Чтобы разграничить между собой такие основные категории логики, как понятие, суждение, умозаключение и рассуждение, а также привести примеры, необходимо знать основы интеллектуальной познавательной деятельности человека.

Изучением этих основ занимается логика.

Задача логики – помочь человеку избавиться от заблуждений и научиться правильно рассуждать о вещах. При этом фундаментальная проблема, с которой работает логика, – изучение словесных знаков и процессов, которые позволяют при помощи слов выражать свои мысли.

В связи с тем, что понятие, суждение, умозаключение – три основных способа формирования мысли из слов, именно порядок возникновения, взаимодействия и структурирования этих основных категорий, представляет особый интерес при изучении мыслительных процессов.

Исследование форм мышления

Исследование мыслительных процессов основано исключительно на работе с абстрактными категориями. Это значит, что человек, познающий законы существования мысли, задействует тот познавательный алгоритм, который получает и обрабатывает информацию из уже имеющегося у исследователя массива знаний.

Человек не может увидеть, попробовать на вкус и запах слова, мысли и логические связки. Именно поэтому всю новую информацию об этих категориях он получает, обрабатывая знания, которые почерпнул ранее.

Кроме абстрактного мышления, есть еще наглядно-образное, которое в качестве материала для мыслительных процессов использует информацию, поступающую через органы чувств из внешнего мира.

Этот вид познавательной деятельности не сможет установить ничего нового про понятие, суждение, умозаключение.

Что касается абстрактного мышления, то для своих исследований оно использует такие инструменты:

• ранее полученные знания, опыт и человеческое воображение;
• поиск вариантов упрощения мыслительных процессов, для чего задействуются обобщения и выявления существующих закономерностей;
• формирование новых знаний происходит исключительно с использованием языковых средств.

Презентация: "Основные понятия логики. Логика-наука о формах мышления"

Что подразумевают под понятием

Понятие – это определение предмета при помощи одного или нескольких признаков.

Как формируются в человеческом сознании понятия, было известно еще Аристотелю.

Именно он первый зафиксировал, что, выделяя несколько схожих и отличительных признаков предмета, человек дает этому предмету определенное имя. И это имя используется им впоследствии для более упрощенного оперирования всем спектром признаков, которые свойственны данному предметы (и известны конкретному человеку).

При этом совершенно необязательно самостоятельно формировать понятия об окружающих вещах. С младенческих лет ребенка научают уже существующей в человеческом обществе системе понятий, чтобы он смог наладить взаимодействие с другими членами человеческого общества на основе общего лексического поля.

Однако известны и пути независимого формирования понятий на основе самостоятельно выявленных признаков – их анализ, синтез, обобщение и сравнение.

Исследование процессов формирования понятий

Хоть общая картина формирования понятий ясна уже давно, но с конкретизацией деталей и процессов дела обстоят не так просто.

Сегодня мы не имеем четкого понимания и описания интеллектуальных процессов, благодаря которым человек выделяет определенные свойства предметов, чтобы зафиксировать в своем сознании данный набор признаков для идентификации этого конкретного понятия.

Однако отсутствие общей картины не мешает подробно разбирать отдельные аспекты, которые со временем помогут восстановить всю целостность процесса познания человеком мира и его явлений.

Презентация: "История науки алгебры логики"

Каждый аспект выведен в определенную категорию логических исследований понятия.

• признаки предметов, по которым формируется понятие;
• виды понятий;
• интенсиональность и экстенсиональность понятий;
• отношения между понятиями;
• обобщение понятий.

Признаки предметов для определения понятий

При помощи понятий в нашем сознании зафиксированы существенные признаки практически всех предметов и явлений окружающего мира. Причем это не обязательно должен быть реальный мир. Фантазии, сказки, вымысел и мечты – все соткано из ткани понятий.

Самый простой подход к выявлению понятия – слово. Одно слово – одно понятие.

Есть, конечно, и сложные понятия, для формирования которых требуется несколько слов, а то и предложений. Однако основные понятия все-таки эквивалентны слову.

При упоминании слова «соль» человек автоматически вводит в свой текущий мыслительный процесс все основные свойства, присущие соли (соленая, белая, сыпучая). В данном случае соль – понятие, а соленая, белая, сыпучая – признаки.

Признак – характерная черта предмета, по которой определяется сходство этого предмета с другими, или их различие.

В связи с тем, что каждый предмет имеет массу признаков, для удобства эти признаки разделены на:

• основные признаки – выражают сущность предмета (соль – соленая);
• второстепенные признаки – дают второстепенную характеристику (соль – белая).

Презентация: "Основы логики"

Существует масса других делений и обобщений признаков предметов: описательные, собирательные, единичные, общие и т.д. В зависимости от цели исследования признаков того или иного понятия, можно сформировать любой классификационный алгоритм.

Виды понятий

Классифицируются не только признаки, но и сами понятия. При этом практически не существует классификаций понятий по признакам. Считается, что это очень громоздкая и неинформативная классификация.

Основные виды понятий определяются исходя из абстрактных категорий, на базе которых можно обобщать понятия, упрощать их использование и выявлять закономерности их существования.

Основные виды:

• очевидные;
• единичные;
• конкретные;
• безотносительные.

Интенсиональность и экстенсиональность понятий

Чтобы отличать часть от целого, род от вида, а свойство от отношения, понятия характеризуются такими качествами как суть (интенсиональность) и объем (экстенсиональность).

1. Суть понятия представляет собой множество всех существенных признаков его предмета, при этом каждый признак может быть выделен как отдельное понятие. Пример: Государство – суверенная организация, которая имеет собственную территорию и специальный аппарат для управления и принуждения. Понятие «государство» охарактеризовано целым рядом признаков, которые могут выступать самостоятельными понятиями: организация, территория, аппарат управления, аппарат принуждения.

1. Экстенсиональность понятия – совокупность других понятий, для которых это понятие может быть их существенным признаком. Пример: Понятие треугольник является существенным признаком для всего множества треугольников (прямоугольные, равнобедренные).

Отношения между понятиями

Многообразие понятий и взаимосвязей, существующих между ними, обусловило необходимость создания системы отношений. На данный момент самыми употребляемыми являются две следующие системы:

1. По возможности сравнивать понятия между собой по признакам (содержаниям). В данном случае понятия оцениваются на наличие общих признаков, как главных, так и второстепенных. При наличии хотя бы одного одинакового признака понятия считаются сравниваемыми, а при отсутствии – не сравниваемыми.
2. При сравнении объемов (экстенсиональности) сравниваются отношения определенного понятия с совокупностью других понятий. При этом они могут быть совместимые полностью или частично (тождественные, подчиненные), либо исключающие, отрицающие, противоречащие и противоположные друг другу.

