Самыми сложными являются современные многофакторные модели. В них фигурирует и земля, и предпринимательские способности, и даже информация.

Производство как процесс

Выпуск продукции по своей сути представляет собой превращение различных материальных и нематериальных вложений (планов, ноу-хау) для создания предметов, предназначенных для потребления. Это процесс создания товара или услуги, которые полезны для индивидов. Рост производства означает улучшение экономического благосостояния. Это связано с тем, что все продукты прямо или косвенно используются для удовлетворения человеческих потребностей. А последние, как известно, безграничны. Поэтому экономическое благосостояние государства часто оценивается с помощью степени удовлетворения потребностей его граждан. Его увеличение связывают с двумя факторами: улучшением соотношения качества и цены имеющихся продуктов и ростом покупательной способности людей за счет более эффективного рыночного производства.

Источник экономического благосостояния

Главным образом в экономике есть только два процесса: производство и потребление. И столько же видов акторов. Производители выпускают продукцию, чтобы удовлетворить нужды потребителей. Экономическое благосостояние, таким образом, состоит из двух компонентов. Первый - это эффективное производство, второй - взаимодействие между факторами. Благосостояние потребителей зависит от продуктов, которые они могут себе позволить, а производителей - от дохода, полученного ими в качестве компенсации за свой труд и вложенные в процесс выпуска материальные и нематериальные активы.

Процесс создания продукта

Каждое предприятие в ходе своей работы имеет дело с множеством отдельных действий. Однако для простоты понимания производства принято выделять пять основных процессов, у каждого из которых есть своя логика, цели, теория и ключевые фигуры. И важно изучать их не только как одно целое, но и по отдельности. Таким образом, в ходе производства выделяют следующие процессы:


Экономическая дефиниция

Производственная функция - это отношение между выпуском и использованной для его осуществления комбинацией факторов. Главный из них - труд. Простая линейная модель рассматривает только его. Производственная функция Кобба-Дугласа, пример которой будет рассмотрен ниже, учитывает не только труд, но и капитал в качестве фактора процесса выпуска продукции. Другие модели дополнительно принимают во внимание землю (P) и предпринимательские способности (H). Таким образом, производство представляет собой функцию от комбинации этих показателей или Q = f (K, L, P, H). Каждая отрасль хозяйства или даже отдельное предприятие имеет свои особенности. Поэтому производственных функций можно придумать бесконечное множество.

Простая линейная модель

Производственная функция Кобба-Дугласа учитывает два фактора, как это принято в неоклассических теориях. Однако гораздо проще рассматривать только один. Теория абсолютных преимуществ Адама Смита, с которой фактически началась вся современная экономика, имела в основе только труд в качестве фактора производства. Не ушел от этого допущения и Давид Рикардо. И только в 60-х годах прошлого века шведские экономисты Эли Хекшер и Бертил Олин взяли на себя смелость начать рассматривать еще один фактор -капитал. Самая простая производственная модель является линейной. Она описывает зависимость между количеством рабочей силы и выпуском. Ее уравнение включает только одну независимую переменную. Таким образом, линейная производственная функция имеет следующий вид: Q = a * L, где Q - это объем выпуска, a - параметр, L - количество рабочих, занятых в производстве. Рассмотрим отдельный пример. Один рабочий может сделать 10 стульев в день. В этом случае уравнение будет иметь следующий вид: Q = 10 * L.

Закон уменьшения отдачи

Продолжим рассматривать пример, приведенный выше. Линейная функция подразумевает, что увеличение количества рабочих всегда приводит к увеличению объемов производства. Один мастер может сделать 10 стульев в день, пять - 50, сто - 1000. Однако в реальности все немного сложнее. В подобных моделях нужно учитывать неизменные капитальные фонды и уменьшение отдачи. Поэтому в уравнении появляется дополнительный параметр - b. Он находится в промежутке между нулем и единицей, что следует из его экономической сущности. Теперь взаимоотношения между объемом выпуска и количеством работником могут быть описаны следующим образом: Q = a * L b . Уравнение из предыдущего примера в реальности будет иметь такой вид: Q = 10 * L 0,5 . А это означает, что один работник производит 10 стульев, а пять вовсе не 50, а только 22. Сто мастеров могут в реальности сделать не тысячу изделий, а только сто. И это закон уменьшения отдачи в действии.

Многофакторные модели

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид: Q = a * L b * K c . Как видно из формулы, мы уже имеем дело с тремя параметрами (a, b, c) и двумя факторами (L, K). В ней учитываются уже не только трудовые ресурсы (количество работников), но и капитальные (число пил в распоряжении). Параметры производственной функции Кобба-Дугласа зависят не только от отрасли хозяйства, но и технологии, используемой на отдельном предприятии. Нельзя забывать и о действии закона убывающей отдачи от любого используемого фактора. Наше уравнение из вышеприведенного примера может быть расширено следующим образом: Q = 10 * L 0,5 * K. Производственная функция Кобба-Дугласа использует в современных неоклассических теориях наиболее часто из-за своей относительной простоты и приближенности к реальности. Более сложные модели еще только начинают получать свое распространение.

Фиксированные пропорции

Предположим, что единственный способ произвести стул - это дать каждому рабочему по пиле. Лишние инструменты в таком случае просто бесполезны. Это означает, что выпуск продукта предполагает наличие определенного соотношения капитальных и трудовых ресурсов. При этом объем производства определяется «слабым звеном». На этот случай экономистами была придумана особая функция. Она имеет следующий вид: min {L, K}. Если для создания стула нужно два рабочих и одна пила, то min {2L, K}.

Идеальные субституты

Если один фактор может быть заменен на другой, то это будет иметь эффект на вид производственной функции. Например, предположим, что вместо плотников можно использовать роботов. Формула из примера тогда будет выглядеть так: Q = 10 * L + 10 * R. Или обобщенно: Q = a * L + d * R, где a, d - параметры, а L и R - число плотников и роботов. Если же машины в 10 раз быстрее работников, то формула будет выглядеть следующим образом: Q = 10 * L + 100 * R.

Производственная функция Кобба-Дугласа: свойства

Начнем рассмотрение самой популярной неоклассической модели с ее основных особенностей:

1. Производственные функции Кобба-Дугласа учитывает два фактора: труд и капитал.

2. Положительно убывающий предельный продукт.

3. Постоянная эластичность выпуска, равная b для L и c для K.

4. Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид: Q = a * L b * K c .

5. Постоянный эффект масштаба, равный сумме b и c.

Исторические сведения

В основе любой экономической теории лежат факторы производства. Производственная функция Кобба-Дугласа рассматривает два из четырех основных: труд и капитал. На сегодняшний день для каждого предприятия можно придумать ее отдельные примеры. Решение производственных функций Кобба-Дугласа не произошло без работ Кната Викселла (1851-1926). Именно он впервые сконструировал данную модель. Чарльз Кобб и Пол Дуглас, именами которых она была позже названа, только протестировали ее на практике. В 1928 году в свет вышла их книга, в которой описывался экономический рост США в 1899-1922 гг. Ученые объясняли его с помощью двух факторов: использованных трудовых ресурсов и инвестированных капитальных. Конечно же, на экономический рост влияет множество других параметров, но статистика доказала, что решающими являются все же те два, которые и выделил Кнат Викселл.

По словам Пола Дугласа, первая формулировка функции появилась в 1927 году. В это время он пытался вывести математическое выражение связи между рабочими и капиталом. Он обратился к своему коллеге Чарльзу Коббу. Последнему и удалось вывести современное уравнение, которое, как оказалось, раньше использовал в своих работах Кнат Викселл. С помощью метода наименьших квадратов ученым удалось вывести экспоненту труда (0,75). Ее значение было подтверждено данными Национального бюро экономических исследований. В 40-х годах прошлого века ученые отошли от констант и заявили, что экспоненты могут меняться с течением времени.