Обобщение

Для перехода от признаков, которые определяют индивидуальные характеристики предмета, к понятиям с более широким содержанием, используется такая логическая операция, как обобщение.

Основа обобщения – это абстрагирование от характерных признаков предмета понятия и пошаговое распределение понятий по видам, по родам, классам и т.д.

Логическая операция, обратная обобщению, – ограничение. С использованием этой логической операции предмет понятия исследуется на наличие определенных индивидуальных признаков и по ним отграничивается от остального множества схожих по признакам понятий. Такая операция имеет еще одно название – конкретизация.

Суждение

Суждение – это мысль, которая представляет собой изложенное в повествовательной форме утверждение или отрицание о чем-либо.

Исходя из того, что сама природа суждения несет в себе оценку обстоятельств, по поводу которых это суждение сгенерировано, основной характеристикой этой мысли является ее истинность или ложность.

Истинность суждения состоит в том, что оно достоверно отражает все явления окружающей действительности, на которые направлено.

Для подробного исследования этой формы мышления необходимо вычленить и разобрать ее основные структурные элементы, их взаимосвязи и закономерности.

• состав такой формы мышления;
• виды именно этих форм мышления;
• истинность таких форм мышления.

Состав суждений

Повествование о чем-либо предполагает, что есть предмет повествования, есть характеристика предмета, о которой повествуется, и есть связка, которая связывает субъект и характеристику.

Данное описание повествования в точности отражает состав суждения:

1. Субъект мысли – его предмет – то, о чем повествуется или что отрицается.
2. Предикат – признак или совокупность признаков предмета. Причем речь идет только о тех признаках, которые содержатся в суждении.
3. Логическая связка, которая в зависимости от утверждения, может выражаться словами «есть», «это» и т.д. Пример: Корова – это травоядное животное. Корова – субъект, травоядное животное – предикат, это – связка. В отрицании мысль формируется с участием частицы «не» или наречия «неверно». Неверно, что комар – это рептилия.

Виды суждений

Первичная классификация суждений осуществляется по их составу. Если мысль состоит из одного предмета и логической связки, то это простое суждение.

В том случае, если в состав одного суждения входит несколько простых мыслей, то такое суждение называется сложным.

В свою очередь, и простые, и сложные мысли имеют более детальное разделение на виды.

Презентация: "Логика"

Виды простых суждений

1. Ввиду того, что простое суждение – это только одно утверждение или отрицание, простые мысли называют еще и категоричными. В свою очередь, категоричные утверждения, которые утверждают, называются категоричными утвердительными, а те простые мысли, которые отрицают, – категоричными отрицательными.
2. Также простые суждения делятся на виды в зависимости от того, на какое количество сформированных множеств предметов распространяется сделанное утверждение или отрицание. По этому принципу суждения делятся на единичные, частные и общие.

Эта лошадь не имеет белых пятен – индивидуальное утвердительное категоричное суждение.

Виды сложных суждений

Классификация сложных суждений осуществляется по тем логическим связкам, которые объединяет суждения (сложные и/или простые) в составе одного сложного суждения.

Существует шесть видов логических связок и, соответственно, шесть видов сложных суждений.

1. Отрицание характеризуется наличием между простыми суждениями логической связки «не» или «неверно». Пример: Тот, кто работает, не является бездельником.
2. Соединений или умножение. Это сложное суждение состоит из простых мыслей, которые соединены умножающей логической связкой «и». Пример: кошка ловит мышей и складывает их у порога.
3. Суждение нестрогой дизъюнкции. Сложная мысль, где простые находятся между собой в логической связке «или». Пример: он мог выбрать мясо или приобрести рыбу.
4. Суждение строгой дизъюнкции, в его составе простые мысли соединяются связкой «либо». Пример: Он мог взять либо красный свитер, либо желтые штиблеты.
5. Эквивалентное суждение, определяется уравнением его составных частей при помощи логической связки. Пример: Торт весит два килограмма, так же, как и большой арбуз.

1. Импликационное суждение предполагает наличие мысли-посылки, из которой сделан вывод. Пример: Если я не высплюсь, то завтра у меня будет болеть голова.

Истинность суждений

Несмотря на то, что для каждого вида суждений имеются свои правила оценки их на истинность и ложность, не всегда удается правильно оценить имеющуюся конструкцию, руководствуясь только предоставленными логикой правилами.

Причины, которые затрудняют установление истинности суждения:

• неоднозначность слов, входящих в состав мысли;
• сложная структура мысли, которая не дает возможности вычленить состав и связки;
• отсутствие необходимой информации для оценки.

Но, тем не менее, при построении суждений нужно максимально тщательно проверять все составляющие его логические компоненты на истинность и ложность, поскольку без этого невозможно научиться правильно мыслить.

1. Критерии истинности для отрицания – если хотя бы одно суждение в отрицающей конструкции ложно, то вся конструкция ложна.
2. Критерии истинности соединительного суждения – если хотя бы одно из суждений соединяющей конструкции ложно, то вся конструкция ложна.
3. Критерий истинности нестрогого разделения (неисключающего) – конструкция истинна во всех случаях, но только не тогда, когда оба суждения в ней ложны.
4. Критерий истинности разделительного исключающего суждения – конструкция истинна тогда, когда одно из суждений ложно, а ложна, когда все суждения истинны, либо все суждения ложны.
5. Критерии истинности тождества – конструкция ложна, когда хотя бы одно из суждений в ней ложно. Кроме того, конструкция истинна, когда оба утверждения в ней ложны.
6. Критерий истинности условного суждения – конструкция ложна только тогда, когда выведенное из истинной посылки заключение – ложно. Во всех остальных случаях, такая конструкция истинна.

Умозаключение

Умозаключение – это высшая форма мышления, которая характеризуется получением нового суждения (заключения) из тех суждений, которые даны и известны из предыдущего опыта и знаний (посылки).

Презентация: "Умозаключение"

Умозаключение как один из видов интеллектуальной познавательной деятельности человека имеет ряд преимуществ и недостатков.

Преимущества:

• получение новых знаний о предметах и явлениях, которые не могут быть оценены только в рамках наглядно-образного мышления;
• возможность абстрагироваться и мыслить независимо от наличия доступа к получению информации из внешнего мира через органы чувств (эксперименты, опыты, наблюдения);
• достоверность умозаключения. Проверяя мысли, которые входят в состав умозаключений, на истинность и используя законы логики, можно построить логически правильные рассуждения, которые дадут достоверные выводы.

Недостаток умозаключений – в связи с тем, что умозаключение создается в результате деятельности исключительно мыслительного процесса, то выводы, сделанные на основании умозаключения, зачастую лишены конкретики и носят абстрактный характер.

Виды умозаключений

Умозаключения подразделяются в зависимости от того, какие суждения выбраны в качестве посылок и от того, каким логическим путем идет мыслитель в своих рассуждениях.

Если в качестве посылок взяты общеустановленные правила, на основании которых нужно сделать заключение о каком-либо частном случае, следовательно, такое умозаключение было сделано с использованием дедукции (от общего к частному).

Если же, наоборот, в качестве мыслей-посылок были взяты определенные частности, из которых выведено общее правило, значит, использовалась индукция (рассуждение от частного к общему).

В том же случае, если на основании сходства одних признаков в посылках, сделаны выводы о сходстве каких-нибудь других признаков, входящих в состав предмета посылок, тогда такое умозаключение было сделано по аналогии.

Силлогизм

Частным случаем умозаключения является силлогизм. Это умозаключение, которое построено с использованием определенных посылок и ограниченным числом понятий.

Построение силлогизма имеет свои правила подбора посылок.

1. Нельзя вывести правильный вывод из двух неопределенных утверждений (некоторые цветы – лютики, некоторые птицы – вороны)
2. Из отрицательных утверждений невозможно получить вывод.

Для построения правильного силлогизма необходимо не только владеть знаниями о допустимом взаимодействии посылок между собой, но и уметь оценить понятия, которые входят в состав такого умозаключения: субъектный, предикатный и понятие-пересечение. Это так называемое правило понятий в силлогизме.

Пример: У всех млекопитающих есть желудок. У червей нет желудка. Черви – не млекопитающие.

Субъектный термин – тот, который определяет субъект заключения (черви).

Предикатный – определяет предикат заключения (млекопитающие).

Понятие-пересечение – область пересечения (желудок).

Что такое умозаключение? Это определённая форма мышления и единственно правильно сделанный вывод. Конкретика такова: в процессе познания становится понятно, что утверждения, подсказанные очевидностью, не все являются истиной, а лишь определённая их часть.

Для установления полной истины обычно проводится тщательное расследование: чётко обозначить вопросы, соотнести друг с другом уже установленные истины, дособрать нужные факты, произвести опыты, проверить все попутно возникающие догадки и вывести заключительный результат. Вот оно и будет - умозаключение.

Категорический силлогизм

Дедуктивное категорическое умозаключение - это такое, где из двух истинных суждений следует заключение. Понятия, находящиеся в составе силлогизма, обозначаются терминами. имеет три термина:

• предикат заключения (P) - больший термин;
• субъект заключения (S) - меньший термин;
• связка посылок P и S, отсутствующая в заключении (M) - средний термин.

Формы силлогизма, которые различаются по среднему термину (M) в посылках, называются фигурами в категорическом силлогизме. Существуют четыре таких фигуры, каждая со своими правилами.

• 1 фигура: общая большая посылка, утвердительная меньшая;
• 2 фигура: общая большая посылка, отрицательная меньшая;
• 3 фигура: утвердительная меньшая посылка, частное заключение;
• 4 фигура: заключение не бывает общеутвердительным суждением.

У каждой фигуры может быть несколько модусов (это разные силлогизмы по качественной и количественной характеристике посылок и заключений). В итоге фигуры силлогизма имеют девятнадцать правильных модусов, каждому из которых присвоено собственное латинское название.

Простой категорический силлогизм: общие правила

Чтобы заключение в силлогизме получилось истинным, нужно пользоваться истинными посылками, чтить правила фигур и простого категорического силлогизма. Методы умозаключения требуют соблюдения следующих правил:

• Не допускать учетверения терминов, их должно быть только три. Например, движение (M) - вечно (P); хождение в университет (S) - движение (M); заключение ложно: хождение в университет вечно. Средний термин здесь употреблён в разных смыслах: одно - в философском, другое - обиходное.
• Средний термин обязательно распределяется хотя бы в одной из посылок. Например, все рыбы (P) умеют плавать (M); моя сестра (S) умеет плавать (M); моя сестра - рыба. Вывод ложный.
• Термин заключения распределяется только после распределения в посылке. Например, во всех заполярных городах - белые ночи; Санкт-Петербург - не заполярный город; в Санкт-Петербурге не бывает белых ночей. Термин заключения содержит больше, чем посылки, больший термин расширился.

Существуют правила употребления посылок, которых требует форма умозаключения, их тоже необходимо соблюдать.

• Две отрицательные посылки вывода не дают. Например, киты - не рыбы; щуки - не киты. И что?
• При одной отрицательной посылке обязательно отрицательное заключение.
• Из двух частных посылок невозможен вывод.
• При одной частной посылке обязательно частное заключение.

Условные умозаключения

Когда обе посылки - условные суждения, получается чисто условный силлогизм. Например, если А, то Б; если Б, то В; если А, то В. Наглядно: если сложить два то сумма получится чётной; если сумма чётная, то можно делить на два без остатка; следовательно, если сложить два числа нечётных, то можно сумму делить без остатка. Для подобного отношения суждений есть формула: следствие следствия - это следствие основания.

Условно-категорический силлогизм

Что такое умозаключение суждение бывает в первой посылке, а во второй посылке и заключении - категорические суждения. Модус здесь может быть либо утверждающий, либо отрицающий. При утверждающем модусе, если вторая посылка утверждает следствие первой, вывод получится только вероятным. При отрицательном модусе, если отрицается основание условной посылки, вывод тоже получается только вероятным. Таковы условные умозаключения.

• Не знаешь - молчи. Молчишь - вероятно, не знаешь (если А, то Б; если Б, то, вероятно, А).
• Если идёт снег, наступила зима. Зима наступила - вероятно, идёт снег.
• Если солнечно, деревья дают тень. Деревья не дают тень - не солнечно.

Разделительный силлогизм

Умозаключение называется разделительным силлогизмом, если состоит из сугубо разделительных посылок, а вывод тоже получается разделительным суждением. Таким образом увеличивается количество альтернатив.

Ещё большее значение имеет разделительно-категорическое умозаключение, где одна посылка идёт разделительным суждением, а вторая - простым категорическим. Здесь два модуса: утверждающе-отрицательный и отрицающе-утверждающий.

Условно-разделительные

Понятие умозаключения включает в себя и условно-разделительные формы, в которых одна посылка - это два и более условных суждения, а вторая - разделительное суждение. Иначе это называется леммой. Задача леммы - выбор из нескольких решений.

Число альтернатив делит условно-разделительные умозаключения на дилеммы, трилеммы и полилеммы. Количество вариантов (дизъюнкция - использование "или") утвердительных суждений - конструктивная лемма. Если дизъюнкция отрицаний - лемма деструктивная. Если условная посылка даёт одно следствие - лемма простая, если следствия разные - лемма сложная. Это можно проследить, по схеме выстраивая умозаключения.