Допущения модели

Если объем выпуска является производной от двух факторов (труда и капитала), то эластичность всей функции будет зависеть от предельной продуктивности каждого из них. Таким образом, Кобб и Дуглас построили свою модель на следующих допущениях:

  • Производство не может продолжаться в отсутствие одного из факторов. Труд и капитал не являются субститутами, которые могут заменить друг друга в процессе выпуска. Дополнительные пилы не могут создать стулья без участия плотников.
  • Предельная продуктивность каждого из факторов пропорциональна объему выпуска на его единицу.

Эластичность выпуска

Очевидно, что уменьшение объема используемых материалов приводит к сокращению объема продуктов. Производственная функция Кобба-Дугласа имеет дело с маргинальным выпуском. Эластичность в экономике - это процент изменения значения одного показателя в ответ на уменьшение или увеличение другого, связанного с ним. Производственная функция Кобба-Дугласа подразумевает, что b и c - константы. Если b равен 0,2 и количество рабочих увеличится на 10%, то выпуск станет больше на 2%.

Эффект масштаба

Для реального увеличения выпуска объем используемых факторов производства должен возрастать пропорционально. Если так и происходит, то мы говорим, что мы используем эффект масштаба. Производственная функция Кобба-Дугласа, свойства которой мы уже рассмотрели, учитывает его. Если b + c = 1, то это означает, что мы имеем дело с постоянным эффектом масштаба, >1 - увеличивающимся, <1 - уменьшающимся.

Временной фактор

Модель производственной функции Кобба-Дугласа зачастую используется для описания средне- и долгосрочной перспективы. Очевидно, что зачастую нанять новых людей гораздо проще, чем увеличить объем капитальных ресурсов. Поэтому некоторые экономисты утверждают, что простая линейная модель как нельзя лучше подходит для описания коротких временных периодов работы предприятия. Фирме принадлежит определенный размер помещения, ограниченное число станков, что можно изменить только с помощью долгосрочного планирования. Период времени, который необходим для него, может меняться от одного предприятия к другому, как и эластичность производственной функции Кобба-Дугласа.

Проблемы применения

Несмотря на то что двухфакторная производственная функция получила широкое распространение и была проверена Коббом и Дугласом статистически, часть экономистов все равно сомневается в ее точности в различных отраслях и временных периодах. Главным допущением данной модели является постоянство эластичности труда и капитала в развитых странах. Однако так ли это на самом деле? Ни Кобб, ни Дуглас не предоставили теоретических подоплек для его существования. Постоянство коэффициентов b и c значительно упрощает расчеты, и на этом все. При этом ученые ничего не смыслили в инжиниринге, технологиях и менеджменте производственного процесса. К тому же возможность ее применения на микроуровне не говорит о ее правильности в условиях макроэкономики, и наоборот.

Критика преследовала производственную функцию Кобба-Дугласа с самого ее появления в 1928 году. Сначала это так расстроило ученых, что они хотели бросить работу над ней. Но потом они решили продолжить. В 1947 году Дуглас выступил с новыми подтверждениями ее правильности в качестве президента Американской экономической ассоциации. Ученому не удалось продолжить работу над ней из-за проблем со здоровьем. В дальнейшем производственную функцию усовершенствовали Пол Самуэльсон и Роберт Солоу, навсегда изменив представления об изучении макроэкономики.

На сегодняшний день производственная функция Кобба-Дугласа является одной из самых важных концепций. Она описывает связь между вложенными факторами и полученным результатом. В отличие от простых линейных моделей, которые годятся только для описания короткого периода жизнедеятельности предприятия, она может использоваться для долгосрочного планирования. Однако нельзя забывать о ряде допущений и проблем, с которыми связано ее применения.