Примеры будут примерно такими:

• Простая конструктивная лемма: ab+cb+db= b; a+c+d=b. Если сын пойдёт в гости (а), сделает уроки позже (b); если сын пойдёт в кино (c), то перед этим сделает уроки (b); если сын останется дома (d), будет делать уроки (b). Сын пойдёт в гости или в кино, или дома останется. Уроки он всё равно сделает.
• Сложная конструктивная: a+b; c+d. Если власть наследственная (a), то государство монархическое (b); если власть выборная (c), государство - республика (d). Власть передают по наследству или избирают. Государство - монархия или республика.

Для чего нам умозаключение, суждение, понятие

Умозаключения не живут сами по себе. Эксперименты не проводятся вслепую. Они имеют смысл только в сочетании. Плюс синтез с теоретическим анализом, где путём сопоставлений, сравнений и обобщений можно сделать выводы. Причём вывести умозаключение по аналогии можно не только о непосредственно воспринятом, но и о том, что "пощупать" невозможно. Как можно непосредственно воспринимать такие процессы, как образование звёзд или развитие жизни на планете? Здесь необходима такая игра ума, как абстрактное мышление.

Понятие

Имеет три основные формы: понятия, суждения и умозаключения. Понятие отражает самые общие, существенные, необходимые и решающие свойства. В нём присутствуют все признаки реальности, хотя иногда реальность лишена наглядности.

Когда образовывается понятие, разум не берёт большую часть индивидуальных или несущественных случайностей в признаках, он обобщает все восприятия и представления как можно большего количества близких по однородности предметов и собирает из этого присущее всем и специфическое.

Понятия - это результаты обобщения данных того или иного опыта. В научных исследованиях они играют одну из главных ролей. Путь изучения любого предмета длинен: от простого и поверхностного к сложному и глубокому. По мере накопления знаний об отдельных свойствах и особенностях предмета появляются и суждения о нём.

Суждение

С углублением знаний происходит совершенствование понятий, и появляются суждения о предметах объективного мира. Это одна из основных форм мышления. Суждения отражают объективные связи предметов и явлений, внутреннее их содержание и все закономерности развития. Любой закон и любое положение в объективном мире можно выразить определённым суждением. Особенную роль играет умозаключение в логике этого процесса.

Явление умозаключения

Особый мыслительный акт, где из предпосылок можно вывести новое суждение о событиях и предметах - свойственная для человечества способность к умозаключениям. Без этой способности невозможно было бы познавать мир. Долгое время нельзя было увидеть земной шар со стороны, но и тогда люди смогли прийти к выводу, что Земля наша круглая. Помогла правильная связь истинных суждений: шарообразные предметы отбрасывают тень в форме круга; Земля накладывает на Луну круглую тень во время затмений; Земля имеет форму шара. Умозаключение по аналогии!

Правильность умозаключений зависит от двух условий: посылки, из которых строится вывод, должны соответствовать действительности; связи посылок должны соображаться с логикой, которая и изучает все законы и формы выстраивания суждений в умозаключении.

Таким образом, понятие, суждение и умозаключение как основная форма абстрактного мышления позволяют человеку познавать объективный мир, раскрывать самые важные, самые существенные стороны, закономерности и связи окружающей действительности.

Умозаключение - это форма мышления, в которой из двух или нескольких суждений, называемых посылками, вытекает новое суждение, называемое заключением (выводом). Например:

Все живые организмы питаются влагой.

Все растения - это живые организмы.

=> Все растения питаются влагой.

В приведенном примере первые два суждения являются посылками, а третье - выводом. Посылки должны быть истинными суждениями и должны быть связаны между собой. Если хотя бы одна из посылок ложна, то и вывод ложен:

Все птицы - это млекопитающие животные.

Все воробьи - это птицы.

=> Все воробьи - это млекопитающие животные.

Как видим, в приведенном примере ложность первой посылки приводит к ложному выводу, несмотря на то что вторая посылка является истинной. Если посылки между собой не связаны, то вывод из них сделать невозможно. Например, из следующих двух посылок никакого вывода не следует:

Все планеты - это небесные тела.

Все сосны являются деревьями.

Обратим внимание на то, что умозаключения состоят из суждений, а суждения - из понятий, т. е. одна форма мышления входит в другую в качестве составной части.

Все умозаключения делятся на непосредственные и опосредованные.

В непосредственных умозаключениях вывод делается из одной посылки. Например:

Все цветы являются растениями.

=> Некоторые растения являются цветами.

Верно, что все цветы являются растениями.

=> Неверно, что некоторые цветы не являются растениями.

Нетрудно догадаться, что непосредственные умозаключения представляют собой уже известные нам операции преобразования простых суждений и выводы об истинности простых суждений по логическому квадрату. Первый приведенный пример непосредственного умозаключения является преобразованием простого суждения путем обращения, а во втором примере по логическому квадрату из истинности суждения вида А делается вывод о ложности суждения вида О.

В опосредованных умозаключениях вывод делается из нескольких посылок. Например:

Все рыбы - это живые существа.

Все караси - это рыбы.

=> Все караси - это живые существа.

Опосредованные умозаключения делятся на три вида: дедуктивные, индуктивные и умозаключения по аналогии.

Дедуктивные умозаключения (дедукция) (от лат. deductio - «выведение») - это умозаключения, в которых из общего правила делается вывод для частного случая (из общего правила выводится частный случай). Например:

Все звезды излучают энергию. Солнце - это звезда.

=> Солнце излучает энергию.

Как видим, первая посылка представляет собой общее правило, из которого (при помощи второй посылки) вытекает частный случай в виде вывода: если все звезды излучают энергию, значит, Солнце тоже ее излучает, потому что оно является звездой.

В дедукции рассуждение идет от общего к частному, от большего к меньшему, знание сужается, в силу чего дедуктивные выводы достоверны, т. е. точны, обязательны, необходимы. Посмотрим еще раз на приведенный пример. Мог бы из двух данных посылок вытекать иной вывод, кроме того, который из них вытекает? Не мог. Вытекающий вывод - единственно возможный в этом случае. Изобразим отношения между понятиями, из которых состояло наше умозаключение, кругами Эйлера.

Объемы трех понятий: звезды (3); тела, излучающие энергию (Т) и Солнце (С) схематично расположатся следующим образом (рис. 33).

Если объем понятия звезды включается в объем понятия тела, излучающие энергию , а объем понятия Солнце включается в объем понятия звезды, то объем понятия Солнце автоматически включается в объем понятия тела, излучающие энергию, в силу чего дедуктивный вывод и является достоверным.

Несомненное достоинство дедукции заключается в достоверности ее выводов. Вспомним, известный литературный герой Шерлок Холмс пользовался дедуктивным методом при раскрытии преступлений. Это значит, что он строил свои рассуждения таким образом, чтобы из общего выводить частное. В одном произведении, объясняя доктору Ватсону сущность своего дедуктивного метода, он приводит такой пример. Около убитого полковника Эшби сыщики Скотланд-Ярда обнаружили выкуренную сигару и решили, что полковник выкурил ее перед смертью. Однако Шерлок Холмс неопровержимо доказывает, что полковник нс мог выкурить эту сигару, потому что он носил большие, пышные усы, а сигара выкурена до конца, т. е., если бы ее курил полковник Эшби, то он непременно подпалил бы свои усы. Следовательно, сигару выкурил другой человек.

В этом рассуждении вывод выглядит убедительно именно потому, что он дедуктивный - из общего правила: Любой человек с большими, пышными усами не может выкурить сигару до конца , выводится частный случай: Полковник Эшби не мог выкурить сигару до конца, потому что носил такие усы. Приведем рассмотренное рассуждение к принятой в логике стандартной форме записи умозаключений в виде посылок и вывода:

Любой человек с большими, пышными усами не может

выкурить сигару до конца.

Полковник Эшби носил большие, пышные усы.

=> Полковник Эшби не мог выкурить сигару до конца.

Индуктивные умозаключения (индукция) (от лат. inductio - «наведение») - это умозаключения, в которых из нескольких частных случаев выводится общее правило. Например:

Юпитер движется.

Марс движется.

Венера движется.

Юпитер, Марс, Венера - это планеты.

=> Все планеты движутся.

Первые три посылки представляют собой частные случаи, четвертая посылка подводит их под один класс объектов, объединяет их, а в выводе говорится обо всех объектах этого класса, т. е. формулируется некое общее правило (вытекающее из трех частных случаев).

Легко увидеть, что индуктивные умозаключения строятся по принципу, противоположному построению дедуктивных умозаключений. В индукции рассуждение идет от частного к общему, от меньшего к большему, знание расширяется, в силу чего индуктивные выводы (в отличие от дедуктивных) нс достоверны, а вероятностны. В рассмотренном выше примере индукции признак, обнаруженный у некоторых объектов какой-то группы, перенесен на все объекты этой группы, сделано обобщение, которое почти всегда чревато ошибкой: вполне возможно наличие в группе каких-то исключений, и даже если множество объектов из некоторой группы характеризуется каким-то признаком, то это не означает, что таким признаком характеризуются все объекты данной группы. Вероятностный характер выводов является, конечно же, недостатком индукции. Однако ее несомненное достоинство и выгодное отличие от дедукции, которая представляет собой сужающееся знание, заключается в том, что индукция - это расширяющееся знание, способное приводить к новому, в то время как дедукция - это разбор старого и уже известного.

Умозаключения по аналогии (аналогия) (от греч. analogia - «соответствие») - это умозаключения, в которых на основе сходства предметов (объектов) в одних признаках делается вывод об их сходстве и в других признаках. Например:

Планета Земля расположена в Солнечной системе, на ней есть атмосфера, вода и жизнь.

Планета Марс расположена в Солнечной системе, на ней есть атмосфера и вода.

=> Вероятно, на Марсе есть жизнь.

Как видим, сопоставляются два объекта (планета Земля и планета Марс), которые сходны между собой в некоторых существенных, важных признаках (находиться в Солнечной системе, иметь атмосферу и воду). На основе данного сходства делается вывод о том, что, возможно, эти объекты сходны между собой и в других признаках: если на Земле есть жизнь, а Марс во многом похож на Землю, то не исключено наличие жизни и на Марсе. Выводы аналогии, как и выводы индукции, вероятностны.

Билет №7

Рассуждение и умозаключение. Структура умозаключения. Дедуктивные умозаключения. Правильные и неправильные умозаключения. Дедуктивные умозаключения из категорических суждений. Непосредственные и опосредованные умозаключения.

Рассуждение – это процедура обоснования некоторого высказывания путем пошагового выведения его из других высказываний.

Простейшим видом рассуждения является умозаключение .

Умозаключение – это непосредственный переход от одного высказывания или нескольких высказываний А 1 , А 2 , …, A n к высказыванию В.

Высказывания А 1 , А 2 , …, A n , из которых делается вывод, называются посылками , а высказывание В , которое выводится из посылок, называется заключением .

В качестве примера умозаключения приведем рассуждение, которое, согласно легенде, провел калиф Омар для обоснования необходимости сожжения Александрийской библиотеки:

«Если ваши книги согласны с Кораном, то они излишни. Если же ваши книги не согласны с Кораном, то они вредны. Но вредные или излишние книги следует уничтожить. Поэтому ваши книги следует уничтожить».

В приведенном умозаключении первые три высказывания являются посылками, а четвертое – заключением.

В логике умозаключение принято формулировать следующим образом:

А 1 , А 2 , …, A n ,

Где над чертой записываются посылки, под чертой – заключение, а сама черта выражает акт выведения заключения из посылок.

Умозаключение является простейшей разновидностью рассуждения потому, что обосновываемый тезис (его роль играет заключение В) непосредственно, как бы в один шаг выводится из посылок А 1 , А 2 , …, A n , которые можно рассматривать как аргументы в пользу тезиса.

Однако многие рассуждения имеют гораздо более сложную структуру. Так, в ходе рассуждения могут осуществляться несколько умозаключений, причем заключения одних могут стать посылками в других. Рассмотрим пример.

В одном английском городе было совершено ограбление банка. Подозрение пало на известных рецидивистов Смита, Джонса и Брауна. В ходе следствия выяснилось следующее. Джонс никогда не ходит на дело без Брауна. По крайней мере один из рецидивистов – Смит или Джонс – замешан в преступлении. У Брауна есть прочное алиби. Инспектор полиции, проводивший расследование, на основании этих данных прелъявил обвинение Смиту.

При этом он мог рассуждать следующим образом. Данные, полученные в ходе расследования, свидетельствуют о том, что:

(1)Если Джонс замешан в преступлении, то в нем замешан и Браун (Джонс без Брауна на дело не ходит).

(2)Браун не замешан в преступлении (у него алиби)

Следовательно,

(3)Джонс не замешан в преступлении.

Но, согласно данным следствия,

(4)Смит или Джонс замешаны в преступлении.

Поэтому, с учетом непричастности к преступлению Джонса, можно сделать вывод:

(5)Смит замешан в преступлении.

В приведенном рассуждении осуществлены два умозаключения. В первом из них посылками являются высказывания (1) и (2), а заключением – Высказывания (3). Во втором умозаключении посылками являются (3) и (4), а заключением – высказывание (5).

Иногда в ходе рассуждения для обоснования некоторого высказывания (назовем его С) применяются так называемые непрямые способы аргументации . В этом случае строятся вспомогательные рассуждения, в их состав вводятся дополнительные допущения , из которых стремятся получить следствия определенного рода (характер принимаемых допущений и искомых следствий обычно зависит от вида высказывания С). При успешном решении указанных задач вспомогательные рассуждения считаются завершенными, а в основной части рассуждения появляется высказывание С.

Примером непрямого способа аргументации являются широко распространенные рассуждения от противного . Их структура состоит в следующем. Для обоснования высказывания В принимается в качестве дополнительного допущения противоречащее ему высказывание «Неверно, что В», при этом из допущения и некоторого множества аргументов Г стремятся получить противоречие – высказывание «Д и неверно, что Д». При успешном осуществлении этого вспомогательного рассуждения считается, что допущение было ложным, а само В обосновано посредством аргументов Г.

Покажем, как мог инспектор полиции в рассмотренном примере прийти к выводу о виновности Смита, рассуждая от противного.

Примем сначала допущение о том, что

(1)Смит не замешан в преступлении.

Из этого допущения и установленного факта:

(2)Смит или Джонс замешаны в преступлении – получим высказывание:

(3)Джонс замешан в преступлении.

Из него, а также из другого установленного в ходе следствия факта:

(4)Если Джонс замешан в преступлении, то и Браун замешан в нем – получаем высказывание:

(5)Браун замешан в преступлении.

Однако следствием было установлено, что

(6)Браун не замешан в преступлении.

Таким образом, в рассуждении получено противоречие:

(7)Браун замешан и не замешан в преступлении.

Следовательно, допущение (1) ложно, а высказывание

(8)Смит замешан в преступлении

Считается обоснованным из аргументов (2), (4) и (6).

Дедуктивные рассуждения и умозаключения.

Дедукция (лат. deductio - выведение) - метод мышления, при котором частное положение логическим путем выводится из общего, вывод по правилам логики; цепь умозаключений (рассуждений), звенья которой (высказывания) связаны отношением логического следования.

Логику часто определяют как науку о рассуждениях. Действительно, исследование рассуждений, их видов и способов осуществления входит в число основных задач логики. Тем не менее рассмотренные до сих пор методы логического анализа касались проверки правильности или неправильности уже готовых рассуждений и не затрагивали вопроса о том, как они осуществляются. Опишем процедуру дедуктивных рассуждений , которые также называются правдоподобные .

В общем случае под рассуждением понимают процедуру последовательного пошагового перехода от одних высказываний, принятых в качестве исходных, к другим высказываниям. Каждый шаг этого процесса осуществляется на основе некоторого правила, называемого правилом вывода . Последнее высказывание, полученное в данном процессе, называется заключением рассуждения. При этом к числу дедуктивных будем далее относить лишь те рассуждения, в которых между высказываниями, принятыми в качестве исходных, и заключением сохраняется отношение логического следования. Чтобы ответить теперь конкретно на вопрос, как строятся рассуждения дедуктивного типа, требуется развить некоторую теорию – теорию дедуктивных рассуждений . Но перед этим кратко охарактеризуем основные виды теорий .

Дедукция является теоретическим способом познания окружающего нас мира. Поэтому процедуры дедукции используются в том случае, когда для получения некоторого нового знания недостаточно эмпирических познавательных приемов (наблюдений, экспериментов, измерений). В этом своем качестве дедукция широко используется уже в обыденной жизни: ведь мы часто пытаемся отстоять посредством того или иного рассуждения свою точку зрения, убедить в ее истинности своего собеседника, опровергнуть точку зрения оппонента и т.д., то есть пытаемся теоретически рассуждать. Однако наибольшее значение процедуры дедукции, как теоретического метода исследования имеют при построении научного (теоретического) знания.

В зависимости от степени проясненности (выявленности) дедуктивных связей между отдельными утверждениями (высказываниями) теорий различают несколько их типов. К первому типу относятся содержательные теории . В их составе дедукция если и используется, то лишь для связи некоторых отдельных положений теории. При этом исходные утверждения в рассуждениях представляют собой некоторые допущения, называемые посылками . Посылки не обязаны быть (и не всегда бывают) истинными, а потому любое предложение, которое дедуцируется с их использованием, считается не истинными, а условно истинным : заключительное предложение (заключение) истинно при условии, что посылки являются истинными. Подобный характер носят, например, рассуждения в обыденной жизни. Примерами содержательных теорий являются школьная арифметика, а также различного рода научные концепции, развиваемые в тех науках, в которых отсутствуют строго очерченные теории. Примерами логических содержательных теорий являются логики высказываний и предикатов.

Другой тип составляют формализованные теории . К их числу относятся теории, содержание которых взаимосвязано и дедуктивно выводится из некоторых первоначально принятых исходных утверждений. Последние называются аксиомами , а сами теории носят название аксиоматизированных теорий . Примерами их являются: небесная механика Ньютона, теория относительности Эйнштейна, квантовая механика, геометрия Евклида. В отличие от геометрии Евклида, формализованной более 2 тысяч лет назад, арифметика вплоть до ХХ века развивалась как содержательная теория, и только на рубеже XIX – XX веков она была формализована итальянским математиком Пеано.

Дедуктивное умозаключение

Началом (посылками) дедукции являются аксиомы или просто гипотезы, имеющие характер общих утверждений («общее»), а концом - следствия из посылок, теоремы («частное»). Если посылки дедукции истинны, то истинны и ее следствия. Дедукция - основное средство доказательства. Противоположно индукции.

Пример дедуктивного умозаключения:

1)Все люди смертны.

2)Сократ - человек.

3)Следовательно, Сократ смертен.

Умозаключения, в которых одна из предпосылок является разделительным суждением, а вторая совпадает с одним из членов дизъюнктивного суждения или отрицает все кроме одного. В заключении, соответственно, отрицаются все члены, кроме указанного во второй предпосылке, или утверждается пропущенный член.

Формы правильных модусов разделительно-категорических заключений

Условные умозаключения

Умозаключения, посылки и заключения которых - условные суждения .

Особый вид умозаключений из двух условных суждений и одного разделительного .

Виды правильных дилемм:

конструктивные:

(то есть: первая посылка: если A, то C; вторая посылка: если B, то C; третья посылка: A или B; заключение: следовательно, C);

(сложная)

(то есть: первая посылка: если A, то B; вторая посылка: если C, то D; третья посылка: A или C; заключение: следовательно, B или D);

деструктивные:

(то есть: первая посылка: если A, то B; вторая посылка: если A, то C; третья посылка: не B или не C; заключение: следовательно, не A);

(сложная)

(то есть: первая посылка: если A, то B; вторая посылка: если C, то D; третья посылка: не B или не D; заключение: следовательно, не A или не C).

Правильные и неправильные умозаключения

Для того, чтобы показать, что некоторое умозаключение неправильно, достаточно найти по крайней мере одно умозаключение той же логической формы, все посылки которого истинны, а заключение ложно. Тем самым мы выделили критерий неправильности умозаключения. Он может быть сформулирован следующим образом.

Умозаключение является неправильным, если и только если его логическая форма не гарантирует, что при истинных посылках мы обязательно получим истинное заключение, то есть существует умозаключение данной логической формы с истинными посылками и ложным заключением.

Теперь нетрудно сформулировать критерий правильности умозаключений .

Умозаключение является правильным, если и только если его логическая форма не гарантирует, что при истинности посылок мы обязательно получим истинное заключение, то есть не существует умозаключения данной формы с истинными посылками и ложным заключением.

При выполнении указанного условия говорят также, что между посылками и заключением имеет место отношение логического следования, что заключение логически следует из посылок.

К числу правильных относится, например, умозаключение (1). Выявим его логическую форму. С этой целью заменим простые высказывания, входящие в состав его посылок и заключения, параметрами: высказывание «Ваши книги согласны с Кораном» - буквой p , « Ваши книги излишни» - буквой q , «Ваши книги вредны» - буквой r , “Ваши книги следует уничтожить» - буквой s . Получим в результате выражение.

Если p , то q

Если неверно, что p , то r

Если q или r , то s

Опосредованные и неопосредованные умозаключения

Свойства основных понятий раскрываются в аксиомах - предложениях, принимаемых без доказательства.

Например, в школьной геометрии есть аксиомы: «через любые две точки можно провести прямую и только одну» или «прямая разбивает плоскость на две полуплоскости».

Система аксиом любой математической теории, раскрывая свойства основных понятий, дает их определения. Такие определения называют аксиоматическими.

Доказываемые свойства понятий называют теоремами , следствиями, признаками, формулами, правилами.

Доказать теорему А В - это значит установить логическим путем, что всегда, когда выполняется свойство А , будет выполняться свойство В.

Доказательством в математике называют конечную последовательность предложений данной теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или нескольких предложений этой последовательности по правилам логического вывода.

В основе доказательства лежит рассуждение - логическая операция, в результате которой из одного или нескольких взаимосвязанных по смыслу предложений получается предложение, содержащее новое знание.

В качестве примера рассмотрим рассуждение школьника, которому надо установить отношение «меньше» между числами 7 и 8. Учащийся говорит: «7 < 8, потому что при счете 7 называют раньше, чем 8».

Выясним, на какие факты опирается вывод, полученный в этом рассуждении.

Таких фактов два: Первый: если число а при счете называют раньше числа b , то a < b . Второй: 7 при счете называют раньше, чем 8.

Первое предложение носит общий характер, так как содержит квантор общности - его называют общей посылкой. Второе предложение касается конкретных чисел 7 и 8 - его называют частной посылкой. Из двух посылок получен новый факт: 7 < 8, его называют заключением.

Между посылками и заключением существует определенная связь, благодаря которой они и составляют рассуждение.

Рассуждение, между посылками и заключением которого имеет место отношение следования, называют дедуктивным.

В логике вместо термина «рассуждения» чаще используется слово «умозаключение».

Умозаключение - это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося.

Умозаключение состоит из посылок и заключения.

Посылки - это , содержащие исходное знание.

Заключение - это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного.

Как правило, заключение отделяется от посылок с помощью слов «следовательно», «значит». Умозаключение с посылками р 1, р 2, …, рn и заключением Р будем записывать в виде: или (р 1, р 2, …, рn) Р.

Примеры умозаключений: а) Число а = b. Число b = с . Следовательно, число а = с.

b) Если в дроби числитель меньше знаменателя, то дробь правильная. В дроби числитель меньше знаменателя (5<6) . Следовательно, дробь - правильная.

с) Если идет дождь, то на небе есть тучи. На небе есть тучи, следовательно, идет дождь.

Умозаключения могут быть правильными и неправильными.

Умозаключение называется правильным, если формула, соответствующая его структуре и представляющая собой конъюнкцию посылок, соединенная с заключением знаком импликации тождественно истинна.

Для того чтобы установить, является ли умозаключение правильным, поступают следующим образом:

1) формализуют все посылки и заключение;

2) записывают формулу, представляющую конъюнкцию посылок, соединенную знаком импликации с заключением;

3) составляют таблицу истинности для данной формулы;

4) если формула тождественно-истинна, то умозаключение правильное, если нет - то умозаключение неправильное.

В логике считают, что правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. И в логике предлагаются такие правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных рассуждений.

Правил много, но наиболее часто используются следующие:

1. - правило заключения;

2. - правило отрицания;

3. - правило силлогизма.

Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу заключения: «Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 15. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5 . Следовательно, число 135 делится на 5 ».

В качестве общей посылки в этом умозаключении выступает утверждение «если А(х), то В(х) », где А(х) - это «запись числа х оканчивается цифрой 5 », а В(х) - «число х делится на 5 ». Частная посылка представляет собой высказывание, которое получилось из условия общей посылки при
х = 135 (т.е. А(135) ). Заключение является высказыванием, полученным из В(х) при х = 135 (т.е. В(135) ).

Приведем примерумозаключения, выполненного по правилу отрицания: «Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5 . Число 177 не делится на 5 . Следовательно, оно не оканчивается цифрой 5 ».

Видим, что в этом умозаключении общая посылка такая же как и в предыдущем, а частная представляет собой отрицание высказывания «число 177 делится на 5 » (т.е. ). Заключение - это отрицание предложения «Запись числа 177 оканчивается цифрой 5 » (т.е. ).

И наконец, рассмотрим пример умозаключения, построенного по правилу силлогизма : «Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если число х кратно 6 , то оно кратно 3 . Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 3 ».

В этом умозаключении две посылки: «если А(х), то В(х) » и «если В(х), то С(х) », где А(х) - «число х кратно 12 », В(х) - «число х кратно 6 » и С(х) - «число х кратно 3 ». Заключение представляет собой высказывание «если А(х), то С(х) ».

Проверим, правильны ли следующие умозаключения:

1) Если четырехугольник - ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. АВС D - ромб. Следовательно, его диагонали взаимно перпендикулярны.

2) Если число делится на 4 , то оно делится на 2 . Число 22 делится на 2 . Следовательно, оно делится на 4.

3) Все деревья являются растениями. Сосна - дерево. Значит, сосна - растение.

4) Все учащиеся данного класса ходили в театр. Петя не был в театре. Следовательно, Петя - учащийся не данного класса.

5) Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь правильная. Если дробь правильная, то она меньше 1. Следовательно, если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь меньше 1.

Решение: 1) Для решения вопроса о правильности умозаключения выявим его логическую форму. Введем обозначения: С(х) - «четырехугольник х - ромб», В(х) - «в четырехугольнике х диагонали взаимно перпендикулярны». Тогда первую посылку можно записать в виде:
С(х) В(х), вторую - С(а), а заключение В(а).

Таким образом, форма данного умозаключения такова: . Оно построено по правилу заключения. Следовательно, данное рассуждение правильное.

2) Введем обозначения: А(х) - «число х делится на 4 », В(х) - «число х делится на 2 ». Тогда первую посылку запишем: А(х) В(х), вторую В(а), а заключение - А(а). Умозаключение примет форму: .

Такой логической формы среди известных нет. Легко заметить, что обе посылки истинны, а заключение ложно.

Значит, что данное рассуждение неправильное.

3) Введем обозначения. Пусть А(х) - «если х дерево», В(х) - «х растение». Тогда посылки примут вид: А(х) В(х), А(а), а заключение В(а). Наше умозаключение построено по форме: - правила заключения.

Значит, наше рассуждение построено верно.

4) Пусть А(х) - «х - учащиеся нашего класса», В(х) - «учащиеся х ходили в театр». Тогда посылки будут следующими: А(х) В(х), , а заключение .

Данное умозаключение построено по правилу отрицания:

- значит оно верное.

5) Выявим логическую форму умозаключения. Пусть А(х) - «числитель дроби х меньше знаменателя». В(х) - «дробь х - правильная». С(х) - «дробь х меньше 1 ». Тогда посылки примут вид: А(х) В(х), В(х) С(х), а заключение А(х) С(х).

Наше умозаключение будет следующей логической формы: - правило силлогизма.

Значит, данное умозаключение верно.

В логике рассматривают различные способы проверки правильности умозаключений, среди которых анализ правильности умозаключений с помощью кругов Эйлера. Его проводят следующим образом: записывают умозаключение на теоретико-множественном языке; изображают посылки на кругах Эйлера, считая их истинными; смотрят, всегда ли при этом истинно заключение. Если да, то говорят, что умозаключение построено правильно. Если же возможен рисунок, из которого видно, что заключение ложно, то говорят, что умозаключение неправильно.

Таблица 9

Словесная формулировка предложения	Запись на теоретико- множественном языке	Изображение на кругах Эйлера
Всякое А есть В
Некоторые А есть В Некоторые А не есть В
Ни одно А не есть В

а есть А
а не есть А

Покажем, что умозаключение, выполненное по правилу заключения, является дедуктивным. Сначала запишем это правило на теоретико-множественном языке.

Посылка А(х) В(х) может быть записана в виде ТА ТВ , где ТА и ТВ - множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х).

Частная посылка А(а) означает, что а ТА, а заключение В(а) показывает, что а ТВ.

Все умозаключение, построенное по правилу заключения, запишется на теоретико-множественном языке так: .

	Изобразив на кругах Эйлера множества ТА и ТВ и обозначив элемент а ТА, мы увидим, что а ТВ (рис. 58). Значит, а Т аТ .

Рис. 58.

Примеры.

1. Правильно ли умозаключение «Если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5. Число 125 делится на 5. Следовательно, запись числа 125 оканчивается цифрой 5 »?

Решение: Это умозаключение выполнено по схеме , что соответствует . Такой схемы среди известных нам нет. Выясним, является ли она правилом дедуктивного умозаключения?

Воспользуемся кругами Эйлера. На теоретико-множественном языке

полученное правило можно записать так:

. Изобразим на кругах Эйлера множества ТА и ТВ и обозначим элемент а из множества ТВ.

Оказывается, что он может содержаться в множестве ТА, а может и не принадлежать ему (рис. 59). В логике считают, что такая схема не является правилом дедуктивного умозаключения, так как не гарантирует истинности заключения.

Данное умозаключение не является правильным, так как выполнено по схеме, не гарантирующей истинности рассуждения.

Рис. 59.

б) Все глаголы отвечают на вопрос «что делать?» или «что сделать?». Слово «василек» не отвечает ни на один из этих вопросов. Следовательно, «василек» не является глаголом.

Решение: а) Запишем данное умозаключение на теоретико-множественном языке. Обозначим через А - множество студентов педагогического факультета, через В - множество студентов, являющихся учителями, через С - множество студентов, старше 20 лет.

Тогда умозаключение примет вид: .

Если изобразить данные множества на кругах, то возможно 2 случая:

1) множества А, В, С пересекаются;

2) множество В пересекается с множеством С и А, а множество А пересекается с В , но не пересекается с С.

б) Обозначим через А множество глаголов, а через В множество слов, отвечающих на вопрос «что делать?» или «что сделать?».

Тогда умозаключение можно записать в следующем виде:

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Ученику предлагается объяснить, почему число 23 можно представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает: «Число 23 - двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 23 = 20 + 3».

Первое и второе предложения в этом умозаключении посылки, причем одна общего характера - это высказывание «любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых», а другая - частная, она характеризует только число 23 - оно двузначное. Заключение - это предложение, которое стоит после слова «следовательно», - также носит частный характер, так как в нем речь идет о конкретном числе 23.

Умозаключения, которые обычно используются при доказательствах теорем, основаны на понятии логического следования. При этом из определения логического следования вытекает, что при всех значениях высказывательных переменных, при которых истинны исходные высказывания (посылки), истинно и заключение теоремы. Такие умозаключения дедуктивные.

В примере, рассмотренном выше, приведенное умозаключение является дедуктивным.

Пример 2. Один из приемов ознакомления младших школьников с переместительным свойством умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что, например, 6 3 = 36, 52 = 25. Затем на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел a и b верно равенство ab = ba.

В данном умозаключении посылками являются первые два равенства. В них утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется такое свойство. Заключением в данном примере является утверждение общего характера - переместительное свойство умножения натуральных чисел.

В данном умозаключении посылки частного характера показывают, что некоторые натуральные числа обладают свойством: от перестановки множителей произведение не изменяется. И на этой основе сделан вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа. Такие умозаключения называют неполной индукцией.

т.е. для некоторых натуральных чисел можно утверждать, что сумма меньше их произведения. Значит, на основании, что некоторые числа обладают данным свойством, можно сделать вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа:

Данный пример - это пример рассуждения по аналогии.

Под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Вывод по аналогии носит характер предположения, гипотезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.